2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓的切線證明及相關(guān)的計(jì)算》專項(xiàng)測(cè)試卷（附答案）

2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓的切線證明及相關(guān)的計(jì)算》專項(xiàng)

測(cè)試卷(附答案)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.如圖，在。。中，直徑AO與弦交于點(diǎn)尸，AC=BC，過(guò)點(diǎn)C作CELBD,與的

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

⑴求證：CE是。。的切線；

(2)若AB=6,AC=3jH5,求CP的長(zhǎng).

2.如圖，在RtZXABC中，2B90?,AE平分-54C交BC于點(diǎn)E,。為AC上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)

A,E的0。分別交AB,AC于點(diǎn)D,F,連接OD交AE于點(diǎn)

(1)求證：BC是0。的切線：

⑵若CF=2,EC=4,求。。的半徑;

(3)若AE=EC,。。的半徑為2,求陰影部分面積.

3.如圖，48是0。的直徑，射線BC交0。于點(diǎn)。，E是劣弧A。上一點(diǎn)，且8E平分/CBA,

過(guò)點(diǎn)￡作瓦工8。于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)EE交54的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

⑴求證：GB是。。的切線；

⑵若03=4,EF=243,求8。的長(zhǎng)；

⑶若/EOG=60。，在(2)的基礎(chǔ)上，求圖中陰影部分的面積.

4.如圖，AB是O。的直徑，點(diǎn)C是圓上的一點(diǎn)，8,40于點(diǎn)0,AD交。。于點(diǎn)足連

接AC,若AC平分2D4B,過(guò)點(diǎn)尸作FUIAB于點(diǎn)G交AC于點(diǎn)H.

⑴求證：C。是0。的切線；

PH

(2)延長(zhǎng)A3和。C交于點(diǎn)E,若AE=4BE,求不的值.

5.如圖，AABC內(nèi)接于。。，43是。。的直徑，E為48上一點(diǎn)，BE=BC,延長(zhǎng)CE交AD

于點(diǎn)。，AD^AC.

DK

⑴求證：是0。的切線;

(2)若tanNACE=；,0E=3,求2C的長(zhǎng).

6.如圖，QO為VA3C的外接圓，為。。的直徑，54平分NC3/，AD±BF,垂足為

D.

⑴求證：AD為。。的切線;

⑵若AD=2,BD=1,求。。的半徑.

7.如圖，點(diǎn)。，E,尸分別在VA5C的邊AC,AB,BC上，。。是△￡7心的外接圓，AE

為。。的直徑，EF=DF,S.ZEFB=ZFED.

⑴求證：BC是。。的切線；

(2)求證：EF2=AECD；

(3)當(dāng)A￡=15,sin/尸Z)E=無(wú)時(shí)，求BE的長(zhǎng).

5

8.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)2E均在。。上，/口4。=2/%見(jiàn)，點(diǎn)C在的延長(zhǎng)線

上，ZC^ZABD,連接BE.

⑴求證：CE是。。的切線；

(2)若BF=2,￡F=A/TT，求。。半徑的長(zhǎng).

9.已知48是。。的直徑，點(diǎn)“是的中點(diǎn)，弦交半徑Q4于點(diǎn)T.

(D如圖1,點(diǎn)尸是54延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若PN=PT,求證：PN是。。的切線;

(2)如圖2,連接3N,若黑=(，求tan/3的值.

10.如圖，點(diǎn)C在以48為直徑的。。上，。。的半徑為3,tanB=1,CD平分/ACS交。。

于點(diǎn)。，交AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作FD〃AB交C。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尺

⑴求證：。尸為。。的切線；

(2)若直線C/與。。交于點(diǎn)G,連接DG,求近的面積.

11.如圖，已知AB是0。的直徑，弦CE與AB交于點(diǎn)/，延長(zhǎng)CE至點(diǎn)D,連接AE,AC,

BE,BD,且NEAC=2NEBD+ND.

(1)求證：為。。的切線;

⑵若DE=EF,AC=2￡F=1+V3,CF=2,求。。的半徑長(zhǎng).

12.如圖，A8是半圓。的直徑，點(diǎn)。是弦AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接8。，BC,ND=ZABC.

⑴求證：5D是半圓。的切線；

⑵若ZB4c=30。，BC=5,則AC的長(zhǎng).

13.如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)尸在。。上，OF±AB,點(diǎn)。在EF的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C在。。

上且DC=OE,直徑AB與。C的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)尸，AC與。尸相交于點(diǎn)E.

