2026版步步高大一輪數(shù)學江蘇基礎第二章§2.2函數(shù)的單調性與最值（含答案或解析）

§2.2函數(shù)的單調性與最值課標要求1.借助函數(shù)圖象，會用數(shù)學符號語言表達函數(shù)的單調性、最值，理解實際意義.2.掌握函數(shù)單調性的簡單應用.1.函數(shù)的單調性(1)單調函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I?D，如果?x1，x2∈I當x1<x2時，都有，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調遞增，

特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數(shù)當x1<x2時，都有，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調遞減，

特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是的自左向右看圖象是的(2)單調區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上或，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調區(qū)間.

2.函數(shù)的最值前提一般地，設函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈D，都有；(2)?x0∈D，使得

(1)?x∈D，都有；(2)?x0∈D，使得

結論M是函數(shù)y＝f(x)的最大值M是函數(shù)y＝f(x)的最小值1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)滿足f(－3)<f(2)，則f(x)在[－3，2]上單調遞增.()(2)若函數(shù)f(x)在(－2，3)上單調遞增，則函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(－2，3).()(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上一定有最值.()(4)函數(shù)y＝1x的單調遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞).(2.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞增的是()A.y＝－x＋1 B.y＝(x－1)2C.y＝|lnx| D.y＝x3.函數(shù)y＝－1xA.－13 B.－C.－1 D.不存在4.函數(shù)f(x)是定義在[0，＋∞)上的減函數(shù)，則滿足f(2x－1)>f

13的x的取值范圍是.1.熟記與函數(shù)單調性有關的常用結論(1)若?x1，x2∈I(x1≠x2)，則①f(x1)?f(x2)x1?x2>0(或(x1－x2)[f(x②f(x1)?f(x2)x1?x2<0(或(x1－x2)[f(x(2)y＝x＋1x的單調遞增區(qū)間為(－∞，－1]和[1，＋∞(3)在區(qū)間I上，兩個增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和仍是減函數(shù).(4)函數(shù)f(g(x))的單調性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調性的關系是“同增異減”.2.謹防四個易誤點(1)單調區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式表示.(2)求函數(shù)單調區(qū)間或討論函數(shù)的單調性時，必須先求函數(shù)的定義域.(3)一個函數(shù)的同一種單調區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接.(4)“函數(shù)的單調區(qū)間是M”與“函數(shù)在區(qū)間N上單調”是兩個不同的概念，顯然N?M.題型一確定函數(shù)的單調性命題點1函數(shù)單調性的判斷例1(多選)下列說法中，正確的是()A.函數(shù)y＝e－x－1x2在(－B.函數(shù)y＝2|x＋1|的單調遞減區(qū)間是(－∞，－1]C.函數(shù)y＝2?x2D.函數(shù)y＝2x＋2cosx是增函數(shù)命題點2利用定義證明函數(shù)的單調性例2(2025·白銀統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)＝x4?x2，x∈?2，2，判斷函數(shù)f思維升華確定函數(shù)單調性的四種方法(1)定義法.(2)導數(shù)法.(3)圖象法.(4)性質法.跟蹤訓練1(1)下列函數(shù)中，滿足“對任意x1，x2∈(0，＋∞)，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)”的是()A.f(x)＝x|x|B.f(x)＝2x－C.f(x)＝－x2＋2xD.f(x)＝13x3－x2＋2(2)(2025·漯河模擬)函數(shù)y＝log3(－x2＋2x＋15)的單調遞減區(qū)間是()A.(1，＋∞) B.(1，5)C.(－3，1) D.(－∞，1)題型二函數(shù)單調性的應用命題點1比較函數(shù)值的大小例3定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有f(A.f(－2)<f(3)<f(4)B.f(－2)>f(3)>f(4)C.f(3)<f(4)<f(－2)D.f(4)<f(－2)<f(3)命題點2求函數(shù)的最值例4函數(shù)y＝1x?1－1＋x(x≥3)的最小值為求函數(shù)的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函數(shù)有關的函數(shù)求值域問題.(2)單調性法：利用函數(shù)的單調性，再根據(jù)所給定義域來確定函數(shù)的值域.(3)數(shù)形結合法.(4)換元法：引進一個(幾個)新的量來代替原來的量，實行這種“變量代換”.(5)分離常數(shù)法：分子、分母同次的分式形式采用配湊分子的方法，把函數(shù)分離成一個常數(shù)和一個分式和的形式.典例(多選)下列函數(shù)中，值域正確的是()A.當x∈[0，3)時，函數(shù)y=x2-2x+3的值域為[2，6)B.函數(shù)y=2x+1C.函數(shù)y=2x-x?1的值域為D.函數(shù)y=x+1+x?1的值域為[命題點3解函數(shù)不等式例5(2024·湖州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x，則使f(|x|)<f(－3x2＋4)成立的實數(shù)x的取值范圍是()A.(－1，0) B.(－1，＋∞)C.(－1，1) D.(1，＋∞)命題點4求參數(shù)的值(范圍)例6(2024·新課標全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝?x2?2ax?A.(－∞，0] B.[－1，0]C.[－1，1] D.[0，＋∞)思維升華(1)比較函數(shù)值的大小時，先轉化到同一個單調區(qū)間內，然后利用函數(shù)的單調性解決.(2)求解函數(shù)不等式時，由條件脫去“f”，轉化為自變量間的大小關系，應注意函數(shù)的定義域.(3)利用單調性求參數(shù)的取值(范圍).根據(jù)其單調性直接構建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結合圖象求解.對于分段函數(shù)，要注意銜接點的取值.跟蹤訓練2(1)若函數(shù)f(x)＝x＋a?3x?1在(a，＋∞)上單調遞增，則實數(shù)(2)函數(shù)y＝f(x)是定義在[－2，2]上的減函數(shù)，且f(a＋1)<f(2a)，則實數(shù)a的取值范圍是.

