2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形的旋轉(zhuǎn)》專項(xiàng)測(cè)試卷及答案

2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形的旋轉(zhuǎn)》專項(xiàng)測(cè)試卷及答案

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.如下圖，將VAO3繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。得到ZAOB=\5°.

(1)寫(xiě)出點(diǎn)A,5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；

(2)求403的度數(shù).

2.綜合與實(shí)踐：

在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過(guò)程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)對(duì)“對(duì)等

垂美四邊形”進(jìn)行研究.定義：對(duì)角線相等且垂直的四邊形叫作對(duì)等垂美四邊形.

圖1

(1)定義理解

圖1中，A、B、。三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诟顸c(diǎn)上確定點(diǎn)C,使四邊形為對(duì)等垂美四

邊形.

(2)深入探究

如圖2,在對(duì)等垂美四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與班)交于點(diǎn)。，且OA=OD,OB=OC,將

△COB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0"旋轉(zhuǎn)角＜45。)，B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為9和C,如圖3,請(qǐng)

判斷四邊形M'CQ是否為對(duì)等垂美四邊形，并說(shuō)明理由.(僅就圖3的情況證明即可)

(3)拓展運(yùn)用

在(2)的條件下，若03=3,OA=5,當(dāng)△。皿為直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出四邊形神。。

的面積.

3.在ABC中，點(diǎn)。是線段轉(zhuǎn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接8.將線段。繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE,

記旋轉(zhuǎn)角為叫連接AE.取AE的中點(diǎn)為點(diǎn)G,連接CG.

【問(wèn)題探究】

(1)如圖1,已知，ABC是等腰直角三角形AC=BCZACB=90°a=90°延長(zhǎng)AC至點(diǎn)月

使CF=AC連接所.請(qǐng)直接寫(xiě)出所與即的數(shù)量關(guān)系—CG與加的數(shù)量關(guān)系.

【類比遷移】

(2)如圖2已知.ABC是等腰三角形AC=BCZACB=120°a=60°.探究線段CG與

的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論

【變式拓廣】

(3)如圖3已知在ABC中BC=13AC=7ZABC=30°ZACB=180°-a.延長(zhǎng)AC至尸

使B=3C=13連接所.在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中求線段CG長(zhǎng)度的最小值.

圖1圖2圖3

4.如圖1在VABC中點(diǎn)。E分別是AB與AC的中點(diǎn)可得。石〃比且

［初步感知］(1)如圖2在RtA4BC中ZABC=90°AB=BC=2ADCE是Rt^ABC的中

線并相交于點(diǎn)GMN分別是AD和CE上的點(diǎn)且黑=笠;求MN的長(zhǎng)

［嘗試應(yīng)用］(2)如圖3在RtAMC中DE分別是ABAC的中點(diǎn)連接祝將

VADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度0(0。＜”/胡。)連接如CE若冬=；求黑的值

nCZCzi

［拓展運(yùn)用］(3)如圖4在等邊三角形A3C中。是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。在點(diǎn)C的

右側(cè)）連接AD把線段8繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線段取廠是砥的中點(diǎn)連接

DFCF.若AB=8CF=|CD求CP的值.

mi圖2圖3圖4

5.如圖在VABC中CA=CB。是VABC內(nèi)一點(diǎn)連接8將線段。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)至|jCE使/DCE=ZACB連接AD,DE,BE.

（1）求證：CAD%CBE.

⑵當(dāng)ZCAB=60。時(shí)求ZCBE與/BAD的度數(shù)和.

6.【知識(shí)技能】（1）如圖1在VA5c中AB=AC440=90。點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)

AB。三點(diǎn)不共線）AE為△ABD的中線延長(zhǎng)AE至點(diǎn)"使得=連接

DM.求證：ZMDA+ZDAB=180°.

【數(shù)學(xué)理解】（2）如圖2在VABC中AB=ACABAC=900點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)4B

。三點(diǎn)不共線）AE為△曲的中線將AD繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到釬連接

CF.求證：AE=^CF.

【拓展探索】（3）如圖3在（2）的條件下點(diǎn)O在以點(diǎn)4為圓心的長(zhǎng)為半徑的

圓上運(yùn)動(dòng)（AD>4?）直線AE與直線N交于點(diǎn)G連接BG在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中BG

的長(zhǎng)度存在最大值.若筋=4求BG的長(zhǎng)度的最大值.

7.如圖在VABC中AB=ACABAC=a。是BC的中點(diǎn)E是線段瓦）上的動(dòng)點(diǎn)（不與

點(diǎn)B。重合）連接AE.尸是AE的中點(diǎn)線段正繞點(diǎn)下逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段切連

接AH,EH.

⑵連接判斷?！ㄅcAC的位置關(guān)系并證明.

8.如圖1在等腰直角三角形A3C中ZBAC=90。.點(diǎn)石尸分別為AB，AC的中點(diǎn)H為

線段所上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E尸重合）將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)9。。得到AG

連接GC,HB.

（1）證明：AHB^AGC

（2）如圖2連接GEHG,AF交AC于點(diǎn)Q.

