2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題11.2推理練習(xí)含解析VIP

PAGEPAGE111.2推理【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下一．合情推理(1)歸納推理①定義：從個別事實中推演出一般性的結(jié)論，稱為歸納推理(簡稱歸納法)．②特點：歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理．(2)類比推理①定義：依據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相像或相同，推演出它們在其他方面也相像或相同，像這樣的推理通常稱為類比推理(簡稱類比法)．②特點：類比推理是由特別到特別的推理．(3)合情推理合情推理是依據(jù)已有的事實、正確的結(jié)論、試驗和實踐的結(jié)果，以及個人的閱歷和直覺等推想某些結(jié)果的推理過程．歸納推理和類比推理都是數(shù)學(xué)活動中常用的合情推理．二．演繹推理(1)演繹推理由一般性的命題推演出特別性命題的推理方法稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特別的推理．(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——一般性的原理；②小前提——特別對象；③結(jié)論——揭示了一般原理與特別對象的內(nèi)在聯(lián)系．【修煉套路】【修煉套路】為君聊賦《今日詩》，努力請從今日始考向一歸納推理【例1】（1）視察下列式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，依據(jù)以上式子可以猜想：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,20192)<________.（2）分形理論是當(dāng)今世界非常風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科．其中，把部分與整體以某種方式相像的形體稱為分形．分形是一種具有自相像特性的現(xiàn)象、圖象或者物理過程．標(biāo)準(zhǔn)的自相像分形是數(shù)學(xué)上的抽象，迭代生成無限精細的結(jié)構(gòu)．也就是說，在分形中，每一組成部分都在特征上和整體相像，只僅僅是變小了一些而已，謝爾賓斯基三角形就是一種典型的分形，是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出的，依據(jù)如下規(guī)律依次在一個黑色三角形內(nèi)去掉小三角形，則當(dāng)n＝6時，該黑色三角形內(nèi)去掉小三角形個數(shù)為________．【答案】（1）4037（2）364【解析】（1）由題意得，不等式右邊分?jǐn)?shù)的分母是左邊最終一個分?jǐn)?shù)的分母的底數(shù)，所以猜想的分母是2019，分子組成了一個以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以a2018＝3＋(2018－1)×2＝4037.（2）由圖可知，每一個圖形中小三角形的個數(shù)等于前一個圖形小三角形個數(shù)的3倍加1，所以，n＝1時，a1＝1；n＝2時，a2＝3＋1＝4；n＝3時，a3＝3×4＋1＝13；n＝4時，a4＝3×13＋1＝40；n＝5時，a5＝3×40＋1＝121；n＝6時，a6＝3×121＋1＝364.【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】歸納推理問題的常見類型及解題策略(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理．視察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解．(2)與式子有關(guān)的推理．視察每個式子的特點，留意是縱向看，找到規(guī)律后可解．(3)與圖形改變有關(guān)的推理．合理利用特別圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡裕九e一反三】1．已知，，，…，依此規(guī)律，若，則的值分別是（）A．79 B．81 C．100 D．98【答案】D【解析】由，，，…，依此規(guī)律，，則，可得，，故，故選：D．2．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個宏大成就.在“楊輝三角”中，已知第行的全部數(shù)字之和為，若去除全部為1的項，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，則此數(shù)列的前56項和為（）A．2060 B．2038 C．4084 D．4108【答案】C【解析】n次二項式系數(shù)對應(yīng)楊輝三角形的第行，例如，系數(shù)分別為1,2,1，對應(yīng)楊輝三角形的第3行，令，就可以求出該行的系數(shù)之和，第1行為，第2行為，第3行為，以此類推，即每一行數(shù)字和為首項為1，公比為2的等比數(shù)列.則楊輝三角形的前n項和為若去除全部的為1的項，則剩下的每一行的個數(shù)為1,2,3,4,…,可以看成構(gòu)成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則，可得當(dāng)，去除兩端“1”可得，則此數(shù)列前55項和為，所以第56項為第13行去除1的第一個數(shù),所以該數(shù)列前56項和為，故選C.考向二類比推理【例2】(1)已知{an}為等差數(shù)列，a1010＝5，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝5×2019.若{bn}為等比數(shù)列，b1010＝5，則{bn}類似的結(jié)論是________________．