第二章 有理數(shù)及其運(yùn)算 知識(shí)歸納與題型突破（十五大題型清單） 解析版-2024-2025學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

第二章有理數(shù)及其運(yùn)算的知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）

01思維導(dǎo)圖

1.相反數(shù)

有

理有關(guān)概念

數(shù)

及4、數(shù)軸］

其

/交換律）

運(yùn)

—結(jié)合律）

算H運(yùn)算律

I分類律?

T加減|

有理數(shù)的運(yùn)算1

4H0nn

q乘方）

|科學(xué)記數(shù)法，有效數(shù)字與近似數(shù)1

02知識(shí)速記

知識(shí)點(diǎn)1:正數(shù)和負(fù)數(shù)

（1）概念

正數(shù)：大于o的數(shù)叫做正數(shù)。

負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上負(fù)號(hào)“一”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。

注：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù)。

（不是帶“一”號(hào)的數(shù)都是負(fù)數(shù)，而是在正數(shù)前加“一”的數(shù)。）

（2）意義：在同一個(gè)問(wèn)題上，用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量。

1

知識(shí)點(diǎn)2：有理數(shù)

(1)概念

整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。

分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)。(有限小數(shù)與無(wú)限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。)

注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)，負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為非

正整數(shù)。

(2)分類：兩種

⑴按正、負(fù)性質(zhì)分類:⑵按整數(shù)、分?jǐn)?shù)分類:

正有理數(shù)正整數(shù)正整數(shù)

有理數(shù)r｛正分?jǐn)?shù)

整數(shù)Y0

Y有理數(shù)L負(fù)整數(shù)

零

l分?jǐn)?shù)｛正分?jǐn)?shù)

負(fù)有理數(shù)｛負(fù)整數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

知識(shí)點(diǎn)3：數(shù)軸

(1)概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。

三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度

(2)對(duì)應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的點(diǎn)和有理數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。

比較大?。涸跀?shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(3)應(yīng)用j求兩點(diǎn)之間的距離：兩點(diǎn)在原點(diǎn)的同側(cè)作減法，在原點(diǎn)的兩側(cè)作加法。

(注意不帶“+”“一”號(hào))

知識(shí)點(diǎn)4：相反數(shù)

(1)概念代數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做相反數(shù)。

(0的相反數(shù)是0)

幾何：在數(shù)軸上，離原點(diǎn)的距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)叫做相反數(shù)。

(2)性質(zhì)：若a與b互為相反數(shù)，貝|a+b=0,即2=4＞；反之，

若a+b=0,則a與b互為相反數(shù)。

2

兩個(gè)符號(hào)：符號(hào)相同是正數(shù)，符號(hào)不同是負(fù)數(shù)。

（3）多重符號(hào)的化簡(jiǎn)一

-多個(gè)符號(hào)：三個(gè)或三個(gè)以上的符號(hào)的化簡(jiǎn)，看負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)

（注意：當(dāng)“一”號(hào)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果取正號(hào)當(dāng)“一”號(hào)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果取負(fù)號(hào)）

知識(shí)點(diǎn)5:絕對(duì)值

（1）幾何意義：一個(gè)數(shù)的數(shù)量大小叫作這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。

廠個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身（若|a|=|b|,貝!12=1）或2=-1））

（2）代數(shù)意義J一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)

0的絕對(duì)值是0

（3）代數(shù)符號(hào)意義：

-a>0,|a|=a反之，|a|=a,則a20,|a|=-a,則aSO

-a=0,|a|=0

_a<0,|a|=-a

注：非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，非正數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。

（4）性質(zhì)：絕對(duì)值是a（a>0）的數(shù)有2個(gè)，他們互為相反數(shù)。即土a。

（5）非負(fù)性：任意一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都大于等于零，即間\0。幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0。

故若|a|+|b|=O,則a=0,b=0

1.數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

（6）比較大小

L2.代數(shù)比較法：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。

兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小時(shí)，絕對(duì)值大的反而小。

知識(shí)點(diǎn)6：加法法則

⑴同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。

⑵絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。

互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得Oo

⑶一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。

3

知識(shí)點(diǎn)7：加法運(yùn)算定律

⑴加法交換律：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a+b=b+a

(2)加法結(jié)合律：在有理數(shù)加法中，三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變。即a+b

+c=(a+b)+c=a+(b+c)

知識(shí)點(diǎn)8：減法法則

減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。即a—b=a+(-)b

知識(shí)點(diǎn)9：乘法法則

(1)兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。

(2)任何數(shù)同0相乘，都得0。

(3)多個(gè)不為0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積為正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)數(shù)，即先確定

