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文檔簡介
壓軸專題05二次函數(shù)(角度問題)
背;技法全歸納
知識考點與解題策略
【解題思路】
二次函數(shù)與角有關(guān)問題包括等角、倍角、特殊角以及三角函數(shù)問題.
倍角問題,往往將其轉(zhuǎn)化成等角問題.
對于等角問題,一般有以下解決路徑:
(1)將等角轉(zhuǎn)化在一個三角形中,利用等腰三角形兩邊相等,借助距離公式解決;
⑵用等角的三角比相等,構(gòu)造直角三角形,尋找比例關(guān)系;
⑶利用角的和差關(guān)系,尋找等角,而等角存在兩個相似三角形中,往往是子母三角形,利用比例線段構(gòu)建
數(shù)量關(guān)系;
(4)利用角平分線的相關(guān)性質(zhì)定理.
勤典題固基礎(chǔ)
例題1(24-25江蘇揚州?一模)在平面直角坐標系中,拋物線-2x-3與x軸交于點A和點8,與y軸
交于點C,頂點為O.
⑴請直接寫出A、B、。三點坐標.
⑵如圖1,點M是第四象限內(nèi)拋物線上的一點,過點M作x軸的垂線,交直線2C于點N,求線段長
度的最大值;
⑶如圖2,若點尸在拋物線上且滿足/PCB=NCBD,求點尸的坐標;
例題2如圖1,在平面直角坐標系xOy中,O為坐標原點,已知拋物線/=-x2+bx+c的頂點坐標為C(-3,4),
與X軸分別交于點A,B.連接AC,點。是線段AC上方拋物線上的一動點.
(1)求拋物線的解析式;
⑵如圖1,在點。運動過程中,連接AD、CD,求△ADC面積的最大值;
⑶如圖2,在點。運動過程中,連接OD交AC于點E,點尸在線段。4上,連接OC、DF、EF,若
ZACO=AFDO+ZDFE,求點F橫坐標的最大值.
例題3綜合與探究
如圖,拋物線尸加+bx-3(aW0)與x軸交于A(-l,0)、8兩點,與y軸交于點C,點。,立曰在拋物線上,
點P是拋物線在第四象限內(nèi)的一個動點,過點P作尸?!▂軸交直線5。于點。,連接24、PB、QA,設(shè)點
P的橫坐標為m.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
⑵求四邊形PAQ3面積的最大值及此時點P的坐標;
(3)若點M是拋物線上任意一點,是否存在點使得NMNLB=2NACO,若存在,請直接寫出所有符合條
件的點M的坐標,若不存在,請說明理由.
新題型特訓
1.(24-25九年級上?江蘇蘇州?期中)如圖,二次函數(shù)》=-無2+2〃IX+2M+1(機是常數(shù),且加>0)的圖象
與x軸交于A,B兩點(點A在點2的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為D其對稱軸與線段BC交于點E,
與x軸交于點凡連接AC.若ZBEF=2ZACO,則機的值為()
2.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習)如圖,二次函數(shù)y=-》2+2〃a+2”?+1(根是常數(shù),且加>0)的
圖象與x軸交于A,8兩點(點A在點8的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為。.其對稱軸與線段BC交于
點E,與x軸交于點E連接AC若ZBEF=2ZACO,則根的值為.
3.(24-25九年級上?江蘇揚州?期末)如圖,拋物線y-Y+bx+c經(jīng)過A(4,0),C(-l,0)兩點,與y軸交
于點8,P為第一象限拋物線上的動點,連接48、BC、PA.PC,尸C與AB相交于點Q.
(1)求拋物線的解析式;
⑵設(shè)△APQ的面積為',△BCQ的面積為S2,當51-邑=5時,求點尸的坐標;
(3)拋物線上存在點P,滿足NB4B+NCBO=45。,則點P的坐標為.
4.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習)如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線y=a(x-l)(x-4)(a>0)
與x軸交于A、B兩點,與>軸交于點C,若滿足OC?=0405.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)連接AC、BC,
①求證:ZACO=ZCBA;
②在拋物線上找一點E,使得NEAC=2NCBA,請求出點E的坐標.
5、如圖,已知拋物線y=法+c經(jīng)過點A(-6,0),3(2,0),與y軸交于點C
(1)求拋物線的解析式;
⑵若點尸為該拋物線上一動點.
①當點尸在直線AC下方時,過點尸作尸石x軸,交直線AC于點E,作尸尸〃y軸.交直線AC于點R求
跖的最大值;
②若ZPCB=3/OCB,求點P的橫坐標.
6.如圖,直線y=-x+3與X軸、y軸分別交于8、C兩點,拋物線y=-爐+6x+c經(jīng)過點2、C,與x軸另
一交點為A,頂點為D
(1)求拋物線的解析式;
⑵在x軸上找一點E,使EC+EO的值最小,求出此時點E的坐標,并求EC+即的最小值;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得NAPB=NOCB?若存在,求出P點坐標;若不存在,請說明
理由.