（2）設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c).類比這個結(jié)論可知：四面體P－ABC的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體P－ABC的體積為V，則r＝________.【答案】（1）b1b2b3…b2019＝52019（2）eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)【解析】（1）在等差數(shù)列{an}中，令S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2019，則S＝a2019＋a2018＋a2017＋…＋a1，∴2S＝(a1＋a2019)＋(a2＋a2018)＋(a3＋a2017)＋…＋(a2019＋a1)＝2019(a1＋a2019)＝2019×2a1010＝10×2019，∴S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝5×2019.在等比數(shù)列{bn}中，令T＝b1b2b3…b2019，則T＝b2019b2018b2017…b1，∴T2＝(b1b2019)(b2b2018)(b3b2017)…(b2019b1)＝(beq\o\al(2,1010))2019，∴T＝b1b2b3…b2019＝(b1010)2019＝52019.（2）由類比推理可知r＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).【舉一反三】1．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，類比這些等式，若eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))(a，b均為正數(shù))，則a＋b＝________.【答案】41【解析】視察等式eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，第n個應(yīng)當(dāng)是eq\r(n＋1＋\f(n＋1,n＋12－1))＝(n＋1)eq\r(\f(n＋1,n＋12－1))，則第5個等式中a＝6，b＝a2－1＝35，a＋b＝41.2．平面內(nèi)直角三角形兩直角邊長分別為，則斜邊長為，直角頂點到斜邊的距離為.空間中三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，三個側(cè)面的面積分別為，，，類比推理可得底面積為，則三棱錐頂點究竟面的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在這三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐中設(shè)三條棱長分別為，又因為三個側(cè)面的面積分別為，，，，，則：，類比推理可得底面積為：若三棱錐頂點究竟面的距離為，可知三棱錐體積：本題正確選項：考向三演繹推理【例3】（1）正切函數(shù)是奇函數(shù)，是正切函數(shù)，因此是奇函數(shù)，以上推理（）A．結(jié)論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．以上均不正確（2）今年六一兒童節(jié)，阿曾和爸爸，媽媽，妹妹小麗來到游樂園玩.一家四口走到一個抽獎臺前各抽一次獎，抽獎前，爸爸，媽媽，阿曾，小麗對抽獎臺結(jié)果進行了預(yù)料，預(yù)料結(jié)果如下：媽媽說：“小麗能中獎”；爸爸說：“我或媽媽能中獎”；阿曾說：“我或媽媽能中獎”；小麗說：“爸爸不能中獎”.抽獎揭曉后，一家四口只有一位家庭成員猜中，且只有一位家庭成員的預(yù)料結(jié)果是正確的，則中獎的是（）A．媽媽 B．爸爸 C．阿曾 D．小麗【答案】（1）C（2）B【解析】（1）大前提：正切函數(shù)是奇函數(shù)，正確；小前提：是正切函數(shù)，因為該函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，故錯誤；結(jié)論：是奇函數(shù)，該函數(shù)為偶函數(shù)，故錯誤；結(jié)合三段論可得小前提不正確故答案選C（2）由四人的預(yù)料可得下表：中獎人預(yù)料結(jié)果爸爸媽媽阿曾小麗爸爸????媽媽????阿曾????小麗????1）若爸爸中獎，僅有爸爸預(yù)料正確，符合題意2）若媽媽中獎，爸爸、阿曾、小麗預(yù)料均正確，不符合題意3）若阿曾中獎，阿曾、小麗預(yù)料均正確，不符合題意4）若小麗中獎，媽媽、小麗預(yù)料均正確，不符合題意故只有當(dāng)爸爸中獎時，僅有爸爸一人預(yù)料正確．故選：B．【舉一反三】1.某市為了緩解交通壓力，實行機動車輛限行政策，每輛機動車每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五輛車，保證每天至少有四輛車可以上路行駛．已知E車周四限行，B車昨天限行，從今日算起，A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，E車明天可以上路，由此可知今日是星期________．【答案】四【解析】因為每天至少有四輛車可以上路行駛，E車明天可以上路，E車周四限行，所以今日不是周三；因為B車昨天限行，所以今日不是周一，不是周五，也不是周日；因為A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，所以今日不是周二和周六，所以今日是周四．【運用套路】【運用套路】紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行1．已知從2起先的連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成以下數(shù)表，如圖所示，在該數(shù)表中位于第行、第列的數(shù)記為，如.若，則（）A．20 B．21 C．29 D．