2025年江蘇中考數(shù)學壓軸題匯編:二次函數(shù)(角度問題)原卷版+解析_第1頁
2025年江蘇中考數(shù)學壓軸題匯編:二次函數(shù)(角度問題)原卷版+解析_第2頁
2025年江蘇中考數(shù)學壓軸題匯編:二次函數(shù)(角度問題)原卷版+解析_第3頁
2025年江蘇中考數(shù)學壓軸題匯編:二次函數(shù)(角度問題)原卷版+解析_第4頁
2025年江蘇中考數(shù)學壓軸題匯編:二次函數(shù)(角度問題)原卷版+解析_第5頁
已閱讀5頁,還剩72頁未讀, 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)

文檔簡介

壓軸專題05二次函數(shù)(角度問題)

背;技法全歸納

知識考點與解題策略

【解題思路】

二次函數(shù)與角有關(guān)問題包括等角、倍角、特殊角以及三角函數(shù)問題.

倍角問題,往往將其轉(zhuǎn)化成等角問題.

對于等角問題,一般有以下解決路徑:

(1)將等角轉(zhuǎn)化在一個三角形中,利用等腰三角形兩邊相等,借助距離公式解決;

⑵用等角的三角比相等,構(gòu)造直角三角形,尋找比例關(guān)系;

⑶利用角的和差關(guān)系,尋找等角,而等角存在兩個相似三角形中,往往是子母三角形,利用比例線段構(gòu)建

數(shù)量關(guān)系;

(4)利用角平分線的相關(guān)性質(zhì)定理.

勤典題固基礎(chǔ)

例題1(24-25江蘇揚州?一模)在平面直角坐標系中,拋物線-2x-3與x軸交于點A和點8,與y軸

交于點C,頂點為O.

⑴請直接寫出A、B、。三點坐標.

⑵如圖1,點M是第四象限內(nèi)拋物線上的一點,過點M作x軸的垂線,交直線2C于點N,求線段長

度的最大值;

⑶如圖2,若點尸在拋物線上且滿足/PCB=NCBD,求點尸的坐標;

例題2如圖1,在平面直角坐標系xOy中,O為坐標原點,已知拋物線/=-x2+bx+c的頂點坐標為C(-3,4),

與X軸分別交于點A,B.連接AC,點。是線段AC上方拋物線上的一動點.

(1)求拋物線的解析式;

⑵如圖1,在點。運動過程中,連接AD、CD,求△ADC面積的最大值;

⑶如圖2,在點。運動過程中,連接OD交AC于點E,點尸在線段。4上,連接OC、DF、EF,若

ZACO=AFDO+ZDFE,求點F橫坐標的最大值.

例題3綜合與探究

如圖,拋物線尸加+bx-3(aW0)與x軸交于A(-l,0)、8兩點,與y軸交于點C,點。,立曰在拋物線上,

點P是拋物線在第四象限內(nèi)的一個動點,過點P作尸?!▂軸交直線5。于點。,連接24、PB、QA,設(shè)點

P的橫坐標為m.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式;

⑵求四邊形PAQ3面積的最大值及此時點P的坐標;

(3)若點M是拋物線上任意一點,是否存在點使得NMNLB=2NACO,若存在,請直接寫出所有符合條

件的點M的坐標,若不存在,請說明理由.

新題型特訓

1.(24-25九年級上?江蘇蘇州?期中)如圖,二次函數(shù)》=-無2+2〃IX+2M+1(機是常數(shù),且加>0)的圖象

與x軸交于A,B兩點(點A在點2的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為D其對稱軸與線段BC交于點E,

與x軸交于點凡連接AC.若ZBEF=2ZACO,則機的值為()

2.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習)如圖,二次函數(shù)y=-》2+2〃a+2”?+1(根是常數(shù),且加>0)的

圖象與x軸交于A,8兩點(點A在點8的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為。.其對稱軸與線段BC交于

點E,與x軸交于點E連接AC若ZBEF=2ZACO,則根的值為.

3.(24-25九年級上?江蘇揚州?期末)如圖,拋物線y-Y+bx+c經(jīng)過A(4,0),C(-l,0)兩點,與y軸交

于點8,P為第一象限拋物線上的動點,連接48、BC、PA.PC,尸C與AB相交于點Q.

(1)求拋物線的解析式;

⑵設(shè)△APQ的面積為',△BCQ的面積為S2,當51-邑=5時,求點尸的坐標;

(3)拋物線上存在點P,滿足NB4B+NCBO=45。,則點P的坐標為.

4.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習)如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線y=a(x-l)(x-4)(a>0)

與x軸交于A、B兩點,與>軸交于點C,若滿足OC?=0405.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式;

(2)連接AC、BC,

①求證:ZACO=ZCBA;

②在拋物線上找一點E,使得NEAC=2NCBA,請求出點E的坐標.