①當(dāng)E”=3FH=4求AH的值

②若AB=AC=4當(dāng)E”的長(zhǎng)度為多少時(shí)AQG為等腰三角形？（不要求寫(xiě)解答過(guò)程只

需直接寫(xiě)出答案即可）

9.探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式某興趣小組擬做以下探究在n△MC

中ZACB=90°ZABC=45°AB=V10。為線段A5上一點(diǎn).

圖1圖2圖3

【初步感知】

(1)如圖1連接。將8繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至CE.連接AEQE求29比的度數(shù)

【深入探究】

(2)如圖2將.ACD沿。折疊至ECO.射線CD與射線3E交于點(diǎn)尸.若尸E=3所求MEF

的面積

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3BD=BC連接OG為線段AC上一點(diǎn)作點(diǎn)G關(guān)于直線。的對(duì)稱點(diǎn)“

點(diǎn)G繞5順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。至點(diǎn)K連接"KHB請(qǐng)問(wèn)CD和"K存在何種關(guān)系？并說(shuō)

明理由.

10.如圖VASC與,m為等邊三角形點(diǎn)。為射線C4上的動(dòng)點(diǎn)作射線OM與直線BC相

交于點(diǎn)E將射線加繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到射線ON射線ON與直線8相交于點(diǎn)

(1)如圖①點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時(shí)點(diǎn)E歹分別在線段BC,8上請(qǐng)直接寫(xiě)出AE和胡的數(shù)

量關(guān)系

⑵如圖②當(dāng)點(diǎn)。在C4的延長(zhǎng)線上時(shí)E歹分別在線段CB的延長(zhǎng)線和線段。上試

探索CE,CECO三條線段之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由

⑶點(diǎn)。在線段AC上若"=8,80=7當(dāng)B=1時(shí)請(qǐng)直接寫(xiě)出3E的長(zhǎng).

H.已知VA5C是等邊三角形點(diǎn)尸是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn).

⑴如圖1若點(diǎn)尸是等邊三角形MC內(nèi)的一點(diǎn)PA=6PB=8PC=10.若尸是VABC外

的一點(diǎn)且△尸AB絲APAC求點(diǎn)尸與點(diǎn)P之間的距離及-AM的度數(shù).

(2)如圖2若點(diǎn)尸在等邊三角形A3C外部當(dāng)AP=2PC=3P3=5時(shí)求APBC的面積.

12.如圖在邊長(zhǎng)為4的正方形A2CD中E為8邊上一點(diǎn).

⑴如圖1將射線的繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸求四邊形AFCE的面

積

(2)如圖2若E是CD的中點(diǎn)G是8C邊上一點(diǎn)將線段AG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到

線段用點(diǎn)”恰好落在射線4石上求證：CG=2BG

(3)如圖3若DE=3CE點(diǎn)/在正方形A5CZ)的對(duì)角線AC上且N越=135。求四的長(zhǎng)

度.

13.如圖是，"CD的對(duì)角線DE是邊AB的高AB=11AD=5sinA=1.點(diǎn)尸為A3邊

上任意一點(diǎn)連接即將口繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9。。得到線段PQ.

⑴求DE的長(zhǎng).

⑵當(dāng)點(diǎn)。在邊即上時(shí)求"的長(zhǎng).

(3)當(dāng)點(diǎn)。在ABCD的邊上時(shí)求點(diǎn)。到邊即的距離.

(4)當(dāng)PQ被邊叨分成1:2兩部分時(shí)直接寫(xiě)出的長(zhǎng).

14.如圖四邊形如。是邊長(zhǎng)為2一個(gè)銳角等于60。的菱形紙片小芳同學(xué)將一個(gè)三

角形紙片的一個(gè)頂點(diǎn)與該菱形頂點(diǎn)。重合按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)三角形紙片使它的兩

邊分別交CB胡(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)EF/EZ邛=60。當(dāng)CE=”時(shí)如圖1小

芳同學(xué)得出的結(jié)論是小=〃尸.

⑴繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角形紙片當(dāng)CEHAF時(shí)如圖2小芳的結(jié)論是否成立？若成立加以證

明若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由

(2)再次旋轉(zhuǎn)三角形紙片當(dāng)點(diǎn)E尸分別在CB班的延長(zhǎng)線上時(shí)如圖3連跖若

BE=g求。即的面積.

15.【知識(shí)技能】(1)如圖1矩形與R3QMN疊放在一起(點(diǎn)。N分別與點(diǎn)A

5重合點(diǎn)M落在對(duì)角線AC上)已知NQMN=90。，3C=20,CD=15則肱V=_.

【數(shù)學(xué)理解】(2)如圖2-QMN以每秒I個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段AC上從點(diǎn)4向點(diǎn)。

運(yùn)動(dòng)同時(shí)動(dòng)點(diǎn)尸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段根上從點(diǎn)。向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)設(shè)它

們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為小)連接尸”.解答下列問(wèn)題：

①當(dāng)/為何值時(shí)點(diǎn)A在線段9的垂直平分線上？

②是否存在某一時(shí)刻片使得△加與四邊形PMCD面積之比為6：19?若存在求出彳的值

若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

【拓展探索】(3)如圖3將一QMN繞著點(diǎn)"順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。得到。陽(yáng)M點(diǎn)N。的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)是連接驅(qū)PQ當(dāng)方為何值時(shí)Py+PQ的值最??？

參考答案

1.⑴AB'

(2)60°

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ZAOV=N3C”=45。即可求解.