7.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習)如圖1,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(TO)和5(4,0),交y軸于點C(0,2),
連接3c.點。為第一象限拋物線上一動點,過點。分別作x軸和y軸的垂線,交于點E和點?
(2)求面積的最大值及此時點D的坐標:
(3)當DEF面積最大時,在拋物線上是否存在一點使請直接寫出點M的坐標;若
不存在,請說明理由.
24
8.如圖,在平面直角坐標系中,已知二次函數(shù)y=+2的圖象與無軸交于A,2兩點(點A在點2
的左側(cè)).與y軸交于點C,連接BC.
(1)求A、B、C三點的坐標;
⑵若點尸是x軸上一點,當3cp為等腰三角形時,求點P的坐標;
(3)點。是二次函數(shù)圖象上的一個動點,請問是否存在點。使NQCB=ZABC?若存在,請求出點。的坐標;
若不存在,請說明理由.
9.如圖,二次函數(shù)y=G?一6膜+4(°是常數(shù),且。片0)的圖象與x軸相交于點A、B(點A在點B的左
側(cè)),與y軸相交于點C,S.OC=2OA,連接AC.
⑴填空:?=,3的坐標為;
(2)如圖1,點。為拋物線上一點,且在B,C兩點之間運動,連接AO與BC相交于點E,連接AC,BD,
當S△曲-S.c的值最大時,求直線80的表達式;
(3)如圖2,動點尸在拋物線的對稱軸上,連接BC、PA.PC,若NAPC=2NABC,請求出點尸的坐標.
10.(24-25?江蘇揚州?二模)如圖,二次函數(shù)的圖象與X軸交于A(TO),B(5,o)兩點,與y軸交于點C(0,5),
頂點為。.O為坐標原點.
⑴求二次函數(shù)的表達式;
⑵求四邊形ACDB的面積;
(3)P是拋物線上的一點,且在第一象限內(nèi),若NACO=NP3C,則尸點的坐標為.
11.(24-25?江蘇淮安?一模)如圖①,二次函數(shù)>=-/+法+4的圖象與直線/交于A(T,2)、8(3,〃)兩點.點
P是x軸上的一個動點,過點尸作x軸的垂線交直線/于點交該二次函數(shù)的圖象于點N,設(shè)點P的橫坐
標為加.
⑵若點N在點M的上方,且肱V=4,求機的值;
⑶將直線45向上平移4個單位長度,分別與x軸、y軸交于點C、D(如圖②).
①記NBC的面積為S-N4C的面積為S2,是否存在加,使得點N在直線AC的上方,且滿足S尸gs”
若存在,求出機及相應(yīng)的5、S?的值;若不存在,請說明理由.
②當機>-1時,將線段繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段MF,連接用、FC、OA,若
ZFBA+ZAOD-ZBFC=45°,直接寫出點F的坐標.
12.(2024?江蘇宿遷?三模)已知,如圖,直線y=-2x+利與x軸、y軸相交于點A、點C,點A的坐標為
(-2,0),點8的坐標為(3,0),拋物線>="2+施+,經(jīng)過點4B、C.
(2)延長C4至點D,作NZMB、NACB的平分線,兩條角平分線相交于點G,求tanNG的值;
(3)在(2)的條件下,在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得N3PC=NG,若存在,求出點尸的坐標,
若不存在,請說明理由.
13.(2024?江蘇無錫二模)如圖,已知二次函數(shù))=加-5依+44>0)的圖象與x軸交于&、B(A在8左
3
側(cè)),與y軸交于C,在函數(shù)圖象上取一點〃,點。和點C的縱坐標相同,CD=AC,twZOAC=~.
⑴求二次函數(shù)的表達式;
⑵在x軸上取點M(m,0),若二次函數(shù)圖象上存在一點N,使得N/W7+NACO=90。,且滿足條件的點
N有且只有3個,請求出機的值.
14.如圖,拋物線>=江+法-3經(jīng)過A(-l,0),3(3,0)兩點,與y軸交于點C,尸為第四象限內(nèi)拋物線上
一個動點,過點P作/軸于點連接AC,AP,AP與y軸交于點D
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)求四邊形。MB尸面積的最大值;
(3)當=4c時,求直線AP的函數(shù)表達式及點P的坐標.
15.(2024?江蘇無錫?一模)如圖1,在平面直角坐標系中,直線y=+若與x軸,y軸交于點A,B,二
次函數(shù)的圖象G經(jīng)過點4點2,與無軸交于點C(3,0).
