高中數(shù)學(xué)模擬方法概率的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)模擬方法——概率的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)分析這部分是新增加的內(nèi)容．介紹幾何概型主要是為了更廣泛地滿(mǎn)足隨機(jī)模擬的需要，但是對(duì)幾何概型的要求僅限于初步體會(huì)幾何概型的意義，所以教科書(shū)中選的例題都是比較簡(jiǎn)單的．隨機(jī)模擬部分是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容．幾何概型是另一類(lèi)等可能概型，它與古典概型的區(qū)別在于試驗(yàn)的結(jié)果不是有限個(gè)，利用幾何概型可以很容易舉出概率為0的事件不是不可能事件的例子，概率為1的事件不是必然事件的例子．本節(jié)的教學(xué)需要一些實(shí)物模型為教具，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意讓學(xué)生實(shí)際動(dòng)手操作，以使學(xué)生相信模擬結(jié)果的真實(shí)性，然后再通過(guò)計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬試驗(yàn)，得到模擬的結(jié)果．在這個(gè)過(guò)程中，要讓學(xué)生體會(huì)結(jié)果的隨機(jī)性與規(guī)律性，體會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，結(jié)果的精度會(huì)越來(lái)越高．幾何概型也是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)．它的特點(diǎn)是在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布，所以隨機(jī)事件的概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀、位置無(wú)關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān)．如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是一個(gè)單點(diǎn)，由于單點(diǎn)的長(zhǎng)度、面積、體積均為0，則它出現(xiàn)的概率為0，但它不是不可能事件；如果一個(gè)隨機(jī)事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個(gè)單點(diǎn)，則它出現(xiàn)的概率為1，但它不是必然事件．三維目標(biāo)1．通過(guò)師生共同探究，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成，正確理解幾何概型的概念；掌握幾何概型的概率公式：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積)，學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力．2．本節(jié)課的主要特點(diǎn)是隨機(jī)試驗(yàn)多，學(xué)習(xí)時(shí)養(yǎng)成勤學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣，會(huì)根據(jù)古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系來(lái)判別某種概型是古典概型還是幾何概型，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何概率計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生從有限向無(wú)限探究的意識(shí)．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解幾何概型的定義、特點(diǎn)，會(huì)用公式計(jì)算幾何概率．教學(xué)難點(diǎn)：等可能性的判斷與幾何概型和古典概型的區(qū)別．課時(shí)安排1課時(shí)eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過(guò)程))導(dǎo)入新課思路1.復(fù)習(xí)古典概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)：(1)所有的基本事件只有有限個(gè)；(2)每個(gè)基本事件發(fā)生都是等可能的．那么對(duì)于有無(wú)限多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況相應(yīng)的概率應(yīng)如何求呢？為此我們學(xué)習(xí)幾何概型．思路2.圖1中有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝．在兩種情況下分別求甲獲勝的概率是多少？圖1為解決這個(gè)問(wèn)題，我們學(xué)習(xí)幾何概型．思路3.