2026版大一輪高考數(shù)學(xué)-第三章　進(jìn)階篇　不等式證明方法　進(jìn)階3　極值點(diǎn)偏移(一)VIP

進(jìn)階3極值點(diǎn)偏移(一)1.極值點(diǎn)偏移的定義極值點(diǎn)偏移是函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)的圖象不具有對稱性.例如我們學(xué)過的二次函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的對稱結(jié)構(gòu)，有對稱軸，但是有些函數(shù)沒有對稱軸，即關(guān)于類對稱軸對稱的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和不等于對稱點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，我們把這種現(xiàn)象叫做極值點(diǎn)偏移.2.從圖形角度理解極值點(diǎn)偏移(x0為極值點(diǎn)，且x1<x2)(1)左右對稱，無偏移，如二次函數(shù)；若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2＝2x0.(2)左陡右緩，極值點(diǎn)向左偏移；若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2>2x0.(3)左緩右陡，極值點(diǎn)向右偏移；若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2<2x0.題型一對稱化構(gòu)造法(和型)例1(2024·南充模擬)已知函數(shù)f(x)＝x－lnx－a有兩個不同的零點(diǎn)x1，x2.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求證：x1＋x2>2.(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，因?yàn)閒'(x)＝1－1所以當(dāng)0<x<1時，f'(x)<0，當(dāng)x>1時，f'(x)>0，所以f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝1時，f(x)取得最小值1－a.又當(dāng)x趨近于0或＋∞時，f(x)趨近于＋∞，所以要使f(x)有兩個不同的零點(diǎn)x1，x2，只需滿足1－a<0，即a>1.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1，＋∞).(2)證明不妨設(shè)x1<x2，由(1)可知，0<x1<1<x2，則2－x1>1，要證x1＋x2>2，只需證2－x1<x2，又f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x1)＝f(x2)＝0，所以只需證f(2－x1)<f(x2)，即證f(2－x1)<f(x1).記g(x)＝f(2－x)－f(x)＝2－2x－ln(2－x)＋lnx，x∈(0，1)，則g'(x)＝1x＋12-當(dāng)0<x<1時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，又g(1)＝f(2－1)－f(1)＝0，所以g(x1)＝f(2－x1)－f(x1)<0，即f(2－x1)<f(x1).所以x1＋x2>2.思維升華證明x1＋x2>2x0的步驟(1)求極值點(diǎn)x0：求出函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)x0，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象，由f(x1)＝f(x2)得出x1，x2的取值范圍.(2)構(gòu)造函數(shù)：對結(jié)論為x1＋x2>2x0的情況，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f(2x0－x).①F'(x)＝f'(x)＋f'(2x0－x)>0，則F(x)單調(diào)遞增；②注意到F(x0)＝0，則F(x1)＝f(x1)－f(2x0－x1)<0即f(x1)<f(2x0－x1)；③f(x2)＝f(x1)<f(2x0－x1)，根據(jù)f(x)在(x0，＋∞)上單調(diào)遞減，則x2>2x0－x1；④得到結(jié)論x2＋x1>2x0.跟蹤訓(xùn)練1已知f(x)＝lnx－2x，若f(x1)＝f(x2)，求證：x1＋x2>1.證明f'(x)＝1x－2＝所以f(x)在0，12上單調(diào)遞增，在所以f(x)max＝f12＝－1－ln2又當(dāng)x→0＋時，f(x)→－∞，當(dāng)x→＋∞時，f(x)→－∞，所以f(x)的圖象如圖所示.不妨設(shè)0<x1<12<x2要證x1＋x2>1，只需證x2>1－x1，由于f(x)在12，x2>12，1－x1所以只需證f(x2)<f(1－x1)，即證f(x1)<f(1－x1)，令h(x)＝f(1－x)－f(x)，0<x<1則h'(x)＝－(2x-1所以h(x)在0，1又h12＝f

1-12－f

1所以h(x)>0，即f(1－x)>f(x)，即f(1－x1)>f(x1)，所以x1＋x2>1.題型二對稱化構(gòu)造法(積型)例2(2024·南充模擬)已知函數(shù)f(x)＝(1＋lnx)eln(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若方程f(x)＝1有兩個不同的根x1，x2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明：x1x2>1.解(1)由題意可得x>0，1ax>0，所以af(x)＝(1＋lnx)eln1ax＝1＋lnx又f'(x)＝1x·ax由f'(x)＝0，得x＝1，當(dāng)0<x<1時，f'(x)>0，則f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，f'(x)<0，則f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.(2)由1＋lnxax＝1，得設(shè)g(x)＝1g'(x)＝1由g'(x)＝0，得x＝1，當(dāng)0<x<1時，g'(x)>0，則g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，g'(x)<0，則g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，又g1e＝0，g(1)＝1，且當(dāng)x趨近于正無窮時，g(x)趨近于0g(x)＝1＋ln所以當(dāng)0<a<1時，方程1＋lnxx不妨設(shè)x1<x2，則0<x1<1<x2，設(shè)h(x)＝g(x)－g1x＝1＋lnxx－x(h'(x)＝-lnxx2＋lnx＝x2-1x所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又h(1)＝0，所以h(x1)＝g(x1)－g1x1即g(x1)<g1又g(x1)＝g(x2)，所以g(x2)<g1又x2>1，1x1>1，g(x)在(1，＋∞所以x2>1故x1x2>1.思維升華對結(jié)論x1x2>x02型，方法一是構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f