(2)若tan/A=§,DF=4,求AC的長(zhǎng).

14.如圖，等腰RtAABC內(nèi)接于。。，點(diǎn)。是線段。8上異于。，2的一點(diǎn).連接C。并延

長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E，點(diǎn)尸在43的延長(zhǎng)線上，PD=PE.

(1)求證：PE是0。的切線;

PB

⑵若如3。以求證的值.

15.如圖，在VABC中，AB=AC,。為A8上一點(diǎn)，以02為半徑的。。與AC相切于點(diǎn)。.交

BC于點(diǎn),E,過(guò)E點(diǎn)作防LAC,垂足為

⑴求證：￡F是。。的切線；

⑵若CF=2,AD=3,求￡)E的長(zhǎng).

16.如圖，在VA5C中，AB=AC,以45為直徑的。。與BC相交于點(diǎn)。，DEJ.AC,垂

足為E,平分/ABC.

(1)求證：是0。的切線；

AG1

(2)若弦MN垂直于A8,垂足為G,—=MN=y/3,求。。的半徑;

AB4

(3)當(dāng)NB4c=36。時(shí)，證明：KBFsKAB.

17.如圖，AB是。。的直徑，CD在。。上，且BC=CD,過(guò)點(diǎn)C作CELAD,交AD的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)足

(1)求證：是。。的切線；

(2)若AB=6,AE=4.8,求CP的長(zhǎng);

⑶若AB=4ED,求cosZABC的值.

18.如圖，BE是。。的直徑，A,。是。。上的兩點(diǎn),延長(zhǎng)砥至點(diǎn)C,連接AC,N￡AC=NABC.

⑴求證：C4是。。的切線；

3

(2)tanD=-,BC=10,求。。的半徑.

19.如圖，0。是的外接圓,AD為直徑，點(diǎn)C是劣弧9的中點(diǎn)，連接AC,CD,

過(guò)點(diǎn)C作CB交A￡＞的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，使得ZBCD=ADAC.

(1)求證：2C為。。的切線;

(2)求證：CD2=CFAC;

3

(3)若。。的半徑。4=5,sinB=-,求CP的長(zhǎng)度.

20.如圖，在VABC中，AB=AC,以AC為直徑的0。與線段BC交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作

DEJ.AB,垂足為E,ED的延長(zhǎng)線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P.

(1)求證：直線尸E是。。的切線;

(2)若sinP=；,AC=4,

①判斷VABC的形狀；

②連接AD,求AD的長(zhǎng).

參考答案

1.(1)證明見(jiàn)解析

⑵

【分析】(1)連接。氏OC,先判斷出OC垂直平分AB,再根據(jù)圓周角定理可得?ABD90?,

根據(jù)平行線的判定可得CE〃AB，從而可得CE_LOC,然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；

(2)連接O8,OC,延長(zhǎng)CO,交48于點(diǎn)尸，先利用勾股定理可得CP的長(zhǎng)，再設(shè)。。的半

徑為r(r>0),則。B=OC=r,AO=2r,OF=9—r,利用勾股定理可得『的值，從而可得

OCAD的長(zhǎng)，利用勾股定理可得5。的長(zhǎng)，然后證出ACOPSABQP,利用相似三角形的性

質(zhì)求解即可得.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。氏。C,

?AC=BC，

AC=BC,

又=

二OC垂直平分AB,

，/A￡＞是。。的直徑，

：.?ABD90?,即AB_L8￡),

,/CE1BD,

：.CE//AB,

：.CE^OC,

又?:OC是。。的半徑，

CE是。。的切線.

(2)解：如圖，連接OB,OC,延長(zhǎng)CO,交AB于點(diǎn)尸,

CE

由（1）已得：CP垂直平分48,

/.BF=—AB=—x6=3,CF_LAB,

22

VAC=BC<AC=3y/iO,

：.BC=AC=3y/10,

CF=VfiC2-5F2=9，

設(shè)。。的半徑為r（r>0）,則。B=OC=r,AD=2r,

OF=CF-OC=9-r,

在RtABOF中，OF?+BF?=OB?,即（9-）+32=/,

解得r=5,

OC=5,AT）=2x5=10,

A￡＞是。。的直徑，

：.?ABD90?,即ABJLBD,

BD=y/AD2-AB2=8，

又＜CFLAB,AB工BD,

：.CF//BD,

：.ACOPSRDP,

.CPPC5

??蕨一茄—W'

Q

BP=-CP,

又；CP+BP=BC=3廂,

：.CP+|CP=3A/10,

CP=—x3Vio=—Vio.

