浙江省湖州、衢州、麗水2025年數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典模擬試題含解析

浙江省湖州、衢州、麗水2025年數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．2．已知為等腰三角形，滿足，，若為底上的動點(diǎn)，則A．有最大值 B．是定值 C．有最小值 D．是定值3．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底），若方程有且僅有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A． B． C． D．4．如圖1為某省2019年1~4月快遞義務(wù)量統(tǒng)計(jì)圖，圖2是該省2019年1~4月快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計(jì)圖，下列對統(tǒng)計(jì)圖理解錯(cuò)誤的是()A．2019年1~4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低，差值接近2000萬件B．2019年1~4月的業(yè)務(wù)量同比增長率超過50%，在3月最高C．從兩圖來看2019年1~4月中的同一個(gè)月快遞業(yè)務(wù)量與收入的同比增長率并不完全一致D．從1~4月來看，該省在2019年快遞業(yè)務(wù)收入同比增長率逐月增長5．已知雙曲線的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn).設(shè)到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且則雙曲線的方程為A． B．C． D．6．下列關(guān)于積分的結(jié)論中不正確的是（）A． B．C．若在區(qū)間上恒正，則 D．若，則在區(qū)間上恒正7．設(shè)函數(shù)，若不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．8．1-2x5展開式中的x3系數(shù)為（A．40 B．-40 C．80 D．-809．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的方程為，則曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是（）A． B． C． D．10．某單位為了了解用電量(度)與氣溫()之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對照表：氣溫()101318－1用電量(度)38342464由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程中的，預(yù)測當(dāng)氣溫為時(shí)，用電量度數(shù)約為（）A．64 B．65 C．68 D．7011．某單位為了了解用電量y（度）與氣溫x（℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對照表：氣溫x（℃）181310-1用電量（度）24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程，預(yù)測當(dāng)氣溫為-4℃時(shí)用電量度數(shù)為（）A．68 B．67 C．65 D．6412．已知結(jié)論：“在正三角形中，若是邊的中點(diǎn)，是三角形的重心，則．”若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：在棱長都相等的四面體中，若的中心為，四面體內(nèi)部一點(diǎn)到四面體各面的距離都相等，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為___________．14．設(shè)，則____________.15．有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從這10件產(chǎn)品中任取兩件，用表示取到次品的件數(shù)，則的概率是_______；_______．16．外接圓的半徑為1，圓心為O，且，，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）將正整數(shù)排成如圖的三角形數(shù)陣，記第行的個(gè)數(shù)之和為.（1）設(shè)，計(jì)算，，的值，并猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的猜想.18．（12分）設(shè)函數(shù),（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（2）記的最小值為，求的最大值．19．（12分）已知函數(shù)（且）的圖象過點(diǎn).（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若，對于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)，，若且對任意實(shí)數(shù)均有成立．（1）求表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)在處取得極大值為.（1）求的值；（2）求曲線在處的切線方程.22．（10分）（12分）某同學(xué)參加3門課程的考試。假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為45，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p，q(p＞qξ

0

1

2

3

p

6125a

b

24125(Ⅰ)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求數(shù)學(xué)期望Eξ。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

恒成立等價(jià)于恒成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為，對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)求其最大值，進(jìn)而得到答案?！驹斀狻亢愠闪⒌葍r(jià)于恒成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為，，令，則，所以當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減且，所以在上單調(diào)遞增，在上的單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，，所以故選B本題考查利用導(dǎo)函數(shù)解答恒成立問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于一般題。2、D【解析】

設(shè)是等腰三角形的高.將轉(zhuǎn)化為，將轉(zhuǎn)化為，代入數(shù)量積公式后，化簡后可得出正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)是等腰三角形的高，長度為.故.所以選D.本小題主要考查向量的線性運(yùn)算，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，還考查了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

首先需要根據(jù)方程特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù),將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，并根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷出函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再轉(zhuǎn)化成方程解的問題，最后利用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化成求切線斜率問題，從而根據(jù)斜率的幾何意義得到解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，，所以零點(diǎn)成對出現(xiàn)，依題意，方程有兩個(gè)不同的正根，又當(dāng)時(shí)，，所以方程可以化為：，即，記，，設(shè)直線與圖像相切時(shí)的切點(diǎn)為，則切線方程為，過點(diǎn)，所以或（舍棄），所以切線的斜率為，由圖像可以得.選D.本題考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，突顯了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的考查.屬中檔題.4、D【解析】