在概率論發(fā)展的早期，人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個(gè)等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)是不夠的，還必須考慮有無(wú)限多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況．例如一個(gè)人到單位的時(shí)間可能是8：00至9：00之間的任何一個(gè)時(shí)刻；往一個(gè)方格中投一個(gè)石子，石子可能落在方格中的任何一點(diǎn)……這些試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果都是無(wú)限多個(gè)．這就是我們要學(xué)習(xí)的幾何概型．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問(wèn)題))1．隨意拋擲一枚均勻硬幣兩次，求兩次出現(xiàn)相同面的概率？2．試驗(yàn)1.取一根長(zhǎng)度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷．問(wèn)剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m的概率有多大？試驗(yàn)2.射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色得分環(huán)．從外向內(nèi)為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心是金色，金色靶心叫“黃心”．奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122cm，靶心直徑為12.2cm.運(yùn)動(dòng)員在70m外射箭，假設(shè)射箭能射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn)都是等可能的．問(wèn)射中黃心的概率為多少？3．問(wèn)題1,2中的基本事件有什么特點(diǎn)？?jī)墒录谋举|(zhì)區(qū)別是什么？4．什么是幾何概型？它有什么特點(diǎn)？5．如何計(jì)算幾何概型的概率？有什么樣的公式？6．古典概型和幾何概型有什么區(qū)別和聯(lián)系？活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)問(wèn)題思考討論，回顧古典概型的特點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的知識(shí)解決，教師引導(dǎo)學(xué)生比較概括．討論結(jié)果：1．硬幣落地后會(huì)出現(xiàn)四種結(jié)果：分別記作(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．每種結(jié)果出現(xiàn)的概率相等，P(正，正)＝P(正，反)＝P(反，正)＝P(反，反)＝eq\f(1,4).兩次出現(xiàn)相同面的概率為eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).2．經(jīng)分析，第一個(gè)試驗(yàn)，從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)基本事件，剪斷位置可以是長(zhǎng)度為3m的繩子上的任意一點(diǎn)．第二個(gè)試驗(yàn)中，射中靶面上每一點(diǎn)都是一個(gè)基本事件，這一點(diǎn)可以是靶面直徑為122cm的大圓內(nèi)的任意一點(diǎn)．在這兩個(gè)問(wèn)題中，基本事件有無(wú)限多個(gè)，雖然類(lèi)似于古典概型的“等可能性”，但是顯然不能用古典概型的方法求解．考慮第一個(gè)問(wèn)題，如圖2，記“剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m”為事件A.把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí)，事件A發(fā)生．由于中間一段的長(zhǎng)度等于繩長(zhǎng)的eq\f(1,3)，于是事件A發(fā)生的概率為P(A)＝eq\f(1,3).圖2第二個(gè)問(wèn)題，如圖3，記“射中黃心”為事件B，由于中靶點(diǎn)隨機(jī)地落在面積為eq\f(1,4)×π×1222cm2的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為eq\f(1,4)×π×12.22cm2的黃心內(nèi)時(shí)，事件B發(fā)生，于是事件B發(fā)生的概率P(B)＝eq\f(\f(1,4)×π×12.22,\f(1,4)×π×1222)＝0.01.圖33．硬幣落地后會(huì)出現(xiàn)四種結(jié)果(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)是等可能的，繩子從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)基本事件，剪斷位置可以是長(zhǎng)度為3m的繩子上的任意一點(diǎn)，也是等可能的，射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn)都是等可能的，但是硬幣落地后只出現(xiàn)四種結(jié)果，是有限的，而剪斷繩子的點(diǎn)和射中靶面的點(diǎn)是無(wú)限的，即一個(gè)基本事件是有限的，而另一個(gè)基本事件是無(wú)限的．