符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘，絕對(duì)值的積就是積的絕對(duì)值。

(4)多個(gè)數(shù)相乘，若其中有因數(shù)0,則積等于0；反之，若積為0,則至少有一個(gè)因數(shù)是0。

知識(shí)點(diǎn)9：乘法運(yùn)算定律

(1)乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即aXb=ba

(2)乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等。即aXbXc=(aXb)X

c=aX(bXc)o

(3)乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，在把積相加即aX(b+c)=

aXb+aXc。

知識(shí)點(diǎn)10：倒數(shù)

(1)定義：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

(2)性質(zhì)：負(fù)數(shù)的倒數(shù)還是負(fù)數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)。

注意：①0沒(méi)有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)為±1.

知識(shí)點(diǎn)11：除法法則

(1)除以一個(gè)(不等于0)的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

(2)兩個(gè)數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。

(3)0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。

知識(shí)點(diǎn)12：乘方法則運(yùn)算

(1)正數(shù)的任何次哥都是正數(shù)

4

（2）負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次塞是正數(shù)

（3）0的任何正整數(shù)次幕都是0

知識(shí)點(diǎn)13：混合運(yùn)算

（1）先乘方，再乘除，最后加減。

（2）同級(jí)運(yùn)算，從左到右的順序進(jìn)行。

（3）如有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)，中括號(hào)，大括號(hào)依次進(jìn)行。在進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算時(shí)，要分兩

步走：先確定符號(hào)，再求值。

知識(shí)點(diǎn)14：科學(xué)計(jì)數(shù)法

1.科學(xué)記數(shù)法概念：把一個(gè)大于10的數(shù)表示成aXIOn的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n為正整數(shù)）。

這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法。（lW|a|<10）

注：一個(gè)n為數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為aXlonr

2.近似數(shù)的精確度：兩種形式

（1）精確到某位或精確到小數(shù)點(diǎn)后某位。

（2）保留幾個(gè)有效數(shù)字

注：對(duì)于較大的數(shù)取近似數(shù)時(shí)，結(jié)果一般用科學(xué)記數(shù)法來(lái)表示

例如：256000（精確到萬(wàn)位）的結(jié)果是2.6X105

3.有效數(shù)字：從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)非0數(shù)字起，到末尾數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)。

注意：

（1）用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時(shí)，只看乘號(hào)前面的數(shù)字。例如：3.0X104的有效數(shù)字是3o

（2）帶有記數(shù)單位的近似數(shù)的有效數(shù)字，看記數(shù)單位前面的數(shù)字。

例如：2.605萬(wàn)的有效數(shù)字是2,6,0,5。

03題型歸納

題型一正負(fù)數(shù)

例題：中國(guó)古代著作《九章算術(shù)》在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引人負(fù)數(shù)，如果盈利600元記作+600元，那

么虧本400元記作（）

A.-400B.-600C.+400D.+600

【答案】A

5

【分析】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量.根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量即可解答.

【詳解】解：盈利600元記作+600元，那么虧本400元記作-400元，

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

1.若氣溫為零上i（rc記作+10冤，則-3汽表示氣溫為（）

A.零上3KB.零下3冤C.零上7KD.零下7汽

【答案】B

【分析】此題主要考查正負(fù)數(shù)的意義，正數(shù)與負(fù)數(shù)表示意義相反的兩種量，看清規(guī)定哪一個(gè)為正，則和

它意義相反的就為負(fù).此題主要用正負(fù)數(shù)來(lái)表示具有意義相反的兩種量：若零上記為正，則零下就記為

負(fù)，直接得出結(jié)論即可.

【詳解】解：若氣溫為零上i（rc記作+i（rc,則-3。（:表示氣溫為零下3?？?/p>

故選：B.

2.某種袋裝食品，質(zhì)檢員為了解該種食品的質(zhì)量（單位：g）,抽樣監(jiān)測(cè)了其中4袋.其中超標(biāo)的記為正數(shù)，

不足的記為負(fù)數(shù).檢驗(yàn)結(jié)果分別是+4,-0.4,-0.7,-2.4,最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（）

A.+4B.-0.4C.-0.7D.-2.4

【答案】B

【分析】此題主要考查正負(fù)數(shù)的意義，正數(shù)與負(fù)數(shù)表示意義相反的兩種量，看清規(guī)定哪一個(gè)為正，則和

它意義相反的就為負(fù).用正負(fù)數(shù)表示意義相反的兩種量：超標(biāo)的記為正數(shù)，不足的記為負(fù)數(shù).忽略正負(fù)

號(hào)，比較數(shù)字大小，最小的就是最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的.

