最優(yōu)化理論與方法 習(xí)題答案匯 金海燕 第2-8章

2.1證:矩陣的秩(rank)是指矩陣中線性獨(dú)立行或列的最大數(shù)量,由題知矩陣??的秩是??,這意味著存在m個(gè)線性獨(dú)立的行（或列）,這??個(gè)線性獨(dú)立的行（或列）不能被A中的其他行（或列）通過線性組合來表示,由于??是一個(gè)m×n矩陣,它最多有n列.由于??至少有m個(gè)線性獨(dú)立的列,并且它最多有n列,這意味著??個(gè)線性獨(dú)立的列必須全部存在,因此m必須小于或等于n.2.2證:方程組Ax=b有唯一解意味著對(duì)于給定的m×n矩陣A和向量b,存在一個(gè)唯一的向量x使得方程成立.如果A的秩rank(A)等于n,這意味著A的所有列向量都是線性獨(dú)立的,因此A是滿秩的.進(jìn)一步,如果增廣矩陣[A∣b]的秩rank[??∣??]也等于??,這表明向量b可以由A的列向量唯一地線性組合表示,即b屬于A的列空間.由于A的列向量構(gòu)成了Rn的一組基,這意味著存在唯一的線性組合系數(shù)x使得Ax=b成立.如果存在兩個(gè)不同的解x1?和x2?,它們都滿足Ax=b,那么A(x1?x2??)=0,但由于A的列向量是線性獨(dú)立的,唯一滿足這個(gè)方程的是x1?x2=0?,即x1=x2?.這證明了方程組Ax=2.3證:根據(jù)線性代數(shù)的知識(shí),我們知道在??維空間Rn中,最多只能有n個(gè)線性無關(guān)的向量.如果有超過n個(gè)向量,它們必然是線性相關(guān)的.這意味著至少存在一組非全零的標(biāo)量α1,α2…,αk?,現(xiàn)在,假設(shè)我們有k≥n+2個(gè)向量a1,a2…,ak.由于k≥n+1,根據(jù)題目給定的條件,這些向量一定是線性相關(guān)的.我們可以找到一組標(biāo)量α1,α2…,αk,使得i=1kαiai=0,并且至少有一個(gè)αi≠0.為了滿足i=1kαi=0,我們可以進(jìn)行如下操作:首先,選擇一個(gè)非零的標(biāo)量αj,然后調(diào)整其他標(biāo)量,使得αj?的值減去其他所有標(biāo)量的和等于0.具體來說,我們可以設(shè)置αj=1,然后將α2.4證:（1）為了簡化計(jì)算,先對(duì)矩陣M進(jìn)行行變換,即交換第i行和第i+(m?k)行（對(duì)于i=1,2,…,k）,這樣可以將Mk,k塊移動(dòng)到矩陣的左上角,同時(shí)Im?k?∣detM∣=|detMk,k根據(jù)分塊矩陣的行列式性質(zhì),當(dāng)分塊矩陣的右上角是零矩陣時(shí),其行列式等于主對(duì)角線子矩陣的行列式乘積;當(dāng)分塊矩陣的右下角是單位矩陣時(shí),其行列式等于左上角的子矩陣的行列式.因此:|detMk,kOk,m?kMm?k,kIm?k綜上,我們證明了∣detM∣=∣detMk,k∣（2）由（1）知∣detM∣=∣detMk,k∣.為了使得

detM=det(?Mk,k)

成立,我們需要考慮特別地,當(dāng)Mk,k

是奇異矩陣（即

detMk,k=0）時(shí),無論Mk,k的符號(hào)如何變化,其行列式都是0.因此,在這種情況下,detM=det(?當(dāng)Mk,k是非奇異矩陣（即

detMk,k≠0）時(shí),detM

和

det(?Mk,k)

的符號(hào)是不同的（因?yàn)?/p>

det(?Mk,k?)=?detMk,k）.此時(shí),detM=det(?2.5證：（1）對(duì)集合S中任意兩點(diǎn)，及每個(gè)數(shù)，有由題設(shè)，有因此，，故S是凸集。（2）對(duì)集合S中任意兩點(diǎn)，及每個(gè)數(shù)，有由題設(shè)，有因此，，故S是凸集。（3）對(duì)集合S中任意兩點(diǎn)，及每個(gè)數(shù)，有由題設(shè)，有因此，，故S是凸集。2.6證：對(duì)任意兩點(diǎn)及每個(gè)數(shù)，根據(jù)集合S的定義，存在，使，由于C是凸集，必有，因此，，故S是凸集。2.7證：對(duì)任意兩點(diǎn)及每個(gè)數(shù)，存在，使，因此有，，而，故，即S是凸集。2.8證：用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)時(shí)，由凸集的定義知上式顯然成立。