4．幾何概型．對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)．這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等．用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱(chēng)為幾何概型．如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型(geometricmodelsofprobability)，簡(jiǎn)稱(chēng)幾何概型．幾何概型的基本特點(diǎn)：a．試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)；b．每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．5．幾何概型的概率公式：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積).6．古典概型和幾何概型的聯(lián)系是每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的；區(qū)別是古典概型的基本事件是有限的，而幾何概型的基本事件是無(wú)限的，另外兩種概型的概率計(jì)算公式的含義也不同．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))思路1例1判斷下列試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率是古典概型，還是幾何概型．(1)拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率；(2)如圖4所示，有一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率．圖4活動(dòng)：學(xué)生緊緊抓住古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系，然后判斷．解：(1)拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6×6＝36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；(2)游戲中指針指向B區(qū)域時(shí)有無(wú)限多個(gè)結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來(lái)衡量，即與區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān)，因此屬于幾何概型．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是幾何概型與古典概型的特點(diǎn)，古典概型具有有限性和等可能性，而幾何概型則是在試驗(yàn)中出現(xiàn)無(wú)限多個(gè)結(jié)果，且與事件的區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān)．例2某人午休醒來(lái)，發(fā)覺(jué)表停了(圖5)，他打開(kāi)收音機(jī)想聽(tīng)電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間短于10分鐘的概率．圖5活動(dòng)：學(xué)生分析，教師引導(dǎo)，假設(shè)他在0～60之間的任一時(shí)刻，打開(kāi)收音機(jī)是等可能的，但0～60之間有無(wú)數(shù)個(gè)時(shí)刻，不能用古典概型的公式來(lái)計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率，因?yàn)樗?～60之間的任一時(shí)刻打開(kāi)收音機(jī)是等可能的，所以他在哪個(gè)時(shí)間段打開(kāi)收音機(jī)的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān)，而與該時(shí)間段的位置無(wú)關(guān)，這符合幾何概型的條件，所以可用幾何概型的概率計(jì)算公式計(jì)算．解：記“等待的時(shí)間短于10分鐘”為事件A，打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)刻位于[50,60]時(shí)間段內(nèi)則事件A發(fā)生．由幾何概型的求概率公式得P(A)＝eq\f(60－50,60)＝eq\f(1,6)，即“等待報(bào)時(shí)的時(shí)間不超過(guò)10分鐘”的概率為eq\f(1,6).點(diǎn)評(píng)：打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)刻X是隨機(jī)的，可以是0～60之間的任何時(shí)刻，且是等可能的．我們稱(chēng)X服從[0,60]上的均勻分布，X稱(chēng)為[0,60]上的均勻隨機(jī)數(shù).變式訓(xùn)練某路公共汽車(chē)5分鐘一班準(zhǔn)時(shí)到達(dá)某車(chē)站，求任一人在該車(chē)站等車(chē)時(shí)間少于3分鐘的概率(假定車(chē)到來(lái)后每人都能上)．解：可以認(rèn)為人在任一時(shí)刻到站是等可能的．