【詳解】(1)解：將水小繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。后得到AA，?！?/p>

點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'

(2)解：因?yàn)閷AOB繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。得到AA，。夕所以404=45。

所以ZAOB=ZAOA+ZAOB=450+15°=60°.

2.(1)見(jiàn)詳解

(2)證明見(jiàn)解析

(3)32或29

【分析】本題主要考查復(fù)雜作圖全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用

正確理解“對(duì)等垂美四邊形”的定義是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“對(duì)等垂美四邊形”的定義作圖即可

(2)連接ACB，D交于點(diǎn)N設(shè)與歹。交于點(diǎn)E證明AOC-￡>O?(SAS)得=M

ZC'AO=ZB'DO再證明AC'±B'D即可得出結(jié)論

(3)當(dāng)ZAO笈是直角時(shí)當(dāng)乙出。為直角時(shí)分別求解即可

【詳解】(1)解：如圖四邊形小8即為所作的對(duì)等垂美四邊形

(2)解：四邊形是對(duì)等垂美四邊形理由如下:

連接ACB，D交于點(diǎn)、N設(shè)。1與交于點(diǎn)E

由題意知OA=ODOB'=OCZAOD=ZB,OC,=90°

/.ZAOD+ZDOC=ZBfOC+ZDOC即ZDOB'=ZAOC

在AAOC和ADOBf中

"OA=OD

<ZAOC=/DOB

OC=OB'

...AOC^.DOB\SAS)

AC=DBrZCAO=NB，DO

又ZDEO=ZAEN

:.ZAOD=ZAND=90°

:.ACf±BrD

，在四邊形ABrCD中ACr±B'DAC=BrD

，四邊形AB'。。是對(duì)等垂美四邊形

(3)解：①當(dāng)ZAO*是直角時(shí)如圖

..OC=3

S..,=-OAOB'+-OCOB'+-ODOA+-OCOD

ARBcCDn2222

=—x3x5+—x3x3+—x5x5+—x3x5

2222

=32

當(dāng)wo為直角時(shí)如圖過(guò)點(diǎn)。作oc的垂線垂足為a

Q00=04ZOHD=ZAB'O

ZAOB'+ZHOA=90°NDOH+ZAOH=90°

NDOH=ZAOB'

DOH^.AOB'(AAS)

:.DH=AB'

0B=30A=5

貝!JAB'=4O^-OB'2=>/52-32=4

S..,^-OA-OD+-B'A.OB'+-OC'-OB'+-OC'-DH

AnBrCDn2222

=—x5x5+—x4x3+—x3x3+—x4x3

2222

2512912

=一+一+—+一

2222

=29

綜上所述四邊形鉆'。。的面積32或29

3.(1)EF=BDCG=^BD

(2)CG=^BD證明見(jiàn)解析

(3)線段CG長(zhǎng)度的最小值為

【分析】(1)結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)推得8=CENDCB-ECF即可利用“邊角邊”證明

DCB學(xué)ECF根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得所=如再由中位線定理可得=

(2)延長(zhǎng)AC至點(diǎn)/使得CF=ZC連接所利用“邊角邊”證明。CB均ECF結(jié)合全

等三角形性質(zhì)和中位線定理即可證得CG=；M

(3)取AE的中點(diǎn)H連接G”作CMLG”于"利用“邊角邊”證明FCEgBCD根據(jù)

全等三角形性質(zhì)可得/R=ZABC=30。即點(diǎn)G在與AH成30。的定直線上運(yùn)動(dòng)當(dāng)點(diǎn)G在“

處時(shí)CG最小結(jié)合含30。的直角三角形特征即可得CM=；CH=g(AH-AC).

【詳解】解：(1)依題得：CD=CEZDCE=a=90°AG=EG

AC^BCCF=AC

:.BC=FC

ZDCE=ZACB=90°

:.ZDCE=ZBCF=90°

即ZDCE-ZBCE=ZBCF-ZBCE

?./DCB=/ECF

在OCB和EC廠中

CD=CE

<ZDCB=ZECF

BC=FC

DCBRECF(SAS)

:.EF=BD

AG=EGCF=AC

，CG是一碼的中位線

:.CG=-EF=-BD

22

故答案為：EF=BDCG=；BD

(2)如下圖CG〈BD證明如下:

延長(zhǎng)AC至點(diǎn)/使得CF=AC連接所

ZACB=120°

:.ZBCF=60°

AC=BCCF=AC

:.BC=CF

由旋轉(zhuǎn)得CD=CEZDCE=60°

/.ZBCF=ZDCE

:.ZBCF-/BCE=ZDCE-/BCE

:.ZDCB=ZECF

在一。CB和EC尸中

CD=CE

</DCB=ZECF

BC=FC

:…DCBMECF(SAS)

:.BD=EF

AG=GEAC=CF

;.CG是皿的中位線

:.CG=-EF

2

:.CG=-BD

2

(3)如下圖取A尸的中點(diǎn)H連接G"作CMLG”于“

依題得：ZBCF=180°-ZACB=180°-(180°-a)=a

GHEFAF=AC+CF=20AH=10

:.ZBCF=ZDCE=a

:./FCE=/BCD

在BCE和BCD中

CE=CD

<ZFCE=ZBCD

FC=BC

:._FCEWBCD(SAS)

:.ZF=ZABC=30°

???點(diǎn)G在與AH成30。的定直線上運(yùn)動(dòng)

??當(dāng)點(diǎn)G在M處時(shí)CG最小

GHEF

:"CHM=30。

又CMLGH

:.CM=-CH=-(AH-AC)=-(10-l)=-

，CG的最小值為I".