⑴求二次函數(shù)的表達式;
⑵如圖2,點尸在第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上,分別過點P作直線軸的垂線,垂足是E,F,當PE+PF
取得最大值時,求點尸的坐標;
⑶如圖3,將二次函數(shù)的圖象G沿射線CB的方向平移,平移后的二次函數(shù)圖象G'恰好經(jīng)過點8,點。為
圖象G'上一點,直線CQ與直線A3相交于點ABAC=ZAMC+ZBCA,求點。的橫坐標.
16.(2025九年級下?江蘇?專題練習)如圖在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=;x-2的圖象與無軸交于點3,
與y軸交于點C,二次函數(shù)y=g/+6x+c的圖象經(jīng)過B,C兩點,且與x軸的負半軸交于點A,動點。在
直線BC下方的二次函數(shù)圖象上.
⑴求二次函數(shù)的表達式;
(2)如圖2,過點。作OMLBC于點是否存在點O,使得VCDM中的某個角恰好等于—ABC的2倍?
若存在,直接寫出點。的橫坐標;若不存在,請說明理由.
17.(2024.江蘇無錫.一模)在平面直角坐標系中,二次函數(shù))=儂2+加彳-6加的圖象與無軸交于A、B(A
在B左側(cè)),與y軸交于C,一次函數(shù)y=2x+〃的圖象經(jīng)過A、C兩點.
(1)分別求出加、〃的值;
(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點P,且尸滿足NPOC+/3co=45。?若存在,請求出點尸的坐標;若不存
在,請說明理由.
18.(24-25九年級下?江蘇連云港?階段練習)如圖,二次函數(shù)丁=/+/+。的圖象與x軸交于A,3兩點,
與y軸交于C點,其中8(1,0),c(o,3).
⑴求這個二次函數(shù)的表達式;
⑵點P是二次函數(shù)圖像上X軸下方的一個動點,過點尸作尸?!ǘ≥S交直線AC于點Q,連接CP,將.PCQ
沿PC折疊,當。的對應(yīng)點。'恰好落在y軸上時,請求出點。的坐標;
⑶在二次函數(shù)的圖象上,是否存在點使得NM4c=NOCB?若存在,請求出M點坐標;若不存在,請
說明理由.
19.(2025?江蘇鹽城?模擬預測)如圖,四邊形Q4BC是矩形,點A的坐標為(6,0),點C的坐標為(0,3),
點P從點C出發(fā),沿CO以每秒1個單位長度的速度向點。出發(fā),同時點。從點0出發(fā),沿以每秒2個單
位長度的速度向點A運動,當點尸與點。重合時運動停止.設(shè)運動時間為/秒.
⑵當△尸。。與-8QA相似時,求f的值;
⑶當t=l時,拋物線y=+公+c經(jīng)過尸,Q兩點,與x軸交于另一點拋物線的頂點為N,問該拋物
線上是否存在點。,使=若存在,求出所有滿足條件的。的坐標;若不存在,說明理由.
壓軸專題05二次函數(shù)(角度問題)
司技法全歸納
知識考點與解題策略
【解題思路】
二次函數(shù)與角有關(guān)問題包括等角、倍角、特殊角以及三角函數(shù)問題.
倍角問題,往往將其轉(zhuǎn)化成等角問題.
對于等角問題,一般有以下解決路徑:
(1)將等角轉(zhuǎn)化在一個三角形中,利用等腰三角形兩邊相等,借助距離公式解決;
⑵用等角的三角比相等,構(gòu)造直角三角形,尋找比例關(guān)系;
⑶利用角的和差關(guān)系,尋找等角,而等角存在兩個相似三角形中,往往是子母三角形,利用比例線段構(gòu)建
數(shù)量關(guān)系;
(4)利用角平分線的相關(guān)性質(zhì)定理.
1
典題固基礎(chǔ)
例題1(24-25江蘇揚州?一模)在平面直角坐標系中,拋物線y=Y-2x-3與x軸交于點A和點3,與y軸
交于點C,頂點為。.
⑴請直接寫出A、B、。三點坐標.
⑵如圖1,點M是第四象限內(nèi)拋物線上的一點,過點M作x軸的垂線,交直線8c于點N,求線段長
度的最大值;
⑶如圖2,若點尸在拋物線上且滿足NPCB=NCBD,求點尸的坐標;
【答案】(1)點A的坐標為(T,。),點B的坐標為(3,0),點。的坐標為(1,T)
瑤
⑶(4,5)或g,-:]
【分析】(1)由拋物線產(chǎn)--2尤-3,分別令y=0,x=0,則可確定拋物線與坐標軸的交點坐標,根據(jù)頂
點坐標可確定點D的坐標;
(2)設(shè)"石,光軸于點設(shè)"(m,蘇-2m-3),確定直線的解析式為y=%-3,得到N(m,m-3),繼
而得到MN=(*3)-(蘇一2*3)=-,-£[+;,根據(jù)二次函數(shù)的最值可得結(jié)論;
(3)確定直線以)的解析式為V=2x-6,然后分兩種情況進行討論即可.