1313

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、弧與弦的關(guān)系、圓周角定理、相似三角形的判定與性

質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的切線的判定和圓周角定理是解

題關(guān)鍵.

2.⑴見(jiàn)解析

⑵3

（3）26一全

【分析】（1）連接0E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)及同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半得出

NOEC=90。即可；

（2）由勾股定理可得出答案.

（3）先利用等腰三角形的性質(zhì)與角平分線，三角形內(nèi)角和定理，求出

ZCAE=ZBAE=ZC=3Q°,從而求得NE5=60。，即可由扇形面積公式得

S扇形EOF、。：?］。4再由直角三角形的性質(zhì)與勾股定理求出CE=2百，從而求得

3603

^^OEC=—OE-CE=—X2X2A/3=2G,即可由S陰影二NOEC-S扇形反獷求解.

【詳解】（1）證明：連接。石,

A.

\I?.?AE平分/B4C交BC于點(diǎn)E,

BEC

:.ZBAC=2ZOAEf

ZFOE=2ZOAEf

:.ZFOE=ZBAC,

：.0E//AB,

vZB=90°,

:.OE±BC,

又???O￡是。。的半徑，

.?.5C是。。的切線；

(2)解：由(1)知，5C是。。的切線，

：.OE±BC

：.NOEC=90。

^OE=OF=x,

:.OE2+CE1=OC2,

x2+42=(X+2)2,

解得元=3,

OE=3,

即圓。的半徑為3.

(3)解：如圖，連接。后，

AE=EC

:.NCAE=/C

,/A石平分NB4C

???ZCAE=ZBAE

:.ZCAE=ZBAE=ZC

V?B90?

???ZC4E+ZBAE+ZC=90°

???ZCAE=ZBAE=ZC=30°

OA=OE

：.ZAEO=ZCAE=30°

：./EOF=ZAEO+ZCAE=60°

.6O71x222

,?扇形E"_360一§?

由(1)知，BC是。。的切線，

:.OEA.BC

：.ZOEC=90°

：.OC=2OE=4

?*-CE=y/0C2-0E2=2百

S△C7￡,C=-2OE-CE=-2X2X2A/3=2A/3

,,S陰影=SqEC_S扇形EOF=2』一1萬(wàn).

【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形面積，三角形面積，等腰三角形

的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，角平分線，三角形內(nèi)角和定理等知訓(xùn).熟練掌握切線的判定定理

和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

3.(1)證明見(jiàn)解析

⑵4

O

(3)8A/3--TC

【分析】(1)連接OE,如圖所示，由角平分線定義得到/1=/2,由圓中半徑相等，根據(jù)

等腰三角形性質(zhì)得到/2=/3,再由平行線的判定與性質(zhì)即可得證；

(2)連接OE,過(guò)點(diǎn)。作處于點(diǎn)如圖所示，由矩形的判定與性質(zhì)求出相關(guān)線段

長(zhǎng)，結(jié)合勾股定理求解即可得到答案；

（3）解直角三角形求出￡G=EOxtan60o=46，間接表示出不規(guī)則圖形的面積

S陰影=S^EG-S扇形。的,利用三角形面積公式及扇形面積公式代值求解即可得到答案.

【詳解】（1）證明：連接OE,如圖所示：

/.Z1=Z2.

?.?OB=OE,

/.Z2=Z3,

"1=/3,

s.OEHBF,

vEFIBC,

.\OE1GF.

???OE是。。的半徑，

??.G尸是。。的切線；

（2）解：連接O石，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)如圖所示:

\-EF.LBC,

:.ZEFM=90°,

二?四邊形。瓦N是矩形,

.-.OM=EF=2y]3,

BM=^OB2-OM2=，-僅可=2.

?：OMVBD,

:.BD=2BM=4；

（3）解：?.?ZEOG=60。，OE=4,

EG=EOxtan60°=4石，

s陰影=S4OEG-S扇形“E.X4X46-嗤￡=8g-聲.