設(shè)時(shí)結(jié)論成立，當(dāng)時(shí)，有由于時(shí)結(jié)論也成立。從而得證。2.9設(shè)A是m×n矩陣，B是l×n矩陣，，證明下列兩個(gè)系統(tǒng)恰有一個(gè)有解：系統(tǒng)1Ax≤系統(tǒng)2AT證由于Bx=Bx≤0因此系統(tǒng)1有解，即AB?根據(jù)Farkas定理，得(ATBT無解.記u無解.反之亦然。2.10設(shè)A是m×n矩陣，c∈Rn，則下列兩個(gè)系統(tǒng)恰有一個(gè)有解：系統(tǒng)1Ax系統(tǒng)2A證若系統(tǒng)1有解，即A有解，則根據(jù)Farkas定理，有A無解，即AA無解.反之，若ATy≥c,y≥0有解，即A有解，亦即A有解.根據(jù)Farkas定理，有A無解，即Ax無解.2.11證明Ax≤，.證根據(jù)Farkas定理，只需證明ATy無解，事實(shí)上，AT1對(duì)此線性方程組的增廣矩陣做初等行變換：1此線性方程組ATy=c的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩不等，因此無解，即ATy2.12證明下列不等式組無解：證將不等式組寫作Ax<0根據(jù)Gordan定理，只需證明ATy=1ATy12.13判別下列函數(shù)是否為凸函數(shù)：(1)(2)(3)(4)(5)解：（1）為半正定矩陣，故是凸函數(shù)。為不定矩陣，故不是凸函數(shù)。因此Hesse矩陣為半正定矩陣，因此是凸函數(shù)。（4）于是Hesse矩陣為不定矩陣，故不是凸函數(shù)。（5）的Hesse矩陣為做合同變換：由此可得為不定矩陣，因此不是凸函數(shù)。2.14設(shè)，，是否為S上的凸函數(shù)？解：函數(shù)的Hesse矩陣為易知在集合S上不是半正定矩陣，如在點(diǎn)(0,1)處的Hesse矩陣是，是不定矩陣。因此不是S上的凸函數(shù)。2.15證明為嚴(yán)格凸函數(shù)的充要條件是Hesse矩陣A正定。證先證必要性。設(shè)是嚴(yán)格凸函數(shù)。根據(jù)定理1.4.14，對(duì)任意非零向量x及=0，必有（1）將在=0處展開，有（2）有（1）式和（2）式知由于式二次凸函數(shù)，因此即A正定。再證充分性。設(shè)A正定，對(duì)任意兩個(gè)不同點(diǎn)x和=0，根據(jù)中值定理，有根據(jù)定理1.4.14，是嚴(yán)格凸函數(shù)。2.16設(shè)f是定義在Rn上的函數(shù)，如果對(duì)每一點(diǎn)x∈Rn及正數(shù)t均有f(tx)=tf(x)，則稱f為正齊次函數(shù)。證明Rn上的正齊次函數(shù)f為凸函數(shù)的充要條件是，對(duì)任何x(1)，x(2)∈Rn，有證先證必要性。設(shè)正齊次函數(shù)是凸函數(shù)，則對(duì)任意兩點(diǎn)必有由于是正齊次函數(shù)，有代入前式得，即.再證充分性.設(shè)正齊次函數(shù)對(duì)任意的x(1)，x(2)∈Rn滿足，則對(duì)任意的x(1)，x(2)∈Rn及每個(gè)數(shù)λ∈0fλ因此是Rn上的凸函數(shù)。2.17證:假設(shè)有一個(gè)矩陣A,它的范數(shù)||A||<1,若把矩陣A乘以自己k次,得到的新矩陣Ak的范數(shù)不會(huì)超過??的范數(shù)的k次方,即||A||k≤||A||k.因?yàn)閨|A||<1,我們可以把||A||k想象成1元的k次方,這就像是一個(gè)不斷縮小的數(shù)列.這個(gè)數(shù)列的和是有限的.隨著k變得越來越大,||A||k會(huì)越來越小,最終趨近于0.這是因?yàn)槊看蝛增加,||A||k2.18證:對(duì)于矩陣A,特征值λ滿足Ax=λx,其中x是非零向量.對(duì)于任意非零向量x,我們有:||Ax||≤||A||如果Ax=λx,那么:||λ||?||x||=||Ax||≤||A|||λ|≤||A||由于這個(gè)不等式對(duì)任意非零向量x都成立,特別是對(duì)于對(duì)應(yīng)于最大特征值的單位特征向量,有:max1≤i≤n∣λi?