數(shù)學(xué)高考備考課件第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ26VIP

§2.6

對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)第二章

函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ基礎(chǔ)知識(shí)

自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.對(duì)數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作

，其中__叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，___叫做真數(shù).2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝

；②loga＝

；③logaMn＝

(n∈R).知識(shí)梳理x＝logaNaNlogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)①

＝___；②logaaN＝___(a>0，且a≠1).(3)對(duì)數(shù)的換底公式logab＝

(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).NN3.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝logaxa>10<a<1圖象定義域(1)__________值域(2)__性質(zhì)(3)過定點(diǎn)

，即x＝1時(shí)，y＝0(4)當(dāng)x>1時(shí)，

；當(dāng)0<x<1時(shí)，____(5)當(dāng)x>1時(shí)，

；當(dāng)0<x<1時(shí)，____(6)在(0，＋∞)上是_______(7)在(0，＋∞)上是_______(0，＋∞)R(1,0)y>0y<0y<0y>0增函數(shù)減函數(shù)

幾何畫板展示4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)

(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線

對(duì)稱.y＝logaxy＝x1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論【知識(shí)拓展】其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0<c<d<1<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若MN>0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.(

)(2)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數(shù).(

)基礎(chǔ)自測(cè)××√√124567312345671234567c>a>b解析∵0<a<1，b<0，c＝

＝log23>1.∴c>a>b.1245673解析由得0<2x－1≤1.12456題組三易錯(cuò)自糾5.已知b>0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，則下列等式一定成立的是A.d＝ac

B.a＝cdC.c＝ad

D.d＝a＋c73√6.已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，a≠1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是A.a>1，c>1 B.a>1,0<c<1C.0<a<1，c>1 D.0<a<1,0<c<112456解析由該函數(shù)的圖象通過第一、二、四象限知該函數(shù)為減函數(shù)，∴0<a<1，∵圖象與x軸的交點(diǎn)在區(qū)間(0,1)之間，∴該函數(shù)的圖象是由函數(shù)y＝logax的圖象向左平移不到1個(gè)單位后得到的，∴0<c<1.73√12456737.(2017·杭州高級(jí)中學(xué)最后一模)若函數(shù)f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，則a的值為____.解析因?yàn)?＜a＜1，所以f(x)在[a,2a]上是減函數(shù).所以f(x)max＝f(a)＝logaa＝1，f(x)min＝f(2a)＝loga2a＝1＋loga2，題型分類深度剖析題型一對(duì)數(shù)的運(yùn)算自主演練√解析設(shè)3a＝4b＝6c＝k，所以a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，2.(2013·浙江)已知x，y為正實(shí)數(shù)，則A.2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy

B.2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC.2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy

D.2lg(xy)＝2lgx·2lgy解析2lgx·2lgy＝2lgx＋lgy＝2lg(xy).故選D.√1對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路(1)拆：首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并.(2)合：將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算.思維升華題型二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用師生共研典例(1)若函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是√解析由題意y＝logax(a>0且a≠1)的圖象過(3,1)點(diǎn)，可解得a＝3.選項(xiàng)B中，y＝x3，由冪函數(shù)圖象性質(zhì)可知正確；選項(xiàng)C中，y＝(－x)3＝－x3，顯然與所畫圖象不符；選項(xiàng)D中，y＝log3(－x)的圖象與y＝log3x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，顯然不符，故選B.√解析

構(gòu)造函數(shù)f(x)＝4x和g(x)＝logax，當(dāng)a>1時(shí)不滿足條件，引申探究(1)對(duì)一些可通過平移、對(duì)稱變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解.(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練(1)函數(shù)y＝2log4(1－x)的圖象大致是√解析函數(shù)y＝2log4(1－x)的定義域?yàn)?－∞，1)，排除A，B；又函數(shù)y＝2log4(1－x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，排除D.故選C.(1，＋∞)解析如圖，在同一坐標(biāo)系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，其中a表示直線在y軸上的截距.由圖可知，當(dāng)a>1時(shí)，直線y＝－x＋a與y＝log2x只有一個(gè)交點(diǎn).題型三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用多維探究命題點(diǎn)1比較對(duì)數(shù)值的大小典例設(shè)a＝log412，b＝log515，c＝log618，則A.a>b>c

B.b>c>aC.a>c>b

D.c>b>a√解析a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43>log53>log63，∴a>b>c.當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝logax在定義域內(nèi)是減函數(shù)，解析若x≤0，則不等式f(x)>1可轉(zhuǎn)化為3x＋1>1得x＋1>0，即x>－1，∴－1<x≤0；若x>0，則不等式f(x)>1可轉(zhuǎn)化為命題點(diǎn)3和對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)典例已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax)(a＞0且a≠1).(1)當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，函數(shù)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；解∵a>0且a≠1，設(shè)t(x)＝3－ax，則t(x)＝3－ax為減函數(shù)，x∈[0,2]時(shí)，t(x)的最小值為3－2a，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)恒有意義，即x∈[0,2]時(shí)，3－ax>0恒成立.(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.解假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a.t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函數(shù)t(x)為減函數(shù).∵f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，∴y＝logat為增函數(shù)，∴a>1，x∈[1,2]時(shí)，t(x)的最小值為3－2a，f(x)的最大值為f(1)＝loga(3－a)，故不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1.(1)利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性時(shí)要注意真數(shù)必須為正，明確底數(shù)對(duì)單調(diào)性的影響.(2)解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要確定函數(shù)的定義域，根據(jù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最值解決恒成立問題.思維升華跟蹤訓(xùn)練(1)設(shè)a＝log32，b＝log52，c＝log23，則A.a>c>b

