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文檔簡介
專題20等腰三角形與等邊三角形
考點(diǎn)一:三角形的中位線
知識(shí)回顧
1.中位線的定義:
三角形任意兩邊中點(diǎn)的連線段叫做這個(gè)三角形的中位線。
2.中位線的性質(zhì):
三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。
微專題
1.(2022?南充)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中,為了測量校園內(nèi)被花壇隔開的48兩點(diǎn)的距離,同學(xué)們?cè)贏B外選擇
一點(diǎn)C,測得AC,8C兩邊中點(diǎn)的距離OE為10根(如圖),則A,B兩點(diǎn)的距離是m.
【分析】利用三角形中位線定理解決問題即可.
【解答】解:CE=EB,
是△ABC的中位線,
:.AB=2DE,
\'DE=10m,
.\AB=20m,
故答案為:20.
2.(2022?福建)如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn).若8c=12,則的長為
【分析】直接利用三角形中位線定理求解.
【解答】解:VD,E分別是42,AC的中點(diǎn),
.?.OE為△ABC的中位線,
.?.£)E=ABC=—X12=6.
22
故答案為:6.
3.(2022?西藏)如圖,如果要測量池塘兩端A,B的距離,可以在池塘外取一點(diǎn)C,連接AC,BC,點(diǎn)D,
E分別是AC,BC的中點(diǎn),測得。E的長為25米,則AB的長為米.
【分析】應(yīng)用三角形的中位線定理,計(jì)算得結(jié)論.
【解答】解:£分別是AC,BC的中點(diǎn),
.?.ZJE是△ABC的中位線.
:.AB=2DE=2X25=50(米).
故答案為:50.
4.(2022?麗水)如圖,在△ABC中,D,E,尸分別是8C,AC,AB的中點(diǎn).若AB=6,BC=8,則四邊形
BOEP的周長是()
【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可.
【解答】解:E,尸分別是BC,AC,48的中點(diǎn),
:.DE=BF=—AB=3,
2
■:E、尸分別為AC、A3中點(diǎn),
:.EF=BD=LBC=4,
2
四邊形8。所的周長為:2X(3+4)=14,
故選:B.
5.(2022?眉山)在△ABC中,AB=4,BC=6,AC=8,點(diǎn)。,E,尸分別為邊AB,AC,8C的中點(diǎn),則^
DEE的周長為()
A.9B.12C.14D.16
【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半,可得出△ABC的周長=2z\OEP
的周長.
【解答】解:如圖,點(diǎn)Q,E,歹分別為各邊的中點(diǎn),
:.DE、EF、。廠是△ABC的中位線,
:.DE^—BC=3,EF=—AB^2,DF^—AC=4,
222
A£)EF的周長=3+2+4=9.
故選:A.
6.(2022?廣東)如圖,在△ABC中,BC=4,點(diǎn)。,E分別為A8,AC的中點(diǎn),則?!?()
11
A.-B.-C.1D.2
42
【分析】由題意可得。£是△ABC的中位線,再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可求出的長度.
【解答】解::點(diǎn)。,E分別為AB,AC的中點(diǎn),BC=4,
是△ABC的中位線,
:.DE=—BC=-X4=2,
22
故選:D.
7.(2022?沈陽)如圖,在Rt^ABC中,/A=30°,點(diǎn)。、E分別是直角邊AC、8c的中點(diǎn),連接。E,
則/CEZ)的度數(shù)是()
A.70°B.60°C.30°D.20°
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出/B,根據(jù)三角形中位線定理得到根據(jù)平行線的性質(zhì)解答
即可.
【解答】解:在RtZVIBC中,ZA=30°,
則/8=90°-ZA=60°,
VD,E分別是邊AC、BC的中點(diǎn),
是△ABC的中位線,
.'.DE//AB,
AZCE£)=ZB=60°,
故選:B.
8.(2022?常州)如圖,在△ABC中,D、E分別是A8、AC的中點(diǎn).若。E=2,則BC的長是()
A.3B.4C.5D.6
【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可.
【解答】解::D、E分別是A3、AC的中點(diǎn),
.?.£)E是△ABC的中位線,
:.BC=2DE,
,:DE=2,
:.BC=4,
故選:B.