(A)∣≤2.19解:（1）梯度是一個(gè)向量,其分量是函數(shù)對(duì)每個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù).將函數(shù)??(x)展開得到:??(x)=(a1?x1?+a2?x2?+…+anxn))?(b1x1?+b2x2?+…+bnxn??).對(duì)于即梯度向量???(??)的第i個(gè)分量是ai(bT??)+bi(a（2）Hessian矩陣的每個(gè)元素fij是??(x)中元素的二階偏導(dǎo)數(shù).由題知??(x)是兩個(gè)線性項(xiàng)的乘積,它的Hessian矩陣將會(huì)是一個(gè)對(duì)角矩陣,因?yàn)橹挥衳i和對(duì)于??(x),Hessian矩陣??(x)由下式給出:對(duì)于對(duì)角線上的元素fii,我們有:fii=?2f?xi2=2(aTb),對(duì)于非對(duì)角線上的元素fij因此,Hessian矩陣??(x)可以表示為:??(x)=2(aTb)I,2.20解:已知??(t)=??(g(t)),根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t有:df(t)dt=???(g(t)由g(t)=[3t+5,2t?6]T可得:dg(t)dt=[d(3t+5)dt,d(2t?6)dt]=[3,2],由??(x)=x126+x224得:???因此,df2.21解:要在同一張圖上繪制兩個(gè)函數(shù)的水平集,我們需要分別解出??1(x1,x2)=12和??2(x??1(x1,x2已知??1(x1,x2)=x12-x22??2(x1,x2)已知:??2(x1,x2)=2x1x2=16,可知:x1在一張平面坐標(biāo)系中,我們可以繪制這些水平集.對(duì)于??1?,我們將x2作為參數(shù),分別計(jì)算x1的正負(fù)平方根,得到兩個(gè)拋物線.對(duì)于??2?,我們同樣將x2?要尋找fx=[從第二個(gè)開始解得:x1=8x2,將x1代入第一個(gè)方程,有:8x22-x22=12,即:64x22-x22=12,x24+12故滿足題意的點(diǎn)[x1?,x2]T是:圖像如下:(橫坐標(biāo)是x2,縱坐標(biāo)是x12.22泰勒級(jí)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)的無窮級(jí)數(shù)展開,它可以用函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)來表示.給定函數(shù)??(x)和展開點(diǎn)x0（1）已知函數(shù)??(??)=x1e?x2+x22+1,展開點(diǎn)x0=[1?,0]T,首先計(jì)算??(??)在x0處的值,即0階導(dǎo)數(shù)??(x0):??接下來,我們計(jì)算1階導(dǎo)數(shù)??′(??),由于??(??)是兩個(gè)變量x1和x2的函數(shù),我們需要分別對(duì)x1和x2求偏導(dǎo),求導(dǎo)可得:?f?x1=e?x2,計(jì)算2階導(dǎo)數(shù)??′′(??),?2f?x12=0,?2f?x22=x1e?x2+2,?2現(xiàn)在,我們可以寫出??(x)在x0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式,忽略三次及更高階項(xiàng)??(x)=2+[1,-1]?[x1?1?,x2]T+12[x1?1?,x2]?0?1?13?（2）已知函數(shù)??(??)=x14+2x12x22+x24,展開點(diǎn)x0=[1?,1]T,首先計(jì)算??(??)在接下來,我們計(jì)算1階導(dǎo)數(shù)??′(??),由于??(x)是兩個(gè)變量x1和x2的函數(shù),我們需要分別對(duì)x1和x2求偏導(dǎo):?f?x1=4x13+4x1計(jì)算2階導(dǎo)數(shù)??′′(??),?2f?x12=12x1+4x22,?2f?x22=4x現(xiàn)在,我們可以寫出??(x)在x0??(x)=4+[8,8]?[x1?1?,x2?1]T+12[x1?1（3）已知函數(shù)??(??)