2025年上海高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：熱點(diǎn)題型3 三角函數(shù)與解三角形（十一大題型）原卷版+解析

熱點(diǎn)題型?解答題攻略

專題03三角函數(shù)與解三角形（十一大題型）

?>----------題型歸納?定方向-----------*>

題型01求值域、最值...........................................................................2

題型02三角函數(shù)中解不等式.....................................................................2

題型03零點(diǎn)問題...............................................................................3

題型04實(shí)數(shù)解、方程根等問題..................................................................4

題型05導(dǎo)數(shù)與三角形函數(shù).......................................................................4

題型06解三角形，周長、面積問題..............................................................5

題型07最值問題...............................................................................5

題型08取值范圍問題...........................................................................6

題型09解三角形與數(shù)列.........................................................................6

題型10平面向量、三角函數(shù)、解三角形綜合......................................................7

題型11三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.....................................................................8

o-----------題型探析?明規(guī)律-----------*>

【解題規(guī)律?提分快招】

1、已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間：一

求形如y=Asin?x+cp屐y=Acos?x+cpX其中（o>0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“（ox+（p”為一個(gè)整體，通過解不等

式求解.但如果3<0,可借助誘導(dǎo)公式將①化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò).

2、奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為丫=人點(diǎn)110?或丫=人12110?的形式，而偶函數(shù)一般可

化為y=Acostax的形式.

3、周期的計(jì)算方法：利用函數(shù)y=Asin（（ox+<p）,y=Acos（sx+<p）（co>0）的周期為，函數(shù)y=Atan（cox+（pXs>。）

的周期為求解.

4、確定y=Asin（5+O）+6（A>0,。>0）的步驟和方法

M—mrn

（1）求A,b.確定函數(shù)的最大值M和最小值處則4=一二，b=—^.

⑵求。.確定函數(shù)的最小正周期T,則。=筆

（3）求（p,常用方法如下：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入（此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上）或把

圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入.

5、解三角形問題的技巧

（1）解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或

邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.

（2）三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；己知兩邊和一邊的對(duì)角，

該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.

題型01求值域、最值

【典例1-1].(24-25高三上?上海寶山?階段練習(xí))已知/(x)=2cos2x+&sin2x,

⑴求函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵若無e[0,"，求函數(shù)y=/(%)的值域.

【變式1-1].(23-24高三上?上海靜安?期末)記/(%)=S]112%-(20$2了+2>/^5111%<：0$工+彳(X€1<),其中X為

實(shí)常數(shù).

⑴求函數(shù)y=/(x)的最小正周期；

⑵若函數(shù)y=/(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)求該函數(shù)在區(qū)間0,|兀上的最大值和最小值.

【變式1-2】.(2024?上海長寧?二模)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)〃x)=sin?尤+協(xié)(。>0)在某一個(gè)周期內(nèi)的

圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：

713兀

a)x+(p0712K

2~2

715兀2兀1171

X

A~612T~n

sin(s:+e)01A-i0

(1)請(qǐng)?jiān)诖痤}卷上將上表A處的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)y=f(x)的解析式；

⑵設(shè)0=1，9=0,8(*=r(無)+〃彳)/\-.[：€0,1^,求函數(shù)y=g(x)的值域；

【變式1-3].(24-25高三上?上海?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2":os2x+2>/^sirLrcosx.

⑴將化成/(w)=Acos3x+(p)+5(A>0,(o>0,|cp|〈兀)的形式，并寫出〃x)的最小正周期及對(duì)稱軸方

程；

⑵若小)在a,a+：上的值域?yàn)閇叫，求的取值范圍.

題型02三角函數(shù)中解不等式

【典例2-11(24-25高三上?上海奉賢?期中)已知函數(shù)y=f(x)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),并且當(dāng)x>0時(shí),

X71

/(x)=cos鼻sin―+―^3cos2—+y/3.

232

(1)求函數(shù)y=/(%)的表達(dá)式;

⑵求關(guān)于x的不等式“l(fā)og?X+1)+，尤-曰＜“0)的解集.

7C

【變式2-1】.(23-24高三上?上海嘉定?期中)已知函數(shù)〃x)=sin2x+2cos2x+l,xe0,-.

