《直接證明與間接證明（第1課時）》教學(xué)設(shè)計

PAGE19/19選修1-22.2.1直接證明與間接證明（一）（陳昌杰）一、教學(xué)目標(biāo)1.核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生用綜合法證明簡單問題的推理技能，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，以及分析、解決問題的能力.2.學(xué)習(xí)目標(biāo)了解直接證明的基本方法；了解綜合法的思維過程、特點(diǎn)；會用綜合法證明數(shù)學(xué)問題.3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)掌握綜合法的思維過程、特點(diǎn)及其解題步驟，會用綜合法證明數(shù)學(xué)問題.4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過程、特點(diǎn)，應(yīng)用綜合法證明較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1.預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1預(yù)習(xí)教材P36—P38，思考：什么是綜合法？綜合法的本質(zhì)是什么？任務(wù)2綜合法的思考過程、特點(diǎn)分別是什么？任務(wù)3綜合法證明問題的方法、步驟是怎樣的？2.預(yù)習(xí)自測1.在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到∠A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿足什么條件（）A.a2<b2＋c2B.a2＝b2＋c2C.a2>b2＋c2D.a2≤b2＋c2解：C若∠A為鈍角，由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)<0，∴b2＋c2－a2<0.故答案為C.2.設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是{an}的前n項和，則（）A.S4<S5B.S4＝S5C.S6<S5D.S6＝S5解：B∵a2＋a8＝－6＋6＝0，∴a5＝0，又公差d>0，∴S5＝S4.答案為B3.在△ABC中，“”是“△ABC為銳角三角形”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解：B由?∠A為銳角，而角B，C并不能判定，反之若△ABC為銳角三角形，一定有.答案為B4.已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,8)對稱，則φ可能是（）A.eq\f(π,2)B.－eq\f(π,4)C.eq\f(π,4)D.eq\f(3,4)π解：C由題意知，sin(eq\f(π,4)＋φ)＝±1，所以當(dāng)φ＝eq\f(π,4)時，sin(eq\f(π,4)＋eq\f(π,4))＝sineq\f(π,2)＝1.答案為C（二）課堂設(shè)計1.知識回顧引例：閱讀下列證明過程，回答問題.已知實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝1，求證：.證明：因為x＋y＝1，所以，故成立.1.本題的條件和結(jié)論是什么？條件：x＋y＝1，結(jié)論.2.本題的證明順序是什么？從已知條件利用基本不等式到待證結(jié)論.2.問題探究問題探究一綜合法的意義●活動一什么是綜合法？一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法.上面引例就是從條件出發(fā)，利用某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.●活動二綜合法證明問題的模式P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論.問題探究二怎樣用綜合法處理問題綜合法證題的一般步驟是：(1)分析條件，選擇方向.仔細(xì)分析題目的已知條件(包括隱含條件)，分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別，選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.(2)轉(zhuǎn)化條件，組織過程.把題目的已知條件轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言，主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化.組織過程時要有嚴(yán)密的邏輯，簡潔的語言，清晰的思路.(3)適當(dāng)調(diào)整，回顧反思.解題后回顧解題過程，可對部分步驟進(jìn)行調(diào)整，并對一些語言進(jìn)行適當(dāng)?shù)男揎?，反思總結(jié)解題方法的選取.●活動一用綜合法證明不等式例1求證：（1）；（2）；（3）若，則：.【知識點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的非負(fù)性，不等式的證明，實(shí)數(shù)的大小比較】詳解：（1），∴.（2），∴.（3）∵，∴.∴.∴.點(diǎn)拔：綜合法證題的一般步驟是：(1)分析條件，選擇方向.仔細(xì)分析題目的已知條件(包括隱含條件)，分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別，選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.(2)轉(zhuǎn)化條件，組織過程.把題目的已知條件轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言，主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化.