【詳解】解：04<0.7<2.4<4

答:最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是-04

故選：B.

3.實(shí)驗(yàn)小學(xué)的同學(xué)們參加勞動(dòng)實(shí)踐，老師將蔬菜小組的同學(xué)栽種的蔬菜以成活8棵為標(biāo)準(zhǔn)，西紅柿組成活

10棵記作+2棵，茄子組成活7棵記作（），彩椒組成活8棵記作（）.

【答案】-1棵0棵

【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù).解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的部分記作正數(shù)，不足的部分記

作負(fù)數(shù)，有理數(shù)的減法計(jì)算.

根據(jù)“以8棵為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)的部分記作正數(shù)，不足的部分記作負(fù)數(shù)”，7、8分別減去8計(jì)算出它們的值即

可.

6

【詳解】解：.；7-8=-1,8-8=0,

7棵記作—1棵，8棵記作0棵.

故答案為：-1棵，?？?/p>

題型二相反意義的量表示

例題：在記錄水庫(kù)水位時(shí)，如果記錄員把高于正常水位5cm記為+5cm,那么低于正常水位3cm應(yīng)記為（）

A.3cmB.+3cmC.—3cmD.±3cm

【答案】C

【分析】本題主要考查了相反意義的量的實(shí)際意義，明確題意，理解相反意義的量是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)相反意義的量的實(shí)際意義，即可求解；

【詳解】解：二,水位高于正常水位5cm時(shí)，記作+5cm,

水位低于正常水位3cm時(shí)，應(yīng)記作-3cm.

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

1.小明同學(xué)的微信錢包部分賬單明細(xì)如圖所示，-12.00表示支出12元，下列說(shuō)法正確的是（）

EDO!-12.00

讓支付回歸簡(jiǎn)單

A.+3.04表示收入3.04元B.+3.04表示支出3.04元

C.收支總和為15.04元D.收支總和為8.96元

【答案】A

【分析】本題考查了正數(shù)，負(fù)數(shù)的意義，一個(gè)量用正數(shù)表示，那么與它具有相反意義的量就用負(fù)數(shù)表示.

【詳解】解：根據(jù)-12.00表示支出12元，“支出”用負(fù)數(shù)表示，那么“收入”就用正數(shù)表示，

于是+3.04表示收入3.04元，

故選：A.

2.一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)全班的平均分為95分，小明考了98分，張老師記作+3分，小亮考了91分，張老師應(yīng)記作

（）分.

7

【答案】-4

【分析】此題考查了正負(fù)數(shù)的意義和相反意義的量，根據(jù)題意可知以95分為標(biāo)準(zhǔn)，高于記為正，低于記

為負(fù)，據(jù)此進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，小亮考了91分，張老師應(yīng)記作-4分，

故答案為：-4

3.已知一個(gè)乒乓球的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為2.70g,把質(zhì)量為2.72g的乒乓球記為+0.02,則質(zhì)量為2.59g的乒乓球應(yīng)記

為.

【答案】-0.11

【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的意義，根據(jù)題意，可得，超出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為正，則不足為負(fù)，進(jìn)行作答即可.

【詳解】解:2.59g比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量少0.11g,記為一0.11,

故答案為：一0.1L

題型三有理數(shù)的概念辨析

例題：下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)B.。既是正整數(shù)也是負(fù)整數(shù)

C.正整數(shù)、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)D.正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

【答案】A

【分析】此題考查了有理數(shù)，利用分?jǐn)?shù)，整數(shù)，以及有理數(shù)定義判斷即可.

【詳解】解：A、正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)，選項(xiàng)說(shuō)法正確；

B、0是整數(shù)，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；

C、正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱為整數(shù)，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；

D、正數(shù)、負(fù)數(shù)和0統(tǒng)稱為有理數(shù)，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

1.在一0.8、3.5、5、0、43,010010001....（每?jī)蓚€(gè)1之間的0個(gè)數(shù)逐次增加1）中，有理數(shù)個(gè)數(shù)共有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類方式是解答本題的關(guān)鍵.根據(jù)有理數(shù)的分類

解答即可，有理數(shù)可分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)分正整數(shù)，零和負(fù)整數(shù)；分?jǐn)?shù)分正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù).有理數(shù)也

8

可分為正有理數(shù)，零和負(fù)有理數(shù)，正有理數(shù)分為正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)，負(fù)有理數(shù)分為負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù).

【詳解】解：-0,8、3.5、p。、p3.010010001.......（每?jī)蓚€(gè)1之間的0個(gè)數(shù)逐次增加1）中一0.8、3.5、

0是有理數(shù).

故選B.

