2026版步步高大一輪數(shù)學(xué)江蘇基礎(chǔ)第六章§6.2等差數(shù)列（含答案或解析）

§6.2等差數(shù)列課標(biāo)要求1.理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2.探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.3.能在具體問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.體會(huì)等差數(shù)列與一元函數(shù)的關(guān)系.1.等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示，定義表達(dá)式為.

(2)等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且有.

2.等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝.

(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝或Sn＝.

3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)若{an}為等差數(shù)列，且p＋q＝s＋t，則(p，q，s，t∈N*).

(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性當(dāng)d>0時(shí)，{an}是數(shù)列；

當(dāng)d<0時(shí)，{an}是數(shù)列；

當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是.

4.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的常用性質(zhì)(1)當(dāng)d≠0時(shí)，等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝d2n2＋a1?d2(2)在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn存在最值；若a1<0，d>0，則Sn存在最值.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.()(2)等差數(shù)列{an}中，a10＝a1＋a9.()(3)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S6，S12，S18也成等差數(shù)列.()(4)若{an}是等差數(shù)列，則對(duì)任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2.()2.(2024·沈陽(yáng)模擬)記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，a3＋a7＝8，則S17等于()A.51 B.102C.119 D.2383.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋3n＋m(m為常數(shù))，則“m＝0”是“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要條件4.(2024·重慶模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2＝4，S9＝63，則a8＝.

掌握等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.(2)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.(3)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Snn(4)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).題型一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算例1(1)(2024·汕頭模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＝5，S2＝4，若Sn＋an＋1＝100，則A.8 B.9C.10 D.11(2)(2024·沈陽(yáng)模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說(shuō)：“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏；次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言；務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳.”說(shuō)的是，有996斤棉花要贈(zèng)送給八個(gè)子女做旅費(fèi)，從第一個(gè)孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第八個(gè)孩子為止.根據(jù)這些信息第三個(gè)孩子分得的棉花斤數(shù)為()A.99 B.116C.133 D.150思維升華(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè)(簡(jiǎn)稱“知三求二”).(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個(gè)最基本的量，即首項(xiàng)a1和公差d.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·重慶模擬)中國(guó)載人航天工程發(fā)射的第十八艘飛船，簡(jiǎn)稱“神十八”，于2024年4月執(zhí)行載人航天飛行任務(wù).運(yùn)送“神十八”的長(zhǎng)征二號(hào)F運(yùn)載火箭，在點(diǎn)火第一秒鐘通過(guò)的路程為2km，以后每秒鐘通過(guò)的路程都增加3km，在達(dá)到離地面222km的高度時(shí)，火箭開始進(jìn)入轉(zhuǎn)彎程序.則從點(diǎn)火到進(jìn)入轉(zhuǎn)彎程序大約需要的時(shí)間是()A.10秒 B.11秒C.12秒 D.13秒(2)(2024·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，則S10＝.

題型二等差數(shù)列的判定與證明例2(2025·深圳模擬)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，且?n∈N*，anSn＋1－an＋1Sn＝an(1)證明：Sn(2)證明：ann為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an思維升華判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an－an－1為同一常數(shù).(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立.(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an＝pn＋q.(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn.跟蹤訓(xùn)練2(2024·晉中模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝12，且當(dāng)n≥2(n∈N*)時(shí)，2Sn·Sn－1＝－an(1)證明：數(shù)列1S(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn＝anan＋1，求b1＋題型三等差數(shù)列的性質(zhì)命題點(diǎn)1項(xiàng)的性質(zhì)例3(多選)(2025·臨沂模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，則下列命題為真命題的是()A.若a3＝4，a6＝7，則a12＝25B.若a2＋a13＝4，則S14＝28C.若S15<0，則S7>S8D.若{an}和{anan＋1}都為遞增數(shù)列，則an>0命題點(diǎn)2和的性質(zhì)例4(1)(2024·咸陽(yáng)模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4＝2，S8＝12，則S16等于()A.26 B.34C.56 D.90(2)已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn與Tn，且SnTnA.53 B.C.3823 D.思維升華等差數(shù)列的性質(zhì)(1)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an；(2)若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)組成公差為md的等差數(shù)列；(3)在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，S2n－1＝(2n－1)an.跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)(2024·沈陽(yáng)模擬)設(shè){an}是等差數(shù)列，公差為d，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5<S6，S6＝S7>S8，則下列結(jié)論正確的是()A.d≤0B.a7＝0C.S6與S7均為Sn的最大值D.滿足Sn<0的n的最小值為14(2)(2024·湖北聯(lián)考)如果一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為54，后10項(xiàng)和為146，且所有項(xiàng)和為390，則這個(gè)數(shù)列有()A.36項(xiàng) B.37項(xiàng) C.38項(xiàng) D.39項(xiàng)