⑴求函數(shù)y=/(x)的嚴(yán)格減區(qū)間；

⑵若不等式7妙(力+2〃亞/'(X)恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

題型03零點(diǎn)問題

【典例3?1】.(24-25高三上?上海閔行?期中)已知函數(shù)/(九)=gsin25+2cos2s:—l(其中常數(shù)刃＞0).

⑴若函數(shù)/(%)的最小正周期是不求外的值及函數(shù)4%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

■7T

(2)若。=1,xe0,-,求函數(shù)的值域及零點(diǎn).

【典例3-2］.(2024?上海?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(X)=2COS2X+COS(2X_&_1.

⑴求函數(shù)的在［。，兀］上單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵若函數(shù)/(x)在區(qū)間［。,加］上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.

【變式3-1］.(2024?上海徐匯?一模)已知/(x)=asin0x+Z?cos0x(0＞O),若定義在R上的函數(shù)y=/(x)

的最小正周期為兀，且對(duì)任意的xeR,都有=

⑴求實(shí)數(shù)的值；

⑵設(shè)占,％2e(0,兀)，當(dāng)無產(chǎn)馬時(shí)，/(%)="Z)=-2,求玉+尤2的值.

【變式3-2］.(24-25高三上?上海?期中)已知/'(＞)=sins+cosox,。＞0,

7T

(1)若。=2,求函數(shù)y=/(x),xe0.-的值域；

⑵己知。＞0,且函數(shù)y=/(x)的最小正周期為無，若函數(shù)y=-￡|在［叫上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。

的取值范圍.

【變式3-3］.(2024?上海金山?二模)已知函數(shù)y=/(x),記/。)=5皿0匹+0),(9＞0,。＜。(兀，xeR.

⑴若函數(shù)y=/(x)的最小正周期為兀，當(dāng)〃芻=1時(shí)，求。和。的值；

6

TT

(2)若刃=1,。=:，函數(shù)y=/2(%)_2/(x)—〃有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【變式3-4】.(24-25高三上?上海?開學(xué)考試)已知函數(shù)y=〃x)的表達(dá)式為/(x)=sin(s+2),。＞0

⑴設(shè)0=1,求函數(shù)＞=〃尤)，尤目0,司的單調(diào)增區(qū)間；

⑵設(shè)實(shí)數(shù)。＞兀，“X)的最小正周期為兀，若在無目私句上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

題型04實(shí)數(shù)解、方程根等問題

【典例4-1】?(24-25高三上?上海?期中)已知函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式為/'(x)=2cos2尤+cos(2x-j-1.

⑴求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

⑵求方程=咚在xe[0,兀]上的解.

【變式4-1】.(2023?上海寶山?二模)已知函數(shù)/(x)=sinxcosx-gcos2x+與.

(1)求函數(shù)y=/(x)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；

TT

(2)若關(guān)于x的方程/")-m=0在xe0,-上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

【變式4-2].(23-24高三下?上海浦東新?期中)已知函數(shù)y=F(x),其中/(x)=sinx.

⑴求在xe[0,句上的解；

⑵己知85)=6/5)/、+?-/(力/"+兀)，若關(guān)于x的方程g(x)一加=；在xe0卷時(shí)有解，求實(shí)數(shù)相

的取值范圍.

【變式4-3].(24-25高三上?上海?階段練習(xí))已知函數(shù)〃9=瓜山(5+0+2$狂(當(dāng)￡|_1(0＜。＜兀)為

奇函數(shù)，且/(X)圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為

⑴求〃尤)的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵已知〃無)在xe時(shí)，求方程2產(chǎn)(力+囪("-3=0的所有根的和.

題型05導(dǎo)數(shù)與三角形函數(shù)

3兀

【典例5?1】.(2024?上海嘉定?一模)已知/(X)=2COS(GX+—),其中。＞0.

4

TTTT

(1)若刃=2,求函數(shù)y=-7，7]的值域；

44

⑵若〃：)=。，且函數(shù)y=/(元)在(：,令內(nèi)有極小值，但無極大值，求。的值.