設(shè)上一班車(chē)離站時(shí)刻為a，則某人到站的一切可能時(shí)刻為Ω＝(a，a＋5)，記Ag＝{等車(chē)時(shí)間少于3分鐘}，則他到站的時(shí)刻只能為g＝(a＋2，a＋5)中的任一時(shí)刻，故P(Ag)＝eq\f(g的長(zhǎng)度,Ω的長(zhǎng)度)＝eq\f(3,5).點(diǎn)評(píng)：通過(guò)實(shí)例初步體會(huì)幾何概型的意義.思路2例1某人欲從某車(chē)站乘車(chē)出差，已知該站發(fā)往各站的客車(chē)均每小時(shí)一班，求此人等車(chē)時(shí)間不多于20分鐘的概率．活動(dòng)：假設(shè)他在0～60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到車(chē)站等車(chē)是等可能的，但在0到60分鐘之間有無(wú)窮多個(gè)時(shí)刻，不能用古典概型公式計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率．可以通過(guò)幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率．因?yàn)榭蛙?chē)每小時(shí)一班，他在0到60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到站等車(chē)是等可能的，所以他在哪個(gè)時(shí)間段到站等車(chē)的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān)，而與該時(shí)間段的位置無(wú)關(guān)，這符合幾何概型的條件．解：設(shè)A＝{等待的時(shí)間不多于20分鐘}，我們所關(guān)心的事件A恰好是到站等車(chē)的時(shí)刻位于[40,60]這一時(shí)間段內(nèi)，因此由幾何概型的概率公式，得P(A)＝eq\f(60－40,60)＝eq\f(1,3).即此人等車(chē)時(shí)間不多于20分鐘的概率為eq\f(1,3).點(diǎn)評(píng)：在本例中，到站等車(chē)的時(shí)刻X是隨機(jī)的，可以是0到60之間的任何一刻，并且是等可能的，我們稱(chēng)X服從[0,60]上的均勻分布，X為[0,60]上的均勻隨機(jī)數(shù).變式訓(xùn)練在1萬(wàn)平方千米的大陸架海域中有40平方千米的大陸架儲(chǔ)藏著石油，假設(shè)在海域中任意一點(diǎn)鉆探，鉆到油層面的概率是多少？分析：石油在1萬(wàn)平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機(jī)的，而40平方千米可看作構(gòu)成事件的區(qū)域面積，由幾何概型公式可以求得概率．解：記“鉆到油層面”為事件A，則P(A)＝0.004.故鉆到油層面的概率是0.004.例2小明家的晚報(bào)在下午5：30～6：30之間任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地被送到，小明一家人在下午6：00～7：00之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地開(kāi)始晚餐，則晚報(bào)在晚餐開(kāi)始之前被送到的概率是多少？活動(dòng)：學(xué)生讀題，設(shè)法利用幾何概型公式求得概率．解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖6中x＝6，x＝7，y＝5.5，y＝6.5圍成一個(gè)正方形區(qū)域G.設(shè)晚餐在x(6≤x≤7)時(shí)開(kāi)始，晚報(bào)在y(5.5≤y≤6.5)時(shí)被送到，這個(gè)結(jié)果與平面上的點(diǎn)(x，y)對(duì)應(yīng)．于是試驗(yàn)的所有可能結(jié)果就與G中的所有點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)．圖6由題意知，每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，因此，試驗(yàn)屬于幾何概型．晚報(bào)在晚餐開(kāi)始之前被送到，當(dāng)且僅當(dāng)y＜x，因此圖5中的陰影區(qū)域g就表示“晚報(bào)在晚餐開(kāi)始之前被送到”．容易求得g的面積為eq\f(7,8)，G的面積為1.由幾何概型的概率公式，“晚報(bào)在晚餐開(kāi)始之前被送到”的概率為P(A)＝eq\f(g的面積,G的面積)＝eq\f(7,8).變式訓(xùn)練在1L高產(chǎn)小麥種子中混入了一種帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10mL，則取出的種子中含有麥銹病的種子的概率是多少？分析：麥銹病種子在這1L中的分布可以看作是隨機(jī)的，取得的10mL種子可視作構(gòu)成事件的區(qū)域，1L種子可視作試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，可用“體積比”公式計(jì)算其概率．解：取出10mL種子，其中“含有麥銹病種子”這一事件記為A，則P(A)＝0.01.故取出的種子中含有麥銹病的種子的概率是0.01.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))1．