答案精析落實主干知識1.(1)f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升下降(2)單調遞增單調遞減2.f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M自主診斷1.(1)×(2)×(3)√(4)×2.D[y＝－x＋1在(0，＋∞)上單調遞減，不符合題意；y＝(x－1)2在(0，＋∞)上不單調，不符合題意；因為y＝|lnx|＝?ln則y＝|lnx|在(0，＋∞)上不單調，不符合題意；y＝x在(0，＋∞)上單調遞增，符合題意.]3.A[y＝－1x＋1在(－1，＋∞)上單調遞增，則y＝－1x＋1在區(qū)間[所以ymax＝－12＋1＝－14.1解析∵f(x)的定義域是[0，＋∞)，∴2x－1≥0，即x≥12又∵f(x)是定義在[0，＋∞)上的減函數(shù)，∴2x－1<13，即x<2則x的取值范圍為12探究核心題型例1ABD[在(－∞，0)上函數(shù)y＝e－x與y＝－1x所以y＝e－x－1x2在(－∞，0)上單調遞減，故作出函數(shù)y＝2|x＋1|的圖象，如圖所示，由圖象可知，函數(shù)y＝2|x＋1|的單調遞減區(qū)間是(－∞，－1]，故B正確；由判斷復合函數(shù)的單調性的方法“同增異減”可得y＝2?x2＋2x＋3的單調遞增區(qū)間為(－因為y'＝2－2sinx≥0，所以y＝2x＋2cosx是R上的增函數(shù)，故D正確.]例2解函數(shù)f(x)＝x4?x2在區(qū)間?2，2任?。?<x1<x2<2，f(x1)－f(x2)＝x＝x＝4(＝(4＋x由于4＋x1x2>0，x1－x2<0，4－x12>0，4－x所以f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，所以f(x)在?2，2上單調遞增.跟蹤訓練1(1)B[對任意x1，x2∈(0，＋∞)，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，則函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調遞減.f(x)＝x|x|＝x作出f(x)的圖象(圖略)可知，f(x)為R上的增函數(shù)，故A錯誤；y＝2x與y＝－x在(0，＋∞)上單調遞減，所以f(x)＝2x－x在(0，＋∞)上單調遞減，故f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(0，＋∞)上不單調，故C錯誤；f(x)＝13x3－x2＋2x，則f'(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以f(x)在R上單調遞增，故D錯誤.(2)B[由－x2＋2x＋15>0，得x＋3x解得－3<x<5，所以函數(shù)的定義域為?3，5，令t＝－x2＋2x＋15＝－(x－1)2＋16，因為函數(shù)t＝－(x－1)2＋16在區(qū)間?3，1上單調遞增，在區(qū)間1，5上單調遞減，且函數(shù)y＝log3t是增函數(shù)，所以函數(shù)y＝log3?x2＋2x例3A[因為對任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有f(x所以f(x)在(－∞，0]上單調遞減，又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，則f(2)<f(3)<f(4)，又f(－2)＝f(2)，所以f(－2)<f(3)<f(4).]例45解析設t＝x－1，t≥2，則y＝1x?1－1＋x＝t＋1t(t又函數(shù)y＝t＋1t在[2，＋∞所以當t＝2，即x＝3時，函數(shù)有最小值2＋12微拓展典例ACD[對于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再結合函數(shù)的圖象(如圖①所示)，可得函數(shù)的值域為[2，6).對于B，(分離常數(shù)法)y＝2x＋1x?3＝2(x?3)＋7x?3＝2＋故函數(shù)的值域為(－∞，2)∪(2，＋∞).對于C，(換元法)設t＝x?1，則x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2t由t≥0，再結合函數(shù)的圖象(如圖②所示)，可得函數(shù)的值域為158對于D，函數(shù)的定義域為[1，＋∞)，∵y＝x＋1與y＝x?1在[1，＋∴y＝x＋1＋x?1在[1∴當x＝1時，ymin＝2，即函數(shù)的值域為[2，＋∞).]例5C[函數(shù)y＝ex為增函數(shù)，函數(shù)y＝e－x為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝ex－e－x為增函數(shù)，所以f(|x|)<f(－3x2＋4)?|x|<－3x2＋4，即3|x|2＋|x|－4<0，(|x|－1)(3|x|＋4)<0，得0≤|x|<1，解得－1<x<1，所以實數(shù)x的取值范圍為(－1，1).]例6B[因為f(x)在R上單調遞增，且x≥0時，f(x)＝ex＋ln(x＋1)單調遞增，則需滿足?解得－1≤a≤0，即a的取值范圍是[－1，0].]跟蹤訓練2(1)[1，2)解析f(x)＝x＝x?1＋a?2∵f(x)在(a，＋∞)上單調遞增，∴a?2<0,a≥1(2)[－1，1)解析依題意得?2解得－1≤a<1.所以實數(shù)a的取值范圍是[－1，1).