x02x，通過研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式；方法二是兩邊取對數(shù)，轉(zhuǎn)化成lnx1＋lnx2>2lnx0，再把lnx1，跟蹤訓(xùn)練2(2025·江蘇聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝xlnx＋t在點(diǎn)(1，f(1))處的切線經(jīng)過原點(diǎn).(1)求t的值；(2)若存在x1<x2，使得f(x1)＝f(x2)，求證：x1x2<1e(1)解因?yàn)閒'(x)＝lnx＋1，所以f'(1)＝1，因?yàn)閒(1)＝t，所以切線方程為y－t＝x－1，即y＝x＋t－1.因?yàn)榍芯€經(jīng)過原點(diǎn)，所以0＝0＋t－1，所以t＝1.(2)證明因?yàn)閒(x)＝xlnx＋1(x>0)，所以f'(x)＝lnx＋1，令f'(x)>0，解得x>1e令f'(x)<0，解得0<x<1所以f(x)在1e，＋∞上單調(diào)遞增，因?yàn)閒

1e＝1－1e，f(1)當(dāng)x趨近于0時，f(x)趨近于1，f(x)的圖象如圖所示.所以存在x1<x2，f(x1)＝f(x2)，且0<x1<1e，1e<要證x1x2<1e2，即證x因?yàn)?e2<1e2x2<1e，只需證f因?yàn)閒(x1)＝f(x2)，即證f(x2)>f1e令g(x)＝f(x)－f

1e2x＝xlnx－＝xlnx＋1e2x(lnx＋所以g'(x)＝(lnx＋1)＋-＝(lnx＋1)1-1因?yàn)?e<x<1，所以g'(x)>0所以g(x)在1e，所以g(x)>g1e＝0所以f(x)>f

1e2x，即f(x2)所以x1x2<1e課時精練[分值：34分]1.(17分)已知f(x)＝lnx－ax，其中a>0.(1)若f(x)有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍；(6分)(2)若f(x1)＝f(x2)，求證：x1＋x2>2a.(11分(1)解f'(x)＝1x－a＝所以f(x)在0，1a上單調(diào)遞增，在f(x)max＝f

1a＝ln1a－1＝－lna－當(dāng)x→0＋時，f(x)→－∞，當(dāng)x→＋∞時，f(x)→－∞.由于f(x)有兩個零點(diǎn)，所以－lna－1>0，即0<a<1e故a的取值范圍是0，(2)證明由(1)知0<x1<1a<x2要證x1＋x2>2即證x2>2a－x1由于f(x)在1a，x2>1a，2a－所以只需證f(x2)<f

2即證f(x1)<f2令h(x)＝f

2a-x－f(則h'(x)＝－2(ax-1所以h(x)在0，1所以h(x)>h1a＝0即f

2a-x>f(即f

2a-x1>f(所以x1＋x2>2a2.(17分)(2024·常州模擬)已知函數(shù)f(x)＝xlnx－12ax2(a>0)(1)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(6分)(2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1，x2(x1<x2)，證明：x1x2>1a.(11分(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f'(x)＝1＋lnx－ax，由題意f'(x)≤0恒成立，即a≥lnx＋設(shè)h(x)＝ln則h'(x)＝1-lnx-1當(dāng)x∈(0，1)時，h'(x)>0，h(x)＝lnx＋當(dāng)x∈(1，＋∞)時，h'(x)<0，h(x)＝lnx＋所以h(x)在x＝1處取得極大值，也是最大值，h(x)max＝h(1)＝1，故a≥1.(2)證明方法一函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)，由(1)可知0<a<1，設(shè)g(x)＝f'(x)＝1＋lnx－ax，則x1，x2(x1<x2)是g(x)的兩個變號零點(diǎn)，g'(x)＝1x－a，當(dāng)x∈0，1a時，g'(當(dāng)x∈1a，＋∞時，g'(所以g(x)在0，1a上單調(diào)遞增，在所以0<x1<1a<x2又因?yàn)間(1)＝1－a>0，所以0<x1<1<1a<x2要證x1x2>1a，只需證x2>1只需證g(x2)<g1其中g(shù)(x2)＝0，即證g1ax1＝1－ln(ax1)－即證ln(ax1)＋1x1－由g(x1)＝lnx1－ax1＋1＝0，設(shè)ax1＝t∈(0，1)，則lnx1＝t－1，x1＝et－1，則ln(ax1)＋1x1－1<0?lnt＋e1－t－設(shè)G(t)＝lnt＋e1－t－1(0<t<1)，G'(t)＝1t－e1－t＝由(1)知lnx＋1x≤1，故lnx≤所以ex－1≥x，et－1－t≥0，即G'(t)≥0，G(t)在(0，1)上單調(diào)遞增，G(t)<G(1)＝0，故ln(ax1)＋1x1－1<0即x1x2>1a方法二先證明引理：當(dāng)0<t<1時，lnt<2(當(dāng)t>1時，lnt>2(設(shè)M(t)＝lnt－2(t-1)t＋1M'(t)＝1t-4所以M(t)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又M(1)＝0，當(dāng)0<t<1時，M(t)<M(1)＝0，當(dāng)t>1時，M(t)>M(1)＝0，故引理得證.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)，由(1)可知0<a<1，設(shè)g(x)＝f'(x)＝1＋lnx－ax，則x1，x2(x1<x2)是g(x)的兩個變號零點(diǎn)，g'(x)＝1x－a，當(dāng)x∈0，1a時，g'(當(dāng)x∈1a，＋∞時，g'(所以g(x)在0，1a上單調(diào)遞增，在所以0<x1<1a<x2，即0<ax1<1<ax2要證x1x2>1a，只需證lnx1＋lnx2>－ln因?yàn)?即證a(x2＋x1