【詳解】(1)解::拋物線-2彳-3與x軸交于點A和點8,與V軸交于點C,
當y=0時,得彳2_2%-3=0,解得:》=一1或x=3,
當x=0時,得、=一3,
/.A(-l,0),3(3,0),C(0,-3),
:拋物線y=d-2x-3的頂點為£),
。[一2,即
,點A的坐標為點B的坐標為(3,0),點D的坐標為(1,-4);
(2)設(shè)軸于點E,設(shè)-2機-3),
設(shè)直線2C的解析式為與c,過點3(3,0),C(0,-3),
[?)kBC+bBC=0
[%c=-3
&BC=1
解得:
bBC=一3
直線8C的解析式為,=x-3,
:過點M作x軸的垂線,交直線于點N,
2
zn-|9
AAW=(m-3)-(m2-2m—3)=-m2+3m=-+—,
4
V-l<0,
39
當加時,線段MN的長度取得最大值,此時最大值為了;
圖1
(3)設(shè)直線的解析式為>=凝/+%。,過點以3,0),D(l,-4),
=
3kBD+^BD。
^BD+^BD=-4
解得:
???直線BD的解析式為y=2x-6,
①如圖,
NPCB=NCBD,
:.PC//BD,
設(shè)直線尸C的解析式為y=2x+%c,過點c(o,-3),
???"hpc-=-3”,
???直線PC的解析式為y=2x-3,
y=2x-3
聯(lián)立
y=-lx-3
x一=Q或「Ix=4
解得:
此時點尸的坐標為(4,5);
②如圖,設(shè)CP交3。于點G,作射線OG交BC于點尸,
'ZPCB=ZCBD,
.GC=GB,
.8(3,0),C(0,-3),
.OC=OB=3,
.OG垂直平分2C,
.點廠是8C的中點,
’.點尸的坐標是
33
?=-—
??2OG2'
?k
,?~OG
直線OG的解析式為y=,
:直線OG:y=-x與直線8。:y=2x-6交于點G,
y=—x
聯(lián)立
y=2x-6'
jx=2
解得:b=-2'
0(2,-2),
設(shè)直線CG的解析式為>=QG尤+%G,過點C(0,-3),G(2,-2),
1%G=-3
"嚷+bcG=-2
???解得:rCG=2,
,直線CG的解析式為y=;x-3,
聯(lián)立卜”,
y=/-2x-3
(5
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題,考查了二次函數(shù)與坐標軸的交點,二次函數(shù)的最值,待定系數(shù)法確定
函數(shù)解析式,平行線的判定,二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點,等角對等邊,中點坐標,垂直平分線的判定和
性質(zhì)等知識點.掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、確定二次函數(shù)與一次函數(shù)交點坐標的方法是解題的關(guān)鍵.
例題2如圖1,在平面直角坐標系xOy中,0為坐標原點,已知拋物線y'=-x2+bx+c的頂點坐標為C(-3,4),
與x軸分別交于點A,B.連接AC,點。是線段AC上方拋物線上的一動點.
圖I圖2
(1)求拋物線的解析式;
(2汝口圖1,在點。運動過程中,連接AD、CD,求△ADC面積的最大值;
(3)如圖2,在點。運動過程中,連接OD交AC于點E,點F在線段Q4上,連接OC、DF、EF,若
ZACO=AFDO+ZDFE,求點/橫坐標的最大值.
【答案】⑴丫'=一/一6尤一5
(2)1
⑶Y
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合,相似三角形的性質(zhì)與判定,勾股定理,一次函數(shù)與幾何綜合:
(1)把拋物線設(shè)為頂點式即可得到答案;
(2)先求出A(-5,0),3(-1,0),進而求出直線AC解析式為y=2x+10;如圖所示,過點。作。E〃y軸,
交AC于E,設(shè)。,“,-//-6〃?-5),則E(MI>2MI+10),可得Z)E=-(m+4了+1;進而得到
S.ADC=SADE+S,c?E=-(-7+4)+1,據(jù)此可得答案;
(3)利用勾股定理得到。4=5,OC=5,AC=2也,則。4=OC,可得NO4c=/OC4,利用三角形外角
ApAp
的性質(zhì)證明NCOE=NA£F,進而證明△AEFS^COE,得到=,設(shè)A£=〃?,則CE=2逐-%
CEOC
可得A尸=-g(加-有『+1,則當根=百時,AF有最大值,最大值為1,即點尸的橫坐標的最大值為-5+1=T.