5、如圖,已知拋物線y=法+c經(jīng)過點A(-6,0),3(2,0),與y軸交于點C

(1)求拋物線的解析式;

⑵若點尸為該拋物線上一動點.

①當點尸在直線AC下方時,過點尸作尸石x軸,交直線AC于點E,作尸尸〃y軸.交直線AC于點R求

跖的最大值;

②若ZPCB=3/OCB,求點P的橫坐標.

6.如圖,直線y=-x+3與X軸、y軸分別交于8、C兩點,拋物線y=-爐+6x+c經(jīng)過點2、C,與x軸另

一交點為A,頂點為D

(1)求拋物線的解析式;

⑵在x軸上找一點E,使EC+EO的值最小,求出此時點E的坐標,并求EC+即的最小值;

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得NAPB=NOCB?若存在,求出P點坐標;若不存在,請說明

理由.

7.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習)如圖1,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(TO)和5(4,0),交y軸于點C(0,2),

連接3c.點。為第一象限拋物線上一動點,過點。分別作x軸和y軸的垂線,交于點E和點?

(2)求面積的最大值及此時點D的坐標:

(3)當DEF面積最大時,在拋物線上是否存在一點使請直接寫出點M的坐標;若

不存在,請說明理由.

24

8.如圖,在平面直角坐標系中,已知二次函數(shù)y=+2的圖象與無軸交于A,2兩點(點A在點2

的左側(cè)).與y軸交于點C,連接BC.

(1)求A、B、C三點的坐標;

⑵若點尸是x軸上一點,當3cp為等腰三角形時,求點P的坐標;

(3)點。是二次函數(shù)圖象上的一個動點,請問是否存在點。使NQCB=ZABC?若存在,請求出點。的坐標;

若不存在,請說明理由.

9.如圖,二次函數(shù)y=G?一6膜+4(°是常數(shù),且。片0)的圖象與x軸相交于點A、B(點A在點B的左

側(cè)),與y軸相交于點C,S.OC=2OA,連接AC.

⑴填空:?=,3的坐標為;

(2)如圖1,點。為拋物線上一點,且在B,C兩點之間運動,連接AO與BC相交于點E,連接AC,BD,

當S△曲-S.c的值最大時,求直線80的表達式;

(3)如圖2,動點尸在拋物線的對稱軸上,連接BC、PA.PC,若NAPC=2NABC,請求出點尸的坐標.

10.(24-25?江蘇揚州?二模)如圖,二次函數(shù)的圖象與X軸交于A(TO),B(5,o)兩點,與y軸交于點C(0,5),

頂點為。.O為坐標原點.

⑴求二次函數(shù)的表達式;

⑵求四邊形ACDB的面積;

(3)P是拋物線上的一點,且在第一象限內(nèi),若NACO=NP3C,則尸點的坐標為.

11.(24-25?江蘇淮安?一模)如圖①,二次函數(shù)>=-/+法+4的圖象與直線/交于A(T,2)、8(3,〃)兩點.點

P是x軸上的一個動點,過點尸作x軸的垂線交直線/于點交該二次函數(shù)的圖象于點N,設(shè)點P的橫坐

標為加.

⑵若點N在點M的上方,且肱V=4,求機的值;

⑶將直線45向上平移4個單位長度,分別與x軸、y軸交于點C、D(如圖②).

①記NBC的面積為S-N4C的面積為S2,是否存在加,使得點N在直線AC的上方,且滿足S尸gs”

若存在,求出機及相應(yīng)的5、S?的值;若不存在,請說明理由.

②當機>-1時,將線段繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段MF,連接用、FC、OA,若

ZFBA+ZAOD-ZBFC=45°,直接寫出點F的坐標.

12.(2024?江蘇宿遷?三模)已知,如圖,直線y=-2x+利與x軸、y軸相交于點A、點C,點A的坐標為

(-2,0),點8的坐標為(3,0),拋物線>="2+施+,經(jīng)過點4B、C.

(2)延長C4至點D,作NZMB、NACB的平分線,兩條角平分線相交于點G,求tanNG的值;

(3)在(2)的條件下,在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得N3PC=NG,若存在,求出點尸的坐標,

若不存在,請說明理由.

13.(2024?江蘇無錫二模)如圖,已知二次函數(shù))=加-5依+44>0)的圖象與x軸交于&、B(A在8左

3

側(cè)),與y軸交于C,在函數(shù)圖象上取一點〃,點。和點C的縱坐標相同,CD=AC,twZOAC=~.

⑴求二次函數(shù)的表達式;

⑵在x軸上取點M(m,0),若二次函數(shù)圖象上存在一點N,使得N/W7+NACO=90。,且滿足條件的點

N有且只有3個,請求出機的值.