2.2函數(shù)的單調性與最值課標要求1.借助函數(shù)圖象，會用數(shù)學符號語言表達函數(shù)的單調性、最值，理解實際意義.2.掌握函數(shù)單調性的簡單應用.1.函數(shù)的單調性(1)單調函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I?D，如果?x1，x2∈I當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調遞增，特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數(shù)當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調遞減，特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調遞增或單調遞減，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，區(qū)間I叫做y=f(x)的單調區(qū)間.2.函數(shù)的最值前提一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為D，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈D，都有f(x)≤M；(2)?x0∈D，使得f(x0)=M(1)?x∈D，都有f(x)≥M；(2)?x0∈D，使得f(x0)=M結論M是函數(shù)y=f(x)的最大值M是函數(shù)y=f(x)的最小值1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)滿足f(-3)<f(2)，則f(x)在[-3，2]上單調遞增.(×)(2)若函數(shù)f(x)在(-2，3)上單調遞增，則函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(-2，3).(×)(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上一定有最值.(√)(4)函數(shù)y=1x的單調遞減區(qū)間是(-∞，0)∪(0，+∞).(×2.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，+∞)上單調遞增的是()A.y=-x+1 B.y=(x-1)2C.y=|lnx| D.y=x答案D解析y=-x+1在(0，+∞)上單調遞減，不符合題意；y=(x-1)2在(0，+∞)上不單調，不符合題意；因為y=|lnx|=?lnx，0<x<1，lnx，x≥1，則yy=x在(0，+∞)上單調遞增，符合題意.3.函數(shù)y=-1xA.-13 B.-C.-1 D.不存在答案A解析y=-1x+1在(-1，+∞)上單調遞增，則y=-1x+1在區(qū)間[所以ymax=-12+1=-14.函數(shù)f(x)是定義在[0，+∞)上的減函數(shù)，則滿足f(2x-1)>f