組織過程時要有嚴(yán)密的邏輯，簡潔的語言，清晰的思路.(3)適當(dāng)調(diào)整，回顧反思.解題后回顧解題過程，可對部分步驟進(jìn)行調(diào)整，并對一些語言進(jìn)行適當(dāng)?shù)男揎棧此伎偨Y(jié)解題方法的選取.例2已知，求證：【知識點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，不等式的證明，實(shí)數(shù)的大小比較】詳解：；；.綜上所述：.∴.點(diǎn)拔：注意分類討論判斷符號.對m、n取特殊值，可得到以下一些大家比較熟悉的題目：（1）已知a>0，b>0，求證：；（2）已知a>0，b>0，求證：；（3）已知a>0，b>0，求證：.●活動二用綜合法幾何問題例3如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1＝A1C1，AC1⊥A1B，M，N分別是A1B1，AB的中點(diǎn).求證：(1)C1M⊥平面AA1B1B.(2)A1B⊥AM.(3)平面AC1M∥平面B1NC.【知識點(diǎn)：線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行，面面平行】詳解：(1)∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1＝A1C1，M是A1B1的中點(diǎn)，∴C1M⊥A1B1.又∵C1M⊥A1A，A1A∩A1B1＝A1，A1A，A1B1?平面AA1B1B，∴C1M⊥平面AA1B1B.(2)∵A1B?平面AA1B1B，由(1)知C1M⊥平面AA1B1B，∴A1B⊥C1M.又A1B⊥AC1，AC1，C1M?平面AC1M，AC1∩C1M＝C1，∴A1B⊥平面AC1M.又∵AM?平面AC1M，∴A1B⊥AM.(3)在矩形AA1B1B中，易知AM∥B1N，AM?平面B1NC，B1N?平面B1NC，∴AM∥平面B1NC.又C1M∥CN，CN?平面B1NC，C1M?平面B1NC，∴C1M∥平面B1NC.又∵C1M∩AM＝M，C1M，AM?平面AC1M，∴平面AC1M∥平面B1NC.點(diǎn)拔：本例重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)在證明空間線線垂直、線線平行、線面垂直、線面平行、面面平行或垂直問題時，要特別注意平行與垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，如：，，等.其中線面平行和線面垂直一般起到關(guān)鍵作用，如本例(2)中通過證明A1B⊥平面AC1M來證明A1B⊥AM；本例(3)中，通過證明AM∥平面B1NC，C1M∥平面B1NC，來證明平面AC1M∥平面B1NC.●活動三用綜合法證明數(shù)學(xué)中的其他問題例4設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其中m為常數(shù)，且m≠－3.(1)求證：{an}是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列{an}的公比q＝f(m)，數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，bn＝eq\f(3,2)f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求證：{eq\f(1,bn)}為等差數(shù)列.【知識點(diǎn)：遞推數(shù)列，等差數(shù)列，等比數(shù)列】詳解：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.兩式相減得(3＋m)an＋1＝2man(m≠－3)，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(2m,m＋3)，且a1＝1，∴{an}是等比數(shù)列.(2)b1＝a1＝1，q＝f(m)＝eq\f(2m,m＋3)，∴n≥2，n∈N*時，bn＝eq\f(3,2)f(bn－1)＝eq\f(3,2)·eq\f(2bn－1,bn－1＋3)?bnbn－1＋3bn＝3bn－1?eq\f(1,bn)－eq\f(1,bn－1)＝eq\f(1,3).∴數(shù)列{eq\f(1,bn)}為首項為1，公差為eq\f(1,3)的等差數(shù)列.點(diǎn)拔：（1）綜合法的特點(diǎn)是從“已知”看“未知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找它的必要條件.（2）綜合法不但是數(shù)學(xué)證明中的重要方法之一，也是其他解答題步驟書寫的重要方法，其特點(diǎn)是“執(zhí)因索果”.綜合法在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用非常廣泛，用它不但可以證明不等式、立體幾何、解析幾何問題，也可以證明三角恒等式、數(shù)列問題、函數(shù)問題等等.●活動四綜合法的簡單應(yīng)用例5在△ABC中，三邊a，b，c成等比數(shù)列.求證：【知識點(diǎn)：等比數(shù)列，不等式的證明，三角恒等變形】詳解：∴.點(diǎn)拔：（1）綜合法證題是從條件出發(fā)，由因?qū)Ч瑥囊阎纯芍?，逐步推出未?（2）綜合法適用的范圍：①定義明確的題型，如證明函數(shù)單調(diào)性、奇偶性，求證無條件的等式或不等式問題等.②已知條件明確，且容易通過找已知條件的必要條件逼近欲得結(jié)論的題型.3.課堂總結(jié)【知識梳理】（1）綜合法的定義:利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法.