=ex1?x2+ex1+x2+x1+x2+1,展開點(diǎn)x0=[1?,0接下來,我們計(jì)算1階導(dǎo)數(shù)??′(??),由于??(x)是兩個(gè)變量x1和x2的函數(shù),我們需要分別對(duì)x1和x2求偏導(dǎo):?f?x1=ex1?x計(jì)算2階導(dǎo)數(shù)??′′(??),?2f?x12=ex1?x2+ex1+x2,?2現(xiàn)在,我們可以寫出??(x)在x0??(x)=2e+2+[2e+1,1]?[x1?1?,x2]3.1用圖解法解下列線性規(guī)劃問題：解：以上各題的可行域均為多邊形界定的平面區(qū)域，對(duì)極小化問題沿負(fù)梯度方向移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)的等值線，對(duì)極大化問題沿梯度方向移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)的等值線，即可達(dá)到最優(yōu)解，當(dāng)最優(yōu)解存在時(shí)，下面只給出答案。最優(yōu)解最優(yōu)值.最優(yōu)解最優(yōu)值實(shí)際上，本題最優(yōu)解并不惟一，連結(jié)與的線段上的點(diǎn)均為最優(yōu)解.可行域是空集，不存在極小點(diǎn).最優(yōu)解最優(yōu)值3.2下列問題都存在最優(yōu)解，試通過求基本可行解來確定各問題的最優(yōu)解：解（1）約束系數(shù)矩陣和約束右端向量分別為目標(biāo)系數(shù)向量相應(yīng)的基本可行解及目標(biāo)函數(shù)值分別為相應(yīng)的基本可行解及目標(biāo)函數(shù)值分別為基本可行解及相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值分別為相應(yīng)的基本可行解及目標(biāo)函數(shù)值分別為綜上，得最優(yōu)解約束系數(shù)矩陣和約束右端向量分別為目標(biāo)系數(shù)向量相應(yīng)的基本可行解及目標(biāo)函數(shù)值分別為相應(yīng)的基本可行解及目標(biāo)函數(shù)值分別為相應(yīng)的基本可行解及相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值分別為相應(yīng)的基本可行解及目標(biāo)函數(shù)值分別為綜上，得最優(yōu)解引進(jìn)松弛變量化為標(biāo)準(zhǔn)形式：記作得到相應(yīng)的基本可行解及目標(biāo)函數(shù)值分別為得到相應(yīng)的基本可行解及目標(biāo)函數(shù)值分別為得到相應(yīng)的基本可行解及目標(biāo)函數(shù)值分別為得到相應(yīng)的基本可行解及目標(biāo)函數(shù)值分別為得到相應(yīng)的基本可行解及目標(biāo)函數(shù)值分別為得到相應(yīng)的基本可行解及目標(biāo)函數(shù)值分別為綜上，得最優(yōu)解3.3設(shè)是的一個(gè)解，其中是矩陣，的秩為.證明是基本解的充要條件為的非零分量，對(duì)應(yīng)的列線性無關(guān)。證先證必要性.設(shè)是基本解，記，則非零向量對(duì)應(yīng)的列.由于線性無關(guān)，因此線性無關(guān).再證充分性.設(shè)的非零分量對(duì)應(yīng)的列線性無關(guān).由于A的秩為,因此可擴(kuò)充成一組基記于是可記作：，即是基本解.3.4已知LP問題如下：討論的值如何變化，該LP可行域的每個(gè)極點(diǎn)依次使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)？解：分析：目標(biāo)函數(shù)等值線方程取不同得到不同的等值線。等值線和法向量目標(biāo)函數(shù)的梯度，指向目標(biāo)函數(shù)增大的方向。沿方向移動(dòng)的等值線，目標(biāo)函數(shù)增大，沿方向移動(dòng)的等值線，目標(biāo)函數(shù)減少。1.當(dāng)（第一象限） 最優(yōu)解 E點(diǎn) 最優(yōu)解 DE邊界 最優(yōu)解 D點(diǎn) 最優(yōu)解 CD邊界 最優(yōu)解 C點(diǎn)當(dāng)時(shí)（第二象限）同理，根據(jù)法向量方向，最優(yōu)解B點(diǎn)。