13的x的取值范圍是.答案1解析∵f(x)的定義域是[0，+∞)，∴2x-1≥0，即x≥12又∵f(x)是定義在[0，+∞)上的減函數(shù)，∴2x-1<13，即x<2則x的取值范圍為121.熟記與函數(shù)單調性有關的常用結論(1)若?x1，x2∈I(x1≠x2)，則①f(x1)?f(x2)x1?x2>0(或(x1-x2)[f(x②f(x1)?f(x2)x1?x2<0(或(x1-x2)[f(x(2)y=x+1x的單調遞增區(qū)間為(-∞，-1]和[1，+∞(3)在區(qū)間I上，兩個增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和仍是減函數(shù).(4)函數(shù)f(g(x))的單調性與函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的單調性的關系是“同增異減”.2.謹防四個易誤點(1)單調區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式表示.(2)求函數(shù)單調區(qū)間或討論函數(shù)的單調性時，必須先求函數(shù)的定義域.(3)一個函數(shù)的同一種單調區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接.(4)“函數(shù)的單調區(qū)間是M”與“函數(shù)在區(qū)間N上單調”是兩個不同的概念，顯然N?M.題型一確定函數(shù)的單調性命題點1函數(shù)單調性的判斷例1(多選)下列說法中，正確的是()A.函數(shù)y=e-x-1x2在(-B.函數(shù)y=2|x+1|的單調遞減區(qū)間是(-∞，-1]C.函數(shù)y=2?x2D.函數(shù)y=2x+2cosx是增函數(shù)答案ABD解析在(-∞，0)上函數(shù)y=e-x與y=-1x所以y=e-x-1x2在(-∞，0)上單調遞減，故作出函數(shù)y=2|x+1|的圖象，如圖所示，由圖象可知，函數(shù)y=2|x+1|的單調遞減區(qū)間是(-∞，-1]，故B正確；由判斷復合函數(shù)的單調性的方法“同增異減”可得y=2?x2+2x+3的單調遞增區(qū)間為(-因為y'=2-2sinx≥0，所以y=2x+2cosx是R上的增函數(shù)，故D正確.命題點2利用定義證明函數(shù)的單調性例2(2025·白銀統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)=x4?x2，x∈?2，2，判斷函數(shù)f解函數(shù)f(x)=x4?x2在區(qū)間?2，2任取-2<x1<x2<2，f(x1)-f(x2)=x14?x12-x24?由于4+x1x2>0，x1-x2<0，4-x12>0，4-x所以f(x1)-f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，所以f(x)在?2，2上單調遞增.思維升華確定函數(shù)單調性的四種方法(1)定義法.(2)導數(shù)法.(3)圖象法.(4)性質法.跟蹤訓練1(1)下列函數(shù)中，滿足“對任意x1，x2∈(0，+∞)，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)”的是()A.f(x)=x|x|B.f(x)=2x-C.f(x)=-x2+2xD.f(x)=13x3-x2+2答案B解析對任意x1，x2∈(0，+∞)，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，則函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調遞減.f(x)=x|x|=x作出f(x)的圖象(圖略)可知，f(x)為R上的增函數(shù)，故A錯誤；y=2x與y=-x在(0，+∞)上單調遞減，所以f(x)=2x-x在(0，+∞)上單調遞減，故f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1在(0，+∞)上不單調，故C錯誤；f(x)=13x3-x2+2x，則f'(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0，所以f(x)在R上單調遞增，故D錯誤(2)(2025·漯河模擬)函數(shù)y=log3(-x2+2x+15)的單調遞減區(qū)間是()A.(1，+∞) B.(1，5)C.(-3，1) D.