14.如圖,拋物線>=江+法-3經(jīng)過A(-l,0),3(3,0)兩點,與y軸交于點C,尸為第四象限內(nèi)拋物線上

一個動點,過點P作/軸于點連接AC,AP,AP與y軸交于點D

(1)求拋物線的函數(shù)表達式;

(2)求四邊形。MB尸面積的最大值;

(3)當=4c時,求直線AP的函數(shù)表達式及點P的坐標.

15.(2024?江蘇無錫?一模)如圖1,在平面直角坐標系中,直線y=+若與x軸,y軸交于點A,B,二

次函數(shù)的圖象G經(jīng)過點4點2,與無軸交于點C(3,0).

⑴求二次函數(shù)的表達式;

⑵如圖2,點尸在第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上,分別過點P作直線軸的垂線,垂足是E,F,當PE+PF

取得最大值時,求點尸的坐標;

⑶如圖3,將二次函數(shù)的圖象G沿射線CB的方向平移,平移后的二次函數(shù)圖象G'恰好經(jīng)過點8,點。為

圖象G'上一點,直線CQ與直線A3相交于點ABAC=ZAMC+ZBCA,求點。的橫坐標.

16.(2025九年級下?江蘇?專題練習)如圖在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=;x-2的圖象與無軸交于點3,

與y軸交于點C,二次函數(shù)y=g/+6x+c的圖象經(jīng)過B,C兩點,且與x軸的負半軸交于點A,動點。在

直線BC下方的二次函數(shù)圖象上.

⑴求二次函數(shù)的表達式;

(2)如圖2,過點。作OMLBC于點是否存在點O,使得VCDM中的某個角恰好等于—ABC的2倍?

若存在,直接寫出點。的橫坐標;若不存在,請說明理由.

17.(2024.江蘇無錫.一模)在平面直角坐標系中,二次函數(shù))=儂2+加彳-6加的圖象與無軸交于A、B(A

在B左側(cè)),與y軸交于C,一次函數(shù)y=2x+〃的圖象經(jīng)過A、C兩點.

(1)分別求出加、〃的值;

(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點P,且尸滿足NPOC+/3co=45。?若存在,請求出點尸的坐標;若不存

在,請說明理由.

18.(24-25九年級下?江蘇連云港?階段練習)如圖,二次函數(shù)丁=/+/+。的圖象與x軸交于A,3兩點,

與y軸交于C點,其中8(1,0),c(o,3).

⑴求這個二次函數(shù)的表達式;

⑵點P是二次函數(shù)圖像上X軸下方的一個動點,過點尸作尸?!ǘ≥S交直線AC于點Q,連接CP,將.PCQ

沿PC折疊,當。的對應(yīng)點。'恰好落在y軸上時,請求出點。的坐標;

⑶在二次函數(shù)的圖象上,是否存在點使得NM4c=NOCB?若存在,請求出M點坐標;若不存在,請

說明理由.

19.(2025?江蘇鹽城?模擬預測)如圖,四邊形Q4BC是矩形,點A的坐標為(6,0),點C的坐標為(0,3),

點P從點C出發(fā),沿CO以每秒1個單位長度的速度向點。出發(fā),同時點。從點0出發(fā),沿以每秒2個單

位長度的速度向點A運動,當點尸與點。重合時運動停止.設(shè)運動時間為/秒.

⑵當△尸。。與-8QA相似時,求f的值;

⑶當t=l時,拋物線y=+公+c經(jīng)過尸,Q兩點,與x軸交于另一點拋物線的頂點為N,問該拋物

線上是否存在點。,使=若存在,求出所有滿足條件的。的坐標;若不存在,說明理由.

壓軸專題05二次函數(shù)(角度問題)

司技法全歸納

知識考點與解題策略

【解題思路】

二次函數(shù)與角有關(guān)問題包括等角、倍角、特殊角以及三角函數(shù)問題.

倍角問題,往往將其轉(zhuǎn)化成等角問題.

對于等角問題,一般有以下解決路徑:

(1)將等角轉(zhuǎn)化在一個三角形中,利用等腰三角形兩邊相等,借助距離公式解決;

⑵用等角的三角比相等,構(gòu)造直角三角形,尋找比例關(guān)系;

⑶利用角的和差關(guān)系,尋找等角,而等角存在兩個相似三角形中,往往是子母三角形,利用比例線段構(gòu)建

數(shù)量關(guān)系;

(4)利用角平分線的相關(guān)性質(zhì)定理.

1

典題固基礎(chǔ)

例題1(24-25江蘇揚州?一模)在平面直角坐標系中,拋物線y=Y-2x-3與x軸交于點A和點3,與y軸

交于點C,頂點為。.

⑴請直接寫出A、B、。三點坐標.