由題意結(jié)合所給的統(tǒng)計(jì)圖確定選項(xiàng)中的說法是否正確即可.【詳解】對于選項(xiàng)A：2018年1～4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低，差值為，接近2000萬件，所以A是正確的；對于選項(xiàng)B：2018年1～4月的業(yè)務(wù)量同比增長率分別為，均超過，在3月最高，所以B是正確的；對于選項(xiàng)C：2月份業(yè)務(wù)量同比增長率為53%，而收入的同比增長率為30%，所以C是正確的；對于選項(xiàng)D，1，2，3，4月收入的同比增長率分別為55%，30%，60%，42%，并不是逐月增長，D錯(cuò)誤.本題選擇D選項(xiàng).本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖及其應(yīng)用，新知識的應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5、A【解析】

分析：由題意首先求得A,B的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求得b的值，之后利用離心率求解a的值即可確定雙曲線方程.詳解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c>0），則，由可得：，不妨設(shè)：，雙曲線的一條漸近線方程為，據(jù)此可得：，，則，則，雙曲線的離心率：，據(jù)此可得：，則雙曲線的方程為.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可.6、D【解析】

結(jié)合定積分知識，對選項(xiàng)逐個(gè)分析可選出答案.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的奇函數(shù)，所以正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的偶函數(shù)，所以正確；對于選項(xiàng)C，因?yàn)樵趨^(qū)間上恒正，所以圖象都在軸上方，故正確；對于選項(xiàng)D，若，可知的圖象在區(qū)間上，在軸上方的面積大于下方的面積，故選項(xiàng)D不正確.故選D.本題考查了定積分，考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

求出函數(shù)的定義域、化簡不等式，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象，從而可得的范圍，得到答案．【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，不等式，即，即，兩邊除以，可得，又由直線恒過定點(diǎn)，若不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，即函數(shù)圖象有2個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)落在直線的上方，由圖象可知，這2個(gè)點(diǎn)為，可得，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選D．本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的綜合應(yīng)用，其中解答中把不等式的解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的關(guān)系，合理得出不等式組是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．8、D【解析】

由二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式，賦值即可求出?！驹斀狻?-2x5展開式的通項(xiàng)公式是T令r=3，所以x3系數(shù)為C53本題主要考查如何求二項(xiàng)式定理的展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)。9、B【解析】

設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合輔助角公式可得出曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.【詳解】設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，曲線上的一點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，取最小值，且，故選：B.本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，考查橢圓上的點(diǎn)到直線距離的最值問題，解題時(shí)可將橢圓上的點(diǎn)用參數(shù)方程表示，利用三角恒等變換思想求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.10、C【解析】

先求解出氣溫和用電量的平均數(shù)，然后將樣本點(diǎn)中心代入回歸直線方程，求解出的值，即可預(yù)測氣溫為時(shí)的用電量.【詳解】因?yàn)?，所以樣本點(diǎn)中心，所以，所以，所以回歸直線方程為：，當(dāng)時(shí)，.故選：C.本題考查回歸直線方程的求解以及利用回歸直線方程估計(jì)數(shù)值，難度較易.注意回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心.11、A【解析】

根據(jù)回歸直線方程過樣本中心點(diǎn)，計(jì)算出并代入回歸直線方程，求得的值，然后將代入回歸直線方程，求得預(yù)測的用電量度數(shù).【詳解】解：，，，線性回歸方程為：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)氣溫為時(shí)，用電量度數(shù)為68，故選A．本小題主要考查回歸直線方程過樣本中心點(diǎn)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】解：由平面圖形的性質(zhì)類比猜想空間幾何體的性質(zhì)，一般的思路是：點(diǎn)到線，線到面，或是二維變?nèi)S；由題目中“在正三角形ABC中，若D是邊BC中點(diǎn)，G是三角形ABC的重心，則AG：GD=2：1”，我們可以推斷：“在正四面體ABCD中，若M是底面BCD的中心，O是正四面體ABCD的中心，則AO：OM=3：1．”故答案為“在正四面體ABCD中，若M是底面BCD的中心，O是正四面體ABCD的中心，則AO：OM=3：1．”二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用定積分在幾何中的應(yīng)用解答；所求為計(jì)算可得．【詳解】解：由，得，將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為故答案為：本題考查了定積分的應(yīng)用；將旋轉(zhuǎn)得到幾何體的體積為，屬于基礎(chǔ)題．14、1023【解析】

