云南省大理州南澗縣民族中學(xué)2025屆高二下數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析

云南省大理州南澗縣民族中學(xué)2025屆高二下數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示，在邊長為1的正方形中任取一點(diǎn)，則點(diǎn)恰好取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．2．已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)，在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知雙曲線上有一個(gè)點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，雙曲線的右焦點(diǎn)為F，滿足，且，則雙曲線的離心率e的值是A． B． C．2 D．4．某品牌小汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/時(shí)）的函數(shù)解析式為.若要使該汽車行駛200千米時(shí)的油耗最低，則汽車勻速行駛的速度應(yīng)為（）A．60千米/時(shí) B．80千米/時(shí) C．90千米/時(shí) D．100千米/時(shí)5．對(duì)變量x,y有觀測數(shù)據(jù)(xi,yiA．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)6．《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，成于公元一世紀(jì)左右，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.其中《方田》一章中記載了計(jì)算弧田（弧田就是由圓弧和其所對(duì)弦所圍成弓形）的面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式：弧田面積=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為2π3，弦長為403m的弧田.其實(shí)際面積與按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積之間的誤差為（）平方米.（其中A．15 B．16 C．17 D．187．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．9．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．給出下列四個(gè)五個(gè)命題：①“”是“”的充要條件②對(duì)于命題，使得，則，均有；③命題“若，則方程有實(shí)數(shù)根”的逆否命題為：“若方程沒有實(shí)數(shù)根，則”；④函數(shù)只有個(gè)零點(diǎn)；⑤使是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減.其中是真命題的個(gè)數(shù)為：A． B． C． D．11．七巧板是我國古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方魔板”.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．12．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復(fù)數(shù)z及其共軛復(fù)數(shù)滿足（1+i）z﹣2＝2+3i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝_____14．給出定義：對(duì)于三次函數(shù)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.已知函數(shù).設(shè).若則__________．15．在中，若，則的外接圓半徑，將此結(jié)論拓展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四面體中，若兩兩垂直，，則四面體的外接球半徑______________．16．函數(shù)在處的切線方程是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且成等差數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），求數(shù)列的前和．18．（12分）如圖，在空間幾何體中，四邊形是邊長為2的正方形，，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．19．（12分）為了讓觀賞游玩更便捷舒適，常州恐龍園推出了代步工具租用服務(wù).已知有腳踏自行車與電動(dòng)自行車兩種車型，采用分段計(jì)費(fèi)的方式租用.型車每分鐘收費(fèi)元（不足分鐘的部分按分鐘計(jì)算），型車每分鐘收費(fèi)元（不足分鐘的部分按分鐘計(jì)算），現(xiàn)有甲乙丙丁四人，分別相互獨(dú)立地到租車點(diǎn)租車騎行（各租一車一次），設(shè)甲乙丙丁不超過分鐘還車的概率分別為，并且四個(gè)人每人租車都不會(huì)超過分鐘，甲乙丙均租用型車，丁租用型車．（1）求甲乙丙丁四人所付的費(fèi)用之和為25元的概率；（2）求甲乙丙三人所付的費(fèi)用之和等于丁所付的費(fèi)用的概率；（3）設(shè)甲乙丙丁四人所付費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望．20．（12分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且滿足：.（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，求的最大值.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθy=2+2sinθ(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為x=1-22（1）寫出直線l的普通方程以及曲線C的極坐標(biāo)方程（2）若直線l與曲線的C兩個(gè)交點(diǎn)分別為M,N,直線l與x軸的交點(diǎn)為P,求PM?22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)在曲線上，求面積的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)題意，易得正方形OABC的面積，觀察圖形可得，陰影部分由函數(shù)y=x與圍成，由定積分公式，計(jì)算可得陰影部分的面積，進(jìn)而由幾何概型公式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，正方形OABC的面積為1×1=1，而陰影部分由函數(shù)y=x與圍成,其面積為，則正方形OABC中任取一點(diǎn)P,點(diǎn)P取自陰影部分的概率為；故選：B.本題考查定積分在求面積中的應(yīng)用,幾何概型求概率，屬于綜合題，難度不大，屬于簡單題.2、A【解析】

由得出函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱以及函數(shù)的周期為，由函數(shù)為奇函數(shù)得出，并由周期性得出，然后作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，列舉前個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合第個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】由可知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，且，所以，，所以，函數(shù)的周期為，由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：，則，于是得出，，由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上從左到右個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、、、、、、、、、，第個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A．本題考查方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，一般這類問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，在畫函數(shù)的圖象時(shí)，要注意函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性對(duì)函數(shù)圖象的影響，屬于難題．3、B【解析】