當(dāng)時(shí)（第三象限）最優(yōu)解A點(diǎn)當(dāng)時(shí)（第四象限）最優(yōu)解E點(diǎn)用單純形方法解下列線性規(guī)劃問題：解：（1）用單純形方法求解過程如下：11080230190916000102001305000114102400最優(yōu)解，最優(yōu)值引入松弛變量，化為標(biāo)準(zhǔn)形式：用單純形方法求解過程如下:331003001016200112310000010181004010140400010310070011000最優(yōu)解，最優(yōu)值3-121007-2001012-438001101-3-100000210101000300110-10090011000301000010001000100011010044-1120106-112300112-3521000011101004502211010-201-1018-80-31-500-2011101004001010000求解下列線性規(guī)劃問題：解:(1)引入松弛變量，化為標(biāo)準(zhǔn)形式：用兩階段法求解,為此引入人工變量,解下列線性規(guī)劃:2410004112010051001121000100310130011000000000得到原線性規(guī)劃的一個(gè)基本可行解由此出發(fā)求最優(yōu)解，過程如下：003103001100000003101300103120020-1000-10最優(yōu)解，最優(yōu)值（2）引入松弛變量，化為標(biāo)準(zhǔn)形式：用兩階段法求解,為此引入人工變量,解下列線性規(guī)劃:2110005310-110311000128420-100501/2-3/2100-1/24000-11-1111/41/40001/41/20200-10-2100-3/211/41/4-3/415/40100-1/2-1/21/21/2101/401/81/81/83/800000-1-10得到原線性規(guī)劃的一個(gè)基本可行解由此出發(fā)求最優(yōu)解，過程如下：00-3/211/415/40100-1/21/21001/83/8001/40-11/8-1/86001160100-1/21/240101/23/2-1000-3/2-1/2最優(yōu)解，最優(yōu)值2-3100120-1182M-13M-10-M08M+1401-11910004.3解:證明用單純形方法求解線性規(guī)劃問題時(shí)，在主元消去前后對(duì)應(yīng)同一變量的判別數(shù)有下列關(guān)系:習(xí)題1.寫出下列原問題的對(duì)偶問題解：(1)對(duì)偶問題如下：(2)對(duì)偶問題如下：2.解：(1)對(duì)偶問題如下：對(duì)偶問題的可行域是直線上的一段線，容易在坐標(biāo)平面上畫出，這里從略。對(duì)偶問題優(yōu)先解，最優(yōu)值為-55.由于對(duì)偶問題的最優(yōu)解中，,因此在原問題最優(yōu)解處，有由于對(duì)偶問題在點(diǎn)(3,7)處第3、4個(gè)約束是松約束，因此原問題中，.代入方程組，得到原問題的最優(yōu)解為最優(yōu)值為-55.3.解：(1)將所求問題化為標(biāo)準(zhǔn)形式：用單純形方法求解：111106-1230191-1200001310300-61000100最優(yōu)解，.(2)目標(biāo)函數(shù)攝動(dòng)后，問題改變?yōu)榕袆e數(shù)行改變?yōu)?，其中A是約束矩陣，按此式修改原來的最優(yōu)表，得到表一：表11106001900令解得.當(dāng)時(shí)，最優(yōu)解為，最優(yōu)解.當(dāng)時(shí)，表1不再是最優(yōu)表，進(jìn)基，得到表2：表201310300當(dāng)時(shí)，最優(yōu)解，最優(yōu)值.當(dāng)時(shí)，進(jìn)基，得到表3：表3111106-130119000當(dāng)時(shí)，最優(yōu)解，最優(yōu)解.