(-∞，1)答案B解析由-x2+2x+15>0，得x+3x?5<0，解得-3<所以函數(shù)的定義域為?3，5，令t=-x2+2x+15=-(x-1)2+16，因為函數(shù)t=-(x-1)2+16在區(qū)間?3，1上單調遞增，在區(qū)間1，5上單調遞減，且函數(shù)y=log3t是增函數(shù)，所以函數(shù)y=log3?x2+2題型二函數(shù)單調性的應用命題點1比較函數(shù)值的大小例3定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，有f(A.f(-2)<f(3)<f(4)B.f(-2)>f(3)>f(4)C.f(3)<f(4)<f(-2)D.f(4)<f(-2)<f(3)答案A解析因為對任意的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，有f(x所以f(x)在(-∞，0]上單調遞減，又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在(0，+∞)上單調遞增，則f(2)<f(3)<f(4)，又f(-2)=f(2)，所以f(-2)<f(3)<f(4).命題點2求函數(shù)的最值例4函數(shù)y=1x?1-1+x(x≥3)的最小值為答案5解析設t=x-1，t≥2，則y=1x?1-1+x=t+1t(t又函數(shù)y=t+1t在[2，+∞所以當t=2，即x=3時，函數(shù)有最小值2+12=5求函數(shù)的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函數(shù)有關的函數(shù)求值域問題.(2)單調性法：利用函數(shù)的單調性，再根據(jù)所給定義域來確定函數(shù)的值域.(3)數(shù)形結合法.(4)換元法：引進一個(幾個)新的量來代替原來的量，實行這種“變量代換”.(5)分離常數(shù)法：分子、分母同次的分式形式采用配湊分子的方法，把函數(shù)分離成一個常數(shù)和一個分式和的形式.典例(多選)下列函數(shù)中，值域正確的是()A.當x∈[0，3)時，函數(shù)y=x2-2x+3的值域為[2，6)B.函數(shù)y=2x+1C.函數(shù)y=2x-x?1的值域為D.函數(shù)y=x+1+x?1的值域為[答案ACD解析對于A，(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2，由x∈[0，3)，再結合函數(shù)的圖象(如圖①所示)，可得函數(shù)的值域為[2，6).對于B，(分離常數(shù)法)y=2x+1x?3=2(x?3)+7x?3=2+故函數(shù)的值域為(-∞，2)∪(2，+∞).對于C，(換元法)設t=x?1，則x=t2+1，且t≥0，∴y=2(t2+1)-t=2t?1由t≥0，再結合函數(shù)的圖象(如圖②所示)，可得函數(shù)的值域為158對于D，函數(shù)的定義域為[1，+∞)，∵y=x+1與y=x?1在[1，+∞)上均單調遞增，∴y=x+1+x?1在[1∴當x=1時，ymin=2，即函數(shù)的值域為[2，+∞).命題點3解函數(shù)不等式例5(2024·湖州模擬)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x，則使f(|x|)<f(-3x2+4)成立的實數(shù)x的取值范圍是()A.(-1，0) B.(-1，+∞)C.(-1，1) D.(1，+∞)答案C解析函數(shù)y=ex為增函數(shù)，函數(shù)y=e-x為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)=ex-e-x為增函數(shù)，所以f(|x|)<f(-3x2+4)?|x|<-3x2+4，即3|x|2+|x|-4<0，(|x|-1)(3|x|+4)<0，得0≤|x|<1，解得-1<x<1，所以實數(shù)x的取值范圍為(-1，1).命題點4求參數(shù)的值(范圍)例6(2024·新課標全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=?x2?2ax?A.(-∞，0] B.[-1，0]C.[-1，1] D.[0，+∞)答案B解析因為f(x)在R上單調遞增，且x≥0時，f(x)=ex+ln(x+1)單調遞增，則需滿足?解得-1≤a≤0，即a的取值范圍是[-1，0].思維升華(1)比較函數(shù)值的大小時，先轉化到同一個單調區(qū)間內，然后利用函數(shù)的單調性解決.(2)求解函數(shù)不等式時，由條件脫去“f”，轉化為自變量間的大小關系，應注意函數(shù)的定義域.(3)利用單調性求參數(shù)的取值(范圍).根據(jù)其單調性直接構建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結合圖象求解.對于分段函數(shù)，要注意銜接點的取值.跟蹤訓練2(1)若函數(shù)f(x)=x+a?3x?1在(a，+∞)上單調遞增，則實數(shù)答案[1，2)解析f(x)=x+a?3x?1∵f(x)在(a，+∞)上單調遞增，∴a?2<0，a≥1?(2)函數(shù)y=f(x)是定義在[-2，2]上的減函數(shù)，且f(a+1)<f(2a)，則實數(shù)a的取值范圍是.