答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.(1)2同一個(gè)常數(shù)dan－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)(2)2A＝a＋b2.(1)a1＋(n－1)d(2)na1＋n(n?1)3.(1)ap＋aq＝as＋at(2)遞增遞減常數(shù)列4.(2)大小自主診斷1.(1)×(2)×(3)×(4)√2.B[在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a7＝2a5＝8，即a5＝4，所以d＝a5則S17＝17×2＋17×16＝102.]3.D[當(dāng)m＝0時(shí)，Sn＝n2＋3n，則a1＝S1＝4，an＝Sn－Sn－1＝n2＋3n－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2(n≥2)，a1＝4也滿足an＝2n＋2，所以an－an－1＝2(n≥2)，故數(shù)列{an}為等差數(shù)列；由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＝S1＝4＋m，滿足an＝2n＋2(n≥2)，故4＋m＝4，所以m＝0，綜上可知，“m＝0”是“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”的充要條件.]4.10解析因?yàn)閍2＝4，S9＝63，所以S9＝9(＝9(a2即9(4＋a8)2＝63探究核心題型例1(1)B[設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由a3＝5，S2＝4，得a解得a于是an＝2n－1，Sn＝1＋2n?12·n＝由Sn＋an＋1＝100，得n2＋2n＋1＝100，又n∈N*，所以n(2)A[依題意得，八個(gè)子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為{an}，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，第一個(gè)孩子所得棉花斤數(shù)為a1，則由題意得d＝17，S8＝8a1＋8×72解得a1＝65，所以a3＝a1＋(3－1)d＝65＋2×17＝99.]跟蹤訓(xùn)練1(1)C[設(shè)每一秒鐘通過(guò)的路程為an，由題意可知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則數(shù)列首項(xiàng)a1＝2，公差d＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×3＝3n－1，由Sn＝n(a解得n＝12或n＝－373(舍去).(2)95解析方法一(基本量法)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則由題意得a解得a則S10＝10a1＋10×＝10×(－4)＋45×3＝95.方法二(利用下標(biāo)和性質(zhì))設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝a5?a25?2＝3則S10＝a1＋a102×10＝5(a＝5×19＝95.例2(1)證明∵?n∈N*，anSn＋1－an＋1Sn＝an∴Sn＋1an＋1－∴數(shù)列Snan公差為12的等差數(shù)列(2)解Snan＝1＋12(n－1即2Sn＝(n＋1)an，2Sn－1＝nan－1(n≥2)，兩式作差得2an＝(n＋1)an－nan－1，即(n－1)an＝nan－1(n≥2)，∴ann＝an即ann－an?1n?1＝0∴ann是首項(xiàng)為公差為0的等差數(shù)列，∴ann＝1，即an＝跟蹤訓(xùn)練2(1)證明因?yàn)?Sn·Sn－1＝－an(n≥2)，所以2Sn＋1·Sn＝－an＋1，則2Sn·Sn＋1＝Sn－Sn＋1，因?yàn)镾1＝a1＝12≠0，易知Sn≠0所以Sn?又1S1所以數(shù)列1Sn是首項(xiàng)與公差都為2(2)解由(1)得1Sn＝2＋2(n－1)＝2n，則Sn＝當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝a1a當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝1＝－12·1所以bn＝?1所以b1＋b101＝－2＋101＋1101?1＝－49例3BC[由a3，a6，a9，a12成等差數(shù)列，且公差為3，所以a12＝4＋3×3＝13，所以A錯(cuò)誤；由S14＝14(a1＋a由S15＝15(a1＋a15)2＝15a8<0，所以a8<0，又因?yàn)镾8－S7＝a8<0，則S因?yàn)閿?shù)列{an}為遞增數(shù)列，可得公差d>0，因?yàn)閿?shù)列{anan＋1}為遞增數(shù)列，可得an＋2an＋1－anan＋1＝an＋1·2d>0，所以對(duì)任意的n≥2，an>0，但a1的正負(fù)不確定，所以D錯(cuò)誤.]例4(1)C[由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，可知S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12也為等差數(shù)列，由S4＝2，S8＝12，得S8－S4＝10，故S12－S8＝18，S16－S12＝26，即有S12＝18＋S8＝30，S16＝26＋S12＝56.](2)A[因?yàn)閧an}，{bn}均為等差數(shù)列，所以a6因?yàn)镾n所以a6b跟蹤訓(xùn)練3(1)BCD[因?yàn)镾6＝S7>S8，所以S7－S6＝a7＝0，S8－S7＝a8<0，所以d＝a8－a7<0，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)镾5<S6，S6＝S7>S8，所以S6與S7均為Sn的最大值，故C正確；因?yàn)?a7＝a1＋a13，由S13＝13(a1＋a13)2＝0，S14＝14(a1＋a14)2(2)D[依題意a1＋a2＋…＋a10＝54，an－9＋…＋an－1＋an＝146，所以a1＋a2＋…＋a10＋an－9＋…＋an－1＋an＝200，因?yàn)閍1＋an＝a2＋an－1＝…＝a10＋an－9，所以a1＋an＝20，所以Sn＝n(a1＋a