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)性質(zhì)全等三角形的判定與性質(zhì)中位線定理含

3。。的直角三角形特征解題關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì).

4.（1）4（2）g（3）4或2

【分析】（1）連接DE由勾股定理可得AC=2應(yīng)由題意易證。E是VABC中位線則

DE//ACDE=6再證明MGNS-DGE得到粵=等=〈即可求出MN的長(zhǎng)

L）EJUkjr2

（2）由題意可得3C=2AB從而得到AC=BW證明的，ACE得到7=當(dāng)即可求

AC

解

（3）分兩種情況討論：當(dāng)B//DE時(shí)利用平行線分線段成比例定理得到CD=BC=8

即可求出b的長(zhǎng)當(dāng)CV與桃不平行時(shí)過(guò)點(diǎn)E作GE〃中交加的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G證

明W是△BGE的中位線再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出△?G是等邊三角形從而得到

GE=GD=DE=CD=gcG=4即可求出CP的長(zhǎng).

【詳解】解：（1）如圖連接小

ZAfiC=90°AB=AC=2

22

AC=>JAB+BC=A/22+22=20

ADCE是RtAABC的中線

■DE分別為CBAB的中點(diǎn)即。E是VABC中位線

:.DE//ACDE=-AC=-x2y/2=y/2

△MGNsADGE

MNMG_l

~DE-DG-2

.MN■=-DE=-xy/2=—

222

AB_l

(2)BC-2

:.BC=2AB

ZAfiC=90°

AC=7AB2+BC2=^AB2+(2AB)2=小AB

AB旦

AC-5

AD=-ABAE=-AC

22

AO_AE_I

AC~2

AD_AB

~\E~AC

由旋轉(zhuǎn)得：NBAD=NCAE=a

-a-ABDACE

,BDABy/5

CE-AC-V

(3)如圖當(dāng)C尸〃DE時(shí)

VA3C是等邊三角形AB=8

BC=AB=8

產(chǎn)是BE的中點(diǎn)

EF=BF

CF//DE

1

?.——CD=——EF=I

BCBF

..CD=BC=8

CF=-CD=4

2

如圖當(dāng)W與DE不平行時(shí)過(guò)點(diǎn)E作GE〃CF交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G

CG=BC=8

??.CP是△BGE的中位線

CF=-GE

2

由旋轉(zhuǎn)得：DE=CDZCDE=120°

CF=-CD=-DE

22

GE=DE

ZEDG=180°—Z.CDE=180°—120。=60°

△DEG是等邊三角形

GE=GD=DE=CD=-CG=-x8=4

22

CF=-GE=-x4=2

22

綜上述B=4或2.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理三角形中位線定理相似三角形的判定和性質(zhì)平行

線分線段成比例定理旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)掌握相關(guān)知識(shí)

點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

5.(1)見(jiàn)解析

(2)60°

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等邊三角形的判定和性質(zhì):

(1)利用SAS證明,CAD^,CBE即可

(2)證明VA3C為等邊三角形進(jìn)而得到44C=60。利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等結(jié)

合角的和差關(guān)系即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：???旋轉(zhuǎn)

/.CD=CE

*.*ZDCE=ZACB

，ZDCE-Z.DCB=ZACB-ZDCB

：.ZACD=ZECB

CA=CB

CAD^CBE

(2)VCA=CBZCAB=60°

.?.VA5C為等邊三角形

/.ZBAC=60°

ZCAD+ZBAD=60°

由(1)知：CAD^CBE

：.NCBE=NCAD

：.ZCBE+ZBAD=(^°.

6.(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)20+2

【分析】⑴先證明梃紂MDE(SAS)由全等三角形的性質(zhì)得出za4E=ZDME最后根據(jù)

平行線的性質(zhì)即可得出ZMDA+ZDAB=180°.

(2)延長(zhǎng)AE至點(diǎn)M使得=連接血/.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知

AF=AD,ZZ)AF=90°.證明ACF，DM4(SAS)由全等三角形的性質(zhì)進(jìn)一步即可證明.

(3)延長(zhǎng)AE至點(diǎn)M使=M連接先證明ADE^MBE(SAS)再證明

ABM^CAF(SAS)根據(jù)得出點(diǎn)G在以AC為直徑的。上運(yùn)動(dòng)當(dāng)且僅當(dāng)8O,G三點(diǎn)共

線時(shí)BG的長(zhǎng)度取得最大值此時(shí)3G=OB+OG.然后利用勾股定理以及直角三角形斜

線的中線等于斜邊的一半求解即可.