已知地鐵列車(chē)每10min一班，在車(chē)站停1min，求乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車(chē)的概率．答案：由幾何概型知，所求事件A的概率為P(A)＝eq\f(1,11).2．兩根相距6m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，求燈與兩端距離都大于2m的概率．答案：記“燈與兩端距離都大于2m”為事件A，則P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).3．在500mL的水中有一個(gè)草履蟲(chóng)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2mL水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲(chóng)的概率是()．A．0.5B．0.4C．0.004D．不能確定解析：由于取水樣的隨機(jī)性，所求事件A：“在取出2mL的水樣中有草履蟲(chóng)”的概率等于水樣的體積與總體積之比eq\f(2,500)＝0.004.答案：C4．平面上畫(huà)了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r＜a的硬幣任意擲在這個(gè)平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率．答案：把“硬幣不與任一條平行線相碰”的事件記為事件A，為了確定硬幣的位置，由硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM，垂足為M，如圖7所示，這樣線段OM長(zhǎng)度(記作OM)的取值范圍就是[0，a]，只有當(dāng)r＜OM≤a時(shí)硬幣不與平行線相碰，所以所求事件A的概率就是P(A)＝eq\f(r，a]的長(zhǎng)度,[0，a]的長(zhǎng)度)＝eq\f(a－r,a).圖7eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升))1．約會(huì)問(wèn)題兩人相約8點(diǎn)到9點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一人20分鐘，然后就可離去，試求這兩人能會(huì)面的概率．解：因?yàn)閮扇苏l(shuí)也沒(méi)有講好確切的時(shí)間，故樣本點(diǎn)由兩個(gè)數(shù)(甲、乙兩人各自到達(dá)的時(shí)刻)組成．以8點(diǎn)鐘作為計(jì)算時(shí)間的起點(diǎn)，設(shè)甲、乙各在第x分鐘和第y分鐘到達(dá)，則樣本空間為Ω：{(x，y)|0≤x≤60,0≤y≤60}，畫(huà)成圖為一正方形．以x，y分別表示兩人的到達(dá)時(shí)刻，則兩人能會(huì)面的充要條件為|x－y|≤20.這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題，可能的結(jié)果全體是邊長(zhǎng)為60的正方形里的點(diǎn)，能會(huì)面的點(diǎn)的區(qū)域用陰影標(biāo)出(如圖8)．圖8所求概率為P＝eq\f(g的面積,G的面積)＝eq\f(602－402,602)＝eq\f(5,9).2．〔蒲豐(Buffon)投針問(wèn)題〕平面上畫(huà)很多平行線，間距為a.向此平面投擲長(zhǎng)為l(l＜a)的針，求此針與任一平行線相交的概率．解：設(shè)針的中點(diǎn)與最接近的平行線之間的距離為x，針與平行線的交角為φ(見(jiàn)圖9)．樣本空間為Ω：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(φ，x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤φ≤π，0≤x≤\f(a,2)))))為一矩形．針與平行線相交的充要條件是g：x≤eq\f(l,2)sinφ(見(jiàn)圖10)．所求概率是P＝eq\f(g的面積,Ω的面積)＝eq\f(\i\in(0,π,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))·sinφdφ,π·\f(a,2))＝eq\f(2l,aπ).圖9圖10注：因?yàn)楦怕蔖可以用多次重復(fù)試驗(yàn)的頻率來(lái)近似，由此可以得到π的近似值．方法是重復(fù)投針N次(或一次投針若干枚，總計(jì)N枚)，統(tǒng)計(jì)與平行線相交的次數(shù)n，則P≈eq\f(n,N).又因a與l都可精確測(cè)量，故從eq\f(2l,aπ)≈eq\f(n,N)，可解得π≈eq\f(2lN,an).歷史上有不少人做過(guò)這個(gè)試驗(yàn)．做得最好的一位投擲了3408次，算得π≈3.1415929，其精確度已經(jīng)達(dá)到小數(shù)點(diǎn)后第六位．設(shè)計(jì)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)得到某種結(jié)果，以確定我們感興趣的某個(gè)量，由此而發(fā)展的蒙特卡洛(Monte.Carlo)方法為這種計(jì)算提供了一種途徑．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))幾何概型是區(qū)別于古典概型的又一概率模型，使用幾何概型的概率計(jì)算公式時(shí)，一定要注意其適用條件：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度成比例．