【變式5-1].(24-25高三上?上海松江?期中)已知函數(shù)/(X)=2COS2X+COS(2X-]J-L

⑴求函數(shù)y=y(x)在[0,可上的單調(diào)減區(qū)間；

（2）若函數(shù)y=在區(qū)間[0,向上有且只有兩個(gè)極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

題型06解三角形，周長、面積問題

【典例6-1].（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）在VABC中，角A,民C的對(duì)邊分別為瓦c.已知.=指，6=2c,

“1

cosA=——.

4

⑴求C的值；

⑵求sin（2A-B）的值.

【變式6-11.（2023?上海奉賢?一模）在VA2C中，設(shè)角A、B、C所對(duì)邊的邊長分別為。、b、c,已知

A/3C=A/3Z?COSA+asinB.

⑴求角3的大??；

（2）當(dāng)〃=2力，6=26時(shí)，求邊長。和VABC的面積S.

【變式6-2】.（2023?上海松江?一模）在三角形A3C中，內(nèi)角A&C所對(duì)邊分別為4氏c,已知

asinB=bcos（A-0.

⑴求角A的大?。?/p>

（2）若c=2b,三角形ABC的面積為名巨，求三角形ABC的周長.

3

題型07最值問題

【典例7-11.（2024?上海?三模）已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為b,c,且耳=2csinA.

⑴求sinC的值；

⑵若c=3,求ABC面積S的最大值.

【變式7-1].（2024.上海嘉定.二模）在VABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、6、c,cos2B-sin2B=-1.

⑴求角B,并計(jì)算sin,+j的值；

（2）若6=右，且VABC是銳角三角形，求a+2c的最大值.

【變式7-21.（2023?上海三模）已知在VA2C中，角AB,C所對(duì)的邊分別為。,瓦。力=1,且滿足

2acosB=cosC+ccosB.

⑴若a=Ml,求VABC的面積S；

13

（2）求a+2c的最大值，并求其取得最大值時(shí)cosC的值.

【變式7-3].（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）已知。，b,c分別為VA2C三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且

2Z?=c+2acosC.

⑴求A；

(2)若°=6，且VABC是銳角三角形，求"(6+l)c的最大值.

題型08取值范圍問題

【典例8-1].(24-25高三上?上海?階段練習(xí))在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,已

知a=6tanA且3為鈍角，

⑴求3-A；

(2)求sinA-cosB+sinC的取值范圍是.

【變式8-1].(24-25高三上?上海?期中)設(shè)VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=btanA且8為

鈍角.

JT

(1)若A=Ipc=2,求VABC的面積；

⑵求sinA+sinC的取值范圍.

【變式8-2].(23-24高三上?上海嘉定?期中)在VABC中，角4、8、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,且滿

足asinCcosB+bsinAcosC--a.

2

⑴求角A；

(2)若VABC為銳角三角形，求sinBsinC-石sin'B+Y^的取值范圍.

4

題型09三角函數(shù)或解三角形與數(shù)列

【典例9-1].(20-21高三上?上海虹口?期中)在ASC中，角A、8、C的對(duì)邊分別為a、6、c,已知sinB='，

且B4BC=12.

(1)求VABC的面積；

(2)若°、6、c成等差數(shù)列，求b的值.

【典例9-2].(23-24高三上?上海嘉定?期中)已知函數(shù)/(x)=Z^sinxcosx-Zsin'x.

(1)求/'(尤)的最大值及取得最大值時(shí)x的值；

(2)在VA5C中，內(nèi)角A,民C所對(duì)應(yīng)的邊為a,b,c,若/(A)=0,4凡。成等差數(shù)列，S.AB-AC=2,求。的

值.

【變式9-1].(23-24高三下.上海松江.階段練習(xí))設(shè)VABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為。、b、c,若

1+cosB_2-cosA

sinBsinA

(1)求證：a、b、c成等差數(shù)列；

(2)若久b、c(avbvc)均為整數(shù)，且存在唯一的鈍角VABC滿足條件，求角。的大小.

【變式9.2】?(2019?上海松江?一模)已知函數(shù)/(元)=2百sinxcosx—ZsiYx.

⑴求r(x)的最大值;

(2)在VABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、6、。，若〃A)=0,6、a、c成等差數(shù)列，且A3.AC=2，

求邊。的長.