2.在數(shù)一2,0,y,p0.花中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】本題考查了有理數(shù)的分類.有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù).

【詳解】解：-2,0,彳，0.38是有理數(shù)，共有4個(gè)；

p不是有理數(shù)；

故選：C.

題型四有理數(shù)的分類/大小比較

例題：把下列各數(shù)填在相應(yīng)的括號(hào)里

-3,鄉(xiāng)，7,3.14,2024,-3-,0,+2.01,-5%,IT,53

54

整數(shù)集合：{}

分?jǐn)?shù)集合：{}

非負(fù)數(shù)集合：{}

非負(fù)整數(shù)集合：{}

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題考查的是有理數(shù)的分類，直接利用有理數(shù)的概念與分類把符合條件的數(shù)填入相應(yīng)的集合里

面即可.

【詳解】解：整數(shù)集合：{—3,7,2024,0,53,……}

分?jǐn)?shù)集合：停,3.14,-3p+2.01,-5%,……}

54

非負(fù)數(shù)集合：得，7,3.14,2024,0,+2.01,it,53,……}

非負(fù)整數(shù)集合：{7,2024,0,53,……}

9

例題：比較大?。?|（填“>"，“<”或

【答案】>

【分析】本題考查了相反數(shù)和有理數(shù)的大小比較，注意：正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切

負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，其絕對(duì)值大的反而小.先求出-（-0=泉再根據(jù)正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)比較即

可.

【詳解】解：0=2

故答案為：>.

鞏固訓(xùn)練

1.比較大?。阂?--（選填或

34

【答案】>

【分析】本題考查了有理數(shù)比較大小,根據(jù)題意得|—||=|=*IT=；V*<*即可得—|>_|,

掌握有理數(shù)比較大小的方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：??,卜11=1=*

I4|412

1212

.23

??>,

34

故答案為：>.

2.把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)集合中.

12?

-3,0,2020,-35,6.4,-1,0.03%,--,-3.14,500%,IT,3.5,-8.

37

負(fù)數(shù)集合：｛-.)

整數(shù)集合：｛...)

正分?jǐn)?shù)集合：｛...｝

負(fù)整數(shù)集合：｛...｝

10

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題考查的是有理數(shù)的分類，根據(jù)有理數(shù)的分類進(jìn)行判斷即可.有理數(shù)包括：整數(shù)(正整數(shù)、

0和負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)).

【詳解】解：負(fù)數(shù)集合：｛-3,—35,—1,—爭(zhēng)—3.14,—8...｝;

整數(shù)集合:｛-3,0,2020,一35,-1,500%,-8...｝.

正分?jǐn)?shù)集合：｛6.4,0.03%,3.5...)

負(fù)整數(shù)集合：｛-3,—35,-1,-8...)

3.把下列各數(shù)填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi).

0.618,-3.1415,2022,-32,26.5%,0.

2

(1)正分?jǐn)?shù)：｛｝；

(2)整數(shù)：｛｝；

(3)負(fù)有理數(shù)：｛｝；

(4)非負(fù)數(shù)：｛｝.

【答案】(1)0,618,26.5%

(2)2022,-32,0

(3)-|,-3.1415,-32

(4)0.618,2022,26.5%,0

【分析】本題考查有理數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握正分?jǐn)?shù)，整數(shù)，負(fù)有理數(shù)，非負(fù)數(shù)的定義，進(jìn)行接

待室，即可.

【詳解】(1)正分?jǐn)?shù)：有理數(shù)中大于零的分?jǐn)?shù)，

正分?jǐn)?shù)為：0.618,26.5%,

故答案為:0.618,26.5%.

(2)整數(shù)：包括正整數(shù)，零，負(fù)整數(shù)，

.?.整數(shù)為：2022,-32,0,

故答案為：2022,-32,0.

(3)負(fù)有理數(shù)：小于零的有理數(shù)，包括負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，

負(fù)有理數(shù)為：一%-3.1415,-32,

11

故答案為：—|,-3.1415,—32.

（4）非負(fù)數(shù)：正數(shù)和零，

非負(fù)數(shù)為:0.618,2022,26.5%,0,

故答案為：0,618,2022,26.5%,0.

題型五數(shù)軸和數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù).

例題：在數(shù)軸上表示-3的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間的距離是（）

A.5B.-5C.5或一5D.1

【答案】A

【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離計(jì)算方法直接計(jì)算即可求解，掌握

數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：-（-3）=5,

，數(shù)軸上表示-3的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間的距離是5,

故選：A.