⑵如圖1,點M是第四象限內(nèi)拋物線上的一點,過點M作x軸的垂線,交直線8c于點N,求線段長

度的最大值;

⑶如圖2,若點尸在拋物線上且滿足NPCB=NCBD,求點尸的坐標;

【答案】(1)點A的坐標為(T,。),點B的坐標為(3,0),點。的坐標為(1,T)

⑶(4,5)或g,-:]

【分析】(1)由拋物線產(chǎn)--2尤-3,分別令y=0,x=0,則可確定拋物線與坐標軸的交點坐標,根據(jù)頂

點坐標可確定點D的坐標;

(2)設(shè)"石,光軸于點設(shè)"(m,蘇-2m-3),確定直線的解析式為y=%-3,得到N(m,m-3),繼

而得到MN=(*3)-(蘇一2*3)=-,-£[+;,根據(jù)二次函數(shù)的最值可得結(jié)論;

(3)確定直線以)的解析式為V=2x-6,然后分兩種情況進行討論即可.

【詳解】(1)解::拋物線-2彳-3與x軸交于點A和點8,與V軸交于點C,

當y=0時,得彳2_2%-3=0,解得:》=一1或x=3,

當x=0時,得、=一3,

/.A(-l,0),3(3,0),C(0,-3),

:拋物線y=d-2x-3的頂點為£),

。[一2,即

,點A的坐標為點B的坐標為(3,0),點D的坐標為(1,-4);

(2)設(shè)軸于點E,設(shè)-2機-3),

設(shè)直線2C的解析式為與c,過點3(3,0),C(0,-3),

[?)kBC+bBC=0

[%c=-3

&BC=1

解得:

bBC=一3

直線8C的解析式為,=x-3,

:過點M作x軸的垂線,交直線于點N,

2

zn-|9

AAW=(m-3)-(m2-2m—3)=-m2+3m=-+—,

4

V-l<0,

39

當加時,線段MN的長度取得最大值,此時最大值為了;

圖1

(3)設(shè)直線的解析式為>=凝/+%。,過點以3,0),D(l,-4),

=

3kBD+^BD。

^BD+^BD=-4

解得:

???直線BD的解析式為y=2x-6,

①如圖,

NPCB=NCBD,

:.PC//BD,

設(shè)直線尸C的解析式為y=2x+%c,過點c(o,-3),

???"hpc-=-3”,

???直線PC的解析式為y=2x-3,

y=2x-3

聯(lián)立

y=-lx-3

x一=Q或「Ix=4

解得:

此時點尸的坐標為(4,5);

②如圖,設(shè)CP交3。于點G,作射線OG交BC于點尸,

'ZPCB=ZCBD,

.GC=GB,

.8(3,0),C(0,-3),

.OC=OB=3,

.OG垂直平分2C,

.點廠是8C的中點,

’.點尸的坐標是

33

?=-—

??2OG2'

?k

,?~OG

直線OG的解析式為y=,

:直線OG:y=-x與直線8。:y=2x-6交于點G,

y=—x

聯(lián)立

y=2x-6'

jx=2

解得:b=-2'

0(2,-2),

設(shè)直線CG的解析式為>=QG尤+%G,過點C(0,-3),G(2,-2),

1%G=-3

"嚷+bcG=-2

???解得:rCG=2,

,直線CG的解析式為y=;x-3,

聯(lián)立卜”,

y=/-2x-3

(5

【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題,考查了二次函數(shù)與坐標軸的交點,二次函數(shù)的最值,待定系數(shù)法確定

函數(shù)解析式,平行線的判定,二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點,等角對等邊,中點坐標,垂直平分線的判定和

性質(zhì)等知識點.掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、確定二次函數(shù)與一次函數(shù)交點坐標的方法是解題的關(guān)鍵.

例題2如圖1,在平面直角坐標系xOy中,0為坐標原點,已知拋物線y'=-x2+bx+c的頂點坐標為C(-3,4),

與x軸分別交于點A,B.連接AC,點。是線段AC上方拋物線上的一動點.

圖I圖2

(1)求拋物線的解析式;

(2汝口圖1,在點。運動過程中,連接AD、CD,求△ADC面積的最大值;

(3)如圖2,在點。運動過程中,連接OD交AC于點E,點F在線段Q4上,連接OC、DF、EF,若

ZACO=AFDO+ZDFE,求點/橫坐標的最大值.

【答案】⑴丫'=一/一6尤一5

(2)1

⑶Y

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合,相似三角形的性質(zhì)與判定,勾股定理,一次函數(shù)與幾何綜合:

(1)把拋物線設(shè)為頂點式即可得到答案;

(2)先求出A(-5,0),3(-1,0),進而求出直線AC解析式為y=2x+10;如圖所示,過點。作。E〃y軸,

交AC于E,設(shè)。,“,-//-6〃?-5),則E(MI>2MI+10),可得Z)E=-(m+4了+1;進而得到

S.ADC=SADE+S,c?E=-(-7+4)+1,據(jù)此可得答案;

(3)利用勾股定理得到。4=5,OC=5,AC=2也,則。4=OC,可得NO4c=/OC4,利用三角形外角

ApAp

的性質(zhì)證明NCOE=NA£F,進而證明△AEFS^COE,得到=,設(shè)A£=〃?,則CE=2逐-%

CEOC

可得A尸=-g(加-有『+1,則當根=百時,AF有最大值,最大值為1,即點尸的橫坐標的最大值為-5+1=T.