【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合，涉及角平分線定義、圓的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行

線的判定與性質(zhì)、切線的判定、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、扇形面積公

式等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)幾何判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

4.⑴見(jiàn)解析

（2）—=1

AF2

【分析】（1）如圖1，連接OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NC4O=NACO,由角平分線

的定義得到ND4c=ZOAC,等量代換得到ADAC=ZACO,根據(jù)平行線的判定定理得到

AD//OC,由平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）設(shè)BE=x,貝UAB=3x,根據(jù)平行線的性質(zhì)得/COE=/DAB,證明AAHFSAACE,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得解.

【詳解】（1）證明：如圖，連接OC,

OA=OC,

：.ZCAO=ZACO,

；AC平分

ZDAC^ZOAC,

：.ZDAC=ZACO,

:.AD//OC,

?:CDLAD,

:.OCLCD,

???OC是的半徑，

???8是OO的切線；

(2)解：,：AE=4BE,OA=OB,

設(shè)郎=x,貝!jAJ3=3x,

???OC=OB=1.5x,

OE=2.5x,

■:OC工CD,

，EC=^OE2-OC2=^(2.5X)2-(1.5X)2=2X,

9：FG1AB,

：.ZAGF=9Q°,

???ZAFG+NE4G=90。，

AD//OC,

:./COE=/DAB,

*/NCOS+NE=90。，

???ZE=ZAFH,

ZFAH=ZCAE,

:?AAHFS^ACE,

.FHCE

**AF-AE'

..CE_2x_1

?AE-4^-2?

.FH_1

**AF-2?

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)和判定，切線的判定以及等

腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).掌握切線的判定和相似三角形的性質(zhì)和判定是解本題的關(guān)鍵.

5.(1)證明見(jiàn)解析；

(2)5。=8

【分析】(1)由跖=5C,AD=AC,推出N3￡C=NBCE,ZADC=ZACDf再由直徑所

對(duì)的圓周角為直角推得ZADC+/BEC=90°,最后由對(duì)頂角相等即可得證;

(2)由tanZACE=g推得AD=3AE,設(shè)AE=x,AC=AD=3x,用x表示出Q4=OB=x+3,

BC=BE=x+6,結(jié)合勾股定理可得方程（3X）2+（X+6）2=[2（X+3）T，求解后即可求得5C.

【詳解】（1）證明：?.?8E=BC,AD^AC,

:.NBEC=NBCE,ZADC=ZACD,

?.?AB是0。的直徑,

ZACB=ZACD+NBCE=90°,

..ZADC+ZBEC=90°,

又ZAED=/BEC,

:.ZADC+ZAED^90°,

即AADE中，ZDAE=180°-ZADC-ZAED=90°,

:.OALAD,

即A￡＞是。。的切線.

(2)解：-.-ZADE^ZACE,

/.tanZADE=tanNACE=—,

3

AE1

即——=—,AD=3AE,

AD3

設(shè)AE=x,AC=AD=3x,

OB=OA=AE+OE=x+3,

BC=BE=OB+OE=x+3+3=x+6,

?.?MAABC中，AC2+BC2=AB2,

解得%=2,x2=0（:舍）,

AE=2,BC=2+6=8.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等邊對(duì)等角、直徑所對(duì)的圓周角為直角、切線的判定、正切三

角函數(shù)、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握直徑所對(duì)的圓周角

為直角.

6.（1）見(jiàn)解析

（2）0。的半徑為2.5.

【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì).要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接

圓心與這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可.同時(shí)考查了三角函數(shù)的知識(shí).

(1)要證AD為。。的切線，連接。4,只證/八4。=90。即可；

(2)根據(jù)勾股定理求出48的長(zhǎng)，求得cos"BA=更,從而根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)即可得出

5

。。的半徑.

【詳解】(1)證明：連接。4；

：BC為。。的直徑，朋平分NCBF,AD1BF,

二ZADB=ABAC=90°,ZDBA=NCBA,

：.ZBAD=ZOCAf

9：ZOAC=ZOCA,

：./OAC=/BAD,

：.ZDAO=ZDAB+ZBAO=ZBAO+ZOAC=90°,

???為。。的切線；

(2)解：AD=2,BD=1,

?'-AB7AD2+BU=也+儼=5

BD1_A/5

cos/DBA=

~AB~~45~~5~

,/ZDBA=NCBA,

BC--一節(jié)一5

?.cosZCBA"^"

V

。。的半徑為2.5.

7.(1)詳見(jiàn)解析

(2)詳見(jiàn)解析

(3)5

【分析】本題考查了圓的綜合運(yùn)用，涉及圓的相關(guān)性質(zhì)，切線的判定，并結(jié)合相似與三角函

數(shù)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)、相似和三角函數(shù)是解題關(guān)鍵.