【詳解】(1)解::拋物線,=*+版+。的頂點坐標為。(-3,4),
拋物線解析式為V=-(1+3)2+4=-x2-6x-5;
(2)解:在V=—%2一6%—5中,當歹=一元2一6元—5=0時,解得%=—1或無=一5,
AA(-5,0),5(-1,0);
f
設(shè)直線AC解析式為>=kx+b9
.\-3k+br=4
??1_5左+加=0,
?p=2
?,3=10,
???直線AC解析式為y=2x+10;
如圖所示,過點。作。£〃y軸,交AC于E,
設(shè)£)(相,一加一6機一5),則E(m,2m+10),
DE=—m2—6m—5—(2m+10)=—m2—8m—15=—(m+4)2+1;
?,^AADC=^/\ADE+SMDE
=DE
=-(m+4)2+1,
V-l<0,
???當相=T時,有最大值,最大值為1;
(3)解:???A(—5,0),C(-3,4),
AOA=5,OC=^(-3-0)2+(4-0)2=5,AC=^[(-5)-(-3)]2+(0-4)2=275,
:.OA=OC,
:.ZOAC=ZOCA,
9:ZACO=ZFDO+ZDFE,ZOEF=ZFDO+ZDFE,
ZACO=NOEF,
:ZAEO=ZAEF+ZOEF=ZACO+ZCOE,
:.NCOE=/AEF,
:.AAEF^ACOE,
.AF_AE
"~CE~'OC'
設(shè)=則CE=2&-m,
?___A_F_____m_
2^/5-m5
m2+m
.-.AF=-^=-^m-^+l,
當〃?=君時,AF有最大值,最大值為1,
點P的橫坐標的最大值為-5+l=T.
例題3綜合與探究
如圖,拋物線尸加+bx-3(aW0)與x軸交于A(TO)、3兩點,與y軸交于點C,點。,工3在拋物線上,
點P是拋物線在第四象限內(nèi)的一個動點,過點P作尸?!▂軸交直線3。于點。連接上4、PB、QA,設(shè)點
P的橫坐標為m.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
⑵求四邊形PA23面積的最大值及此時點P的坐標;
(3)若點M是拋物線上任意一點,是否存在點使得/M4S=2/ACO,若存在,請直接寫出所有符合條
件的點M的坐標,若不存在,請說明理由.
a9
[答案]⑴)
44
⑶存在,〃(3,-3)或加卜,|
【分析】(1)待定系數(shù)法進行求解即可;
(2)根據(jù)四邊形PAQ3的面積等于AAP。的面積加上V8PQ的面積,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可;
(3)取AC的中點E,連接OE,作。尸_LAC,勾股定理求出AC的長,等積法求出0P的長,根據(jù)斜邊上
OF3
的中線和三角形的外角推出NOEF=/OC4+NCOE=2/OC4,進而求出tan/OEP=——=—,根據(jù)
EF4
3(39、
ZMAB=2ZOCA=ZOEF,得到tan=tan/OEF=—,設(shè)M-3,過點M作MGJ.AB于
4144)
點G,分點M在A3的上方和下方,兩種情況進行討論求解即可.
【詳解】⑴把A(TO),4一2,|卜弋入解析式丫=加+8一3("0),得:
f3
r-b-3=0a=-
a4
t09,解得Q,
7b=——
lI4
._39&
??y=-x2—x-3;
44
391Q
(2)*.*y=—x2—x—3,當y=0時,—x2——x—3=0,解得:x=4,x=—1,
4444x2
8(4,0),
設(shè)直線的解析式為>=丘+伉,則:
4左+々=0,3
k,=—
’79,解得:v4,
-2k+b,=—
2隊=3
/.y=--x+3,
4
???點P是拋物線在第四象限內(nèi)的一個動點,過點尸作尸?!▂軸交直線BD于點Q,
P\m,—m2-—m-3\,Q\m,--m+3
I44J[4
33933
PQ=——m+3——m2+—m+3=——m2+—m+6,
44442
設(shè)尸。與A5交于點T,
則:四邊形PAQ3的面積=S.APQ+SBPQ
=^PQAT+^PQBT,
=gpQ.AB
I二療+為+6X5
242)
-竺蘇+”機+15
84
=一2球+?
當m=1時,四邊形PA28的面積最大,為『;止匕時尸卜,9
(3)存在;
y=-^--x-3,
-44
,當x=o時,y=-3,
.-.C(0,-3),
VA(-1,O),
OA=1,OC=3,AC=^+32=A/10.