【詳解】(1)解::拋物線,=*+版+。的頂點坐標為。(-3,4),

拋物線解析式為V=-(1+3)2+4=-x2-6x-5;

(2)解:在V=—%2一6%—5中,當歹=一元2一6元—5=0時,解得%=—1或無=一5,

AA(-5,0),5(-1,0);

f

設(shè)直線AC解析式為>=kx+b9

.\-3k+br=4

??1_5左+加=0,

?p=2

?,3=10,

???直線AC解析式為y=2x+10;

如圖所示,過點。作。£〃y軸,交AC于E,

設(shè)£)(相,一加一6機一5),則E(m,2m+10),

DE=—m2—6m—5—(2m+10)=—m2—8m—15=—(m+4)2+1;

?,^AADC=^/\ADE+SMDE

=DE

=-(m+4)2+1,

V-l<0,

???當相=T時,有最大值,最大值為1;

(3)解:???A(—5,0),C(-3,4),

AOA=5,OC=^(-3-0)2+(4-0)2=5,AC=^[(-5)-(-3)]2+(0-4)2=275,

:.OA=OC,

:.ZOAC=ZOCA,

9:ZACO=ZFDO+ZDFE,ZOEF=ZFDO+ZDFE,

ZACO=NOEF,

:ZAEO=ZAEF+ZOEF=ZACO+ZCOE,

:.NCOE=/AEF,

:.AAEF^ACOE,

.AF_AE

"~CE~'OC'

設(shè)=則CE=2&-m,

?___A_F_____m_

2^/5-m5

m2+m

.-.AF=-^=-^m-^+l,

當〃?=君時,AF有最大值,最大值為1,

點P的橫坐標的最大值為-5+l=T.

例題3綜合與探究

如圖,拋物線尸加+bx-3(aW0)與x軸交于A(TO)、3兩點,與y軸交于點C,點。,工3在拋物線上,

點P是拋物線在第四象限內(nèi)的一個動點,過點P作尸?!▂軸交直線3。于點。連接上4、PB、QA,設(shè)點

P的橫坐標為m.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式;

⑵求四邊形PA23面積的最大值及此時點P的坐標;

(3)若點M是拋物線上任意一點,是否存在點使得/M4S=2/ACO,若存在,請直接寫出所有符合條

件的點M的坐標,若不存在,請說明理由.

a9

[答案]⑴)

44

⑶存在,〃(3,-3)或加卜,|

【分析】(1)待定系數(shù)法進行求解即可;

(2)根據(jù)四邊形PAQ3的面積等于AAP。的面積加上V8PQ的面積,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可;

(3)取AC的中點E,連接OE,作。尸_LAC,勾股定理求出AC的長,等積法求出0P的長,根據(jù)斜邊上

OF3

的中線和三角形的外角推出NOEF=/OC4+NCOE=2/OC4,進而求出tan/OEP=——=—,根據(jù)

EF4

3(39、

ZMAB=2ZOCA=ZOEF,得到tan=tan/OEF=—,設(shè)M-3,過點M作MGJ.AB于

4144)

點G,分點M在A3的上方和下方,兩種情況進行討論求解即可.

【詳解】⑴把A(TO),4一2,|卜弋入解析式丫=加+8一3("0),得:

f3

r-b-3=0a=-

a4

t09,解得Q,

7b=——

lI4

._39&

??y=-x2—x-3;

44

391Q

(2)*.*y=—x2—x—3,當y=0時,—x2——x—3=0,解得:x=4,x=—1,

4444x2

8(4,0),

設(shè)直線的解析式為>=丘+伉,則:

4左+々=0,3

k,=—

’79,解得:v4,

-2k+b,=—

2隊=3

/.y=--x+3,

4

???點P是拋物線在第四象限內(nèi)的一個動點,過點尸作尸?!▂軸交直線BD于點Q,

P\m,—m2-—m-3\,Q\m,--m+3

I44J[4

33933

PQ=——m+3——m2+—m+3=——m2+—m+6,

44442

設(shè)尸。與A5交于點T,

則:四邊形PAQ3的面積=S.APQ+SBPQ

=^PQAT+^PQBT,

=gpQ.AB

I二療+為+6X5

242)

-竺蘇+”機+15

84

=一2球+?

當m=1時,四邊形PA28的面積最大,為『;止匕時尸卜,9

(3)存在;

y=-^--x-3,

-44

,當x=o時,y=-3,

.-.C(0,-3),

VA(-1,O),

OA=1,OC=3,AC=^+32=A/10.