(1)連接0P交OE于點(diǎn)//,證O尸，3c即可；

(2)連接AF,利用判定；

(3)分別求得AD,CD,最后利用DE〃CB,得點(diǎn)=筆求解.

CDBE

【詳解】(1)證明：如圖，連接。尸交。石于點(diǎn)”，

,:EF=DF,

,,EF=FD,

.??OFIDE,

?：/EFB=/FED,

:.DE//CB,

：.OF±BC,

???o/是半徑，

BC是。。的切線；

(2)證明：如圖，連接AF,

A

,/AE為直徑,

：.ZAFE=ZADE=90°,

■:DE//CB,

ZEDF=ZCFD=ZEAF,NBCA=NEDA=90。=ZAFE,

???AAFES^FCD,

.DFCD

??瓦一而‘

?:EF=DF,

???EF2=AECD；

9

(3)解：：ZFDE=ZFAEf

sinZFDE=sinNFAE=—,

5

VAE=15,

???AO=OE=OF=—

2f

在RSAF石中，inZFAE=—=—

sAE5f

EF=3/=DF,

???在RtZkNH中，sinZFZ)E=—,FH=—x345=3,

DF55

：.OH=--3=~,

22

,**EF=FD，

：.OFIDE,

：./EDA=ZBCA=ZEDC=ZDHF=90°,

???四邊形CDHF是矩形，

AFH=CD=3,OF//AC,

：.AEHO^AEDA,

.OHEO_1

??布一百-5'

???AD=2OH=9,

■:DE//CB,

.ADAE

^~CD~~BE9

.9__L5_

??馬一BE'

:.BE=5.

8.⑴見(jiàn)解析

⑵口

2

【分析】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定定理，熟練掌握以

上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵.

（1）連接OE,則NBOE=2NBDE,結(jié)合題意得出,證明AAADSAOCE,結(jié)

合圓周角定理可得NOEC=/AZ）3=90。，即可得證；

⑵連接EB,證明AOBES&EBF，得出生=空，空=號(hào)，結(jié)合OB=OE,得出EB=EF,

BFBEOEEF

代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解.

【詳解】（1）證明：如圖：連接OE,則=

D

：NDAO=2NBDE,

：.ZDAO=ZBOE,

■:NC=ZABD,

；?AABDS^OCE,

；?ZADB=/OEC,

A3是O。的直徑，

???ZOEC=ZADB=90°,

OE是。。的半徑，

CE是的切線；

(2)解：如圖，連接EB,

則ZA=ZB￡?,

ZA=ZBOE,

:?/BED=/BOE,

■:ZBEF=ZBOE,ZEBF=/OBE,

：.AOBES八EBF,

,EBOBOBEB

??BF~BE'OE-EF'

OB=OE,

EB=EF,

?BF-2，EF=-\/ll，

.A/1T_OB

..才=而’

.?.OB=2,即0。半徑的長(zhǎng)為

9.⑴見(jiàn)解析

⑵！

3

【分析】本題考查切線的判定，等邊對(duì)等角，勾股定理和解直角三角形，作輔助線構(gòu)造直角

三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)連接ON,則可得到尸N=PT,然后根據(jù)等邊對(duì)等角得到/"=NONT,即可得到

ZPTN=ZMTO,證明結(jié)論；

(2)作NCLAB,垂足為C,連接ON,設(shè)NC=3k,根據(jù)勾股定理求出0C=4左，即可得

到3C長(zhǎng)，然后根據(jù)正切的定義解答即可.

【詳解】(1)證明：連接ON,

:點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，

C.MOLAB,

'：PN=PT,

ZPNT^ZPTN,

?；OM=ON,

：.ZM=Z.ONT,

ZPTN=ZMTO,

：.ZONP=ZPNT+Z.ONT=90°,

，PN是。。的切線；

(2)解：作NCLAB,垂足為C,連接ON,

..NC；；3

'OM一5’

設(shè)NC=3k,OM=5k,

：.ON=5k,

OC=yJON2-NC2=4k，

BC=9k,

【分析】(1)連接OD,如圖，先根據(jù)垂徑定理，利用")=￡>2得到再證明

ODLDF,然后根據(jù)切線的判定方法得到結(jié)論；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CHLAB于點(diǎn)H,利用勾股定理求出AC、BC,利用面積法求出C”，證

明ACHCSAOD產(chǎn)，推出三=冷，由此求出。尸、FG,再根據(jù)凡客/二？臬?！傻么鸢?