【變式9-31.(2024.陜西寶雞?三模)已知數(shù)列｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，4=5,且%%，%成等比數(shù)

列.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

JTZ7

⑵設(shè)，=ancos^-,求數(shù)列｛0｝的前2024項(xiàng)和.

題型10平面向量、三角函數(shù)、解三角形綜合

【典例10-1].(24-25高三上?上海?期中)已知函數(shù)/(x)=sin，-cos2x-瓜in(2x-j.

⑴求〃尤)的最小正周期和嚴(yán)格增區(qū)間；

(2)若A是三角形A3C的內(nèi)角，BC=2J[T)=-乎，求三角形A3C的外接圓半徑.

【典例10-2].(24-25高三上?上海?期中)設(shè)向量相=(cos。,6),〃=(2,sin2x),f^x)=m-n.

(1)求函數(shù)y=/(x)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；

(2)在VABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、6、c.若〃A)=2,a=2,且8+c=3,求VABC的面積.

【變式10-1].(24-25高三上?上海?階段練習(xí))在VABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c.已知

2ccosA=2b—a.

⑴求角C的大??；

⑵設(shè)M為A3邊的中點(diǎn)，若,="，a-b=\,求的大小.

【變式10-2】?(23-24高三下?上海青浦?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=sinxcosx-sin2x+g.

⑴求了(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

-71

⑵在VABC中，a,b,c為角A,B,C的對(duì)邊，且滿足bcos2A=6cosA-asin3,M0<A<-,求角A的

值.

【變式10-31.(2024.上海浦東新.三模)已知/(無)=2sin(&r+°),其中O>0,H<|.

(1)若。=：,函數(shù)y=/(x)的最小正周期T為4兀，求函數(shù)y=/(久)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)的部分圖象如圖所示，其中Afi.AC=12,。(0,-石)，求函數(shù)的最小正周期T,并求y=

/(久)的解析式.

【變式10-41.(2024?上海松江?二模)^/(x)=sin2yx+73cos-^xsinyx(<y>0),函數(shù)y=/(x)圖象的兩

條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為兀.

⑴求函數(shù)y=/(x)的解析式；

3

(2)在VABC中，設(shè)角A、8及C所對(duì)邊的邊長分別為。、b及c,若〃=百，b=6,/(A)=-,求角C.

【變式10.5】.(24-25高三上?上海虹口?階段練習(xí))已知/(%)=百51!151：05刃力-852刃工+；,①>0.

7T

⑴若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵設(shè)VABC的三邊分別是〃S,c,若o=c=l,f(C)=--,求a+25的取值范圍.

題型U三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【典例11-1].(23-24高三上?上海浦東新?階段練習(xí))某中學(xué)為美化校園將一個(gè)半圓形邊角地改造為花園.如

圖所示，。為圓心，半徑為1千米，點(diǎn)A、B、尸都在半圓弧上，設(shè)ZNOP=/POA=e,/AOB=2。,其

中0<。<二.

(1)若在花園內(nèi)鋪設(shè)一條參觀的線路，由線段附、AB.3M三部分組成，求當(dāng)6取何值時(shí)，參觀的線路最

長；

⑵若在花園內(nèi)的扇形ONP和四邊形OMB4內(nèi)種滿杜鵑花，求當(dāng)。取何值時(shí)，杜鵑花的種植總面積最大.

【變式11-1].(23-24高三上?上海浦東新?期末)某街道規(guī)劃建一座口袋公園.如圖所示，公園由扇形AOC

區(qū)域和三角形C8區(qū)域組成.其中A、O、。三點(diǎn)共線，扇形半徑。4為30米.規(guī)劃口袋公園建成后，扇形

AOC區(qū)域?qū)⒆鳛榛ú菡故緟^(qū)，三角形COD區(qū)域作為親水平臺(tái)區(qū)，兩個(gè)區(qū)域的所有邊界修建休閑步道.

7T

(1)若NAOC=§,OD=2OA,求休閑步道總長(精確到米);

(2)若Nor>c=C，在前期民意調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)，絕大部分街道居民對(duì)親水平臺(tái)區(qū)更感興趣.請(qǐng)你根據(jù)民意調(diào)查

情況，從該區(qū)域面積最大或周長最長的視角出發(fā)，選擇其中一個(gè)方案，設(shè)計(jì)三角形COD的形狀.