取AC的中點E,連接OE,過點。作Ob_LAC于點兄
AZOCA=ZCOE,1X3=VT0OF,
AZOEF=ZOCA+ZCOE=2ZOCA,OF=,
10
EF=yJoE2-OF2,
/.tanZOEF=—
EF4
,/ZMAB=2ZOCA=ZOEF,
3
tanZMAB=tanZOEF=—,
4
設(shè)?。?/丁9-3、,過點”作MG,鉆于點G,則:39
MG=-n^--n-3AG=〃+1,
3/_9〃_3
2AB嘿443,
n+14
D27&
當“在AB下方時:MG=一丁+方、+3.3,
~AG~^+1~4
解得:n=—l(舍去)或〃=3,經(jīng)檢驗〃=3是原方程的解;
???M(3,—3);
‘川―'3
當M在上方時:MG_44=3,
AG-^+1-4
解得:?=-1(舍去)或〃=5,經(jīng)檢驗〃=5是原方程的解;
綜上:“(3,-3)或加(5,2.
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,分割法求面積,二次函數(shù)求最
值,斜邊上的中線,解直角三角形等知識點,綜合性強,屬于壓軸題,正確的求出解析式,利用數(shù)形結(jié)合
和分類討論的思想進行求解,是解題的關(guān)鍵.
s新題型特加
1.(24-25九年級上?江蘇蘇州?期中)如圖,二次函數(shù)丫=-/+2如+2旭+1?!ㄊ浅?shù),且相>0)的圖象
與x軸交于A,8兩點(點A在點8的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為D其對稱軸與線段BC交于點E,
與x軸交于點F.連接AC.若NBEF=2ZACO,則m的值為()
QV2—1D.鋁
.2
【答案】B
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,角平分線性質(zhì),先用機的
代數(shù)式表示出A,B,C的坐標,再作/OCB的平分線交08于點G,過點G作于點H,根據(jù)全等
和角平分線性質(zhì)得到用加的代數(shù)式表示的GH和GB的長,根據(jù)GH和GB的關(guān)系即可求出m的值.
【詳解】解:當>=。時,一f+2%x+2〃z+l=0,
解方程,得%=-1,無2=2%+1,
.?點A在點B的左側(cè),且〃2>0,
A(-l,0),8(2%+1,0),
當x=0時,y=2m+1,
.-.C(0,2m+l),
OB=OC=2"?+1,
NBOC=90。,
:.ZOBC=45°,
???斯〃y軸,
...ZBEF=/BCO,
ZBEF=2ZACOf
,\ZBCO=2ZACO,
作/0C3的平分線交05于點G,過點G作GH,3c于點“,如圖,
:.NBCO=2NOCG,GH=GO,
在△AOC和△GCO中,
ZACO=ZGCO
<oc=oc
ZAOC=ZGOC
A^AOC^AGOC(ASA),
:.OA=OG=1,
:.GH=1,GB=OB-OG=2m+l-l=2m,
GH工BC,NGBH=45。,
:.GH=BH=\,
:.GB=^GH2+BH2=42GH=42,
即2m=A/2,
m=-----
2
故選:B.
2.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習)如圖,二次函數(shù)、=-X2+2如+2"?+1(機是常數(shù),且〃]>0)的
圖象與x軸交于A,8兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為。.其對稱軸與線段BC交于
點、E,與x軸交于點E連接AC.若ZBEF=2ZACO,則根的值為.
【分析】先用加的代數(shù)式表示出A,B,C的坐標,再作NOCB的平分線交。2于點G,過點G作GHLBC
于點H,根據(jù)全等和角平分線性質(zhì)得到用帽的代數(shù)式表示的GH和GB的長,根據(jù)GH和GB的關(guān)系即可求
出機的值.
【詳解】解:在y=-/+2〃a+2m+1中,當y=0時,--+2如+2m+1=0,
解方程,得為=T,^2=2m+l,
:點A在點3的左側(cè),且相>0,
.-.A(-l,0),B(2m+l,0),
在y=T?+2〃4+2m+1中,當x=0時,y-2m+l,
.-.C(0,2m+l),
/.OB=OC=2m+l,
/BOC=90°,
:.ZOBC=45°,
??,所〃y軸,
:.ZBEF=ZBCO,
ZBEF=2ZACO9
,\ZBCO=2ZACO.
作/0C5的平分線交03于點G,過點G作GHL5c于點H,則。G=GH,如圖,
:.ZBCO=2ZOCG,GH=GO,
,\ZACO=ZGCO,
在△ACO和△GCO中,
ZACO=ZGCO
OC=OC
ZAOC=ZGOC
:._ACC^AGCO(ASA),
OA=OG=GH=1,
:.GB=OB-OG=2m+i-l=2m,
GHtBC,ZGBH=45°,
???NBGH是等腰直角三角形,
:.GB=6GH,
即2/77=-s/2,
2
故答案為:f
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,等腰三角形的判定和性
質(zhì),角平分線性質(zhì),通過作輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵.
3.(24-25九年級上?江蘇揚州?期末)如圖,拋物線>=--+"+c經(jīng)過A(4,0),C(—l,0)兩點,與y軸交
于點8,P為第一象限拋物線上的動點,連接A3、BC、PA、PC,PC與A3相交于點。.