【詳解】解：（1）證明：隹為△河。的中線

:.BE=DE.

在一和_"D￡中

BE=DE,

<NAEB=/MED,

AF=ME,

ABE^MDE(SAS).

:.ZBAE=ZDME.

：.AB//DM.

:.ZMDA-^ZDAB=18Q°.

(2)證明：如答題圖延長(zhǎng)A石至點(diǎn)M使得=連接0M.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AF=AD,ZDAF=90°.

ABAC=9Q°,ZZMF+ZBAC+ZDAB+NG4r=360。

.\ZDAB-^ZCAF=180°.

由(1)^MDA+^DAB=1SO,DM=AB=AC

:.ZCAF=ZMDA.

在AACF和ADMA中

'AF=DA,

<ZCAF=NMDA,

AC=DM,

:.ACF空Z(yǔ))AZA(SAS).

:.CF=MA.

AE=-MA

2

...AE=-CF.

2

（3）解：如答題圖延長(zhǎng)AE至點(diǎn)M使項(xiàng)f=連接3M.

在VAD石和石中

AE=ME,

<ZAED=/MEB,

DE=BE,

二.ADE^Affi￡(SAS).

:.AD=BM,NDAE=/M.

:.AD//BM.

:.ZDAB+ZABM=180°.

ZDAF+ZBAC=180°

:.ZDAB-^ZCAF=18Q°.

:.ZABM=ZCAF.

AF=AD

:.AF=MB.

在ABM和VC4F中

'AB=CA,

<ZABM=NCAF,

BM=AF,

...ABM^CAF(SAS).

:.ZBAM=ZACF.

ABAC=90°

../R4M+NC4G=90。.

..ZACF+NG4G=90°.

ZAGC=90°.

，點(diǎn)G在以AC為直徑的。上運(yùn)動(dòng)當(dāng)且僅當(dāng)BO,G三點(diǎn)共線時(shí)3G的長(zhǎng)度取得最大

值止匕時(shí)3G=03+OG.

。為AC的中點(diǎn)AB=AC

:.OA=-AC=-AB=2

22

在RtA4BO中由勾股定理得0B=，帥2+"+22=2一.

在Rt.ACG中。為斜邊AC的中點(diǎn)

OG=-AC=2

2

???BG的長(zhǎng)度的最大值為275+2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的綜合問(wèn)題直角三角形的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

勾股定理等知識(shí).掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（1）90°

（2）DH±AC證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半

圓周角定理正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

（1）利用等腰三角形的定義即可解答

（2）連接連接即可得點(diǎn)ARE,。在以點(diǎn)P為圓心以融為半徑的圓上再連接

并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G證明NZMC+ZADG=90。即可解答.

【詳解】（1）解：尸是近的中點(diǎn)線段所繞點(diǎn)下逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段制

:.FA=FE=FH/EFH=a

1QQO_a

:,ZAHF+ZFAH=2ZAHF=ZEFH=aZFHE=-----

a

:./AHF=一

2

ZAHE=ZAHF+NFHE=-+心,-。=90°

22

(2)解：DHLAC理由如下:

如圖連接AD連接即

AB=AC。是BC的中點(diǎn)

:.AD±BC

廠是AE的中點(diǎn)

:.FD=FA=FE=FH

.?.點(diǎn)在以點(diǎn)尸為圓心以以為半徑的圓上如圖連接并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G

BE一

'：FE=FH,ZEFH=a

ZADH=ZAEH=啊一夕

2

ABAC=aAB=AC。是8C的中點(diǎn)

jex

...ZDAC=-ABAC=—

22

ZDAC+NADG=-+-80°~a=90°

22

:.ZAGD=90°

:.DG±ACDHLAC.

8.(1)見(jiàn)解析

(2)①|(zhì)亞②及或2

【分析】(1)根據(jù)SAS可證明AHB^AGC

(2)①證明AEH仝AFG(SAS)可得ZAFG=ZAEH=45°FG=EH=3從而根據(jù)兩角的和可

得ZHRG=90。由勾股定理得〃G=5在等腰直角三角形出G中可得AH=半

②分兩種情況：i）如圖3AQ=QG時(shí)ii）如圖4當(dāng)4G=QG時(shí)分別根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：如圖1

圖1

由旋轉(zhuǎn)得：AH=AG,44G=90。

ABAC=90°

/.ZBAH=ZCAG

AB=AC

/.AFG(SAS)

（2）解：①證明：如圖2在等腰直角三角形A3。中ABAC=90°

/.ZABC=ZACB=45°

二點(diǎn)E尸分別為AB,AC的中點(diǎn)

二?E尸是VABC的中位線

/.EF//BC,AE=AB,AF=AC

AAE=AF,ZAEF=ZABC=45°,ZAFE=ZACB=45°

VZEAH=ZFAG,AH=AG

/._AEH^tAFG(SAS)

，ZAFG=ZAEH=45°FG=EH=3

/.NHFG=45。+45。=90。

?*.HG=JHF?+FG=542+32=5

5c

在RtAM/G中AH=%HG=：啦

②分兩種情況：

i）如圖3AQ=QG時(shí)