OL)Ur5

CO平分NAC3,

:.ZACD=/BCD,

??AD=DB，

ODA.AB,

?/AB//DF.

：.ODLDF,

???OD為。0的半徑，

???。方為。。的切線；

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)”,

〈Ag是直徑，的半徑為3,

AZACB=90°,AB=6,

***tanB=—,

3

.AC_1

??—―，

BC3

BC=3AC,

在RCABC中，AC"+BC2=AB-,

：.AC2+（3AC）2=62,

9A/10

5

S=-ACBC=-ABCH,

△AORC22，

3V109M

?------------------------X-------------c

??CH=3------="

65

■:FD//AB,

：.?COH?F,

,/?CHO1ODF90?,

:.^CHO^^ODF,

9

即S3,

°D°F-=~

AOF=5,FG=OF-OG=2,

.,.在RtAODF中，DF=JOF2-OD2=752-32=4，

SnnF=-ODlDF,倉(cāng)電4=6,

i0DF22

FG=OF-OG=2,

?S=212

,?3DGF_5QAODF_5.U5?

【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，圓周角定理，平行線的判定，相似三角形的

判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)

題.

11.⑴見(jiàn)解析

⑵1+走

2

【分析】(1)由已知結(jié)合圓周角定理求得=再證明即可證明結(jié)論

成立；

(2)證明NAFC=NC,推出Ab=AC=l+百，再證明△E^s4ACF,推出所=gb=l,

據(jù)此求解即可.

【詳解】⑴證明：???3。=5。，

ZCAF=ZBEF,

:ZBEF=ZEBD+ZD,

ZEAC=ZBAE+ZCAF=2ZEBD+ZD,

ZBAE+ZEBD+ZD=2ZEBD+ZD,

:.ZBAE二NEBD,

丁AB是。。的直徑，

???ZBEA=90°,

：.ZBAE+ZABE=90°f

：.ZABD=ZEBD+ZABE=90°,

???AB±BD,

,**AB是。。的直徑，

???BD為的切線；

(2)解：VZFBD=90°,DE=EF,

BE=-DF,EF=-DF,

22

，BE=EF,

???ZEBF=/EFB,

淞=淞，

???NC=/FBE,

?.*Z.EFB=ZAFC,

：.ZAFC=ZC,

??AF=AC=1+,

VZFBE=ZC,ZAFC=ZEFB,

：.△EBFs^ACF,

.BEBF

^~AC~~CF，

,:AC=2EF,

.EFBF

??而一而-5'

BF=-CF=\,

2

??AB=AF+BF=1+5/3+1=2+\/3，

：.AO=1+—.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角

形的判定和性質(zhì).解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件.

12.⑴見(jiàn)解析

⑵AC=56.

【分析】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理.

（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角結(jié)合已知條件，可得？ABD90?,進(jìn)而可證得結(jié)論；

（2）利用直角三角形的性質(zhì)，勾股定理即可解答.

【詳解】（1）證明：：是半圓。的直徑，

ZACB=90°,

?：ZD=AABC,

.?.ZABD=180°-(ZA+ZD)=180o-(ZA+ZAfiC)=90°,

二班)是半圓。的切線；

(2)解：VZACB=90°,NR4c=30°,BC=5,

：.AB=2BC=10,

AC=y/AB2-BC2=5A/3.

13.(1)見(jiàn)解析

(2)AC=

【分析】本題考查切線判定，解直角三角形，勾股定理等.

（1）連接OC,得到/OEC=/DCE,再得到NA=NACO,繼而得到NOCD=90。，即可

得到本題答案；

（2）設(shè)OE=x,則AO=OC=OJ=3x,利用勾股定理列式（3x+4）?=（3尤）?+（2尤+4丫，再

連接2C,再利用三角函數(shù)公式即可得到本題答案.