取AC的中點E,連接OE,過點。作Ob_LAC于點兄

AZOCA=ZCOE,1X3=VT0OF,

AZOEF=ZOCA+ZCOE=2ZOCA,OF=,

10

EF=yJoE2-OF2,

/.tanZOEF=—

EF4

,/ZMAB=2ZOCA=ZOEF,

3

tanZMAB=tanZOEF=—,

4

設(shè)?。?/丁9-3、,過點”作MG,鉆于點G,則:39

MG=-n^--n-3AG=〃+1,

3/_9〃_3

2AB嘿443,

n+14

D27&

當“在AB下方時:MG=一丁+方、+3.3,

~AG~^+1~4

解得:n=—l(舍去)或〃=3,經(jīng)檢驗〃=3是原方程的解;

???M(3,—3);

‘川―'3

當M在上方時:MG_44=3,

AG-^+1-4

解得:?=-1(舍去)或〃=5,經(jīng)檢驗〃=5是原方程的解;

綜上:“(3,-3)或加(5,2.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,分割法求面積,二次函數(shù)求最

值,斜邊上的中線,解直角三角形等知識點,綜合性強,屬于壓軸題,正確的求出解析式,利用數(shù)形結(jié)合

和分類討論的思想進行求解,是解題的關(guān)鍵.

s新題型特加

1.(24-25九年級上?江蘇蘇州?期中)如圖,二次函數(shù)丫=-/+2如+2旭+1?!ㄊ浅?shù),且相>0)的圖象

與x軸交于A,8兩點(點A在點8的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為D其對稱軸與線段BC交于點E,

與x軸交于點F.連接AC.若NBEF=2ZACO,則m的值為()

QV2—1D.鋁

.2

【答案】B

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,角平分線性質(zhì),先用機的

代數(shù)式表示出A,B,C的坐標,再作/OCB的平分線交08于點G,過點G作于點H,根據(jù)全等

和角平分線性質(zhì)得到用加的代數(shù)式表示的GH和GB的長,根據(jù)GH和GB的關(guān)系即可求出m的值.

【詳解】解:當>=。時,一f+2%x+2〃z+l=0,

解方程,得%=-1,無2=2%+1,

.?點A在點B的左側(cè),且〃2>0,

A(-l,0),8(2%+1,0),

當x=0時,y=2m+1,

.-.C(0,2m+l),

OB=OC=2"?+1,

NBOC=90。,

:.ZOBC=45°,

???斯〃y軸,

...ZBEF=/BCO,

ZBEF=2ZACOf

,\ZBCO=2ZACO,

作/0C3的平分線交05于點G,過點G作GH,3c于點“,如圖,

:.NBCO=2NOCG,GH=GO,

在△AOC和△GCO中,

ZACO=ZGCO

<oc=oc

ZAOC=ZGOC

A^AOC^AGOC(ASA),

:.OA=OG=1,

:.GH=1,GB=OB-OG=2m+l-l=2m,

GH工BC,NGBH=45。,

:.GH=BH=\,

:.GB=^GH2+BH2=42GH=42,

即2m=A/2,

m=-----

2

故選:B.

2.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習)如圖,二次函數(shù)、=-X2+2如+2"?+1(機是常數(shù),且〃]>0)的

圖象與x軸交于A,8兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為。.其對稱軸與線段BC交于

點、E,與x軸交于點E連接AC.若ZBEF=2ZACO,則根的值為.

【分析】先用加的代數(shù)式表示出A,B,C的坐標,再作NOCB的平分線交。2于點G,過點G作GHLBC

于點H,根據(jù)全等和角平分線性質(zhì)得到用帽的代數(shù)式表示的GH和GB的長,根據(jù)GH和GB的關(guān)系即可求

出機的值.

【詳解】解:在y=-/+2〃a+2m+1中,當y=0時,--+2如+2m+1=0,

解方程,得為=T,^2=2m+l,

:點A在點3的左側(cè),且相>0,

.-.A(-l,0),B(2m+l,0),

在y=T?+2〃4+2m+1中,當x=0時,y-2m+l,

.-.C(0,2m+l),

/.OB=OC=2m+l,

/BOC=90°,

:.ZOBC=45°,

??,所〃y軸,

:.ZBEF=ZBCO,

ZBEF=2ZACO9

,\ZBCO=2ZACO.

作/0C5的平分線交03于點G,過點G作GHL5c于點H,則。G=GH,如圖,

:.ZBCO=2ZOCG,GH=GO,

,\ZACO=ZGCO,

在△ACO和△GCO中,

ZACO=ZGCO

OC=OC

ZAOC=ZGOC

:._ACC^AGCO(ASA),

OA=OG=GH=1,

:.GB=OB-OG=2m+i-l=2m,

GHtBC,ZGBH=45°,

???NBGH是等腰直角三角形,

:.GB=6GH,

即2/77=-s/2,

2

故答案為:f

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,等腰三角形的判定和性

質(zhì),角平分線性質(zhì),通過作輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.(24-25九年級上?江蘇揚州?期末)如圖,拋物線>=--+"+c經(jīng)過A(4,0),C(—l,0)兩點,與y軸交

于點8,P為第一象限拋物線上的動點,連接A3、BC、PA、PC,PC與A3相交于點。.