例題：有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示.把-a,6,0按照從小到大的順序排列，正確的

是（）

---111----->

a-0------b

A.0<—a<bB.—a<0<bC.b<0<—aD.b<—a<0

【答案】A

【分析】本題考查了數(shù)軸上表示數(shù)，有理數(shù)的大小比較，在數(shù)軸上表示出然后根據(jù)數(shù)軸特點(diǎn)即可比較

大小，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：將數(shù)-a在數(shù)軸上表示出來(lái)，如圖：

----1----n------1——/------>

a0-ab

按照從小到大的順序排列為0<Vb,

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

1.以下數(shù)軸畫法正確的是（）

12

_?____?____i____i____ii?[a

A.-2-1012B.-2-101

-I----1----1----1----1-----1----1->iiiii?

C.-3-2-10123D.-2-1I23

【答案】C

【分析】本題考查數(shù)軸，了解數(shù)軸三要素是關(guān)鍵.根據(jù)數(shù)軸三要素：原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度，逐一排

除即可.

【詳解】解：A.沒(méi)有正方向，錯(cuò)誤，不符合題意；

B.單位長(zhǎng)度不相等，錯(cuò)誤，不符合題意；

C.有正方向，原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度相等，正確，符合題意；

D.選項(xiàng)沒(méi)有原點(diǎn)，錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

2.數(shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)叫作整點(diǎn).某數(shù)軸的單位長(zhǎng)度為1cm,若在這條數(shù)軸上任意畫出一條長(zhǎng)度為2024cm

的線段，則線段蓋住的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.2025個(gè)B.2024個(gè)C.2025或2024個(gè)D.2024或2023個(gè)

【答案】C

【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，分當(dāng)長(zhǎng)度為2024cm的線段的兩個(gè)端點(diǎn)恰好都是整點(diǎn)時(shí)，

當(dāng)長(zhǎng)度為2024cm的線段的兩個(gè)端點(diǎn)恰好都不是整點(diǎn)時(shí)，兩種情況討論求解即可.

【詳解】解：當(dāng)長(zhǎng)度為2024cm的線段的兩個(gè)端點(diǎn)恰好都是整點(diǎn)時(shí)，那么線段蓋住的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為2024+

1=2025個(gè),

當(dāng)長(zhǎng)度為2024cm的線段的兩個(gè)端點(diǎn)恰好都不是整點(diǎn)時(shí)，那么線段蓋住的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為2024個(gè)，

故選：C.

3.如圖，數(shù)軸上兩點(diǎn)A,2所表示的數(shù)分別為-3,1.若點(diǎn)C在數(shù)軸上，且48=34。，則點(diǎn)C表示的數(shù)是

()

A.8B.5C.5或一4D.5或一11

【答案】D

【分析】本一3—2—101題考查了數(shù)軸和數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是掌握用數(shù)軸上

的點(diǎn)表示數(shù).

利用數(shù)軸知識(shí)先確定線段4B的長(zhǎng)，再求出線段2C的長(zhǎng)，確定C點(diǎn)表示的數(shù).

13

【詳解】解：???A,8所表示的數(shù)分別為一3,1,

??AB=4,

:點(diǎn)c在數(shù)軸上，且=

：.AC=24B=2X4=8,

.?.點(diǎn)C表示的數(shù)是一3+8=5,或一3-8=-11.

故選：D.

題型六倒數(shù)的概念、相反數(shù)的概念和相反數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用

例題：2024的相反數(shù)是（）

A.2024B-感C.-2024D?一感

【答案】C

【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，即可作答.

【詳解】解：2024的相反數(shù)是-2024

故選：C

例題：—|的倒數(shù)是（）

11

A.3B.—C.-3D.—

33

【答案】c

【分析】本題主要考查倒數(shù)的定義，根據(jù)互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)乘積為1求解即可.

【詳解】解：―1的倒數(shù)是—3,

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

1.下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

A.7和-7B.-7和：C.-7和―D.捌7

【答案】A

【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可得.

【詳解】解：A.7和-7,互為相反數(shù)，故該選項(xiàng)正確，符合題意;

14

B.-7和,不互為相反數(shù)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C.-7和-號(hào)不互為相反數(shù)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.孑口7,不互為相反數(shù)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

故選：A.

2.一2的相反數(shù)是()

1

A.2B.-2C.-D.-1

2

【答案】A

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的數(shù)是相反數(shù)，即可解答.

【詳解】解：-2的相反數(shù)是2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相反數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的數(shù)是相反數(shù).

3.如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)4、8分別表示數(shù)a、b,且a+6=0.若4、8兩點(diǎn)間的距離為6,則點(diǎn)4表示的數(shù)為

()

AB

?*4

A.-6B.6C.-3D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)a+b=O,結(jié)合數(shù)軸，即可求解.