【變式11-21?(24-25高三上?上海?階段練習(xí))中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生

活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù).在中國，剪紙具有廣泛的群眾基礎(chǔ)，交融于各族人民的社會(huì)生活，是

各種民俗活動(dòng)的重要組成部分，傳承視覺形象和造型格式，蘊(yùn)涵了豐富的文化歷史信息，表達(dá)了廣大民眾

的社會(huì)認(rèn)知、道德觀念、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、生活理想和審美情趣.現(xiàn)有一張矩形卡片A2CD,對(duì)角線長為f?為

常數(shù))，從△AB。中裁出一個(gè)內(nèi)接正方形紙片使得點(diǎn)E,H分別A3,AD上，設(shè)

正方形紙片EFGH的面積為S2.

(2)當(dāng)a變化時(shí)，求去的最大值及對(duì)應(yīng)的a值.

0---------------題型通關(guān)?沖高考-----------?>

一、解答題

1.(2021?上海浦東新?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=asin2X+瘋zsinxcosx-gQ+bmiMvO),

■jr

(1)若當(dāng)xe0,-時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?5』，求實(shí)數(shù)。力的值；

⑵在(1)條件下，求函數(shù)/(x)圖像的對(duì)稱中心和單調(diào)區(qū)間.

2.(2024?上海寶山?二模)在二ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知

sin2A+sin2C=sin2B+sinAsinC.

⑴求角B的大?。?/p>

⑵若ABC的面積為百，求a+c的最小值，并判斷此時(shí).ASC的形狀.

3.(2023?上海普陀?三模)設(shè)函數(shù)"x)=1sin20x+cos2s，其中0＜。＜2.

⑴若〃無)的最小正周期為無，求的單調(diào)增區(qū)間；

⑵若函數(shù)圖象在］。，鼻上存在對(duì)稱軸，求0的取值范圍.

4.(2023?上海閔行?一模)在VA2C中，角A、B、C所對(duì)邊的邊長分別為。、b、c,且a—2ccosB=c.

(1)若cosB=；,c=3,求b的值；

(2)若VABC為銳角三角形，求sinC的取值范圍.

熱點(diǎn)題型?解答題攻略

專題03三角函數(shù)與解三角形(十一大題型)

?>----------題型歸納?定方向-----------<>

題型01求值域、最值...........................................................................2

題型02三角函數(shù)中解不等式.....................................................................5

題型03零點(diǎn)問題...............................................................................8

題型04實(shí)數(shù)解、方程根等問題..................................................................13

題型05導(dǎo)數(shù)與三角形函數(shù)......................................................................18

題型06解三角形，周長、面積問題.............................................................20

題型07最值問題..............................................................................22

題型08取值范圍問題..........................................................................28

題型09解三角形與數(shù)列........................................................................30

題型10平面向量、三角函數(shù)、解三角形綜合.....................................................33

題型11三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用....................................................................40

?-----------題型探析?明規(guī)律-----------?>

【解題規(guī)律?提分快招】

1、已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間:

求形如丫=人$皿《?+「)或y=Acos?x+(pX其中《>>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“cox+(p”為一個(gè)整體，通過解不等

式求解.但如果SO,可借助誘導(dǎo)公式將8化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò).

2、奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為丫=人點(diǎn)11(OX的形式，而偶函數(shù)一般可

化為y=Acos(ox的形式.

3、周期的計(jì)算方法：利用函數(shù)y=Asin?x+(p),y=Acos(a>x+(p)?>0)的周期為，函數(shù)y=Atan(3x+cp)?>0)

的周期為求解.

4、確定y=Asin(ox+9)+6(A>0,。>0)的步驟和方法

]\4—min

(1)求A,b.確定函數(shù)的最大值M和最小值處則4==」，b=~^.

⑵求。.確定函數(shù)的最小正周期T,則。=竿

(3)求V,常用方法如下：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把

圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入.

5、解三角形問題的技巧

(1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或

邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.

(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；己知兩邊和一邊的對(duì)角,

該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.

題型01求值域、最值

【典例1-1].(24-25高三上?上海寶山?階段練習(xí))已知/(x)=2cos"+石sin2x,

⑴求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵若xe[0,勺，求函數(shù)尸f(x)的值域.