⑴求拋物線的解析式;

(2)設(shè)△APQ的面積為',△BCQ的面積為52,當5「星=5時,求點尸的坐標;

(3)拋物線上存在點P,滿足NP4B+/CBO=45。,則點P的坐標為.

【答案】⑴、=-爐+3工+4

⑵點P的坐標是(1,6)或(2,6)

⑶尸(3,4)

【分析】(1)將A(4,0),C(TO)代入片-/+法+~利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式;

(2)根據(jù)圖形得到:Sl+SAQC=S2+SAQC+5,B|JSAPC=SABC+5.運用三角形的面積公式求得點尸的縱

坐標>=6,然后由二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求得點尸的橫坐標即可;

(3)過點P作PDLx軸于點。,根據(jù)03=。4=4得到//450=/。45=45。,可推出一BOCs尸/兇,由相

似的性質(zhì)進行即可求解.

【詳解】(1)解::拋物線y=-*+bx+c經(jīng)過A(4,0),C(-1,O)兩點,

J—16+4Z?+c=0

[―1—Z?+c=O

b=3

解得:

c=4

,拋物線的解析式為y=-x2+3x+4;

(2)解:???S「Sz=5,

?c_c_<

,?0ACP°ABC-?

令k=0,

貝ljy=4,

???3(0,4).

VA(4,0),C(-1,O),

OB=OA=4,AC=5,

S=—xACxOB=—x5x4=10,

說ARC22

?**SACp=15.

設(shè)尸(力+3/+4),

?**SACP=/xACxyp=—x5x(—?+3/+4)=15,

1?0=1或,=2,

???尸(1,6)或尸(2,6);

(3)解:存在,點戶的坐標是(3,4).

理由:過點尸作尸。_Lx軸于點O,

*.*OB=OA=4,

???ZABO=ZOAB=45°.

?.?NPAB+NCBO=45。,

ZCBO+ZPAB+ZBAO=90°.

'/ZCBO+Z.BCO=90°,

:.ZBCO=ZOAB-^-ZPAB=ZPAD.

???ZBOC=ZPDA=90°f

:?一BOCS/DA,

.BOCO

??而一茄.

設(shè)點「(a,—/+3a+4),

APD=-a2+3a^4,AD=4-a,

4=1

—Q2+3Q+44—a

整理得7々+12=0,

解得%=3或g=4(不符合題意),

???尸(3,4),

故答案為:(3,4).

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題,解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性

質(zhì),勾股定理的應(yīng)用以及三角形面積公式,相似三角形的性質(zhì)等知識點.

4.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習)如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線y=a(x-l)(x-4)(a>0)

與x軸交于A、B兩點,與>軸交于點C,若滿足OC?=0405.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式;

(2)連接AC、BC,

①求證:ZACO=ZCBA;

②在拋物線上找一點E,使得/E4c=2/CBA,請求出點E的坐標.

[答案]⑴y=gx2_:x+2

⑵①見解析;②(8,14)

【分析】(1)令y=0,可求出A、8的坐標,然后求出C的坐標,最后把C的坐標代入函數(shù)解析式求解即

可;

(2)①證明△COAs^BOC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證;

②取OC中點G,過G作GHLOC交AC于X,連接OH,設(shè)點E滿足NE4c=2/CBA,則C"=O",根

據(jù)等邊對等角和三角形外角的性質(zhì)可得出NOH4=2NOCE,結(jié)合已知可得出/EAC=,則AE〃。//,

根據(jù)平行線分線段可得出H是AC中點,則待定系數(shù)法求出直線3解析式為V=2x,直線AE解

y=2x-2

析式為y=2x-2,聯(lián)立方程組15,即可求出E的坐標.

y=-x2—x+2

r22

【詳解】(1)解:令尸0,貝I]0=4(X-1)(X—4),

解得x=l,x=4,

AA(1,O),8(4,0),

AAO=1,30=4,

OC-^OAOB,

/.OC2=1x4=4,

AOC=2(負值舍去),

???C(0,2),

代入y=1)(%—4),得2=a(0—1)(0—4),

解得a=1,

2

;?了。1)(1)=?一|無+2;

(2)①證明:?..OC'OA.OB,

.PCOB

??一,

OAOC

又NCOA=/BOC,

???△COASABOC,

AZACO=ZCBO,即NACO=NCR4;