圖3

AQ=QG

ZQAG=ZAGQ

,/ZHAG=ZHAQ+ZQAG=ZAHG+ZAGH=90°

/.ZQAH=ZAHQ

：.AQ=QH=QG

*/AH=AG

AQ1GH

*/ZAFG=ZAFH=45°

ZFGQ=ZFHQ=45°

ZHFG=ZAGF=ZAHF=90°

，四邊形AHFG是正方形

,/AC=4

，AF=2

FG=EH=42

???當(dāng)EH的長(zhǎng)度為a時(shí)-AQG為等腰三角形

ii)如圖4當(dāng)AG=QG時(shí)ZGAQ=ZAQG

圖4

,/ZAEH=ZAGQ=45°,ZEAH=ZGAQ

；.ZAHE=ZAQG=ZEAH

EH=AE=2

當(dāng)EH的長(zhǎng)度為2時(shí)AQG為等腰三角形

綜上當(dāng)四的長(zhǎng)度為a或2時(shí)-AQG為等腰三角形.

71

9.(1)ZBAE=90°(2)6(3)HK=CD見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)SAS證明ACE當(dāng)BCD得NCAE=ZB=45。進(jìn)而可求出的度數(shù)

(2)作CT，防交好于點(diǎn)T由折疊的性質(zhì)得AC=CEZACF=ZECF.^^ZF=ZFCT=45°

得CT=TF設(shè)BT=ET=a則莊=6。CT=TF=la由勾股定理求出AC=CE=指然后在

R3CET中利用勾股定理列方程求解即可

(3)連接3G,DK,CH延長(zhǎng)C”交于點(diǎn)T證明CBG絲.DBK(SAS)得/皿K=ZACB=90。

CG=DK由旋轉(zhuǎn)得CG=C"從而有C"=DK.證明4TO=4DK=90。得C"〃DK可證四

邊形CDS是平行四邊形從而HK=HB=CD.

【詳解】解：(1)\?在RtZXABC中ZACB=90°ZABC=45°

：.ZBACZABC=45°

：.AC=BC.

?將。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至CE

/.CE=CD,ZDCE=90°

/.ZDCE=ZACB

/.ZACE=ZBCD

BCD(SAS)

，ZCAE=ZB=45°

ZBAE=45°+45°=90°

(2)如圖作CTLBF交即于點(diǎn)T

,將AGO沿CD折疊至上CD

AC=CEZACF=ZECF.

AC=BC

，CE=BC

/.BT=ETZBCT=ZECT

ZACF+NECF+ZBCT+/ECT=9伊

ZFCT=-ZACB=45°

2

「?ZF=ZFCT=45°

：.CT=TF.

設(shè)BT=ET=a

*.*FE=3EB

FE=6a

，CT=TF=la

AC=CE=—AB=y/5

2

/+(7a『=(扃

?2_1

,?0-io

1121

?\S=—CT-EF=—x7Qx6〃=——

CEF2210

(3)如圖連接3G,DK,CH延長(zhǎng)C"交AB于點(diǎn)T

CB

?點(diǎn)G繞5順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。至點(diǎn)K

.BG=BK,ZGBK=45°

?ZABC=ZGBK=45°

?ZCBG=ZDBK

?BD=BC

.CBG空DBK(SAS)

?ZBDK=ZACB=90°CG=DK.

.作點(diǎn)G關(guān)于直線。的對(duì)稱點(diǎn)“

.CG=CHZGCD=ZHCD

?CH=DK.

*BD=BCZABC=45°

?ZBDC=ZBCD=61.5°

?Z.GCD=ZHCD=67.5°-45°=22.5°

，“70=90。

/.ZCTD=ZBDK=9Q0

：.CH//DK

,/CH=DK

，四邊形C。田是平行四邊形

HK=CD.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)與判定軸對(duì)稱的

性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)勾股定理平行四邊形的判定與性質(zhì).

10.(1)AE=AF

(2)OC=CE+CF理由見(jiàn)解析

(3)4或2或6

【分析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC=BC=AD=CD

ZBAC=ZBCA=ZADC=ZDAC=60°由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ZE4F=60。易得ZEAC=NFAD由

“ASA”可證.AEC.AFD即可得證

(2)過(guò)點(diǎn)。作交"'于點(diǎn)”可證CO/I是等邊三角形可得OC=CH=OH

ZOHC=60°=ZOCF由“ASA”可證OHE^OCF可得CF=EW即可得OC=CE+b

(3)分四種情形畫(huà)出圖形分別求解即可解決問(wèn)題.