B.b>c>aC.c>b>a

D.c>a>b√解析a＝log32<log33＝1，b＝log52<log55＝1.又c＝log23>log22＝1，所以c最大.所以c>a>b.(2)若函數(shù)f(x)＝log2(x2－ax－3a)在區(qū)間(－∞，－2]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(－∞，4) B.(－4,4]C.(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D.[－4,4)解析由題意得x2－ax－3a>0在區(qū)間(－∞，－2]上恒成立且函數(shù)y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上單調(diào)遞減，√解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－4,4)，故選D.(3)已知函數(shù)f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.解析當(dāng)a>1時(shí)，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是減函數(shù)，由f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則f(x)min＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在[1,2]上是增函數(shù)，由f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則f(x)min＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.∴a>4，且a<4，故不存在.比較指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小高頻小考點(diǎn)比較大小問題是每年高考的必考內(nèi)容之一.(1)比較指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的大小，可以利用函數(shù)的單調(diào)性，引入中間量；有時(shí)也可用數(shù)形結(jié)合的方法.(2)解題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況來構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較，若指數(shù)相同而底數(shù)不同，則構(gòu)造冪函數(shù)，若底數(shù)相同而指數(shù)不同，則構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，若引入中間量，一般選0或1.考點(diǎn)分析典例(1)設(shè)a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系是A.c<b<a

B.a<b<cC.b<a<c

D.a<c<b√解析根據(jù)冪函數(shù)y＝x0.5的單調(diào)性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b<a<1；根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log0.3x的單調(diào)性，可得log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1.所以b<a<c.a(2)設(shè)a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，則a，b，c的大小關(guān)系是A.a<b<c

B.c<b<aC.c<a<b

D.b<c<a√解析∵a＝60.4>1，b＝log0.40.5∈(0,1)，c＝log80.4<0，∴a>b>c.故選B.(3)若實(shí)數(shù)a，b，c滿足loga2<logb2<logc2，則下列關(guān)系中不可能成立的是A.a<b<c

B.b<a<cC.c<b<a

D.a<c<b√解析由loga2<logb2<logc2的大小關(guān)系，可知a，b，c有四種可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.對(duì)照選項(xiàng)可知A中關(guān)系不可能成立.√解析易知y＝f(x)是偶函數(shù).當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，且當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，f(x)＝log2x單調(diào)遞增，所以b>a>c.課時(shí)作業(yè)1.設(shè)a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，則A.b<a<c

B.c<a<bC.c<b<a

D.a<c<b基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516√解析∵a＝log37，∴1<a<2.∵b＝21.1，∴b>2.∵c＝0.83.1，∴0<c<1.即c<a<b，故選B.12345678910111213141516√解析∵|lna|＝|lnb|且a≠b，∴l(xiāng)na＝－lnb，∴ab＝1.12345678910111213141516√解析由題意可知f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，4.(2017·北京)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與

最接近的是(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48)A.1033

B.1053 C.1073

D.1093√＝361lg3－80lg10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg1033＝33，lg1053＝53，lg1073＝73，lg1093＝93，1234567891011121314151612345678910111213141516√解析∵f(x)＋f(e－x)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào).12345678910111213141516∴503(a＋b)＝2012，∴a＋b＝4.12345678910111213141516√12345678910111213141516所以a>1，所以函數(shù)y＝logaM為增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞).12345678910111213141516{1，ee}12345678910111213141516由f(f(x))＝1可得f(x)＝0或f(x)＝e，又當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝ex∈(0,1]，那么由f(x)＝0可得lnx＝0，解得x＝1；由f(x)＝e可得lnx＝e，解得x＝ee，故對(duì)應(yīng)方程的解集為{1，ee}.123456789101112131415168.若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為_____.[1,2)解得1≤a<2，即a∈[1,2).12345678910111213141516[0，＋∞)解析當(dāng)x≤1時(shí)，由21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；當(dāng)x>1時(shí)，1－log2x≤2，綜上可知x≥0.

幾何畫板展示10.設(shè)實(shí)數(shù)a，b是關(guān)于x的方程|lgx|＝c的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，且a<b<10，則abc的取值范圍是_____.12345678910111213141516(0,1)解析由題意知，在(0,10)上，函數(shù)y＝|lgx|的圖象和直線y＝c有兩個(gè)不同交點(diǎn)，∴ab＝1,0<c<lg10＝1，∴abc的取值范圍是(0,1).12345678910111213141516解得a<0，且a<1，此時(shí)無解.1234567891011121314151612.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(0)＝0，當(dāng)x>0時(shí)，

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；12345678910111213141516解當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x).所以x<0時(shí)，

所以函數(shù)f(x)的解析式為12345678910111213141516(2)解不等式f(x2－1)>－2.解因?yàn)閒(4)＝

＝－2，f(x)是偶函數(shù)，所以不等式f(x2－1)>－2可化為f(|x2－1|)>f(4).又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以0<|x2－1|<4，而x2－1＝0時(shí)，f(0)＝0>－2成立，12345678910111213141516技能提升練1234567891011121314151613.(2016·浙江)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，則A.(a－1)(b－1)＜0 B.(a－1)(a－b)＞0C.(b－1)(b－a)＜0 D.(b－1)(b－a)＞0√解析由a，b＞0且a≠1，b≠1，及l(fā)ogab＞1＝logaa可得，當(dāng)a＞1時(shí)，b＞a＞1，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，0＜b＜a＜1，代入驗(yàn)證只有D滿足題意.1234567891011121314151614.(2017·浙江三市聯(lián)考)下列命題正確的是A.若lna－lnb＝a－3b，則a＜b<0B.若lna－lnb＝a－3b，則0<a