6.2等差數(shù)列課標(biāo)要求1.理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2.探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.3.能在具體問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.體會(huì)等差數(shù)列與一元函數(shù)的關(guān)系.1.等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，定義表達(dá)式為an-an-1=d(常數(shù))(n≥2，n∈N*).(2)等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且有2A=a+b.2.等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn=na1+n(n?1)2d或S3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)若{an}為等差數(shù)列，且p+q=s+t，則ap+aq=as+at(p，q，s，t∈N*).(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性當(dāng)d>0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d=0時(shí)，{an}是常數(shù)列.4.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的常用性質(zhì)(1)當(dāng)d≠0時(shí)，等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=d2n2+a1?d(2)在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.(×)(2)等差數(shù)列{an}中，a10=a1+a9.(×)(3)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S6，S12，S18也成等差數(shù)列.(×)(4)若{an}是等差數(shù)列，則對(duì)任意n∈N*都有2an+1=an+an+2.(√)2.(2024·沈陽(yáng)模擬)記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=2，a3+a7=8，則S17等于()A.51 B.102 C.119 D.238答案B解析在等差數(shù)列{an}中，a1=2，a3+a7=2a5=8，即a5=4，所以d=a5?a則S17=17×2+17×1623.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+3n+m(m為常數(shù))，則“m=0”是“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要條件答案D解析當(dāng)m=0時(shí)，Sn=n2+3n，則a1=S1=4，an=Sn-Sn-1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2(n≥2)，a1=4也滿足an=2n+2，所以an-an-1=2(n≥2)，故數(shù)列{an}為等差數(shù)列；由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1=S1=4+m，滿足an=2n+2(n≥2)，故4+m=4，所以m=0，綜上可知，“m=0”是“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”的充要條件.4.(2024·重慶模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2=4，S9=63，則a8=.

答案10解析因?yàn)閍2=4，S9=63，所以S9=9(a1+a即9(4+a8)2=63掌握等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.(2)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差數(shù)列.(3)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sn(4)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn(A，B為常數(shù)).題型一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算例1(1)(2024·汕頭模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a3=5，S2=4，若Sn+an+1=100，則A.8 B.9 C.10 D.11答案B解析設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由a3=5，S2=4，得a解得a于是an=2n-1，Sn=1+2n?12·n=由Sn+an+1=100，得n2+2n+1=100，又n∈N所以n=9.(2)(2024·沈陽(yáng)模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說(shuō)：“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏；次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言；務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳.”說(shuō)的是，有996斤棉花要贈(zèng)送給八個(gè)子女做旅費(fèi)，從第一個(gè)孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第八個(gè)孩子為止.根據(jù)這些信息第三個(gè)孩子分得的棉花斤數(shù)為()A.99 B.116 C.133 D.150答案A解析依題意得，八個(gè)子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為{an}，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，第一個(gè)孩子所得棉花斤數(shù)為a1，則由題意得d=17，S8=8a1+8×72解得a1=65，所以a3=a1+(3-1)d=65+2×17=99.思維升華(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè)(簡(jiǎn)稱“知三求二”).(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個(gè)最基本的量，即首項(xiàng)a1和公差d.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·重慶模擬)中國(guó)載人航天工程發(fā)射的第十八艘飛船，簡(jiǎn)稱“神十八”，于2024年4月執(zhí)行載人航天飛行任務(wù).運(yùn)送“神十八”的長(zhǎng)征二號(hào)F運(yùn)載火箭，在點(diǎn)火第一秒鐘通過(guò)的路程為2km，以后每秒鐘通過(guò)的路程都增加3km，在達(dá)到離地面222km的高度時(shí)，火箭開始進(jìn)入轉(zhuǎn)彎程序.則從點(diǎn)火到進(jìn)入轉(zhuǎn)彎程序大約需要的時(shí)間是()A.10秒 B.11秒 C.12秒 D.13秒答案C解析設(shè)每一秒鐘通過(guò)的路程為an，由題意可知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則數(shù)列首項(xiàng)a1=2，公差d=3，所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1，由Sn=n(a1+解得n=12或n=-373(舍去)(2)(2024·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，則S10=.

