專題提升：復數(shù)VIP

8/8專題：復數(shù)【考綱解讀】復數(shù)的四則運算（1）了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義；（2）會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算。【知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建】【重點知識整合】1．復數(shù)(1)概念；(2)復數(shù)的相等；(3)共軛復數(shù)；(4)運算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i，(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－da,c2＋d2)i(c＋di≠0)；(5)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的幾何意義．【高頻考點突破】考點一復數(shù)復數(shù)的相關(guān)概念及運算法則：(1)共軛復數(shù)：復數(shù)z＝a＋bi的共軛復數(shù)z＝a－bi.(2)復數(shù)的模：復數(shù)z＝a＋bi的模|z|＝eq\r(a2＋b2).(3)復數(shù)相等的充要條件：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．特別地，a＋bi＝0?a＝0且b＝0(a，b∈R)．(4)復數(shù)的運算法則：加減法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i.例3、已知復數(shù)eq\f(ai,1＋i)(a∈R)對應的點都在以圓心為原點，半徑為eq\r(2)的圓內(nèi)(不包括邊界)，則a的取值范圍是()A．(－2,2) B．(0,2)C．(－eq\r(7)，eq\r(7)) D．(－2,0)∪(0,2)【變式探究】設(shè)i是虛數(shù)單位，復數(shù)eq\f(1＋ai,2－i)為純虛數(shù)，則實數(shù)a為 ()A．2 B．－2C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)解析：法一：eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f(1＋ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2－a＋2a＋1i,5)為純虛數(shù)，所以2－a＝0，a＝2；法二：eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f(ia－i,2－i)為純虛數(shù)，所以a＝2.答案：A【方法規(guī)律】1．與復數(shù)z有關(guān)的復雜式子為純虛數(shù)，可設(shè)為mi(m≠0)，利用復數(shù)相等去運算較簡便．2．在有關(guān)復數(shù)z的等式中，可設(shè)出z＝a＋bi(a、b∈R)，用待定系數(shù)法求解．3．熟記一些常見的運算結(jié)果可提高運算速度：(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i，設(shè)ω＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，則ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝eq\x\to(ω)，1＋ω＋ω2＝0.【難點探究】復數(shù)的概念及運算例3、設(shè)i是虛數(shù)單位，復數(shù)eq\f(1＋ai,2－i)為純虛數(shù)，則實數(shù)a為()A．2B．－2C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)【變式探究】(1)若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則a＋b＝________.(2)已知復數(shù)z1＝cos23°＋isin23°和復數(shù)z2＝cos37°＋isin37°，則z1·z2為()A.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)iB.eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)iC.eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)iD.eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i【答案】(1)1(2)A【解析】(1)由(a－2i)i＝b－i，得2＋ai＝b－i，根據(jù)復數(shù)相等的充要條件得a＝－1，b＝2，故a＋b＝1.(2)z·z2＝(cos23°＋isin23°)(cos37°＋isin37°)＝cos23°cos37°－sin23°sin37°＋(sin23°cos37°＋cos23°sin37°)i＝cos60°＋isin60°＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i.復數(shù)的幾何意義例4、復數(shù)z＝eq\f(2－i,2＋i)(i為虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點所在象限為()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【變式探究】如果復數(shù)(a＋2i)(1＋i)的模為4，則實數(shù)a的值為()A．2B．2eq\r(2)C．±2D．±2eq\r(2)【答案】C【解析】(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(2＋a)i，根據(jù)已知eq\r(a－22＋a＋22)＝4，解得a＝±2.【方法技巧】復數(shù)部分的考點就是復數(shù)的概念、復數(shù)相等的充要條件、復數(shù)代數(shù)形式的四則運算，其考查帶有綜合性．要注意復數(shù)相等的充要條件中必須把兩個復數(shù)都化為“標準的代數(shù)形式”．【歷屆高考真題】1.【浙江理2】已知i是虛數(shù)單位，則=A.1-2iB.2-iC.2+iD.1+2i【答案】D【解析】=。故選D。2.【新課標理3】下面是關(guān)于復數(shù)的四個命題：其中的真命題為（）的共軛復數(shù)為的虛部為 3.【四川理2】復數(shù)（）A、B、C、D、【答案】B【解析】4.【陜西理3】設(shè)，是虛數(shù)單位，則“”是“復數(shù)為純虛數(shù)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5.【上海理15】若是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，則（）A．B．C．D．6.【山東理1】若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則為（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】。故選A。7.【遼寧理2】復數(shù)(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】，故選A8.【湖北理1】方程的一個根是A． B． C． D．9.【廣東理1】設(shè)i為虛數(shù)單位，則復數(shù)=A．6+5iB．6-5iC．-6+5iD．-6-5i【答案】D【解析】=．故選D．10.【福建理1】若復數(shù)z滿足zi=1-i，則z等于A.-1-IB.1-iC.-1+ID.1=i【答案】A.【解析】根據(jù)知，，故選A.11.【北京理3】設(shè)a，b∈R?！癮=0”是“復數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件12.【安徽理1】復數(shù)滿足：；則（） 【答案】D【解析】13．【天津理1】i是虛數(shù)單位，復數(shù)=（A）2+i（B）2–i（C）-2+i（D）-2–i【答案】B【解析】復數(shù)，選B.14