考點(diǎn)二:等腰三角形
知識(shí)回顧
3.等腰三角形的定義:
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。其中相等的兩邊叫做腰,另一邊叫做底。兩腰構(gòu)成的夾
角叫做頂角,腰與底構(gòu)成的夾角叫做底角。
4,等腰三角形的性質(zhì):
①等腰三角形的兩腰相等。
②等腰三角形的兩底角相等。(簡稱“等邊對(duì)等角”)
③等腰三角形底邊的中線、高線以及頂角平分線相互重合。(簡稱底邊上三線合一)
5.等腰三角形的判定:
①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。
②有兩個(gè)底角相等的三角形是等腰三角形。(等角對(duì)等邊)
③若一個(gè)三角形某一邊上存在“三線合一”,則三角形是等腰三角形。
/--------------------------------------------------------------------------X
微專題
9.(2022?黑龍江)如圖,ZkABC中,AB=AC,平分/BAC與8c相交于點(diǎn)。,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)
尸是。C的中點(diǎn),連接所交于點(diǎn)P.若△ABC的面積是24,尸£>=1.5,則PE的長是()
A.2.5B.2C.3.5D.3
【分析】如圖,過點(diǎn)E作EG_LA。于G,證明得PG=PO=1.5,由三角形中位線定理
可得AD的長,由三角形ABC的面積是24,得3c的長,最后由勾股定理可得結(jié)論.
【解答】解:如圖,過點(diǎn)E作EGLAQ于G,
A
,:AB=AC,A。平分/SAC,
J.ADLBC,BD=CD,
:.NPDF=NEGP=9Q°,EG//BC,
;點(diǎn)E是42的中點(diǎn),
;.G是AD的中點(diǎn),
:.EG^—BD,
2
???尸是C£)的中點(diǎn),
:.DF=^CD,
2
:.EG=DF,
':NEPG=NDPF,
:.△EGP^AFDP(AAS),
:.PG=PD=1.5,
:.AD=2DG=6,
「△ABC的面積是24,
,-.A.BC?A£>=24,
2
.,.BC=484-6=8,
:.DF^—BC^2,
4
:.EG=DF=2,
由勾股定理得:PE=422+i.~^2=2.5.
故選:A.
10.(2022?淄博)某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示,道路A2〃CD,道路A3與AE的夾角50°.城
市規(guī)劃部門想新修一條道路CE,要求則/E的度數(shù)為()
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì),由AB〃C£>得到/OFE=NBAE=50°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出/C
=NE,再根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算NE的度數(shù).
【解答】解:'JAB//CD,
;.NDFE=NBAE=5Q°,
,:CF=EF,
:.ZC=ZE,
■:NDFE=/C+NE,
:.ZC=—ZZ)FE=AX50°=25°,
22
故選:B.
11.(2022?鞍山)如圖,在△ABC中,AB=AC,NA4c=24°,延長BC到點(diǎn)。,使C£)=AC,連接AD,
則/。的度數(shù)為()
A.39°B.40°C.49°D.51°
【分析】利用等邊對(duì)等角求得/B=NACB=78°,然后利用三角形外角的性質(zhì)求得答案即可.
【解答】M:':AB=AC,ZBAC=24a,
.?./B=NACB=78°.
VCD^AC,NACB=78°,NACB=ND+NCAD,
:.ZD=ZCAD=^ZACB^39°.
2
故選:A.
12.(2022?荊州)如圖,直線/i〃/2,AB=AC,ZBAC=40°,則N1+N2的度數(shù)是(
B
【分析】過點(diǎn)。作CO〃/1,利用平行線的性質(zhì)可得N1+N2=NACB再由等腰三角形的性質(zhì)可得NAC5
=ZABC,從而可求解.
VZ1Z//2,
:.h//l2//CDf
:.Z1=ZBCD,Z2=ZACD,
:.Z1+Z2=ZBCD+ZACD=ZACB,
*:AB=AC,
:.ZACB=ZABC,
VZBAC=40°,
AZACB=A(180°-ZBAC)=70°,
2
???N1+N2=7O°.
故選:B.