分別將代入求解即可【詳解】將代入得；將代入得故故答案為1023本題考查二項(xiàng)式展開式中項(xiàng)的系數(shù)和，考查賦值法和方程的思想，是基礎(chǔ)題15、【解析】

表示兩件產(chǎn)品中，一個(gè)正品一個(gè)次品，可求概率；求出的所有取值，分別求出概率可得.【詳解】,根據(jù)題意的所有取值為；，，，故.本題主要考查隨機(jī)變量的期望，明確隨機(jī)變量的可能取值及分布列是求解關(guān)鍵.16、3【解析】

利用向量的運(yùn)算法則將已知等式化簡得到,得到BC為直徑,故為直角三角形,求出三邊長可得的值,利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求出的值.【詳解】,.,B,C共線,BC為圓的直徑,.,故.則,本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義,兩個(gè)向量垂直的充要條件、圓的直徑對的圓周角為直角,求出為直角三角形及三邊長,是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析．【解析】分析：直接計(jì)算，猜想：；（2）證明：①當(dāng)時(shí)，猜想成立.②設(shè)時(shí)，命題成立，即③證明當(dāng)時(shí)，成立。詳解：（1）解：，，，，猜想；（2）證明：①當(dāng)時(shí)，猜想成立.②設(shè)時(shí)，命題成立，即，由題意可知.所以，，所以時(shí)猜想成立.由①、②可知，猜想對任意都成立.點(diǎn)睛：推理與證明中，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)公式是常見的解法。根據(jù)題意先歸納猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想。數(shù)學(xué)歸納法證明必須有三步：①當(dāng)時(shí)，計(jì)算得出猜想成立.②當(dāng)時(shí)，假設(shè)猜想命題成立，③當(dāng)時(shí)，證明猜想成立。18、（1）單減區(qū)間為，單增區(qū)間（2）【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）由（1）可得的最小值，作為的函數(shù)，對求導(dǎo)，同樣利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系確實(shí)單調(diào)性后得最大值，只是確定的零點(diǎn)時(shí)，要先確定的單調(diào)性，然后才能說明零點(diǎn)的唯一性．【詳解】（1），單減區(qū)間為，單增區(qū)間．（2）由（1），容易得到在上單調(diào)遞減，時(shí)，，時(shí)，，所以在單增，單減，本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，一般由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間．要注意有時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)不易確定，可能還要對求導(dǎo)，以確定的單調(diào)性及零點(diǎn)有存在性．19、(Ⅰ)2；(Ⅱ).【解析】分析：（1）根據(jù)圖像過點(diǎn)求得參數(shù)值；（2）原不等式等價(jià)于，)恒成立，根據(jù)單調(diào)性求得最值即可.詳解：（Ⅰ），，或，，（舍去），.（Ⅱ），，，，則，，.則.點(diǎn)睛：函數(shù)題目經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值）.20、（1）；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)可以得到與的關(guān)系，將中代換成表示，再根據(jù)對任意實(shí)數(shù)均有成立，列出關(guān)于的不等式，求解得到的值，進(jìn)而得到的值，即可求得的表達(dá)式；（2）為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性與開口方向和對稱軸的關(guān)系，列出關(guān)于的不等關(guān)系，求解即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：(1）∵,∴．∵，∴，∴，∴．∵恒成立，∴∴∴，從而，∴．(2）．∵在上是單調(diào)函數(shù)，∴或，解得，或．∴的取值范圍為．點(diǎn)睛：本題考查了求導(dǎo)公式求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，考查了函數(shù)的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法，數(shù)形結(jié)合法解決，同時(shí)考查了二次函數(shù)的單調(diào)性問題，二次函數(shù)的單調(diào)性與開口方向和對稱軸有關(guān)，試題有一定的綜合性，屬于中檔試題.21、(1)；(2).【解析】分析：（1）由題意得到關(guān)于a,b的方程組