TTQjr

【答案】(l)[2+M,；+E],%eZ

63

(2)[0,3]

【分析】(1)利用降幕公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)y=/(%)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求得其

單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)先由xe[0,勺求得整體角(2》+當(dāng)€邑當(dāng)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可求其值域.

2666

【解析】(1)/(x)=2cos2x+5/3sin2x=l+cos2x+A^sin2x=2sin(2x+y)+l,

6

jrTT712冗

由一+2kii<2x+—<----F2kjt,kGZ,可得一+左?！?kn.kGZ,

26263

TT27r

即函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為匕+E,?+E]《eZ.

63

(2)當(dāng)(2x+—)e[—,-—],則—<Vsin(2x+f1,

266626

故函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)椤?].

【變式1-1】?(23-24高三上?上海靜安?期末)記/(x)=sin2x-cos2x+2后sinxcosx+/l(xeR),其中九為

實(shí)常數(shù).

⑴求函數(shù)y="X)的最小正周期；

⑵若函數(shù)y=/(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)求該函數(shù)在區(qū)間。,|兀上的最大值和最小值.

【答案】⑴兀

⑵/(x)1nhi=-2,/(x)max=1

【分析】(1)利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)解析式即可得出答案；

(2)求出力，再整體換元2x-J=f，找出/的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

O

【解析】(1)"x)=-cos2x+6sin2x+4=2sin12x-^+4.

，函數(shù)y=/(x)的最小正周期為兀.

(2)/13=1+4=0,

二.％=—1,則/(x)=2sin12x——1.

令2x-?=f,因?yàn)閤e0,—n,貝!Jfe~

63Jl_66_

當(dāng)2X-工=一二或叁，即x=0或a時(shí)，f(x).=-2.

6663」八，1nm

當(dāng)2x4=—即》=々時(shí)，/U)max=l.

623

【變式1-2].(2024?上海長寧.二模)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)/(x)=sin(0x+0)(0>O)在某一個(gè)周期內(nèi)的

圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：

713兀

CDX+(p0712兀

2~2

715712兀1171

X

A~6

nT~12

sin(5+0)01A-i0

(1)請(qǐng)?jiān)诖痤}卷上將上表A處的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)y=/(尤)的解析式；

⑵設(shè)0=Lo=O,g(x)=/2(x)+〃x)/[-x卜eO,D求函數(shù)y=g(x)的值域;

【答案】⑴補(bǔ)充表格見解析，/(x)=sinf2x+^

⑵。，勺

兀71

o)'—+(p=—

62

【分析】(1)由表得，解方程組即可得0,。，進(jìn)一步可據(jù)此完成表格;

2兀3兀

3----+0=—

32

(2)由題意結(jié)合二倍角公式、誘導(dǎo)公式以及輔助角公式先化簡(jiǎn)g(x)的表達(dá)式，進(jìn)一步通過整體換元法即可

求解.

7171

CD'—+(P=—

62JT

【解析】(1)由題意解得刃=2#=>

2兀3兀6

3--------F(D二——

32

所以函數(shù)y=的解析式為"x)=sin(2x+￡

令2x+B=。時(shí)，解得尤=-二，當(dāng)式=/寸，2x+＞兀,sin2x+￡71=0,

6126

將表中A處的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整如下表:

713兀

CDX+(p

071~22兀

2

71715兀2兀1171

X

12~6nT~12

sin(5+0)010-10

(2)若口=1,0=。，

則g⑴=sin2x+sinxsing-x)=sin?x+sinxcosx

l-cos2x1.72.(Tlyifr7l~[]

222I12」J

因?yàn)閤e0,1-,所以2x-：e,

進(jìn)而sin(2x-：Je，

所以函數(shù)y=g(x)的值域?yàn)閛,也;1.

【變式1-3].(24-25高三上?上海?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=20cos2x+2V^siiu:cosx.

⑴將/(x)化成/(x)=Acos(8x+(p)+B(A>0,3>0,同<￡)的形式，并寫出的最小正周期及對(duì)稱軸方程;

⑵若〃無)在a,a+：上的值域?yàn)閇回，求的取值范圍.