⑴求拋物線的解析式;
(2)設(shè)△APQ的面積為',△BCQ的面積為52,當5「星=5時,求點尸的坐標;
(3)拋物線上存在點P,滿足NP4B+/CBO=45。,則點P的坐標為.
【答案】⑴、=-爐+3工+4
⑵點P的坐標是(1,6)或(2,6)
⑶尸(3,4)
【分析】(1)將A(4,0),C(TO)代入片-/+法+~利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)圖形得到:Sl+SAQC=S2+SAQC+5,B|JSAPC=SABC+5.運用三角形的面積公式求得點尸的縱
坐標>=6,然后由二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求得點尸的橫坐標即可;
(3)過點P作PDLx軸于點。,根據(jù)03=。4=4得到//450=/。45=45。,可推出一BOCs尸/兇,由相
似的性質(zhì)進行即可求解.
【詳解】(1)解::拋物線y=-*+bx+c經(jīng)過A(4,0),C(-1,O)兩點,
J—16+4Z?+c=0
[―1—Z?+c=O
b=3
解得:
c=4
,拋物線的解析式為y=-x2+3x+4;
(2)解:???S「Sz=5,
?c_c_<
,?0ACP°ABC-?
令k=0,
貝ljy=4,
???3(0,4).
VA(4,0),C(-1,O),
OB=OA=4,AC=5,
S=—xACxOB=—x5x4=10,
說ARC22
?**SACp=15.
設(shè)尸(力+3/+4),
?**SACP=/xACxyp=—x5x(—?+3/+4)=15,
1?0=1或,=2,
???尸(1,6)或尸(2,6);
(3)解:存在,點戶的坐標是(3,4).
理由:過點尸作尸。_Lx軸于點O,
*.*OB=OA=4,
???ZABO=ZOAB=45°.
?.?NPAB+NCBO=45。,
ZCBO+ZPAB+ZBAO=90°.
'/ZCBO+Z.BCO=90°,
:.ZBCO=ZOAB-^-ZPAB=ZPAD.
???ZBOC=ZPDA=90°f
:?一BOCS/DA,
.BOCO
??而一茄.
設(shè)點「(a,—/+3a+4),
APD=-a2+3a^4,AD=4-a,
4=1
—Q2+3Q+44—a
整理得7々+12=0,
解得%=3或g=4(不符合題意),
???尸(3,4),
故答案為:(3,4).
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題,解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性
質(zhì),勾股定理的應(yīng)用以及三角形面積公式,相似三角形的性質(zhì)等知識點.
4.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習)如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線y=a(x-l)(x-4)(a>0)
與x軸交于A、B兩點,與>軸交于點C,若滿足OC?=0405.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)連接AC、BC,
①求證:ZACO=ZCBA;
②在拋物線上找一點E,使得/E4c=2/CBA,請求出點E的坐標.
[答案]⑴y=gx2_:x+2
⑵①見解析;②(8,14)
【分析】(1)令y=0,可求出A、8的坐標,然后求出C的坐標,最后把C的坐標代入函數(shù)解析式求解即
可;
(2)①證明△COAs^BOC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證;
②取OC中點G,過G作GHLOC交AC于X,連接OH,設(shè)點E滿足NE4c=2/CBA,則C"=O",根
據(jù)等邊對等角和三角形外角的性質(zhì)可得出NOH4=2NOCE,結(jié)合已知可得出/EAC=,則AE〃。//,
根據(jù)平行線分線段可得出H是AC中點,則待定系數(shù)法求出直線3解析式為V=2x,直線AE解
y=2x-2
析式為y=2x-2,聯(lián)立方程組15,即可求出E的坐標.
y=-x2—x+2
r22
【詳解】(1)解:令尸0,貝I]0=4(X-1)(X—4),
解得x=l,x=4,
AA(1,O),8(4,0),
AAO=1,30=4,
OC-^OAOB,
/.OC2=1x4=4,
AOC=2(負值舍去),
???C(0,2),
代入y=1)(%—4),得2=a(0—1)(0—4),
解得a=1,
2
;?了。1)(1)=?一|無+2;
(2)①證明:?..OC'OA.OB,
.PCOB
??一,
OAOC
又NCOA=/BOC,
???△COASABOC,
AZACO=ZCBO,即NACO=NCR4;
②如圖,取OC中點G,過G作GHLOC交AC于H,連接O",設(shè)點E滿足NE4C=2NCBA,
則C4=O”,
ZOCH=ZCOH,
:.Z.OHA=NOCH+Z.COH=2ZOCH,
5LZACO=ZCBAf
:.ZOHA=2ZCBA,
':ZEAC=2ZCBA,
:.ZEAC=ZOHAf
:.AE//OH,
':GH±OC,^AOC=90°,
???GH//OA,
...CH=CG=1,,
AHOG
是AC中點,
又4(1,0),C(0,2),
1+00+2
/.H即H
~2~,214
設(shè)直線OH解析式為>=區(qū),
則、=1,
解得k=2,
,直線OH解析式為y=2x,
':AE//OH,
設(shè)直線AE解析式為>=2無+機,
把4(1,0)代入,得0=2+”,
解得m=-2,
直線AE解析式為y=2x-2,
y-2x-2
聯(lián)立方程組15,
y=—x2——x+2
22
"I或(=1
解得(舍去),
y=14V=0
,£的坐標為(8,14).