30【答案】A【解析】由題意可得第1行有1個偶數(shù)，第2行有2個偶數(shù)，…第n行有n個偶數(shù)，則前n行共有個偶數(shù)，248在從2起先的偶數(shù)中排在第128位,可得，，可得前15行共有個數(shù)，最終一個數(shù)為240，所以248在第16行，第4列，所以.2．楊輝三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（）是在年發(fā)覺這一規(guī)律的．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，這是我國數(shù)學(xué)史上的一個宏大成就．如圖，在“楊輝三角”中，去除全部為的項．依次構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列前項和為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】去除全部為的項后，由圖可知前行共有個數(shù)，當(dāng)時，，即前行共有個數(shù)，另第行的和為，所以前行的和為，第項的最終的兩個數(shù)為，，故此數(shù)列前項和為，故選：C．3．我國古代的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：如圖，將1，2，…，9填入的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對角線上的三個數(shù)字之和都等于15.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)填入個方格中，使得每行，每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，這個正方形叫做階幻方.記階幻方的對角線上的數(shù)字之和為，如圖三階幻方的，那么的值為（）A．369 B．321 C．45 D．41【答案】A【解析】依據(jù)題意可知，幻方對角線上的數(shù)成等差數(shù)列依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知對角線的兩個數(shù)相加正好等于依據(jù)等差數(shù)列的求和公式：故選：A4．傳聞古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家常常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù).他們探討過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的依次組成一個新數(shù)列，可以推想：是數(shù)列中的第（）A．5049項 B．5054項 C．5050項 D．5055項【答案】A【解析】因為，，，，歸納可得，從而，，，，依次可知，當(dāng)時，由此可知，被5整除的三角形數(shù)每五個數(shù)中出現(xiàn)兩個，即每五個數(shù)分為一組，則該組的后兩個數(shù)可被5整除，下證該結(jié)論成立.設(shè)，則，無論是奇數(shù)還是偶數(shù)，都是偶數(shù)且是5的倍數(shù)，故為正整數(shù)且是的倍數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，時，是5的倍數(shù)，從而可知每五個數(shù)分為一組，則該組的后兩個數(shù)可被5整除.由于是第2024個可被5整除的數(shù)，故它出現(xiàn)在數(shù)列按五個一段分組的第1010組的第4個數(shù)字，故是數(shù)列中的第個數(shù)，故選A.5．如圖:圖①、圖②、圖③、圖④分別包含1、5、13和25個互不重疊的單位正方形，按同樣的方式構(gòu)造圖形，則第個圖包含的單位正方形的個數(shù)是()A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)第個圖包含個互不重疊的單位正方形，圖①、圖②、圖③、圖④分別包括1，5，13，和25個互不重疊的單位正方形，，，，，由此類推可得：經(jīng)檢驗滿意條件。故答案選C6．在中，若，，，則的外接圓半徑，將此結(jié)論拓展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四面體中，若、、兩兩相互垂直，，，，則四面體的外接球半徑（）A． B． C． D．【答案】A【解析】四面體中，三條棱、、兩兩相互垂直，則可以把該四面體補成長方體，，，是一個頂點處的三條棱長.所以外接球的直徑就是長方體的體對角線，則半徑.故選A.7．下列表述正確的是（）①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特別的推理；④類比推理是由特別到一般的推理；⑤類比推理是由特別到特別的推理。A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤；【答案】C【解析】所謂歸納推理，就是從個別性學(xué)問推出一般性結(jié)論的推理．故①對②錯；又所謂演繹推理是由一般到特別的推理．故③對；類比推理是依據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理．故④錯⑤對．故選：C．8．設(shè)的周長為，的面積為，內(nèi)切圓半徑為，則，類比這個結(jié)論可知：四面體的表面積分別為，內(nèi)切球半徑為，體積為，則等于()A． B． C． D．【答案】C【解析】因為的周長為，的面積為，內(nèi)切圓半徑為，則；類比可得：四面體的表面積分別為，內(nèi)切球半徑為，體積為，則.故選C9．設(shè)的周長為，的面積為，內(nèi)切圓半徑為，則，類比這個結(jié)論可知：四面體的表面積分別為，內(nèi)切球半徑為，體積為，則等于()A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為，則球心到四個面的距離都是，所以四面體的體積等于以球心為頂點，分別以四個面為底面的四個三棱錐的體積和，又由四面體的表面積為，所以四面體的體積為，故選B．