【詳解】（1）證明：如圖，連接OC,

D

（小八，.：DC=DE,

:.ZDEC=ZDCE,

?；/DEC=ZAEO,

:.ZJDCE=ZAEO,

?：OFVAB,

」.NAO石=90°,

:.ZA+ZAEO=90°,

?：OA=OC,

.?.ZA=ZACO,

/.ZDCE+ZACO=90°9

:.ZOCD=90°,

.?.尸c與半圓。相切于點(diǎn)c,

即尸C是。。的切線；

(2)解：：tanNA=g,

._3A/10

..cosNA--------,

10

設(shè)O石=%,貝IJAQ=OC=8=3%,

/.EF=2x,OD=OF+DF=+4,

DC=DE=OD—OE=2x+4,

在RtAODC中，OD2=CD2+OC2,

(3x+4)2=(3療+(2x+4。

解得士=2,x2=0(舍去)

AO=OC=6,

:.AB=12,

連接BC,則ZAC3=90°

…“c八，c3A/1018710

AC=A.BcosNA_12x------=---------.

105

14.⑴見(jiàn)解析

(2)i

【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)與判定、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理,

熟練掌握切線的性質(zhì)與判定、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理是解題的關(guān)鍵.

(1)連接OC,OE,由題意易得/COB=90。，NOED=NOCD,則有/PE￡)=/ODC,

然后可得OE，PE,進(jìn)而問(wèn)題可求證；

(2)設(shè)8=a,則皮)=3OD=3a,則有OE=OB=4a,然后根據(jù)勾股定理可得

(PB+3a)2+(4a)2=(PB+4a)2,則有28=修，進(jìn)而問(wèn)題可求解.

【詳解】(1)證明：連接OC,OE,

QO是等腰RtAABC的外接圓，。為45的中點(diǎn),

OC=OE,NCOB=90。,

：./OED=/OCD,

?.?PD=PE,

ZPED=ZPDE,

?；NPDE=/ODC,

：.4PED=40DC,

VAC=BC,AO=BO,

：.COLAB,

???NQCD+NQDC=90。，

ZOED+/PED=ZOCD+ZODC=90°,

：.OE±PE,

???尸石是OO的切線；

(2)角軍：設(shè)=則5D=3QD=3〃，止匕時(shí)。石=。3=4〃，

???△「(?￡是直角三角形，

PE2+OE2=PO2,

?:PE=PD=PB+BD,

???(PB+BD》+OE2=(PB+OB)2,

即(尸3+3a)2+(4Q『=(依+4Q)2,

解得

2

.DI7_90_15a

??PE-F3cl-,

22

9a

.PB=3

"PE~I5a~5'

F

15.⑴見(jiàn)解析;

⑵27r.

【分析】⑴根據(jù)等邊對(duì)等角可得：NB=NC、ZB=/OEB,等量代換可得：/OEB=/C,

根據(jù)同位角相等兩直線平行，可證OE||AC,因?yàn)樯癬LAC,可得砂，OE,從而可證E尸

是。。的切線；

（2）連接OE,OD,可證四邊形OEED是正方形，設(shè)。。的半徑為L(zhǎng)則AC=AB=5+r,

OA=5,利用勾股定理可以求出OD=4,根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）證明：如圖，連接OE,

?：AB=AC,

:./B=NC,

?：OE=OB,

:,/B=/OEB,

:./OEB=NC,

:.OE\\AC,

vEFlAC,

:.EF1OE,

又?.?OE是半徑，

.?.￡F是。。的切線；

(2)解：如圖，連接OE,OD,

???￡F是。。的切線,

:.EFLOE,

「.NO跖=90。，

vEFlAC,

:.ZEFD=9Q°,

???AC與。O相切于點(diǎn)。,

:.OD±AC,

/.NODb=90。,

二.四邊形OEED是矩形,

?：OE=OD,

二?四邊形OEFD是正方形，

:.OE=EF=FD=OD=OB,

設(shè)。。的半徑為一，

貝UAC=AB=CF+FD+4)=2+r+3=5+r,

OA=AB—OB=5+r—r=5,

在Rt^AOZ)中，ZADO=90°,AZ>=3,OA=5,

:.OD=^O^-AD1=4-

答：品的長(zhǎng)為2九

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、正方形的判定與性質(zhì)、證明直線是圓的切線、弧長(zhǎng)公式.解

決本題的關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)求出圓的半徑.

16.(1)見(jiàn)解析；

(2)。。的半徑為1；

(3)見(jiàn)解析.

【分析】本題考查了切線的判定、垂徑定理、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的

判定，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)連接O。，先判斷出NOD3=/ACB,進(jìn)而得出OD〃AC,DE人OD,即可得出結(jié)論;

(2)連接QW,先求出MG,在RMMGO中,用勾股定理求解，即可得出結(jié)論；

(3)由N54c=36。，AB=AC,計(jì)算出NCBP,證明即可證明.

