2026版大一輪高考數(shù)學(xué)-第三章　進(jìn)階篇　不等式證明方法　進(jìn)階4　極值點偏移(二)VIP

進(jìn)階4極值點偏移(二)題型一換元構(gòu)造輔助函數(shù)例1已知函數(shù)f(x)＝x2lnx，若方程f(x)＝m有兩個不相等的實根x1，x2，求證：x12＋證明(換元法)令a＝x12，b＝x22，則f(x1)＝即x12lnx1＝x22ln所以x12lnx1所以alna＝blnb，設(shè)函數(shù)g(x)＝xlnx，則g(a)＝g(b)，g'(x)＝lnx＋1，所以g'(x)>0?x>1g'(x)<0?0<x<1所以g(x)在0，1e上單調(diào)遞減，在求證x12＋x22>2e不妨設(shè)a<b，則0<a<1e<b則2e－a>令h(x)＝g(x)－g2e-x，由h'(x)＝g'(x)＋g'2＝lnx＋1＋ln2e-x＋1＝ln＝ln-x-1所以h(x)在0，1e上單調(diào)遞減，h(x)>h1所以g(a)>g2e-a，即g(b又g(x)在1e，所以b>2e－a，即a＋b>故x12＋x思維升華在證明過程中出現(xiàn)的形式不符合和型結(jié)構(gòu)時，通過換元構(gòu)造新函數(shù)然后再進(jìn)行證明.跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)＝x－lnx，若兩個不相等的正實數(shù)x1，x2滿足f(x1)＝f(x2)，求證：f'(x1)＋f'(x2)<0.證明f(x1)＝f(x2)即x1－lnx1＝x2－lnx2，令a＝1x1，b＝1x2，則1a＋lna記函數(shù)g(x)＝1x＋lnx，則g(a)＝g(b)g'(x)＝1所以g'(x)>0?x>1，g'(x)<0?0<x<1，所以g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)min＝g(1)＝1，則a，b為g(x)＝k的兩個不相等的實數(shù)根，其中k>1，不妨設(shè)a<b，則0<a<1<b，則2－a>1，令h(x)＝g(x)－g(2－x)，0<x<1，則h'(x)＝g'(x)＋g'(2－x)＝x-1x2＋所以h(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，h(x)>h(1)＝0，所以g(a)>g(2－a)，故g(b)>g(2－a)，又g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以b>2－a，即a＋b>2，故1x1所以f'(x1)＋f'(x2)＝1－1x1＋1－1題型二比值代換例2已知函數(shù)f(x)＝xe－x(x∈R).如果x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，證明：(1)x1＋x2>2；(2)x1x2<1.證明方法一(1)f'(x)＝(1－x)e－x，易知f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(1)＝1又f(0)＝0，當(dāng)x→＋∞時，f(x)→0，不妨設(shè)x1<x2，則必有0<x1<1<x2，由f(x1)＝f(x2)，得x1e-x1＝即e即x2－x1＝lnx令t＝x2x1(t則x2－x1＝lnt，①又t＝x2x1，即x2＝tx由①②得x1＝lntt-1，要證x1＋x2>2，即證lntt即證lnt>2(t-1)t＋1由飄帶不等式知該式成立.所以x1＋x2>2.(2)由(1)知x1x2＝t則x要證x1x2<1，即證x1x令m＝t>1，即證2mln即證lnm<12m-1m由飄帶不等式知該式成立，故x1x2<1.方法二(齊次消元)f'(x)＝(1－x)e－x，易知f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(1)＝1又f(0)＝0，當(dāng)x→＋∞時，f(x)→0，不妨設(shè)x1<x2，則必有0<x1<1<x2，由f(x1)＝f(x2)，得x1e-x1＝即e所以x2－x1＝lnx2x1＝lnx2－ln即lnx2-ln(1)x1＋x2＝(x1＋x2)·ln＝x2＋x＝x2x1令t＝x2x1(t則由飄帶不等式知lnt>2(即t＋1t-1·lnt>2，即x1＋(2)要證x1x2<1，即證x1xx1x＝x1x2x2-令m＝x2x1(m由飄帶不等式知lnm<1即mm2-1·lnm即x1x2<1，故x1x思維升華比值代換法是指通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換t＝x1x2或跟蹤訓(xùn)練2設(shè)x1，x2為兩個不相等的正數(shù)，且x2lnx1－x1lnx2＝x1－x2，證明：1x1證明不妨設(shè)0<x1<x2，x2＝tx1，則t＝x2x由x2lnx1－x1lnx2＝x1－x2得tx1lnx1－x1ln(tx1)＝x1－tx1，即lnx1＝lntt-1要證1x1＋只需證ex1x2>x1＋x2，即證etx12>x1(1＋t即證etx1>1＋t，即證x1>1即證lnx1>ln1即證lntt-1－1>ln(1＋t)－lnt即證lntt-1>ln(1＋t)－ln即證lntt易知ln1＋1lnt>1－1則lntt-1>故1x1＋課時精練[分值：34分]1.(17分)已知函數(shù)f(x)＝ax2－(lnx)2(a∈R).若f(x)有兩個極值點x1，x2.求證：x1x2>e.證明因為函數(shù)f(x)＝ax2－(lnx)2，可得f'(x)＝2ax－2ln若f(x)有兩個極值點x1，x2，則函數(shù)f'(x)有兩個零點x1，x2，所以2ax12＝lnx12，2a令t1＝x12，t則等價于關(guān)于t的方程2at＝lnt有兩個不相等的實數(shù)根t1，t2，只需證明t1t2>e2，不妨令t1>t2，由2at1＝lnt1，2at2＝lnt2得2a＝ln要證t1t2>e2，只需證明lnt1＋lnt2>2，即證lnt1＋lnt2＝2a(t1＋t2)＝(t1＋t2)·lnt1即證lnt1－lnt2>2(即證lnt1t令m＝t1t2，只需證明lnm>2(m-1)m＋1由飄帶不等式知，lnm>2(m-1)m＋1(則t1t2>e2成立，故x1x2>e得證.2.(17分)(2025·昆明模擬)設(shè)a，b為函數(shù)f(x)＝xex－m(m<0)的兩個零點.(1)求實數(shù)m的取值范圍；(6分)(2)證明：ea＋eb>2e.(11分(1)解f(x)的定義域為R，f'(x)＝(x＋1)ex，當(dāng)x∈(－∞，－1)時，f'(x)<0，當(dāng)x∈(－1，＋∞)時，f'(x)>0，故f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，又當(dāng)x→－∞時，f(x)→－m>0，當(dāng)x→＋∞時，f(x)→＋∞，故要使f(x)有兩個零點，則需f(x)min＝f(－1)＝－e－1－m<0，故m>－1又m<0，可得－1e<m<0故滿足題意的實數(shù)m的取值范圍為-1(2)證明令x1＝ea，x2＝eb，即a＝lnx1，b＝lnx2，要證ea＋eb>2即證x1＋x2>2只需證x2>2e－x1由(1)可設(shè)a<－1<b<0，所以0<x1<1e<x2<1因為f(a)＝f(b)＝0，所以x1lnx1＝x2lnx2，設(shè)g(x)＝xlnx，因為g'(x)＝lnx＋1，所以g(x)在0，1e上單調(diào)遞減，在令h(x)＝g2e-x－