答案95解析方法一(基本量法)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則由題意得a解得a則S10=10a1+10×=10×(-4)+45×3=95.方法二(利用下標(biāo)和性質(zhì))設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由a3+a4=a2+a5=7，3a2+a5=5，得a2=-1，a5=8，故d=a5?a25?2=3則S10=a1+a102×10=5(a=5×19=95.題型二等差數(shù)列的判定與證明例2(2025·深圳模擬)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1=1，且?n∈N*，anSn+1-an+1Sn=an(1)證明：Sn(2)證明：ann為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a(1)證明∵?n∈N*，anSn+1-an+1Sn=an∴Sn+1an+1-Snan∴數(shù)列Snan是首項(xiàng)為1，公差為(2)解Snan=1+12(n-1即2Sn=(n+1)an，2Sn-1=nan-1(n≥2)，兩式作差得2an=(n+1)an-nan-1，即(n-1)an=nan-1(n≥2)，∴ann=an?1n即ann-an?1n?1=0(n∴ann是首項(xiàng)為1，公差為∴ann=1，即an=思維升華判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an-an-1為同一常數(shù).(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N*)成立.(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an=pn+q.(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證Sn=An2+Bn.跟蹤訓(xùn)練2(2024·晉中模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=12，且當(dāng)n≥2(n∈N*)時(shí)，2Sn·Sn-1=-an(1)證明：數(shù)列1S(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=anan+1，求b1(1)證明因?yàn)?Sn·Sn-1=-an(n≥2)，所以2Sn+1·Sn=-an+1，則2Sn·Sn+1=Sn-Sn+1，因?yàn)镾1=a1=12≠0，易知Sn≠0所以Sn?Sn+1S又1S1=1所以數(shù)列1Sn是首項(xiàng)與公差都為2(2)解由(1)得1Sn=2+2(n-1)=2則Sn=12當(dāng)n=1時(shí)，b1=a1a2=a1當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=12n-12(n?1)所以bn=?12·所以b1+b101=-2+101+1101?1=-49題型三等差數(shù)列的性質(zhì)命題點(diǎn)1項(xiàng)的性質(zhì)例3(多選)(2025·臨沂模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，則下列命題為真命題的是()A.若a3=4，a6=7，則a12=25B.若a2+a13=4，則S14=28C.若S15<0，則S7>S8D.若{an}和{anan+1}都為遞增數(shù)列，則an>0答案BC解析由a3，a6，a9，a12成等差數(shù)列，且公差為3，所以a12=4+3×3=13，所以A錯(cuò)誤；由S14=14(a1+a14)由S15=15(a1+a15)2=15a8<0，所以a8<0，又因?yàn)镾8-S7=a8<0，則S因?yàn)閿?shù)列{an}為遞增數(shù)列，可得公差d>0，因?yàn)閿?shù)列{anan+1}為遞增數(shù)列，可得an+2an+1-anan+1=an+1·2d>0，所以對(duì)任意的n≥2，an>0，但a1的正負(fù)不確定，所以D錯(cuò)誤.命題點(diǎn)2和的性質(zhì)例4(1)(2024·咸陽(yáng)模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4=2，S8=12，則S16等于()A.26 B.34 C.56 D.90答案C解析由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，可知S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12也為等差數(shù)列，由S4=2，S8=12，得S8-S4=10，故S12-S8=18，S16-S12=26，即有S12=18+S8=30，S16=26+S12=56.(2)已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn與Tn，且SnTn=3A.53 B.2011 C.3823答案A解析因?yàn)閧an}，{bn}均為等差數(shù)列，所以a6b6=2a6因?yàn)镾nTn=3n+22n思維升華等差數(shù)列的性質(zhì)(1)若{an}為等差數(shù)列，且k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，則ak+al=am+an；(2)若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)組成公差為md的等差數(shù)列；(3)在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差數(shù)列，且有S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)，S2n-1=(2n-1)an.跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)(2024·沈陽(yáng)模擬)設(shè){an}是等差數(shù)列，公差為d，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5<S6，S6=S7>S8，則下列結(jié)論正確的是()A.d≤0B.a7=0C.S6與S7均為Sn的最大值D.