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))習(xí)題3—3A組1,2.eq\o(\s\up7(),\s\do5(設(shè)計(jì)感想))本節(jié)課首先對(duì)古典概型進(jìn)行了復(fù)習(xí)，使學(xué)生掌握古典概型的適用條件，鞏固了古典概型的概率計(jì)算公式，接著設(shè)計(jì)了多個(gè)試驗(yàn)，從課題的引入，到問(wèn)題的提出都非常有針對(duì)性，引人入勝，接著從新的問(wèn)題中引出幾何概型這一不同于古典概型的又一概率模型，并通過(guò)探究，歸納出幾何概型的概率計(jì)算公式，同時(shí)比較了古典概型和幾何概型的區(qū)別和聯(lián)系，通過(guò)思路1和思路2兩種不同的例題類(lèi)型和層次，加深理解和運(yùn)用，由于它們與實(shí)際生活聯(lián)系密切，所以要反復(fù)練習(xí)，達(dá)到為我們的工作與生活服務(wù)的目的，然而這部分內(nèi)容在高考中是新內(nèi)容，因此同學(xué)們要高度重視，全面把握，爭(zhēng)取獲得好成績(jī)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(備課資料))幾何概型是高中數(shù)學(xué)新增加的內(nèi)容，其特點(diǎn)鮮明，題目類(lèi)型較為固定．高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段所出現(xiàn)的幾何概型問(wèn)題總結(jié)如下．1．與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型例1有一段長(zhǎng)為10m的木棍，現(xiàn)要將其截成兩段，要求每一段都不小于3m，則符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于3m，也就是說(shuō)只能在距兩端都為3m的中間的4m中截，這是一道非常典型的與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型問(wèn)題．解：記兩段木棍都不小于3m為事件A，則P(A)＝eq\f(10－3－3,10)＝eq\f(2,5).2．與面積有關(guān)的幾何概型這里有一道十分有趣的題目：例2郭靖、瀟湘子與金輪法王等武林高手進(jìn)行一種比賽，比賽規(guī)則如下：在很遠(yuǎn)的地方有一頂帳篷，可以看到里面有一張小方幾，要將一枚銅板扔到這張方幾上．已知銅板的直徑是方幾邊長(zhǎng)的eq\f(3,4)，誰(shuí)能將銅板整個(gè)地落到方幾上就可以進(jìn)行下一輪比賽．郭靖一扔，銅板落到小方幾上，且沒(méi)有掉下，問(wèn)他能進(jìn)入下一輪比賽的概率有多大？圖11分析：這是一道幾何概型問(wèn)題，在幾何概型中，樣本空間是問(wèn)題所涉及的整個(gè)幾何圖形，在本題中，樣本空間就是小方幾的桌面面積．一個(gè)事件就是整個(gè)幾何圖形的一部分，這個(gè)事件發(fā)生的概率就是這部分面積與整個(gè)圖形的面積比．解：不妨設(shè)小方幾的邊長(zhǎng)為1，銅板落到小方幾上，也就是銅板的中心落到方幾上，而要求整個(gè)銅板落到小方幾上，也就是要求銅板的中心落到方幾中內(nèi)的一個(gè)eq\f(1,4)×eq\f(1,4)的小正方形內(nèi)(如圖11)，這時(shí)銅板中心到方幾邊緣的距離≥銅板邊長(zhǎng)的eq\f(3,8).整個(gè)方幾的面積為1×1＝1，而中央小正方形的面積為eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，所以郭靖進(jìn)入下一輪比賽的概率為eq\f(\f(1,16),1)＝eq\f(1,16).例3甲、乙兩人相約在上午9：00至10：00之間在某地見(jiàn)面，可是兩人都只能在那里停留5分鐘．問(wèn)兩人能夠見(jiàn)面的概率有多大？解：設(shè)甲到的時(shí)間為(9＋x)小時(shí)，乙到的時(shí)間為(9＋y)小時(shí)，則0≤x≤1,0≤y≤1.點(diǎn)(x，y)形成直角坐標(biāo)系中的一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，以(0,0)，(1,0)，(0,1)，(1,1)為頂點(diǎn)(如圖12)．圖12由于兩人都只能停留5分鐘即eq\f(1,12)小時(shí)，所以在|x－y|≤eq\f(1,12)時(shí)，兩人才能會(huì)面．由于|x－y|≤eq\f(1,12)是兩條平行直線x－y＝eq\f(1,12)，y－x＝eq\f(1,12)之間的帶狀區(qū)域，正方形中除去這個(gè)帶狀區(qū)域是兩個(gè)三角形，其面積之和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,12)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,12)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,12)))2.從而帶形區(qū)域在這個(gè)正方形內(nèi)的面積為1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,12)))2＝eq\f(23,