答案[-1，1)解析依題意得?2≤a+1≤2，所以實數(shù)a的取值范圍是[-1，1).課時精練(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.若函數(shù)y=loga(x-1)是(1，+∞)上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1，+∞) B.(0，1)C.(-∞，1) D.(-1，1)答案B解析顯然函數(shù)u=x-1在(1，+∞)上單調遞增，而函數(shù)y=loga(x-1)是(1，+∞)上的減函數(shù)，因此對數(shù)函數(shù)y=logau在(0，+∞)上單調遞減，則0<a<1，所以實數(shù)a的取值范圍是(0，1).2.已知f(x)=2x+x，則“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C解析因為函數(shù)y=2x，y=x在R上為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)=2x+x在R上為增函數(shù)，則“f(x1)=f(x2)”可以推出“x1=x2”，“x1=x2”也可推出“f(x1)=f(x2)”，故“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的充要條件.3.已知函數(shù)f(x)=(a?2)x?1，x≤1，logaxA.(1，2) B.(2，3)C.(2，3] D.(2，+∞)答案C解析函數(shù)f(x)=(a?2)x由對任意x1≠x2，都有f(x得函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，于是a?2>0，a>1，a?3≤所以實數(shù)a的取值范圍為(2，3].4.函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意的實數(shù)x1，x2(x1≠x2)，滿足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，下列結論正確的是()A.函數(shù)f(x)是減函數(shù)B.f(-5)>f(0)>f(1)C.f(0)=0D.不等式f(2x-1)<f(3-x)的解集為?答案D解析由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0，因此f(x)是增函數(shù)，A錯誤；由-5<0<1，得f(-5)<f(0)<f(1)，B錯誤；不一定有f(0)=0，如f(x)=2x在R上為增函數(shù)，f(0)=1，C錯誤；由f(2x-1)<f(3-x)，得2x-1<3-x，解得x<43，D正確二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.下列函數(shù)中滿足“對任意x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有f(x1A.f(x)=21-xB.f(x)=-2C.f(x)=xD.f(x)=lnx+ex答案BCD解析函數(shù)f(x)滿足“對任意x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有f(x1)?f(x2)x1?x函數(shù)f(x)=21-x在(0，+∞)上單調遞減，故A不符合題意；函數(shù)f(x)=-2x在(0，+∞)上單調遞增，故B函數(shù)f(x)=x2+4x+4的定義域為R，且函數(shù)y=x2+4x+4在(0，+∞)上單調遞增，所以f(x)=x2+4x+4函數(shù)y=lnx與y=ex在(0，+∞)上單調遞增，所以f(x)=lnx+ex在(0，+∞)上單調遞增，故D符合題意.6.(2024·哈爾濱模擬)以下結論正確的是()A.函數(shù)y=sinx+4sinB.函數(shù)y=x?22x+1(C.函數(shù)y=2x+1?x的值域為D.函數(shù)y=12答案BCD解析對于A，當sinx=-1時，y=-5，A錯誤；對于B，y=12·2x+1?52x+1=121?52x+1，則y=x?22x對于C，y=2(x-1)+1?x+2=-2(1?x)2+1?x+2=-21?而1?x≥0，當1?x=14時，ymax=178，則原函數(shù)的值域為對于D，2x+1>1，則0<12x+1<1，因此函數(shù)y=12x+1的值域為(0三、填空題(每小題5分，共10分)7.若函數(shù)f(x)=|x-a+1|在區(qū)間[1，+∞)上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍為.

答案a≤2解析由題設f(x)=x顯然f(x)在[a-1，+∞)上單調遞增，要使函數(shù)在區(qū)間[1，+∞)上單調遞增，則a-1≤1，即a≤2.8.柯西(Cauchy，1789—1857)是著名的法國數(shù)學家.我們把函數(shù)方程f(x+y)=f(x)+f(y)稱為柯西方程，滿足該方程的函數(shù)f(x)稱為“加性函數(shù)”.請寫出一個在R上單調遞減的加性函數(shù).

答案f(x)=-x(答案不唯一)解析設f(x)=-x，在R上單調遞減.f(x+y)=-x-y，f(x)=-x，f(y)=-y，滿足f(x+y)=f(x)+f(y).所以函數(shù)f(x)=-x是在R上單調遞減的加性函數(shù).四、解答題(共28分)9.(13分)已知函數(shù)f(x)=x|x-4|.(1)把f(x)寫成分段函數(shù)，并在平面直角