【答案】(1)/(力=23(2》-；)+痣*=兀,對(duì)稱軸為直線》=方+今收€2

(2)[2-72,272]

【分析】(1)根據(jù)題意，由恒等變換公式代入計(jì)算，化簡(jiǎn)，再由余弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，分/■(X)在a,a+；上單調(diào)以及/'(x)在a,a+：上不單調(diào)討論，然后結(jié)合條件列出不等式，

代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【解析】(1)=2后x^^^^+0sin2x=>/5cos2x+A/5sin2x+夜

=2cos（2x-：1+a,由題意得〃x）的最小正周期7=:=九

由〃x）圖像可知，對(duì)稱軸為直線尤=J+"/eZ.

o2

71k7l

a>——F——,

（2）若〃x）在a,a+：上單調(diào)，則<82K7E7Z,

71,兀71kjl

a-\——<——I------1-------,

%+冬口哼+竽~,

貝[]/>_〃=/(a)_/(a+；2cosl2a-^j-2cosf2a+：

|A/2COS2a+后sin2a-&cos2a+A/2sin2a|=|l'Jlsin2a|

,,7Ukn/j3兀kn,“

由一十——<a<一+——,keZ得;+左冗《2a<m+左九,左6Z,則bin2a|e

8282

所以〃-a=12亞sin2ale［2,20〕.

若〃無）在［a,a+：上不單調(diào)，

則/（尤）在［a，a+：上的圖像上必定有一個(gè)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，

且/（尤）在［a,a+：上的圖像無論經(jīng)過任何一個(gè)最高點(diǎn)或任何一個(gè)最低點(diǎn),

6-。的取值范圍均相同.

假設(shè)“X）在a,a+：上的圖像的最高點(diǎn)為4償2+q，則匕=2+0，

當(dāng)a+a+5=2xj,即a=0時(shí)，a=f（0］=272,止匕時(shí)取得最小值，

4o

且最小值是2-夜.易得：卜及，則〃—"2,所以萬-ae［2-a,2）.

綜上，b-a的取值范圍為［2-收,2及］.

題型02三角函數(shù)中解不等式

【典例2-1］.（24-25高三上?上海奉賢?期中）已知函數(shù)y=/（乃是定義在（-1,1）上的奇函數(shù),并且當(dāng)x>0時(shí),

2

f（x）=cos|-sin^|+-1^->/3cos1+A/3.

（1）求函數(shù)y=/（%）的表達(dá)式；

（2）求關(guān)于x的不等式“l(fā)og?x+l）+-</（0）的解集.

【分析】(1)當(dāng)x>0時(shí)，化簡(jiǎn)/(無)，再根據(jù)/(尤)為奇函數(shù)求解當(dāng)-l<x<0時(shí)，函數(shù)/(x)的解析式;

(2)判斷函數(shù)/'(x)在(-1,1)上的單調(diào)性，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.

【解析】(1)當(dāng)0<%<1時(shí)，函數(shù)/(x)=cos'('sin三+，^cos2)-J^cos22+6

222222

1.xxV32%/r1.V31+cosx/T

=-sin-cos--------cos—卜73=-sinx--------------------1-\/3

22222422

1.V3341兀、

——sinx-------cosxH-------——sin(x—)T-------?

444234

當(dāng)x=0時(shí)，/(%)=。；

當(dāng)一lv尤<0時(shí)，一%>0,

日口“、1.(兀、3G1.(兀、3百

E|J/=—sinl~x~^ysinlx+^\+~^~；

因?yàn)?(-x)=-/(x)，

所以/(尤)=gsin［尤+gJ—.