【詳解】(1)證明：如圖:

連接OD,

OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

：.ZODB=ZACB,

：.OD//AC,

?:DE，AC,

???DE八OD,

??,OD是。。的半徑,

???是。。的切線;

(2)解：連接OM,

MN1AB,

：.NOGM=90。

〈AB是直徑，MN=y/3,

:?MG=NG=叵,

2

..AG_1

*AB

.AG_1

??=一，

GB3

AG^OG=-OM,

2

在如AMGO中，

OG2+MG2=OM2,

OM=1,

即0。的半徑為1;

VZBAC=36°,AB=AC,

：.ZABC=ZACB=72°

,/BF平分/ABC,

：.ZABF=ZCBF=36°,

■:NCBF=ZBAC,ZC=ZC,

；?NCBFsAC4B.

17.(1)見(jiàn)解析；

(2)4；

(3)1.

【分析】(1)證明OC〃AE,即可證明跖是。。的切線；

(2)證明AFCOSAFEA得翼=手，求出。斤=5,然后利用勾股定理求解即可；

AEAF

(3)證明△CDEs^ABC得02=絲，可得=進(jìn)而可求出COS/A3C=GG=L.

DEBC2AB2

【詳解】(1)證明：如圖，連接OCAC,

?:BC=CD,

：?BC=CD，

：.ZOAC=ZEAC.

?:OC=OA,

.\ZOCA=ZOAC,

：.ZOCA=ZEAC,

：.OC//AE,

VCE1AD,

:.CELOC,

又OC是半徑,

「.￡F是。。的切線;

(2)VOC//AE,

：.AFCO^FEA

OCOF口口3OF

——=——,即一=------,

AEAF4.8OF+3

解得O/=5.

在RtAOCF中，CF=yj0F2-OC2=752-32=4；

(3)?.?￡F是O。的切線,

二.NOC尸=90。，

???CE，AD,AB是直徑,

:.ZE=ZACB=9Q°,

???ZEDC+ZADC=180°,ZABC+ZADC=180°,

:./EDC=ZABC,

:.ACDES^ABC

CDAB

~DE~~BC

AB=4ED,CD=BC,

BCAB

二ABBC，

BC=-AB

29

cosAABC=

AB2

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，勾股定理，院內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角

形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解

答本題的關(guān)鍵.

18.(1)見(jiàn)解析

【分析】(1)連接。4,根據(jù)等邊對(duì)等角可得4=N2=N3,由圓周角定理得

ZBAE=Z2+ZOAE=90°,則等量代換N3+NQ4E=90。，即可求證;

3AF3ACCF

(2)由圓周角定理可得tanO=tan5===F，再證明△C4Es/^CBA,則==不=1；,

5AB510AC

1Q1Q32

求得AC=6,CE=—,那么55=5C—C￡=10—《=即可求解半徑.

【詳解】(1)證明：連接，4,

D

9：OA=OB

：.Z1=Z2,

N1=N3,

???/2=/3,

旗是的直徑，

???ZBAE=Z2+AOAE=90°,

AZ3+ZOAE=90°,

AZOAC=90°,即Q4LAC,

,/Q4是半徑，

???C4是的切線；

(2)解：如圖：

:淞=淞，

???//=〃，

,?ZBAE=90°

3AF

：.tmD=tmB=-=——

5AB

?/Z1=Z3,ZC=ZC,

???ACAE^ACBA,

.AEACCE

**AB-BC-AC

.3ACCE

??廠五一二‘

1Q

AAC=6,CE=《,

io及

???BE=BC-CE=10——=——，

55

.?.OE=g,即。。的半徑為

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定

理等知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

19.⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)CF=V5

【分析】(1)連接OC,可得NC4O=/OC4=/BCD,進(jìn)而由NACO+NOCD=90。得

ZBCD+ZOCD^90°,即可求證；

(2)由C為劣弧ED的中點(diǎn)可得/E4c=4MC=/EDC,即得AACDSWCF,進(jìn)而根據(jù)

相似三角形的性質(zhì)即可求證；

(3)過(guò)點(diǎn)尸作尸GJ_AD于點(diǎn)G,可證小〃BC,即得N￡ZM=N3,得到

3._________

sinZEDA=sinBj,進(jìn)而由三角函數(shù)得AE=6,即由勾股定理得)=/血_二歲=8，

又根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EF