【詳解】解：?點(diǎn)爾B分別表示數(shù)a、b,且a+b=O,4、B兩點(diǎn)間的距離為6,

b—CL——CL—a=-2a=6

??CL=3j

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了求數(shù)軸上兩點(diǎn)距離，相反數(shù)的意義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

4.若a,b互為相反數(shù)，則代數(shù)式a+b-2的值為.

【答案】-2

【分析】根據(jù)a,b互為相反數(shù)得到a+b=0,代入求解即可得到答案；

【詳解】解：:a,b互為相反數(shù)，

a+b=0,

??CLb—2=0—2=-2,

15

故答案為：-2；

【點(diǎn)睛】本題考查相反數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相反數(shù)得到a+6=0.

題型七絕對(duì)值定義、絕對(duì)值的性質(zhì)與化簡(jiǎn)

例題：-5的絕對(duì)值是（）

11

A.—B.5C.-5D.——

【答案】B

【分析】本題題主要考查絕對(duì)值的性質(zhì)，熟知絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

利用絕對(duì)值的定義求解即可.

【詳解】解：-5的絕對(duì)值是5.

故選：B.

例題：實(shí)數(shù)a,6在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則|。-6|+依的化簡(jiǎn)結(jié)果是（）

-3-2-101234

A.aB.—aC.a—2bD.2b-a

【答案】D

【分析】本題考查的是實(shí)數(shù)與數(shù)軸，絕對(duì)值，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)數(shù)軸可知，-3<

CL<—2,1<6<2,可得a—6<0,因此|a—b\4-\b\=—a+b+b=2b—a.

【詳解】解：由數(shù)軸可知，-3<a<-2,l<b<2,

a—b<0,

\a-b\+\b\=-a+b+b=2b-a,

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，檢測(cè)4個(gè)足球，其中超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù).不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，從輕重的角

度看，最接近標(biāo)準(zhǔn)的是（）

—3.6g—2.5g—0.9g—0.8g

I.，I-I-I.，

A.0，B,-，CD.?

【答案】D

16

【分析】本題考查了絕對(duì)值以及正數(shù)和負(fù)數(shù)的應(yīng)用，掌握正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念和絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

求出每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，根據(jù)絕對(duì)值的大小找出絕對(duì)值最小的數(shù)即可.

【詳解】解：|一3.6|=3.6,|-2.5|=2.5,|-0.9|=0.9,|-0.8|=0.8,

而0.8<0,9<2.5<3,6,

二最接近標(biāo)準(zhǔn)的是選項(xiàng)D.

故選：D.

2.請(qǐng)根據(jù)以下檢驗(yàn)記錄（“+”表示超出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，“-”表示不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量），選出質(zhì)量最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的乒

乓球的編號(hào)是（）

編號(hào)1234

偏差/g+0.03-0.02+0.05-0.04

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查的是絕對(duì)值的實(shí)際應(yīng)用，本題先求解各數(shù)的絕對(duì)值后，再比較絕對(duì)值的大小即可求得

答案.

【詳解】解:各數(shù)的絕對(duì)值分別為：0.03,0.02,0.05,0.04,

???絕對(duì)值最小的是0.02,

則質(zhì)量最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的乒乓球的編號(hào)是2,

故選：B.

3.三個(gè)有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上表示的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)|a+6|-|c-6|+a的結(jié)果是（）

A.2a+2bB.2a+2b—cC.-cD.-2b-c

【答案】C

【分析】本題考查了整式的加減和去絕對(duì)值，根據(jù)數(shù)軸分別判斷a+bVO,c-b>0的正負(fù)，然后去掉

絕對(duì)值即可，解題的關(guān)鍵是結(jié)合數(shù)軸判斷絕對(duì)值符號(hào)里面代數(shù)式的正負(fù).

【詳解】由數(shù)軸可得，a+<0,c一b>0,

|ciH-b\—\c-b|+a

=-a—b—c+b+a.

=-c,

17

故選：c.

4.已知數(shù)a、b、c位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a-b|-|a+c|=.

----Ue~?-----1~?-!----->-?_?-----L>

c0ab

【答案】b+c/c+b

【分析】本題主要考查絕對(duì)值的化簡(jiǎn)、數(shù)軸等知識(shí)點(diǎn)，要能根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置確定各式子的符號(hào)是關(guān)

鍵.

先根據(jù)數(shù)軸上a,b,。的位置確定a-b,a+c的符號(hào)，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：由數(shù)軸可知：c<0<a<b,|c|>a,則a—b<0,a+c<0,

所以|a-b|—|a+c|=-(a—b')+(a+c)=—a+6+a+c=6+c.

