2024春九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第24章圓章末小結(jié)與提升課時(shí)作業(yè)新版滬科版VIP

PAGEPAGE1圓章末小結(jié)與提升旋轉(zhuǎn)類(lèi)型1旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及應(yīng)用1.如圖,△ABC圍著點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后到達(dá)了△CDE的位置,下列說(shuō)法中不正確的是(C)A.線段AB與線段CD相互垂直B.線段AC與線段CE相互垂直C.點(diǎn)A與點(diǎn)E是兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D.線段BC與線段DE相互垂直2.如圖所示,已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,M為DE的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N.(1)當(dāng)A,B,C三點(diǎn)在同始終線上時(shí)(如圖1),求證:M為AN的中點(diǎn);(2)將圖1中△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),當(dāng)A,B,E三點(diǎn)在同始終線上時(shí)(如圖2),求證:△CAN為等腰直角三角形;(3)將圖1中△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),那么(2)中的結(jié)論是否仍舊成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)∵M(jìn)為DE的中點(diǎn),∴DM=EM.∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM,又∵∠DMA=∠EMN,∴△DMA≌△EMN,∴AM=MN,即M為AN的中點(diǎn).(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA=EN,又∵DA=AB,∴AB=NE.∵∠ABC=∠NEC=135°,BC=EC,∴△ABC≌△NEC,∴AC=CN,∠ACB=∠NCE,∵∠BCE=∠BCN+∠NCE=90°,∴∠BCN+∠ACB=90°,∴∠ACN=90°,∴△CAN為等腰直角三角形.(3)成立.證明:由(2)可知AB=NE,BC=CE,∠ABC=360°-45°-45°-∠DBE=270°-∠DBE.∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM,又∵∠NEC=∠CEB+∠BEN=45°+∠BED+∠NEM=45°+45°+∠BDE+∠BED=90°+(180°-∠DBE)=270°-∠DBE,∴∠ABC=∠NEC.∴△ABC≌△NEC,再同(2)可證△CAN為等腰直角三角形,∴(2)中的結(jié)論仍舊成立.類(lèi)型2垂徑定理及推論1.如圖所示,在☉O中,半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C,連接AO并延長(zhǎng)交☉O于點(diǎn)E,連接EC,若AB=8,CD=2,則EC的長(zhǎng)度為(D)A.25 B.8 C.210 D.2132.人工浮床又稱(chēng)人工浮島,自20年前人類(lèi)開(kāi)發(fā)出第一個(gè)人工浮床之后,就將人工浮床應(yīng)用于地表水體的污染治理和生態(tài)修復(fù).近年來(lái),我國(guó)的人工浮床技術(shù)開(kāi)發(fā)及應(yīng)用正好處于快速發(fā)展時(shí)期.如圖所示,是我市在某湖面上為凈化水質(zhì)而搭建的一個(gè)水上圓形人工浮床示意圖,其中圓和三塊邊長(zhǎng)為16米的正方形是浮島框架部分,被分割成的7部分將運(yùn)用無(wú)土技術(shù)分別栽培7種不同的水生植物,正方形的頂點(diǎn)A,B,C,D都在圓上,且整個(gè)浮床成軸對(duì)稱(chēng)圖形,求這個(gè)圓形人工浮床的半徑.解:設(shè)過(guò)點(diǎn)D的垂線與HF的交點(diǎn)為Q,連接BD交EF于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PO⊥BD交HG于點(diǎn)O,連接OB.在△BEP與△DQP中,∠E=∠DQP,∠EPB∴PB=PD,∴點(diǎn)O為圓心,∵BD=322+242=40,∴PB=20,∴PE=202-162=12,∴PH=4,∵∠E=∠BPO=90°,∴∠EBP+∠EPB=∴△PBE∽△OPH,∴PHBE=HOPE∴OG=13,∴OB=162+13∴這個(gè)圓形人工浮床的半徑為517米.類(lèi)型3圓周角定理及推論典例1如圖,A,B,C是圓O上的三點(diǎn),且四邊形ABCO是平行四邊形,OF⊥OC交圓O于點(diǎn)F,則∠BAF等于()A.12.5° B.15°C.20° D.22.5°【解析】連接OB.∵四邊形ABCO是平行四邊形,∴OCAB,又∵OA=OB=OC,∴OA=OB=OC=AB,∴△AOB為等邊三角形,∵OF⊥OC,OC∥AB,∴OF⊥AB,∴∠BOF=∠AOF=30°,由圓周角定理得∠BAF=12∠BOF=15°【答案】B【針對(duì)訓(xùn)練】1.(賀州中考)如圖,在☉O中,AB是☉O的直徑,AB=10,AC=CD=DB,點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),M是AB上的一動(dòng)點(diǎn),下列結(jié)論:①∠BOE=60°;②∠CED=12∠DOB;③DM⊥CE;④CM+DM的最小值是10.A.1 B.2 C.3 D.42.(永州中考)如圖,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,D是AC的中點(diǎn),E是BC上的一點(diǎn),若∠CED=40°,則∠ADC=100°.