【詳解】(1)解："5C與ACD為等邊三角形

.-.AB=AC=BC=AD=CDZBAC=ZBCA=ZADC=ZDAC=60°

將射線OM繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°

.\ZEAF=60°

ZEAC+ZCAF=ZCAF+ZFAD=60°

:.ZEAC=ZFAD

ZACB=ZADF=60°ACAD

:.^AEC^AFD（ASA）

:.AE=AF

(2)解：OC=CE+CF理由如下：

如圖②過(guò)點(diǎn)。作。“〃移交。尸于點(diǎn)〃

.\ZHOC=ZBAC=60°ZOHC=ZABC=60°

圖2

ZACB=6D°

??.△C8是等邊三角形

,-.OC=CH=OHZOHC=60°=ZOCF

QZEOF=60°

."COE+/EOH=ZFOC+ZCOE

ZEOH=ZFOC

OH=OCZOHE=ZOCF

OHE^OCF(ASA)

/.CF=EH

CH=CE+HEOC=CH

.\OC=CE+CF

(3)解：作BHLAC于點(diǎn)H

AB=8AH=CH=4

BH=6AH=4A/3

如圖③-1中當(dāng)點(diǎn)。在線段AH上點(diǎn)尸在線段CO上點(diǎn)E在線段上時(shí)

圖③1

:.OH=yfo^r^BHI=}

:.OC=OH+CH=5

過(guò)點(diǎn)。作ON〃AB交BC于N

QVC是等邊三角形

；ON=OC=CN=5ZNOC=ZEOF=60°=ZONC=ZOCF

:.ZNOE=Z.COF

ON=OCZONC=ZOCF

ONE"OCF(SAS)

:.CF=NE

:.CO=CE+CF

OC=5CF=1

:.CE=OC-CF=4

:.BE=BC-CE=4

如圖③-2中當(dāng)點(diǎn)。在線段AH上點(diǎn)廠在線段DC的延長(zhǎng)線上點(diǎn)E在線段8C上時(shí)

圖③2

同法可證：CE-CF=OC

，CE=5+1=6

:.BE=BC-CE=8-6=2

如圖③-3中當(dāng)點(diǎn)。在線段C段上點(diǎn)尸在線段。上點(diǎn)E在線段BC上時(shí)

圖③-3

同法可證：OC=CE+CF

OC=CH-OH=4-1=3CF=1

:.CE=OC-CF=3-1=2

:.BE=BC-CE=8-2=6

如圖③-4中當(dāng)點(diǎn)。在線段C"上點(diǎn)尸在線段的延長(zhǎng)線上點(diǎn)石在線段5c上時(shí)

圖③4

同法可證：CE-CF=OC

OC=CH-OH=4-1=3

.?.CE=OC+CF=3+1=4

:.BE=BC-CE=8-4=4

綜上所述滿足條件的BE的值為4或2或6.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)全等三角形的判定與性

質(zhì)勾股定理熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

11.⑴點(diǎn)尸與點(diǎn)戶之間的距離為6ZAPS=150°

(2)，石

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理解

答本題的關(guān)鍵是掌握：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等對(duì)應(yīng)點(diǎn)

與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

(1)連接尸P證明是等邊三角形得Z4PP=60。PP=PA=PA=6再根據(jù)勾股定

理的逆定理證明473=90。即可

(2)把△PBC繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至BAP連接PP過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E先證明

一5Pp是等邊三角形再證明點(diǎn)尸,三點(diǎn)共線在RtA4EP中求出高即可.

【詳解】(1)解：連接尸P如圖所示：

B

尸是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)

,-.ZSAC=60°

,APAB會(huì)APAC

P'A=PA=6,P'B=PC=10,ZP'AB=ZPAC

:./FAB+ZBAP=ZPAC+ZBAP=ABAC=60°即NPAP=60°

.二H4P是等邊三角形

ZAPP'=60°PP=PA=PA=6

在△PfiP中P'P2+PB2=62+82=102=P'B2

:.ZP/PB=90°

/APB=ZAPP+NBPP=60°+90°=150°

(2)解：在等邊VABC中ZABC=ZACB=60°

把△尸3c繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至一連接PP過(guò)點(diǎn)A作AEL5P于點(diǎn)E

.-.PC=P'A=3PB=P'B=5NCBP=/ABP

ZCBP+ZABP=AABP+ZABP=60°

即NPBP=60°

???ABPP是等邊三角形

PP'=PB=5,ZPP'B=60°

P'A+PA=3+2=5=PP'

???點(diǎn)P，A尸'三點(diǎn)共線

在RtAAEPf中NEAP=90°-ZAPE=30°

/.5P=LAP=3,AE=《Ap2—Ep2=-y/3

222

■??SPBC=SABP,=(8P'-AE=；X5XT百=?壞.

12.(1)16

(2)詳見(jiàn)解析

(3)472-2

【分析】本題是四邊形綜合應(yīng)用涉及正方形的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)全等三角形的判

定和性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)證明AED-AFB(ASA)由全等三角形的性質(zhì)得出入皿=S.版即可得出答案

(2)連接GE過(guò)點(diǎn)A作A7UM交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸由(1)可得△4即0小尸3證明

EAG^FAG(SAS)由全等三角形的性質(zhì)得出屬=尸6=q+"=2+前由勾股定理求出BG

的長(zhǎng)可得出答案

(3)證明.MBCS_EMC由相似三角形的性質(zhì)得出MC可得出答案.