故答案為：b+c.

題型八非負(fù)性的性質(zhì)

例題：若—2|+|n—7|=0,則=()

A.2B.7C.8D.9

【答案】D

【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每

一個(gè)加數(shù)也必為零.根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出加、"，然后代入計(jì)算即可得解.

【詳解】解：由題意得，m-2=0,n-7=0,

解得m=2,n=7,

所以，|m+n|=|2+7|=9.

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.若|久一4|+('+2)=0,則6xy的值為()

44

A.-B.8C.-8D.--

33

【答案】c

【分析】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出％,y的值是解題關(guān)鍵.

直接利用偶次方和絕對(duì)值的非負(fù)性，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出％,y的值，進(jìn)而得出答案.

18

【詳解】解：1%—4|+(y+])=0,

1

.?.1—4=0,y+-=0,

/3

解得久=4,y=—

貝l|6xy=6x4x(-J=-8.

故選：C.

2.若|a+2|+(5—6)2=0,貝!|a+b-.

【答案】3

【分析】本題考查了絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是掌握“幾個(gè)非負(fù)數(shù)相加和為0,則這幾個(gè)非負(fù)

數(shù)分別為0”，根據(jù)題意得出a=—2,b=5,即可解答.

【詳解】解：：|a+2|+(5—6)2=0,

??CL——2,b—5,

.'.a+b=—2+5=3,

故答案為：3.

3.如果|a—11+\b-21=0,那么2a6=.

【答案】4

【分析】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性與代數(shù)式的求值計(jì)算，解題的關(guān)鍵是求得。與方的值.

根據(jù)絕對(duì)值的意義先確定a、b的值，然后再代值計(jì)算即可.

【詳解】|a—1|>0,|b-2|>0,|ci-l|+|b—2|=0,

/.|a-1|=0,\b-2\=0,

a-1=0,b—2=0,

.'.a—1,b=2,

則2ab=2x1x2=4,

故答案為：4.

4.已知(a+2/與—引互為相反數(shù)，則a—b=.

【答案】-5

【分析】此題考查了平方和絕對(duì)值的非負(fù)性、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、代數(shù)式的值等知識(shí)，根據(jù)(。+2)2與仍-3|

互為相反數(shù)得到(a+2尸+g-3|=0,再根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0則每個(gè)數(shù)是0,得到a=-2,b=3,

再代入代數(shù)式求值即可.

19

【詳解】解：,??(。+2)2與g一3|互為相反數(shù)，

A(a+2)2+|&-3|=0,

又?.,(a+2)2>0,|fo-3|>0

?)a+2=0,b—3=0

a=—2,b=3

?CL-b=-2—3=-5,

故答案為：-5

題型九有理數(shù)的加減運(yùn)算

例題：把7-(-3)+(-5)-(+2)寫成省略加號(hào)和的形式為()

A.7-3-5-2B.7+3-5-2C.7+3+5-2D.7+3-5+2

【答案】B

【分析】本題考查了有理數(shù)加減混合運(yùn)算，其中去括號(hào)是解答本題的關(guān)鍵.即：括號(hào)前是正號(hào)，去掉括

號(hào)及正號(hào)不變號(hào)；括號(hào)前是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)及負(fù)號(hào)要變號(hào).據(jù)此即可解答.

【詳解】解：7-(-3)+(-5)-(+2)=7+3—5-2,

故選：B.

例題：計(jì)算：

(1)(-3)+40+(-32)+(-8)；

(2)5|+(-^)+(+1|)+(-8.25)；

(3)5.6+(—0.9)+4.4+(—8.1)+(―1)；

(4)(-0.5)+3；+2.75+(-50.

【答案】⑴-3

(2)-2

(3)0

(4)0

【分析】本題考查了有理數(shù)的加法計(jì)算，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)先計(jì)算后面三個(gè)數(shù)，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算即可.

20

(2)將第1、3兩個(gè)數(shù)結(jié)合，第2、4兩個(gè)數(shù)結(jié)合,再根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算即可.

(3)將第1、3兩個(gè)數(shù)結(jié)合，第2、4兩個(gè)數(shù)結(jié)合,再根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算即可.

(4)將第1、4兩個(gè)數(shù)結(jié)合，第2、3兩個(gè)數(shù)結(jié)合,再根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：(一3)+40+(―32)+(―8)

=-3+40+(-40)

=—3；

⑵5打(-|)+(+1|)+(—8.25)

5+1+

||)卜1)+(一年

=7+(-9)

=-2；

(3)5.6+(-0.9)+4.4+(-8.1)+(-1)

=(5.6+4.4)+[(-0.9)+(—8.1)]+(―1)

=10+(-9)+(-1)

=0；

(4)(-0.5)+31]+2.75+(-5—

4

=(-0.5)+(-51)]+(：13'

34+24,

=-6+6

=0.