13.(2022?臺(tái)灣)如圖,△ABC中,。點(diǎn)在AB上,E點(diǎn)在3。上,OE為A3的中垂線.若NB=NC,且
ZEA0900,則根據(jù)圖中標(biāo)示的角,判斷下列敘述何者正確?()
A.N1=N2,Z1<Z3B.N1=N2,Z1>Z3
C.N1WN2,Z1<Z3D.N1WN2,Z1>Z3
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)解答即可.
【解答】解:???為A3的中垂線,
:.ZBDE=ZADEfBE=AE,
:?/B=/BAE,
AZ1=Z2,
9:ZEAC>90°,
/.Z3+ZC<90°,
VZB+Z1=9O°,/B=/C,
AZ1>Z3,
???N1=N2,Z1>Z3,
故選:B.
14.(2022?宜賓)如圖,在△ABC中,AB=AC=5,。是5C上的點(diǎn),。匹〃A3交AC于點(diǎn)E,DF//AC3C
A3于點(diǎn)R那么四邊形尸的周長是()
B.10C.15D.20
【分析】由于OE〃AHDF//AC,則可以推出四邊形AFOE是平行四邊形,然后利用平行四邊形的性質(zhì)
可以證明團(tuán)AbOE的周長等于AB+AC.
【解答】解:-DE//AB,DF//AC,
???四邊形AEDE是平行四邊形,ZB=ZEDC,ZFDB=ZC
VAB=AC,
???/B=/C,
:.ZB=ZFDBf/C=/EDC,
:,BF=FD,DE=EC,
:.^\AFDE的周長=A3+AC=5+5=10.
故選:B.
15.(2022?宿遷)若等腰三角形的兩邊長分別是3c機(jī)和5c處則這個(gè)等腰三角形的周長是()
A.8cmB.13cmC.8cm或130nD.He加或13cm
【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3c初和5cm,而沒有明確腰、底分別是多少,所以要進(jìn)行討
論,還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.
【解答】解:當(dāng)3c機(jī)是腰長時(shí),3,3,5能組成三角形,
當(dāng)5cm是腰長時(shí),5,5,3能夠組成三角形.
則三角形的周長為11cm或13cm.故選:D.
16.(2022?天津)如圖,△04B的頂點(diǎn)。(0,0),頂點(diǎn)A,8分別在第一、四象限,且A3,無軸,若
=6,OA=OB=5,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是()
A.(5,4)B.(3,4)C.(5,3)D.(4,3)
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AC,根據(jù)勾股定理求出OC,根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)寫出點(diǎn)A的坐標(biāo).
【解答】解:設(shè)與x軸交于點(diǎn)C,
":OA=OB,OCLAB,AB=6,
.*.AC=LB=3,
2
由勾股定理得:OC=寸U/2={52_)2=4,
.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,3),故選:D.
17.(2022?泰安)如圖,A〃/2,點(diǎn)A在直線人上,點(diǎn)B在直線/2上,AB=BC,NC=25°,/1=60°.則
Z2的度數(shù)是()
A.70°B.65°C.60°D.55°
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得到NC=/BAC=25°,禾理平行線的性質(zhì)得到乙陽4=95°,再根據(jù)
三角形外角的性質(zhì)即可求解.
【解答】解:如圖,
???AB=3C,ZC=25°,
:.ZC=ZBAC=25°,
???/i〃/2,Nl=60°,
:.ZBEA=180°-60°-25°=95°,
,?NBEA=NC+N2,
???N2=95°-25°=70°.
故選:A.
18.(2022?自貢)等腰三角形頂角度數(shù)比一個(gè)底角度數(shù)的2倍多20°,則這個(gè)底角的度數(shù)是()
A.30°B.40°C.50°D.60°
【分析】設(shè)底角的度數(shù)是式,則頂角的度數(shù)為(2/20)°,根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°列出方程,解
方程即可得出答案.
【解答】解:設(shè)底角的度數(shù)是,則頂角的度數(shù)為(2%+20)°,
根據(jù)題意得:x+x+2x+20=180,
解得:x=40,
故選:B.
19.(2022?廣安)若(。-3)2+4^5=0,則以°、6為邊長的等腰三角形的周長為.
【分析】先求。,b.再求第三邊c即可.
【解答】解::("3)2+匹后=0,(a-3)220,匹石20,
?'?a-3=0,b-5=0,
??a=3,。=5,
設(shè)三角形的第三邊為c,
當(dāng)a=c=3時(shí),三角形的周長=a+A+c=3+5+3=ll,
當(dāng)。=。=5時(shí),三角形的周長=3+5+5=13,
故答案為:n或13.