②如圖,取OC中點G,過G作GHLOC交AC于H,連接O",設(shè)點E滿足NE4C=2NCBA,

則C4=O”,

ZOCH=ZCOH,

:.Z.OHA=NOCH+Z.COH=2ZOCH,

5LZACO=ZCBAf

:.ZOHA=2ZCBA,

':ZEAC=2ZCBA,

:.ZEAC=ZOHAf

:.AE//OH,

':GH±OC,^AOC=90°,

???GH//OA,

...CH=CG=1,,

AHOG

是AC中點,

又4(1,0),C(0,2),

1+00+2

/.H即H

~2~,214

設(shè)直線OH解析式為>=區(qū),

則、=1,

解得k=2,

,直線OH解析式為y=2x,

':AE//OH,

設(shè)直線AE解析式為>=2無+機,

把4(1,0)代入,得0=2+”,

解得m=-2,

直線AE解析式為y=2x-2,

y-2x-2

聯(lián)立方程組15,

y=—x2——x+2

22

"I或(=1

解得(舍去),

y=14V=0

,£的坐標為(8,14).

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與相似三角形,待定系數(shù)法,相似三角形的判定與性質(zhì)等知識,明確題意,

添加合適的輔助線,構(gòu)造相似三角形,合理分類討論是解題的關(guān)鍵.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點尸為該拋物線上一動點.

①當點尸在直線AC下方時,過點尸作尸"x軸,交直線AC于點E,作刊7〃>軸.交直線AC于點片求

Er的最大值;

②若ZPCB=3ZOCB,求點P的橫坐標.

【答案】⑴y=;V+2x-6

⑵①當②號

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可;

(2)①當x=0時,、=-6,即C(0,-6),OA=6=OC,ZOAC=ZOCA=45°,待定系數(shù)法求直線AC的

解析式為了=一%—6;如圖1,設(shè)F,一r—6),貝ij尸,:/+2C6),尸產(chǎn)=-3r一3r=-3(r+3)2+£,由-3<0,

'NJ乙乙乙乙

9

可知當/=一3時,尸尸有最大值,,由尸石x軸,P/〃y軸,可得NPFE=NPEF,PE=PF,由勾股定理

得,EF=JPE°+PF°=也PF,進而可求斯的最大值;②如圖2,作B關(guān)于,軸的對稱點N,連接CN,

作CP,使NPCN=ZNCO,交x軸于£),由軸對稱的性質(zhì)可知,ZNCO=ZOCB,ON=OB=2,CN=CB,

則Z2VC3=2NOC3,ZPCO=ZPCN+ZNCO=2ZOCB=ZNCB,NPCB=NPCO+NOCB=3NOCB,由勾

22

股定理得,BC=CN=y/ON+OC=2710>如圖2,作加_LCN于M,由SBCN=;CN-BM=;BN-OC,

Bpix2V10xBM=|x4x6,可求8M=5^,由勾股定理得,CMBC?-BM?=對遠,貝U

2255

6M

tanNNCB=—=—^==,,由tanNDCO=—=tanNNCB=』,即變=?,可求OD=身,即£>[-生,o],

CM8河4OC4644I4J

5

441c

待定系數(shù)法求直線CD的解析式為y=-§x-6,聯(lián)立,-§》-6=5/+2》一6,計算求出滿足要求的解即可.

【詳解】(1)解:將A(-6,0),3(2,0)代入y=gd+6x+c得,18-6Z;+c=0

2+2b+c=0

6=2

解得,

c=-6

**?y——+2%—6;

2

(2)①解:當x=0時,y=-6,即C(0,—6),

/.OA=6=OC,/(MC=/OC4=45°,

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+d,

—6k+Z?=0

將A(-6,0),C(0,-6),代入得,

b=-6

k=-l

解得,

b=-6

直線AC的解析式為y=-x-6;

如圖1,

9

...當/=一3時,尸產(chǎn)有最大值5,

軸,P尸〃y軸,

ZPFE=ZOCA=45°,ZPEF=ZOAC=45°,

:?ZPFE=ZPEF,

PE=PF,

由勾股定理得,EF=4PE?+PF,=垃PF,

E尸的最大值為還:

2

②解:如圖2,作3關(guān)于y軸的對稱點N,連接CN,作CP,使NPCN=NNCO,交x軸于

由軸對稱的性質(zhì)可知,ZNCO=ZOCB,ON=OB=2,CN=CB,

:.ZNCB=2Z.OCB,ZPCO=ZPCN+ZNCO=2ZOCB=ZNCB,

ZPCB=ZPCO+ZOCB=3ZOCB,

由勾股定理得,BC=CN=yjON2+OC2=2M,

如圖2,作H0LQV于

RrN=-CNBM^-BNOC,BP-x2>/10xBM=ix4x6,

BCN2222

解得,

5

由勾股定理得,CM=ylBC--BM2=,

6V10

八snBM3

tan/NCB----5

CM8AA04

5

tanZDCO=—=tanZA^CB=-,gR—

OC464

9

解得,OD=3,

設(shè)直線CD的解析式為y=g+w,

(9A"=-6

將C(0,-6),川二,

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論