當(dāng)時(shí)，表1不再是最優(yōu)表，進(jìn)基，修改表1，得到表4：表4111106034011500令當(dāng)時(shí)，最優(yōu)解，最優(yōu)值.第6章習(xí)題6.1判斷下列函數(shù)是否在搜索區(qū)間為單峰函數(shù)？（1），；（2），；（3），（4），解：根據(jù)畫圖可知，（1）是；（2）是；（3）是；（4）是6.2用0.618法求解下列問題：要求精度，初始區(qū)間為。解：根據(jù)0.618試探法步驟，以此類推，得到函數(shù)迭代結(jié)果如表6.1所示。表6.11-22-0.47200.47201.04961.04962-20.4720-1.0557-0.47202.24211.04963-1.05570.4720-0.4720-0.11161.04961.00024-0.47200.4720-0.11160.11141.00021.00025-0.11160.47200.11140.24911.00021.00386-0.11160.24900.02620.11141.00001.00027-0.11160.1114-0.02640.02621.00001.00008-0.02640.11140.02620.05881.00001.00009-0.02640.05880.00610.02621.00001.00010-0.02640.0262-0.00630.00611.00001.000011-0.00630.02620.00610.01381.00001.00012-0.00630.01380.00140.00611.00001.000013-0.00630.0061-0.00160.00141.00001.000014-0.00160.0061 根據(jù)上表，經(jīng)過13次迭代，最終得到： 極小點(diǎn)，通過問題的最優(yōu)解可采用： 作為近似解。6.3用Fibonacci法求解下列問題：要求精度，初始區(qū)間為。計(jì)算Fibonacci法需要迭代的次數(shù)；解：，因此，需要迭代12次計(jì)算上述優(yōu)化問題的最優(yōu)解；解：根據(jù)Fibonacci試探法步驟，，以此類推，得到函數(shù)迭代結(jié)果如下表6.2：表6.21-11-0.23610.23610.04570.07202-10.2361-0.5279-0.23610.20920.04573-0.52790.2361-0.2361-0.05570.04570.00294-0.23610.2361-0.05570.05570.00290.00335-0.23610.0057-0.1247-0.05570.01380.00296-0.12470.0557-0.0557-0.01330.00290.00027-0.05570.0557-0.01330.01330.00020.00028-0.05570.0133-0.0292-0.01330.00080.00029-0.02920.0133-0.0133-0.00270.00020.000010-0.01330.0133-0.00270.00260.00000.000011-0.00270.01330.00260.00790.00000.000012-0.00270.00260.00260.00360.00000.0000 根據(jù)上表，經(jīng)過12次迭代，最終得到： 極小點(diǎn)，通過問題的最優(yōu)解可采用： 作為近似解。6.4求解下列問題：要求精度，初始區(qū)間為。（1）利用0.618法和Fibonacci法分別求解上述函數(shù)的最優(yōu)解，并對(duì)比兩種方法求得最優(yōu)解的精度誤差；解：根據(jù)0.618試探法步驟，以此類推，得到函數(shù)迭代結(jié)果如下表6.2：表6.21-21-0.8540-0.14601.71311.74722-2-0.1460-1.2918-0.85403.86001.71313-1.2918-0.1460-0.8540-0.58371.71311.42734-0.8540-0.1460-0.5837-0.41651.42731.46495-0.8540-0.4165-0.6869-0.58371.47571.42376-0.6869-0.4165-0.5837-0.51971.42731.42667-0.5873-0.4165-0.5197-0.48031.42661.43598-0.5873-0.4803-0.5442-0.51971.42451.42669-0.5873-0.5197-0.5593-0.54421.42461.424510-0.5593-0.5197-0.5442-0.53481.42451.424911-0.5593-0.5438-0.5499-0.54421.42441.424512-0.5593-0.5442-0.5535-0.54991.42441.424413-0.5535-0.5442 