類(lèi)型4切線的性質(zhì)與判定典例2如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,AC為☉O的直徑,PB是☉O的切線,B為切點(diǎn),OP⊥BC,垂足為E,交☉O于點(diǎn)D,連接BD.(1)求證:BD平分∠PBC;(2)若☉O的半徑為1,PD=3DE,求OE及AB的長(zhǎng).【解析】(1)連接OB.∵PB是☉O的切線,∴OB⊥PB,∴∠PBO=90°,∴∠PBD+∠OBD=90°,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,∵OP⊥BC,∴∠BED=90°,∴∠DBE+∠BDE=90°,∴∠PBD=∠EBD,∴BD平分∠PBC.(2)作DK⊥PB于點(diǎn)K.∵S△又∵BD平分∠PBE,DE⊥BE,DK⊥PB,∴DK=DE,∴BEPB∵∠OBE+∠PBE=90°,∠PBE+∠P=90°,∴∠OBE=∠P,∵∠OEB=∠BEP=90°,∴△BEO∽△PEB,∴BOPB=OEBE∵BO=1,∴OE=13∵OE⊥BC,∴BE=EC,∵AO=OC,∴AB=2OE=23【針對(duì)訓(xùn)練】1.(日照中考)如圖,AB是☉O的直徑,PA切☉O于點(diǎn)A,連接PO并延長(zhǎng)交☉O于點(diǎn)C,連接AC,AB=10,∠P=30°,則AC的長(zhǎng)度是(A)A.53 B.52 C.5 D.52.(永州中考)如圖,線段AB為☉O的直徑,點(diǎn)C,E在☉O上,BC=CE,CD⊥AB,垂足為D,連接BE,弦BE與線段CD相交于點(diǎn)(1)求證:CF=BF;(2)若cos∠ABE=45,在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M,使BM=4,☉O的半徑為6.求證:直線CM是☉O的切線解:(1)延長(zhǎng)CD交☉O于點(diǎn)G.∵CD⊥AB,∴BC=∵BC=CE,∴∴∠CBE=∠GCB,∴CF=BF.(2)連接OC交BE于點(diǎn)H.∵BC=CE,∴OC⊥在Rt△OBH中,cos∠OBH=BHOB∴BH=45×6=24∴OH=OB∵OHOC=185∵∠HOB=∠COM,∴△OHB∽△OCM,∴∠OCM=∠OHB=90°,∴OC⊥CM,∴直線CM是☉O的切線.類(lèi)型5正多邊形與圓的有關(guān)計(jì)算1.如圖,將正六邊形ABCDEF放在平面直角坐標(biāo)系中,中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

12,-32.如圖,O是正六邊形ABCDEF的中心,連接BD,DF,FB.(1)設(shè)△BDF的面積為S1,正六邊形ABCDEF的面積為S2,則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是S2=2S1;

(2)△ABF通過(guò)旋轉(zhuǎn)可與△CDB重合,請(qǐng)指出旋轉(zhuǎn)中心和最小旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).解:(1)S2=2S1.提示:連接OD,OF,OB.∵六邊形ABCDEF是正六邊形,∴△BDF是正三角形,易知△ABF,△BDC,△DEF,△DOF,△BOF,△BOD都是全等的,∴S2=2S1.(2)旋轉(zhuǎn)中心是O,最小旋轉(zhuǎn)角是120°.類(lèi)型6弧長(zhǎng)、扇形面積及圓錐側(cè)面積典例3如圖,AB是☉O的直徑,E為BC的中點(diǎn),AB=4,∠BED=120°,則圖中陰影部分的面積之和為()A.3 B.23C.32 D.【解析】如圖,連接AE,OD,OE,∵AB是直徑,∴∠AEB=90°,又∵∠BED=120°,∴∠AED=30°,∴∠AOD=2∠AED=60°.∵OA=OD,∴△AOD是等邊三角形,∴∠OAD=60°,∵E為BC的中點(diǎn),∠AEB=90°,∴AB=AC,∴△ABC是等邊三角形,邊長(zhǎng)是4,△EDC是等邊三角形,邊長(zhǎng)是2,∴∠BOE=∠EOD=60°,∴BE和弦BE圍成部分的面積等于DE和弦DE圍成部分的面積,∴陰影部