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與相似三角形,待定系數(shù)法,相似三角形的判定與性質(zhì)等知識,明確題意,
添加合適的輔助線,構(gòu)造相似三角形,合理分類討論是解題的關(guān)鍵.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點尸為該拋物線上一動點.
①當點尸在直線AC下方時,過點尸作尸"x軸,交直線AC于點E,作刊7〃>軸.交直線AC于點片求
Er的最大值;
②若ZPCB=3ZOCB,求點P的橫坐標.
【答案】⑴y=;V+2x-6
⑵①當②號
【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可;
(2)①當x=0時,、=-6,即C(0,-6),OA=6=OC,ZOAC=ZOCA=45°,待定系數(shù)法求直線AC的
解析式為了=一%—6;如圖1,設(shè)F,一r—6),貝ij尸,:/+2C6),尸產(chǎn)=-3r一3r=-3(r+3)2+£,由-3<0,
'NJ乙乙乙乙
9
可知當/=一3時,尸尸有最大值,,由尸石x軸,P/〃y軸,可得NPFE=NPEF,PE=PF,由勾股定理
得,EF=JPE°+PF°=也PF,進而可求斯的最大值;②如圖2,作B關(guān)于,軸的對稱點N,連接CN,
作CP,使NPCN=ZNCO,交x軸于£),由軸對稱的性質(zhì)可知,ZNCO=ZOCB,ON=OB=2,CN=CB,
則Z2VC3=2NOC3,ZPCO=ZPCN+ZNCO=2ZOCB=ZNCB,NPCB=NPCO+NOCB=3NOCB,由勾
22
股定理得,BC=CN=y/ON+OC=2710>如圖2,作加_LCN于M,由SBCN=;CN-BM=;BN-OC,
Bpix2V10xBM=|x4x6,可求8M=5^,由勾股定理得,CMBC?-BM?=對遠,貝U
2255
6M
tanNNCB=—=—^==,,由tanNDCO=—=tanNNCB=』,即變=?,可求OD=身,即£>[-生,o],
CM8河4OC4644I4J
5
441c
待定系數(shù)法求直線CD的解析式為y=-§x-6,聯(lián)立,-§》-6=5/+2》一6,計算求出滿足要求的解即可.
【詳解】(1)解:將A(-6,0),3(2,0)代入y=gd+6x+c得,18-6Z;+c=0
2+2b+c=0
6=2
解得,
c=-6
**?y——+2%—6;
2
(2)①解:當x=0時,y=-6,即C(0,—6),
/.OA=6=OC,/(MC=/OC4=45°,
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+d,
—6k+Z?=0
將A(-6,0),C(0,-6),代入得,
b=-6
k=-l
解得,
b=-6
直線AC的解析式為y=-x-6;
如圖1,
9
...當/=一3時,尸產(chǎn)有最大值5,
軸,P尸〃y軸,
ZPFE=ZOCA=45°,ZPEF=ZOAC=45°,
:?ZPFE=ZPEF,
PE=PF,
由勾股定理得,EF=4PE?+PF,=垃PF,
E尸的最大值為還:
2
②解:如圖2,作3關(guān)于y軸的對稱點N,連接CN,作CP,使NPCN=NNCO,交x軸于
由軸對稱的性質(zhì)可知,ZNCO=ZOCB,ON=OB=2,CN=CB,
:.ZNCB=2Z.OCB,ZPCO=ZPCN+ZNCO=2ZOCB=ZNCB,
ZPCB=ZPCO+ZOCB=3ZOCB,
由勾股定理得,BC=CN=yjON2+OC2=2M,
如圖2,作H0LQV于
RrN=-CNBM^-BNOC,BP-x2>/10xBM=ix4x6,
BCN2222
解得,
5
由勾股定理得,CM=ylBC--BM2=,
6V10
八snBM3
tan/NCB----5
CM8AA04
5
tanZDCO=—=tanZA^CB=-,gR—
OC464
9
解得,OD=3,
設(shè)直線CD的解析式為y=g+w,
(9A"=-6
將C(0,-6),川二,
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