（2）用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法用框圖表示為:【難點(diǎn)突破】綜合法是從題設(shè)到結(jié)論的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷出發(fā)，經(jīng)過一系列的中間推理，最后得出所要證明問題.所以分析解讀已知條件、挖掘隱含條件是解決問題的關(guān)鍵因素，在教學(xué)過程中指導(dǎo)學(xué)生正確審題，合理應(yīng)用已知條件可達(dá)到事半功倍的效果.4.隨堂檢測1.設(shè)P＝eq\f(1,log211)＋eq\f(1,log311)＋eq\f(1,log411)＋eq\f(1,log511)，則()A.0<P<1B.1<P<2C.2<P<3D.3<P<4答案：B【知識點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算，放縮法證明不等式】，即，故答案為B2.A、B為△ABC的內(nèi)角，A>B是sinA>sinB的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：C【知識點(diǎn)：充要條件，正弦定理】若A>B，則a>b，又eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinA>sinB，若sinA>sinB，則由正弦定理得a>b，∴A>B.故答案為C3.設(shè)a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，則a，b，c的大小關(guān)系為________.答案：【知識點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的大小比較】∵a2－c2＝2－(8－4eq\r(3))＝eq\r(48)－eq\r(36)>0，∴，又∵eq\f(c,b)＝eq\f(\r(6)－\r(2),\r(7)－\r(3))＝eq\f(\r(7)＋\r(3),\r(6)＋\r(2))>1，∴，∴，故答案為.4.已知函數(shù)，數(shù)列{an}，滿足條件：a1＝1，，.求證：數(shù)列為等比數(shù)列.【知識點(diǎn)：函數(shù)的概念，數(shù)列的函數(shù)特性，等比數(shù)列】證明：由題意得，∴，∴eq\f(bn＋1＋1,bn＋1)＝2，又∵a1＝2b1＋1＝1，∴b1＝0，b1＋1＝1≠0.故數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.已知a，b，c是三條互不重合的直線，α，β是兩個不重合的平面，給出四個命題：①a∥b，b∥α，則a∥α；②a，b?α，a∥β，b∥β，則α∥β；③a⊥α，a∥β，則α⊥β；④a⊥α，b∥α，則a⊥b.其中正確命題的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4答案：B【知識點(diǎn)：直線與平面平行，直線與平面垂直，直線與直線平行，直線與直線垂直，平面與平面垂直】①因為a∥b，b∥α?a∥α或a?α，所以①不正確.②因為a，b?α，a∥β，b∥β，當(dāng)a與b相交時，才能α∥β，所以②不正確.③a∥β，過a作一平面γ，設(shè)γ∩β＝c，則c∥a，又a⊥α?c⊥α?α⊥β，所以③正確.④a⊥α，b∥α?a⊥b，所以④正確.綜上知③，④正確.答案為B2.a>0，b>0，則下列不等式中不成立的是()A.a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2)B.(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))≥4C.eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋bD.eq\f(2ab,a＋b)≥eq\r(ab)解：D【知識點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，不等式的證明】特殊法，取a＝1，b＝4，則D項不成立.答案是D3.p＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)，q＝eq\r(ma＋nc)·eq\r(\f(b,m)＋\f(d,n))，(m，n，a，b，c，d均為正數(shù))，則p與q的大小關(guān)系為________.答案：p≤q【知識點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，不等式的證明】p2＝ab＋cd＋2eq\r(abcd)，q2＝(ma＋nc)(eq\f(b,m)＋eq\f(d,n))＝ab＋eq\f(nbc,m)＋eq\f(mad,n)＋cd≥ab＋cd＋2eq\r(abcd)∴q2≥p2，∴p≤q.答案為：p≤q4.當(dāng)x∈(1，2)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是________.【知識點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，不等式的證明，函數(shù)與不等式】解：(－∞，－5]x2＋mx＋4<0?m<－x－eq\f(4,x)，∵y＝－(x＋eq\f(4,x))在(1，2)上單調(diào)遞增，∴－(x＋eq\f(4,x))∈(－5，－4)21，∴m≤－5.答案為(－∞，－5]5.在△ABC中，若a2＝b(b＋c)，求證：A＝2B.【知識點(diǎn)：余弦定理，三角形的邊角關(guān)系】證明：因為a2＝b(b＋c)，所以a2＝b2＋bc.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2－(b2＋bc),2bc)＝eq\f(c－b,2b).又因為cos2B＝2cos2B－1＝2(eq\f(a2＋c2－b2,2ac))2－1＝2(eq\f(b＋c,2a))2－1＝eq\f((b＋c)2－2a2,2a2)＝eq\f((b＋c)2－2b2－2bc,2b(b＋c))＝eq\f(c－b,2b).