設(shè)是雙曲線的左焦點(diǎn)，由題可得是一個(gè)直角三角形，由，可用表示出，，利用雙曲線定義列方程即可求解．【詳解】依據(jù)題意作圖，如下：其中是雙曲線的左焦點(diǎn)，因?yàn)?，所以，由雙曲線的對(duì)稱性可得：四邊形是一個(gè)矩形，且，在中，，,,由雙曲線定義得：，即：，整理得：，故選B本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)及雙曲線定義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解析】分析：先設(shè)速度為x千米/小時(shí)，再求出函數(shù)f(x)的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.詳解：當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí)，時(shí)間為小時(shí)，所以f(x)=所以令當(dāng)x∈（0,90）時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（90,120）時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.所以x=90時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值.故答案為C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和解決實(shí)際問題的能力.(2)如果求函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的最值，則必須通過求導(dǎo)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后確定函數(shù)的最值．5、C【解析】試題分析：由散點(diǎn)圖1可知，點(diǎn)從左上方到右下方分布，故變量x與y負(fù)相關(guān)；由散點(diǎn)圖2可知，點(diǎn)從左下方到右上方分布，故變量u與v正相關(guān)，故選C考點(diǎn)：本題考查了散點(diǎn)圖的運(yùn)用點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用隨機(jī)變量的正負(fù)相關(guān)的概念是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題6、B【解析】分析：先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積，再利用扇形面積減去三角形面積得實(shí)際面積，最后求兩者之差.詳解：因?yàn)閳A心角為2π3，弦長為403m因此根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積為12實(shí)際面積等于扇形面積減去三角形面積，為12因此兩者之差為1600π3點(diǎn)睛：扇形面積公式12lr=127、A【解析】

先化簡復(fù)數(shù)，然后求其共軛復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，所以位于第一象限.故選：A本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，當(dāng)為二次函數(shù)時(shí)，只需考慮對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，要滿足題意，只需，且，解得.綜上所述：.故選：B.本題考查由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍的問題，屬基礎(chǔ)題.9、D【解析】

試題分析：，∵函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上恒成立．∴，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴．∴的取值范圍是．故選D．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.10、C【解析】分析：由充分必要條件的判定方法判斷①，寫出特稱命題的否定判斷②，根據(jù)逆否命題與原命題的等價(jià)性，只需要判斷原命題的真假即可判斷③正確，求出方程的根即可判斷④正確，求出時(shí)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故⑤正確詳解：對(duì)于①，由得到，由可得是的必要不充分條件，“”是“”的必要不充分條件，故①是假命題對(duì)于②，對(duì)于命題，使得，則，均有；根據(jù)含量詞的命題的否定形式，將與互換，且結(jié)論否定，故正確對(duì)于③，命題“若，則方程有實(shí)數(shù)根”的逆否命題為：“若方程沒有實(shí)數(shù)根，則”，滿足逆否命題的形式，故正確對(duì)于④函數(shù)，令可以求得，函數(shù)只有個(gè)零點(diǎn)，故正確對(duì)于⑤，令，解得，此時(shí)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故正確綜上所述，真命題的個(gè)數(shù)是故選點(diǎn)睛：本題主要考查的是命題的真假判斷，根據(jù)各知識(shí)點(diǎn)即可進(jìn)行判斷，本題較為基礎(chǔ)。11、B【解析】

設(shè)出大正方形的面積，求出陰影部分的面積，從而求出滿足條件的概率即可．【詳解】設(shè)“東方魔板”的面積是4，

則陰影部分的三角形面積是1，

陰影部分平行四邊形的面積是則滿足條件的概率故選：B本題考查了幾何概型問題，考查面積之比，是一道基礎(chǔ)題．12、A【解析】由已知得，由，則，又，所以.故選A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)，代入題目所給已知條件，利用復(fù)數(shù)相等的條件列方程組，解方程組求得的值.【詳解】設(shè)，則，，于是有解得，即.本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的概念，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.14、-4037【解析】

由題意對(duì)已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù),令二階導(dǎo)數(shù)為零,即可求得函數(shù)的中心對(duì)稱,即有,,借助倒序相加的方法,可得進(jìn)而可求的解析式,求導(dǎo),當(dāng)代入導(dǎo)函數(shù)解得,計(jì)算求解即可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由得解得,而故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故，兩式相加得，則.同理,,,令,則,,故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,,兩式相加得,則.所以當(dāng)時(shí),解得:,所以則.故答案為:-4037.本題考查對(duì)新定義的理解,考查二階導(dǎo)數(shù)的求法,仔細(xì)審題是解題的關(guān)鍵,考查倒序法求和,難度較難.15、【解析】