鞏固訓(xùn)練

1.計(jì)算：

(1)0-(+5)-(-3.6)+(-4)+(-3)-(-7.4)；

(2)-3|+15.5-61+(-5.5).

【答案】(1)—1

⑵。

【分析】本題考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算，有理數(shù)加法的運(yùn)算律，解題的關(guān)鍵是：

21

(1)先去括號(hào)，然后利用有理數(shù)加法的運(yùn)算律和有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可;

(2)利用有理數(shù)加法的運(yùn)算律和有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：原式=0—5+3.6—4一3+7.4

=(0—5—4—3)+(3.6+7.4)

=-12+11

=-1

(2)解：原式=(-3|-6|)+[15.5+(-5.5)]

=-10+10

=0.

2.計(jì)算：

(1)0-(-2)+(-7)-(+1)+(-10)

⑵(-5勺-(-2.25)-(-2|)-(+5習(xí)

2211

(3)-0.5-5?-1+3?-4-+2-

(4)—9.2—(—7.4)+9—+(—6g)+(—4)+|—31

【答案】⑴-16

(2)6.3

⑶-5|

(4)0

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算；

(1)根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則即可求解；

(2)把各數(shù)統(tǒng)一為小數(shù)，即可求解；

(3)利用結(jié)合律即可求解；

(4)先求絕對(duì)值，再各數(shù)統(tǒng)一為小數(shù)，即可求解.

【詳解】(1)0—(—2)+(—7)—(+1)+(—10)

=0+2-7-1-10

=—16；

⑵(-5|)-(-2.25)-(-2|)-(+5；)

22

=-5.4+2.25+2.6-5.75

=-2.8-3.5

=6.3；

⑶—0.5—5:1+3＞梏+2號(hào)

/、/33\1

=(-0.5—4.5—1)+(-5-+3-J+2-

1

=—6—2+2—

=-5--

(4)-9.2-(-7.4)+9|+(-6|)+(-4)+|-3|

=-9.2+7.4+9.2-6.4-4+3

=1-4+3

=0.

3.計(jì)算：

(1)25.3+(-7,3)+(-13.7)-(-7.3)；

⑵(T+(T+(+用+(+》

⑶(-》+(+m)-(T)；

(4)(-10)-(-15)+(-16)-(+20).

【答案】(1)11.6

⑶*

(4)-31

【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，注意運(yùn)算順序和符號(hào)；在計(jì)算中巧妙運(yùn)用加法運(yùn)算律往往

使計(jì)算更簡(jiǎn)便.

(1)根據(jù)有理數(shù)的加減計(jì)算法則求解即可；

(2)根據(jù)有理數(shù)的加減計(jì)算法則求解即可；

(3)根據(jù)有理數(shù)的加減計(jì)算法則求解即可；

(4)根據(jù)有理數(shù)的加減計(jì)算法則求解即可.

23

【詳解】(1)解：25.3+(-7.3)+(-13.7)-(-7.3)

=25.3—7.3-13.7+7.3

=(25.3-13.7)一(7.3-7.3)

=11.6；

⑵解:+++

17/1013\11

5144

-----1-------F1

1212

5

12；

(3)解:

41013

-7+T/+\2+l

6

=力

=2?

(4)解：(-10)-(-15)+(-16)-(+20)

=-10+15-16-20

【題型10]有理數(shù)乘除法運(yùn)算

例題：計(jì)算：

(1)(-3)4-x0.75+(_5)x(-6)；

(2乂一2)x(-0.1)+卷x(-10)；

⑶卜72)x(號(hào))]x[(—1)+(一凱

【答案】(1)18

(2)-5

(3)54

【分析】此題考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則.

24

(1)首先確定結(jié)果的符號(hào)，再把除法變?yōu)槌朔?，先約分，后相乘進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)首先確定結(jié)果的符號(hào)，再把除法變?yōu)槌朔?，約分后相乘進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)首先計(jì)算括號(hào)里面的，再計(jì)算括號(hào)外面的乘法即可.

【詳解】(1)解：(-3)+1X0.75+(―之)X(―6)

437

=3x-x-x-x6

743

=18；

(2)解：x(-0.1)+於x(-10)

卜&4x25x10)

=—5；

(3)解:[(一72)x(-()]x[(-|)+(/)]

=(-x|)x(l4)

9

=48X-

8

=54.

鞏固訓(xùn)練