所以cosA＝cos2B.又因為A，B是三角形的內(nèi)角，所以A＝2B.6.如下圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分別是A1B，A1C的中點(diǎn)，點(diǎn)D在B1C1上，A1D⊥B1C.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.【知識點(diǎn)：直線與平面平行，直線與平面垂直，直線與直線平行，直線與直線垂直，平面與平面垂直】證明(1)由E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點(diǎn)，知EF∥BC，∵EF?平面ABC而BC?平面ABC.∴EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1為直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1，又A1D?平面A1B1C1，∴A1D⊥CC1，又A1D⊥B1C.CC1∩B1C＝C，又CC1，B1C?平面BB1C1C，∴A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，∴平面A1FD⊥平面BB1C1C.能力型師生共研1.設(shè)，且，則必有（）A.B.C.D.解：B【知識點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，不等式的證明】∵，∴，即，可排除A、D.又.故B正確.2.l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）A.l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B.l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C.l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D.l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面答案：B【知識點(diǎn)：直線與直線的位置關(guān)系】在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯；兩平行線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，B正確；相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯；共點(diǎn)的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯.答案為B3.已知，且，那么（）A.B.C.D.答案：D【知識點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，不等式的證明】∵y>x>0，且x＋y＝1，∴設(shè)y＝eq\f(3,4)，x＝eq\f(1,4)，則eq\f(x＋y,2)＝eq\f(1,2)，2xy＝eq\f(3,8)，∴x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y，故選D.4.已知直線l∥平面α，P∈α，那么過點(diǎn)P且平行于直線l的直線（）A.只有一條，不在平面α內(nèi)B.有無數(shù)條，不一定在平面α內(nèi)C.只有一條，且在平面α內(nèi)D.有無數(shù)條，一定在平面α內(nèi)解：C【知識點(diǎn)：直線與平面的位置關(guān)系】由直線l與點(diǎn)P可確定一個平面β，且平面α，β有公共點(diǎn)，因此它們有一條公共直線，設(shè)該公共直線為m，因為l∥α，所以l∥m，故過點(diǎn)P且平行于直線l的直線只有一條，且在平面α內(nèi).5.eq\r(3)－eq\r(2)________eq\r(2)－1.(填“＞”或“＜”)答案：＜【知識點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，不等式的證明】∵eq\f(1,\r(3)－\r(2))＝eq\f(\r(3)＋\r(2),(\r(3)－\r(2))(\r(3)＋\r(2)))＝eq\r(3)＋eq\r(2)，eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\f(\r(2)＋1,(\r(2)－1)(\r(2)＋1))＝eq\r(2)＋1，顯然eq\r(3)＋eq\r(2)＞eq\r(2)＋1，∴eq\r(3)－eq\r(2)＜eq\r(2)－1.6.已知sinx＝eq\f(\r(5),5)，x∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，則tan(x－eq\f(π,4))＝________.解：－3【知識點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正切公式】∵sinx＝eq\f(\r(5),5)，x∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，∴cosx＝－eq\r(\f(4,5))，∴tanx＝－eq\f(1,2)，∴tan(x－eq\f(π,4))＝eq\f(tanx－1,1＋tanx)＝－3.7.已知α、β為實(shí)數(shù)，給出下列三個論斷：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>2eq\r(2)，|β|>2eq\r(2).以其中的兩個論斷為條件，另一個論斷為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的命題是________.(用序號及“?”表示)答案：①③?②【知識點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，不等式的證明，絕對值不等式】∵αβ>0，|α|>2eq\r(2)，|β|>2eq\r(2).∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25.∴|α＋β|>5.8.在△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形.【知識點(diǎn)：正弦定理、余弦定理】證明：由A、B、C成等差數(shù)列，有2B＝A＋C.①因為A、B、C為△ABC的內(nèi)角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝eq\f(π,3).③由a、b、c成等比數(shù)列，有b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c，從而有A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝eq\f(π,3)，所以△ABC為等邊三角形.9.設(shè)a>0，f(x)＝eq\f(ex,a)＋eq\f(a,ex)在R上滿足f(x)＝f(－x)(1)求a的值；(2)證明f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù).【知識點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的增減性】解：(1)依題意，對一切x∈R有f(x)＝f(－x)，即eq\f(ex,a)＋eq\f(a,ex)＝eq\f(1,aex)＋aex，所以(a－eq\f(1,a))(ex－eq\f(1,ex))＝0對一切x∈R成立.由此可得a－eq\f(1,a)＝0，即a2＝1.又因為a>0，所以a＝1.(2)證明：設(shè)0<x1<x2，f(x1)－f(x2)＝ex1－ex2＋eq\f(1,ex1)－eq\f(1,ex2)＝(ex2－ex1)(eq\f(1,ex1＋x2)－1)＝(ex2－ex1)·eq\f(1－ex1＋x2,ex1＋x2).由x1>0，x2>0，得x1＋x2>0，ex2－ex1>0，1－ex1＋x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù).探究型多維突破1.如圖，在四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，下底ABCD是邊長為2的正方形，上底A1B1C1D1是邊長為1的正方形，側(cè)棱DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.(1)求證：B1B∥平面D1AC；(2)求證：平面D1AC⊥平面B1BDD1.【知識點(diǎn)：直線與平面平行，直線與平面垂直，直線與直線平行，直線與直線垂直，平面與平面垂直】證明：(1)設(shè)AC∩BD＝E，連接D1E，如圖∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.∴B1D1∥BE，∵B1D1＝BE＝eq\r(2)，∴四邊形B1D1EB是平行四邊形，所以B1B∥D1E.又因為B1B?平面D1AC，D1E?平面D1AC，所以B1B∥平面D1AC(2)側(cè)棱DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥DD1.∵下底ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵DD1與DB是平面B1BDD1內(nèi)的兩條相交直線，∴AC⊥平面B1BDD1，∵AC?平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面B1BDD1.2.已知數(shù)列{an}的首項a1＝5，Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*).(1)證明數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式an.【知識點(diǎn)：數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列】(1)證明：∵Sn＋1＝2Sn＋n＋5，∴Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋5(n≥2).∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1＝2an＋1(n≥2).∴eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝eq\f(2(an＋1),an＋1)＝2.又n＝1時，S2＝2S1＋1＋5，且a1＝5，∴S2＝16，a2＝S2－S1＝16－5＝11.又∵eq\f(a2＋1,a1＋1)＝eq\f(11＋1,5＋1)＝2.∴數(shù)列{an＋1}是以2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知，a1＋1＝6，an＋1＝6×2n－1＝3×2n，∴an＝3×2n－1.3.設(shè)a、b、c∈R＋，求證：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c).【知識點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，基本不等式，不等式的證明】證明：∵a2＋b2≥2ab，a、b∈R＋，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，∴a2＋b2≥eq\f((a＋b)2,2)，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b).同理：eq\r(b2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(b＋c)，eq\r(c2＋a2)≥eq\f(\r(2),2)(c＋a)，∴eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\f(\r(2),2)(2a＋2b＋2c)＝eq\r(2)(a＋b＋c).