根據(jù)上表，經(jīng)過12次迭代，最終得到： 極小點(diǎn)，通過問題的最優(yōu)解可采用： 作為近似解。根據(jù)Fibonacci試探法確定迭代次數(shù)，因此，需要迭代13次得到函數(shù)迭代結(jié)果如下表6.3，表6.31-21-0.8541-0.14591.71341.74742-2-0.1459-1.2918-0.85413.86021.71343-1.2918-0.1459-0.8541-0.58361.71341.42724-0.8541-0.1459-0.5836-0.41641.42721.46495-0.8541-0.4164-0.6869-0.58361.47581.42726-0.6869-0.4164-0.5836-0.51971.42721.42667-0.5836-0.4164-0.5197-0.48031.42661.43598-0.5836-0.4803-0.5443-0.51971.42451.42669-0.5836-0.5197-0.5590-0.54431.42461.424510-0.5590-0.5197-0.5443-0.53441.42451.425011-0.5590-0.5344-0.5492-0.54431.42441.424512-0.5590-0.5443-0.5541-0.54921.42441.424413-0.5541-0.5443-0.5541-0.54411.42441.4245 根據(jù)上表，經(jīng)過13次迭代，最終得到： 極小點(diǎn)，通過問題的最優(yōu)解可采用： 作為近似解。（2）編寫matlab程序求解上述問題；0.618試探法代碼：a=-2;b=1;k=1;while(b-a>0.01)if(k==1)x1=a+0.382*(b-a);x2=a+0.618*(b-a);endf1=exp(2*x1)+(x1)^4+1;f2=exp(2*x2)+(x2)^4+1;if(f1>f2)a=x1;x1=x2;x2=a+0.618*(b-a);elseb=x2;x2=x1;x1=a+0.382*(b-a);endk=k+1;endFibonacci法代碼：a=-2;b=1;F=[1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377];n=13;sigma=0.05;fork=1:n-1if(k==1)x1=a+(F(n-k-1+1)/F(n-k+1+1))*(b-a);x2=a+(F(n-k+1)/F(n-k+1+1))*(b-a);endf1=exp(2*x1)+(x1)^4+1;f2=exp(2*x2)+(x2)^4+1;if(f1>f2)a=x1;x1=x2;x2=a+(F(n-k+1)/F(n-k+1+1))*(b-a);elseb=x2;x2=x1;x1=a+(F(n-k-1+1)/F(n-k+1+1))*(b-a);endendx1=x1;x2=x1+sigma;f1=exp(x1)+2*x1^2;f2=exp(x2)+2*x2^2;if(f1>f2)a=x1;elseb=x1;end（3）對(duì)比0.618法和Fibonacci法的計(jì)算量；·答：0.618法和Fibonacci法每次迭代計(jì)算量一致，而Fibonacci法要比0.618法多迭代一次，因此計(jì)算量Fibonacci法要大7.1求下列函數(shù)在各點(diǎn)的最速下降方向：（1），，解：，，（2），，解：，，（3），，解：，，（4），，解：，，7.2求下述函數(shù)：在點(diǎn)處的牛頓方向，并求解最優(yōu)解。解：，第一次迭代，，第二次迭代，，第三次迭代，，第四次迭代，，第五次迭代，因此，最優(yōu)解為。7.3利用最速下降法求解下述問題：在初始點(diǎn)為，迭代次數(shù)為2次的最優(yōu)