【詳解】(1)解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ZEAF=90°

四邊形ABCZ)是正方形

：.AB=ADZD=ZDAB=ZABF=90°

.\ZEAF=ZDAB

:.ZDAE=ZBAF

在△4￡￡>和△AF8中

ZDAE=ZBAF

<AD=AB

ND=NABF

AED^AFB(ASA)

-v=q

,?0,AED-QAFB

.??四邊形AFCE的面積和正方形面積相等

S四邊形向CE=4x4=16

二四邊形AFCE的面積為16

(2)證明：如圖連接GE過(guò)點(diǎn)A作交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸

由(1)可得△AEZ涇ZVIFB

E是。的中點(diǎn)

BF=DE=—CD=2AE=AF

2

線段AG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到線段用

:.AG=GHZAGH=90°

:.ZHAG=45°

ZGAF=90°-ZHAG=45°

.\ZGAE=ZGAF

在AAEG和AFG中

AE=AF

</GAE=NGAF

AG=AG

AEG紀(jì)AFG(SAS)

:.EG=FG=FB+BG=2+BG

在Rt.ECG中EG2=EC1+CG2

(2+BG)2=22+(4-BG)2.

解得：BG=g

48

:.CG=BC—BG=4——=-

33

:.CG=2BG

(3)解：四邊形ABC。是正方形

/.ZABC=ZADC=90°ZACB=45°

/.AC=yjAB2+BC2=4A/2

ZMBC=1SO°-ZACB-ZBMC=1SO0-450-ZBMC=1350-ZBMC

DE=3CECD=4

:.CE=-CD=1

4

由題意可得ZEMC=1350-ZBMC

:.ZMBC=ZEMC

EMC

,BCMC

'~MC~~CE

:.MC2=BC-CE=4xl=4

解得：MC=2(負(fù)值舍去)

:.AM=AC-MC=^-j2-2.

，出的長(zhǎng)度為40-2.

13.(1)DE=4

⑵”若13

⑶點(diǎn)。到邊即的距離為￥或呼

(4)當(dāng)PQ被邊的分成1:2兩部分時(shí)的長(zhǎng)為T(mén)或4

【分析】(1)根據(jù)sinA=筮=:即可求解

(2)如圖所示將加繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段尸。點(diǎn)。在邊加上由勾股定理得

至I」BD=，。磨+3磨="2+82=4后sin2EBD=除=M=￡如圖所示過(guò)點(diǎn)。作Q師于

BD4,53

點(diǎn)/設(shè)QF=#)a,BQ=5aED-FPQ(AAS)EP=FQ=s/5aDE=PF=4

EF=EP+PF=51+4=8-2也a得"嚕由此即可求解

(3)第一種情況點(diǎn)尸,E重合點(diǎn)。在把上過(guò)點(diǎn)。作QGL5D于點(diǎn)G則

DE=DP=PQ=EQ=A.tanNG8Q=辭=：設(shè)QG=b,BG=2bBQ=帆?QG-=J(2域+金=后

EQ=BE-BQ=8-45b=4解得匕=?第二種情況如圖所示點(diǎn)。在QC上過(guò)點(diǎn)。作

QGJ_6。于點(diǎn)G過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)H點(diǎn)民〃重合BE=DQ=8,DE=QB=4

NDEB=ZEBQ=ZBQD=90°四邊形DEBQ是矩形SDQB=^DQQB=；BDQG

QG=噌=喂=呼由此即可求解

BD4A/55

(4)第一種情況如圖所示PQ與BD交于點(diǎn)KH=1過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)R過(guò)

PKKLPL292228

點(diǎn)K作XL，助于點(diǎn)￡P(guān)KIsPQR-=-=—=-KL=-QR=-mPL=-PR=-x4=-

2

一in

RtBKL中tanZEBZ)=|=^^一第二種情況如圖所示PQ與BD交于點(diǎn)K

ZD，uZ

L-----m

3

黑=：=2過(guò)點(diǎn)。作。尺，的于點(diǎn)R過(guò)點(diǎn)K作于點(diǎn)c設(shè)EP=AQ=m

rK1

KL=-QR=-mPL=-PR=-x4=-BL=BE-EP-PL=^-m--=--m在H/5XL中

333333311

1

—m

tanZ￡BD=1=^=|由此即可求解.

2BL--m2

3

【詳解】(l)解：根據(jù)題意DEYAB在用ADE中AD=5sinA=^=^

44

/.Z)E=-AD=-x5=4

(2)解：如圖所示將如繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9。。得到線段PQ點(diǎn)。在邊BD上

,/AD=5,DE=4

AE=YIAD2-DE2=3則由AB-AE=ll-3=8

BD=y/DE2+BE2=742+82=475

.?.加㈤。=匹=吃=正

BD4A/55

如圖所示過(guò)點(diǎn)。作。尸，族于點(diǎn)尸

設(shè)QF=有a,BQ=5a

BF=4BQ'-QF-=J(5a)2-(>/5a)2=貝！jEF=BE-BF=8—2氐

,/NDPQ=90°=2DEP

/.NEDP+NEPD=NEPD+ZFPQ=90°

/.ZEDP=ZFPQ且。P=PQ

:.EDP烏FPQ(AAS)

/.EP=FQ=y/5aDE=PF=4

EF=EP+PF=?+4=8-2非a

解得