10．的三邊長分別為，的面積為，內(nèi)切圓半徑為，則，類比這個結(jié)論可知：四面體的四個面的面積分別為、、、，內(nèi)切球半徑為，四面體的體積為，則(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為，則球心到四面體的距離都是，所以四面體的體積等于以為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐的體積和，則四面體的體積為，所以，故選C．11．有一段“三段論”，其推理是這樣的：對于可導(dǎo)函數(shù)，若，則是函數(shù)的極值點,因為函數(shù)滿意，所以是函數(shù)的極值點”，結(jié)論以上推理A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．沒有錯誤【答案】A【解析】對于可導(dǎo)函數(shù)f（x），假如f'（x0）＝0，且滿意當(dāng)x＞x0時和當(dāng)x＜x0時的導(dǎo)函數(shù)值異號時，那么x＝x0是函數(shù)f（x）的極值點，而大前提是：“對于可導(dǎo)函數(shù)f（x），假如f'（x0）＝0，那么x＝x0是函數(shù)f（x）的極值點”，不是真命題，∴大前提錯誤，故選：A．12．下列說法中運用了類比推理的是（）A．人們通過大量試驗得出擲硬幣出現(xiàn)正面對上的概率為0.5B．在平面內(nèi)，若兩個正三角形的邊長的比為，則它們的面積比為.從而推出：在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為，則它們的體積比為C．由數(shù)列的前5項猜出該數(shù)列的通項公式D．?dāng)?shù)學(xué)中由周期函數(shù)的定義推斷某函數(shù)是否為周期函數(shù)【答案】B【解析】選項A:是歸納推理；選項B：是類比推理；選項C:是歸納推理；選項D:是演繹推理.13．甲、乙、丙、丁四個人參與某項競賽，四人在成果公布前做出如下預(yù)料：甲說：獲獎?wù)咴谝冶∪酥校灰艺f：我不會獲獎，丙獲獎；丙說：甲和丁中的一人獲獎；丁說：乙揣測的是對的.成果公布后表明，四人中有兩人的預(yù)料與結(jié)果相符，另外兩人的預(yù)料與結(jié)果不相符.已知倆人獲獎，則獲獎的是A．甲和丁 B．甲和丙C．乙和丙 D．乙和丁【答案】D【解析】乙、丁的預(yù)料要么同時與結(jié)果相符，要么同時與結(jié)果不符，若乙、丁的預(yù)料成立，則甲、丙的預(yù)料不成立，可知沖突，故乙、丁的預(yù)料不成立，從而獲獎的是乙和丁，故選D.14．已知2和3都是無理數(shù)，試證：2+3也是無理數(shù)．某同學(xué)運用演繹推理證明如下：依題設(shè)2和3都是無理數(shù)，而無理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù)，所以2+A．大前提錯誤B．小前提錯誤C．推理形式錯誤D．以上都可能【答案】A【解析】大前提：無理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù)，錯誤；小前提：2和3都是無理數(shù)，正確；結(jié)論2+3也是無理數(shù)也正確，故只有大前提錯誤，故選：16．設(shè)等邊的邊長為，是內(nèi)的隨意一點，且到三邊、、的距離分別為、、，則有為定值；由以上平面圖形的特性類比空間圖形：設(shè)正四面體的棱長為3，是正四面體內(nèi)的隨意一點，且到四個面、、、的距離分別為、、、，則有為定值______．【答案】【解析】設(shè)底面三角形的中心為，則，故棱錐的高.∴正四面體的體積.又，∴.故答案為：．17．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不行割，則與圓周盒體而無所失矣.”它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程.比如在表達式中“…”既代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值，它可以通過方程求得，類似上述過程，則__________．【答案】【解析】令，則兩邊平方得，得即，解得：或（舍去）本題正確結(jié)果：18．若數(shù)列為等差數(shù)列，定義，則數(shù)列也為等差數(shù)列.類比上述性質(zhì)，若數(shù)列為等比數(shù)列，定義數(shù)列______，則數(shù)列也為等比數(shù)列.【答案】【解析】因為為等差數(shù)列，從而，所以，，所以為等差數(shù)列，而當(dāng)為等比數(shù)列時，，故，若，則，此時（為的公比），所以為等比數(shù)列，填.19．某人在一周當(dāng)中的周一到周五這五天中選擇三天值班，且由于家庭緣由，還需滿意以下條件:①若周三值班，則周二不值班；②若周四值班，則周一不值班；③周二和周四至少有—天值班.若要支配周三值班，則另兩天是_______.【答案】周四、周五【解析】因為周三值班，由①③知周四要值班，再由②知周一不能值班，所以周五就必需值班.20．二維空間中，圓的一維測度(周長)l＝2πr，二維測度(面積)S＝πr2；三維空間中，球的二維測度(表面積)S＝4πr2，三維測度(體積)V＝eq\f(4,3)πr3.應(yīng)用合情推理，若四維空間中，“特級球”的三維測度V＝12πr3，則其四維測度W＝________.【答案】3πr4【解析】二維空間中圓的一維測度(周長)l＝2πr，二維測度(面積)S＝πr2；視察發(fā)覺S′＝l，三維空間中球的二維測度(表面積)S＝4πr2，三維測度(體積)V＝eq\f(4,3)πr3，視察發(fā)覺V′＝S，∴四維空間中“特級球”的三維測度V＝12πr3，猜想其四維測度W，則W′＝V＝12πr3，∴W＝3πr4.21．天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支紀(jì)年法是按依次以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由