滿足Sn<0的n的最小值為14答案BCD解析因?yàn)镾6=S7>S8，所以S7-S6=a7=0，S8-S7=a8<0，所以d=a8-a7<0，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)镾5<S6，S6=S7>S8，所以S6與S7均為Sn的最大值，故C正確；因?yàn)?a7=a1+a13，由S13=13(a1+a13)2=0，S14=14(a1+a14)(2)(2024·湖北聯(lián)考)如果一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為54，后10項(xiàng)和為146，且所有項(xiàng)和為390，則這個(gè)數(shù)列有()A.36項(xiàng) B.37項(xiàng) C.38項(xiàng) D.39項(xiàng)答案D解析依題意a1+a2+…+a10=54，an-9+…+an-1+an=146，所以a1+a2+…+a10+an-9+…+an-1+an=200，因?yàn)閍1+an=a2+an-1=…=a10+an-9，所以a1+an=20，所以Sn=n(a1+an課時(shí)精練(分值：80分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共20分)1.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a3=3，S8=48，則a5等于()A.5 B.6 C.7 D.8答案C解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知可得a解得a∴an=-1+(n-1)×2=2n-3，∴a5=2×5-3=7.2.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足2an2=an+12+an?12(n∈N*，且n≥2)，aA.28 B.31 C.27 D.25答案C解析因?yàn)?an2=an由等差中項(xiàng)的定義可知，數(shù)列{an2}是首項(xiàng)a12=1，公差d=a所以an2=a12+(n-1)d=1+3(n-1)所以a102又因?yàn)閍n>0，所以a10=27.3.(2024·丹東模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項(xiàng)和為Sn，則“d>0”是“S8+S10>2S9”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C解析因?yàn)镾8+S10>2S9?S8+S10-2S9=a10-a9=d>0，所以“d>0”是“S8+S10>2S9”的充要條件.4.已知m，n，k∈N*，在數(shù)列{an}中，a1=2，am+n=am+an，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sk+2-Sk=26，則k等于()A.3 B.4 C.5 D.6答案C解析在am+n=am+an中，令m=1，可得an+1=a1+an，所以an+1-an=a1，又a1=2，所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則an=2n，所以Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=2(k+1)+2(k+2)=4k+6=26，所以k=5.二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)5.在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，齊去長(zhǎng)安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢.則()A.駑馬第七日行九十四里B.第七日良馬先至齊C.第八日二馬相逢D.二馬相逢時(shí)良馬行一千三百九十五里答案AD解析由題意可知，兩馬日行里數(shù)均成等差數(shù)列，記數(shù)列{an}為良馬的日行里數(shù)，其中首項(xiàng)a1=103，公差d1=13，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=13n+90，n∈N*，記數(shù)列{bn}為駑馬的日行里數(shù)，其中首項(xiàng)b1=97，公差d2=-0.5，所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=-0.5n+97.5，n∈N*，因此，駑馬第七日行里數(shù)為b7=-0.5×7+97.5=94，即駑馬第七日行九十四里，故A正確；前七日良馬行走總里程為S7=103×7+7×62×13=994，而齊去長(zhǎng)安一千一百二十五里，因?yàn)?94<1125設(shè)第m日兩馬相逢，由題意可知兩馬行走的總里數(shù)是齊與長(zhǎng)安距離的兩倍，即103m+m(m?1)2×13+97m-m(m?1)2×0.5=2×1125，解得由C可知，第九日二馬相逢，此時(shí)良馬共行走了S9=103×9+9×82×13=1395，所以二馬相逢時(shí)良馬行一千三百九十五里，故6.(2024·哈爾濱模擬)已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，若a1<0，S2000=S2024，則()A.d>0 B.a2012=0C.S4024=0 D.Sn≥S2012答案ACD解析因?yàn)镾2000=S2024，所以a2001+a2002+…+a2024=0，所以24(a2001+a2024)2=0，所以a2001+a2024=a2012+a2013=2a1+4023d=0，又因?yàn)閍1<0，所以d=-a2012=a1+2011d=a1-40224023a1=14023a1<0，故S4024=4024(a1+a4024)2=2012(a2001+a2因?yàn)閍2012<0，a2013=-a2012>0，所以當(dāng)n≤2012時(shí)，an<0，當(dāng)n≥2013時(shí)，an>0，所以(Sn)min=S2012，所以Sn≥S2012三、填空題(每小題5分，共10分)7.(2025·日照模擬)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，首項(xiàng)a1=3，且數(shù)列{log3an}是以-2為公差的等差數(shù)列，則a3=.

答案1解析因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，首項(xiàng)a1=3，則log3a1=1，又?jǐn)?shù)列{log3an}是以-2為公差的等差數(shù)列，則log3a3=1-2×(3-1)=-3，故a3=3-3=1278.(2024·衡水模擬)已知數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，滿足(2n+3)Sn=(3n-1)Tn