(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號)故eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c).（四）自助餐1.設(shè)0<x<1，則a＝eq\r(2x)，b＝1＋x，c＝eq\f(1,1－x)中最大的一個是（）A.aB.bC.cD.不能確定答案：C【知識點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，不等式的證明】∵0<x<1，∴b＝1＋x>2eq\r(x)>eq\r(2x)＝a，又eq\f(1,1－x)－(1＋x)＝eq\f(x2,1－x)>0，知eq\f(1,1－x)>1＋x∴c>b>a，最大的數(shù)為c.答案為C2.已知函數(shù)f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)，若f(a)＝b，則f(－a)等于（）A.bB.－bC.eq\f(1,b)D.－eq\f(1,b)答案：B【知識點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)，對數(shù)運(yùn)算】f(x)定義域為(－1，1)，f(－a)＝lgeq\f(1＋a,1－a)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－a,1＋a)))eq\s\up10(－1)＝－lgeq\f(1－a,1＋a)＝－f(a)＝－b.3.命題“如果數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n，那么數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列”是否成立（）A.不成立B.成立C.不能斷定D.與n取值有關(guān)答案：B【知識點(diǎn)：數(shù)列的前和公式，等差數(shù)列】當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝4n－5，又a1＝S1＝2×12－3×1＝－1適合上式.∴an＝4n－5(n∈N*)，則an－an－1＝4(常數(shù))，故數(shù)列{an}是等差數(shù)列.4.若a>b>0，c<d<0，則一定有（）A.eq\f(a,d)>eq\f(b,c)B.eq\f(a,d)<eq\f(b,c)C.eq\f(a,c)>eq\f(b,d)D.eq\f(a,c)<eq\f(b,d)答案：B【知識點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，不等式的證明】法一：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，則eq\f(a,c)＝－1，eq\f(b,d)＝－1，排除選項C，D；又eq\f(a,d)＝－eq\f(3,2)，eq\f(b,c)＝－eq\f(2,3)，所以eq\f(a,d)<eq\f(b,c)，所以選項A錯誤，選項B正確.法二：因為c<d<0，所以－c>－d>0，所以eq\f(1,－d)>eq\f(1,－c)>0.又a>b>0，所以eq\f(a,－d)>eq\f(b,－c)，所以eq\f(a,d)<eq\f(b,c).5.在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，則該三角形是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案：D【知識點(diǎn)：正弦定理，三角形形狀的判定】由sinAcosA＝sinBcosB得sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).所以該三角形是等腰或直角三角形.6.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)單調(diào)遞減，若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值()A.恒為負(fù)值B.恒等于零C.恒為正值D.無法確定正負(fù)答案：A【知識點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性，函數(shù)單調(diào)性】由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，則f(x1)＋f(x2)<0.答案為A7.命題“函數(shù)f(x)＝x－xlnx在區(qū)間(0，1)上是增函數(shù)”的證明過程“對函數(shù)f(x)＝x－xlnx求導(dǎo)，得f′(x)＝－lnx，當(dāng)x∈(0，1)時，f′(x)＝－lnx>0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上是增函數(shù)”，應(yīng)用了________的證明方法.答案：綜合法【知識點(diǎn)：分段函數(shù)，函數(shù)的增減性，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)】本命題的證明，利用題設(shè)條件和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，經(jīng)推理論證得到了結(jié)論，所以應(yīng)用的是綜合法的證明方法.8.角A，B為△ABC內(nèi)角，A>B是sinA>sinB的________條件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”).答案：充要【知識點(diǎn)：充要條件，正弦定理】在△ABC中，A>B?a>b，由正弦定理eq\f(a,sinA)