20.(2022?岳陽)如圖,在△ABC中,AB=AC,AO_L8C于點(diǎn)。,若BC=6,貝!JCZ)=.
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知。是BC的中點(diǎn),即可求出CD的長.
【解答】解:':AB=AC,AD±BC,
:.CD=BD,
VBC=6,
:.CD=3,
故答案為:3.
21.(2022?蘇州)定義:一個(gè)三角形的一邊長是另一邊長的2倍,這樣的三角形叫做“倍長三角形”.若等
腰AABC是“倍長三角形",底邊8c的長為3,則腰AB的長為.
【分析】由等腰△ABC是“倍長三角形”,可知AB=2BC或BC=2AB,若4B=2BC=6,可得AB的長
為6;若BC=3=24B,因1.5+1.5=3,故此時(shí)不能構(gòu)成三角形,這種情況不存在;即可得答案.
【解答】解:???等腰AABC是“倍長三角形”,
:.AB^2BC或BC=2AB,
若AB=2BC=6,則△ABC三邊分別是6,6,3,符合題意,
...腰的長為6;
若BC=3=2AB,貝!|AB=L5,△ABC三邊分別是1.5,1.5,3,
V1.5+1.5=3,
...此時(shí)不能構(gòu)成三角形,這種情況不存在;
綜上所述,腰A3的長是6,
故答案為:6.
22.(2022?云南)已知AABC是等腰三角形.若/A=40°,則△ABC的頂角度數(shù)是.
【分析】分/A是頂角和底角兩種情況討論,即可解答.
【解答】解:當(dāng)NA是頂角時(shí),△ABC的頂角度數(shù)是40。;
當(dāng)NA是底角時(shí),則AABC的頂角度數(shù)為180°-2X40°=100°;
綜上,ZVIBC的頂角度數(shù)是40°或100°.
故答案為:40°或100°.
23.(2022?濱州)如圖,屋頂鋼架外框是等腰三角形,其中A8=AC,立柱且頂角/8AC=120°,
則/C的大小為.
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到N3=/C=30°.
【解答】解:且/BAC=120°,
;./8=NC=1(180°-NBAC)=1X60°=30°.
22
故答案為:30°.
考點(diǎn)三:等邊三角形
知識(shí)回顧
1.等邊三角形的概念:
三條邊都相等的三角形是等邊三角形。
2.等邊三角形的性質(zhì):
①等邊三角形的三條邊都相等,三個(gè)角也相等,且三個(gè)角都等于60°。
②等邊三角形三條邊都存在“三線合一”
③等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形,有三條對(duì)稱軸。
④等腰三角形的面積等于3/(。為等腰三角形的邊長)。
4
3.等腰三角形的判定:
①三條邊都相等的三角形是等邊三角形。
②三個(gè)角都相等(兩個(gè)角是60°)的三角形是等腰三角形。
③底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形。
④有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
微專題
24.(2022?鞍山)如圖,直線等邊三角形ABC的頂點(diǎn)C在直線。上,N2=40°,則N1的度數(shù)為
A
A.80°B.70°C.60°D.50°
【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/A=60°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出/3=80°,然后根
據(jù)平行線的性質(zhì)得到/I的度數(shù).
【解答】解:???△ABC為等邊三角形,
/.ZA=60°,
VZA+Z3+Z2=180°,
.*.Z3=180°-40°-60°=80°,
':a//b,
.".Zl=Z3=80°.
故選:A.
A
25.(2022?綿陽)下列關(guān)于等邊三角形的描述不正確的是()
A.是軸對(duì)稱圖形
B.對(duì)稱軸的交點(diǎn)是其重心
C.是中心對(duì)稱圖形
D.繞重心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°能與自身重合
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),軸對(duì)稱圖形的定義,中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行判斷即可.
【解答】解:等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,每條邊的高線所在的直線是其對(duì)稱軸,
故A選項(xiàng)不符合題意;
三條高線的交點(diǎn)為等邊三角形的重心,
對(duì)稱軸的交點(diǎn)是其重心,
故B選項(xiàng)不符合題意;
等
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