因此〃x)=0，尤=0

,_...//A1\rtI兀兀1兀兀

(2x)當(dāng)］￡(0,1)時(shí)，——<%——<1——<—,

3336

因此有y=/(x)在(0,1)上嚴(yán)格單調(diào)遞增;

而當(dāng)x=o吟小.+乎邛

>0,

因此有y=/(力在(-1,1)上嚴(yán)格單調(diào)遞增；

原不等式可化為：/(log2x+l)</Q-^

而y=〃x)是定義在(-M)上的嚴(yán)格增函數(shù),

-l<log2x+l<l

1I1

所以-I<—x<I

2

11I

log2x+l<--x

因此不等式的解集為

【變式2-1].(23-24高三上?上海嘉定?期中)已知函數(shù)"x)=sin2x+2cos2x+l,xe0,|

⑴求函數(shù)y=的嚴(yán)格減區(qū)間；

(2)若不等式時(shí)(x)+2加之/(x)恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】⑴

oZ

【分析】(1)由三角恒等變換化簡(jiǎn)得出〃x)=&sin[2x+：]+2,由04x4、可求出2x+：的取值范圍，

再由正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)f(x)的減區(qū)間；

(2)求出/(x)+2的取值范圍，由參變量分離法可得出加一〃0+2,求出函數(shù)5互下

的最大值，即可得出實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【解析】(1)解：因?yàn)?(x)=sin2x+2c°s2%+1=sin2x+c°s2x+2=0sin〔2x+；1+2,

I--八_日/71__兀_57r1兀，c兀,57r_r/口兀,一兀

因?yàn)椤?%工7，貝」:02%+:工—，由7K2x十二<——<x<—,

244424482

,、兀兀

所以，函數(shù)y=〃x)的嚴(yán)格減區(qū)間為.

O2

⑵解：由⑴可知,則-乎

<sin]2x+j<1,

所以，3<V2sin2x+^+4<4+V2,即34/(x)+244+0,

14-V211

所以‘—1廠"冗

由研〃x)+2]'〃x)可得"2/需=1一肅工p

g、i23+a3+0

所以‘一互聲V一廠'所以'm^-r

、

因此，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是,+8.

7

題型03零點(diǎn)問題

【典例3-1].（24-25高三上?上海閔行?期中）已知函數(shù)y（x）=囪sin20x+2cos2ox—l（其中常數(shù)。>0）.

⑴若函數(shù)的最小正周期是自求。的值及函數(shù)“X）的單調(diào)遞增區(qū)間;

JT

（2）若。=1,xe0,-,求函數(shù)的值域及零點(diǎn).

kit7iku7i

【答案】（）。=（林Z）；

12,5―Z'E12

⑵[T，2]；|f.

【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可;

（2）利用（1）化簡(jiǎn)得函數(shù)解析式，利用整體思想及三角函數(shù)的性質(zhì)求值域與零點(diǎn)即可.

【解析】（1）由f（x）=A/3sin26?x+2cos2^x-1=A/3sin2^x+cos26t>x=2sinIcox+—,

若函數(shù)的最小正周期是9則m=g（0>o），即0=2,所以/(x)=2sin卜x+看

22co2

*_,7T.7T_7LAF、/t=tATT7LklL7T

令2E——<4x+—<2fTar+—,解之得-----<x<-----1----,

26226212

knJTKTTIT

所以函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為y--，y+-優(yōu)eZ）；

(2)由⑴知：/(x)=2sin|2a>x+^,若0=1,則〃尤)=2$何卜工+?

兀71717兀

貝0,—時(shí)，有2%+工￡,則sin2x+^le--1

o69~62''

故/⑺1,2],函數(shù)值域?yàn)閇-1,2],

而在上，只有sin7i=0,BP2x+—=7i^>x=—,

66612

即函數(shù)的零點(diǎn)為五.

【典例3-2].（2024.上海.模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=2cos2x+cos（2x-m）-1.

⑴求函數(shù)的在[。,兀]上單調(diào)遞減區(qū)間;

⑵若函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,河上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.

■j,■7T77T

【答案】⑴r%，蜜

⑵丹，3).

o3

【分析】(1)利用二倍角公式及和差角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再求出相位的范圍，并借助正弦函數(shù)的性質(zhì)

求出遞減區(qū)間.

(2)由x的取值范圍求出2x+1的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.

【解析】(1)依題意，/(x)=2cos2x+cos(2x--)-1=cos2x+cos2xcos—+sin2xsin—

333

=sin2x+—cos2x=百sin(2x+g),

223

當(dāng)xe［O,句時(shí),2x+裝［|,g,由建2》+2今，得—些xw普,

L」3332321212

IT77r

所以函數(shù)7'(X)的在［。㈤上的單調(diào)遞減區(qū)間為喧苴