通過條件三條棱兩兩垂直，可將其補(bǔ)為長方體，從而求得半徑.【詳解】若兩兩垂直,可將四面體補(bǔ)成一長方體，從而長方體的外接球即為四面體的外接球，于是半徑，故答案為.本題主要考查外接球的半徑，將四面體轉(zhuǎn)化為長方體求解是解決本題的關(guān)鍵.16、【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，即在處的切線斜率為2.又時(shí)，，所以切線為：，整理得：.故答案為：.點(diǎn)睛：求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，則以的切點(diǎn)的切線方程為：．若曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）首先根據(jù)題意得到，化簡得到，求出，再代入即可.（2）首先化簡得到，再利用裂項(xiàng)求和計(jì)算即可.【詳解】（1）由題知：，即化簡得：，，所以..（2）..本題第一問考查等差、等比數(shù)列的綜合，第二問考查裂項(xiàng)求和，屬于中檔題.18、(1)證明見解析.(2).【解析】試題分析：（1）先根據(jù)平幾知識(shí)計(jì)算得，再根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解得平面法向量，利用向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系求結(jié)果.試題解析：（1）證明：等腰梯形中，故在中，，所以平面（2）作于，以為軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則求得平面的法向量為又，所以即與平面所成角的正弦值等于19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）“甲乙丙丁四人所付的費(fèi)用之和為25元”，即4人均不超過30分鐘。（2）即丁付20元，甲乙丙三人中有且只有一人付10，其余2人付5，分3種情況。用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率公式與互斥事件的和事件概率公式可求解。（3）根據(jù)分類可知隨機(jī)變量的所有取值為25，30，35，40，45，50,求出概率及期望?！驹斀狻浚?）記“甲乙丙丁四人所付的費(fèi)用之和為25元”為事件，即4人均不超過30分鐘，則.答：求甲乙丙丁四人所付的費(fèi)用之和為25元的概率是（2）由題意，甲乙丙丁在分鐘以上且不超過分鐘還車的概率分別為，設(shè)“甲乙丙三人所付費(fèi)用之和等于丁所付費(fèi)用”為事件，則答：甲乙丙三人所付的費(fèi)用之和等于丁所付的費(fèi)用的概率是．（3）①若“4人均不超過30分鐘”此時(shí)隨機(jī)變量的值為25，即為事件，由（1）所以.②記“4人中僅有一人超過30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過30分鐘的這一人是甲乙丙中的一個(gè)”和“超過30分鐘的這一人是丁”，分別將上述兩種情況記為事件和.i.事件對(duì)應(yīng)的的值為30，此時(shí)；ii.事件對(duì)應(yīng)的的值為35，此時(shí).③記“4人中僅有兩人超過30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過30分鐘的兩人是甲乙丙中的兩個(gè)”和“超過30分鐘的兩人是甲乙丙中的一個(gè)和丁”，分別將上述兩種情況記為事件和.i.事件對(duì)應(yīng)的的值為35，此時(shí)；i.事件對(duì)應(yīng)的的值為40，此時(shí)④記“4人中僅有三人超過30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過30分鐘的三人是甲乙丙”和“超過30分鐘的三人是甲乙丙中的兩個(gè)和丁”，分別將上述兩種情況記為事件和.i.事件對(duì)應(yīng)的的值為40，此時(shí)；i.事件對(duì)應(yīng)的的值為45，此時(shí).⑤記“4人均超過30分鐘”為事件，則隨機(jī)變量的值為50，此時(shí)；綜上：隨機(jī)變量的所有取值為25，30，35，40，45，50，且；；；；；；所以甲乙丙丁四人所付費(fèi)用之和的分別為253035404550所以.答：甲乙丙丁四人所付費(fèi)用之和的數(shù)學(xué)期望為.本題綜合考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率公式與互斥事件的和事件概率公式，同時(shí)考查離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望，需要學(xué)生分類清晰，邏輯有條理，運(yùn)算準(zhǔn)確。20、（Ⅰ）；（Ⅱ）2.【解析】

（Ⅰ）運(yùn)用正弦定理實(shí)現(xiàn)角邊轉(zhuǎn)化，然后利用余弦定理，求出角的大小；（Ⅱ）方法1：由（II）及，利用余弦定理，可得，再利用基本不等式，可求出的最大值；方法2：利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，利用兩角和的正弦公式和輔助角公式，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性，可求出的最大值；【詳解】（I）由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，所以由余弦定理得：，又在中，，所?（II）方法1：由（I）及，得，即，因?yàn)?，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）所以.則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故的最大值為2.方法2：由正弦定理得，，則，因?yàn)?，所以，故的最大值?（當(dāng)時(shí)）.本題考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，考查了二角和的正弦公式及輔助角公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21、（2）x+y-1=0，ρ=4sinθ；（2）2.【解析】分析：(2)消去參數(shù)t可得直線l的普通方程為x＋y－2＝2．曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4y＝2．