上海市張堰中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

上海市張堰中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知展開式的常數(shù)項(xiàng)為15，則（）A． B．0 C．1 D．-12．己知命題P：?jiǎn)挝幌蛄康姆较蚓嗤?，命題q：實(shí)數(shù)a的平方為負(fù)數(shù)。則下列說法正確的是A．是真命題 B．是真命題 C．是假命題 D．是假命題3．直線l：與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)弦AB最短時(shí)直線l的方程為A． B．C． D．4．已知函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．5．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．6．已知滿足，則（）A． B． C． D．7．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，第二步證明由到時(shí)，左邊應(yīng)加（）A． B． C． D．8．已知集合，則（）A． B． C． D．9．已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，則（）A． B． C．2 D．410．在平面四邊形，，，則四邊形的面積為（）A． B． C．15 D．11．已知命題p：函數(shù)的值域?yàn)镽；命題q：函數(shù)是R上的減函數(shù)．若p或q為真命題，p且q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．或12．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．1 B．3 C．4 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．類比初中平面幾何中“面積法”求三角形內(nèi)切圓半徑的方法，可以求得棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球半徑為__________．14．已知數(shù)列{2n－1·an}的前n項(xiàng)和Sn＝9－6n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________．15．設(shè)向量，.其中.則與夾角的最大值為________.16．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）給定橢圓，稱圓為橢圓的“伴隨圓”.已知點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)（1）若過點(diǎn)的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求被橢圓的伴隨圓所截得的弦長(zhǎng)：（2）是橢圓上的兩點(diǎn)，設(shè)是直線的斜率，且滿足，試問：直線是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不過定點(diǎn)，試說明理由。18．（12分）如圖1，已知四邊形BCDE為直角梯形，，，且，A為BE的中點(diǎn)將沿AD折到位置如圖，連結(jié)PC，PB構(gòu)成一個(gè)四棱錐．（Ⅰ）求證；（Ⅱ）若平面．①求二面角的大小；②在棱PC上存在點(diǎn)M，滿足，使得直線AM與平面PBC所成的角為，求的值．19．（12分）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若是純虛數(shù)，求.20．（12分）已知拋物線：，點(diǎn)為直線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，（1）證明，，三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列；（2）已知當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，求此時(shí)拋物線的方程；（3）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上，其中點(diǎn)滿足，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.21．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)存在不小于的極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知在中，角、、的對(duì)邊分別是、、，且．（1）求角的大小；（2）若的面積，，，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令的冪指數(shù)等于0，求得的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)為15，求得的值．【詳解】解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，由此求得，故選：．本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】

先判斷命題P，命題q均為假.再逐項(xiàng)判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】命題P：?jiǎn)挝幌蛄康姆较蚩梢允侨我獾?，假命題命題q：實(shí)數(shù)a的平方為非負(fù)數(shù)，假命題為假命題，A錯(cuò)誤為假命題，B錯(cuò)誤是真命題，C錯(cuò)誤是假命題，D正確故答案選D本題考查了命題的判斷，正確判斷命題的正誤是解決此類題型的關(guān)鍵.3、A【解析】

先求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，再求出弦AB最短時(shí)直線l的方程.【詳解】由題得，所以直線l過定點(diǎn)P.當(dāng)CP⊥l時(shí)，弦AB最短.由題得,所以.所以直線l的方程為.故選：A本題主要考查直線過定點(diǎn)問題，考查直線方程的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.4、D【解析】

求得導(dǎo)數(shù)，根據(jù)在上單調(diào)，得出或在上恒成立，分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解?！驹斀狻坑深}意，函數(shù)，則，因?yàn)?，在上單調(diào)，所以①當(dāng)在上恒成立時(shí)，在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，則在上恒成立，令，，則在為增函數(shù)，∴．②當(dāng)在上恒成立時(shí)，在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，則在上恒成立，同①可得，綜上，可得或．故選：D．本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值問題，用到了分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍，恒成立問題的處理及轉(zhuǎn)化與化歸思想是本題的靈魂，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于偏難題．5、A【解析】試題分析：由題意得，令，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故選A．考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判定．6、A【解析】，選A.7、D【解析】

當(dāng)成立，當(dāng)時(shí)，寫出對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，觀察計(jì)算即可得答案.【詳解】在第二步證明時(shí)，假設(shè)時(shí)成立，即左側(cè)，則成立時(shí)，左側(cè)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是，故選：D．本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查到成立時(shí)左邊項(xiàng)數(shù)的變化情況，考查理解與應(yīng)用的能力，屬于中檔題．8、C【解析】

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)集合化簡(jiǎn)得x|0＜x＜1}，然后求出A∩B即可．【詳解】＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝{1}，故選：C考查對(duì)數(shù)不等式的解法，以及集合的交集及其運(yùn)算．9、A【解析】

由題意，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，求的公比，進(jìn)而可求解，得到答案．【詳解】由題意得，，，公比，則，故選A．本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

首先根據(jù)得到，再求四邊形的面積即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以四邊形的面積.故選：C本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.11、C【解析】

分別求命題為真命題時(shí)的范圍，命題為真命題時(shí)的范圍；根據(jù)或?yàn)檎婷}，且為假命題，得到命題，中有一個(gè)真命題，一個(gè)假命題，分命題為真命題且命題為假命題和命題為真命題且命題為假命題兩類求出的范圍．【詳解】解：命題為真時(shí)，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實(shí)數(shù)，故二次函數(shù)的判別式，從而；命題為真時(shí)，解得．若或?yàn)檎婷}，且為假命題，故和中只有一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題．若為真，為假時(shí)，，無解；若為假，為真時(shí)，，解得；綜上可得，故選：．本題考查根據(jù)復(fù)合命題的真假得到構(gòu)成其簡(jiǎn)單命題的真假情況，屬于中檔題．12、C【解析】

令,可得,解方程,結(jié)合函數(shù)的圖象,可求出答案.【詳解】令,則,令,若,解得或,符合;若,解得,符合.作出函數(shù)的圖象,如下圖,時(shí),;時(shí),;時(shí),.結(jié)合圖象,若,有3個(gè)解;若,無解;若,有1個(gè)解.所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè).故選:C.本題考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查了函數(shù)的零點(diǎn),考查了學(xué)生的推理能力,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：先根據(jù)類比將正四面體分割成四個(gè)小三棱錐，再根據(jù)體積關(guān)系求內(nèi)切球半徑.詳解：設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為，各面面積為,所以.點(diǎn)睛：等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高或內(nèi)切球的半徑，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時(shí)，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值．14、an＝【解析】當(dāng)n＝1時(shí)，20·a1＝S1＝3，∴a1＝3.當(dāng)n≥2時(shí)，2n－1·an＝Sn－Sn－1＝－6.∴an＝－.∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.15、【解析】

由兩向量中的已知坐標(biāo)和未知坐標(biāo)間的關(guān)系，得出兩向量的終點(diǎn)的軌跡，運(yùn)用向量的夾角公式求解.【詳解】向量的終點(diǎn)都在以為圓心，1為半徑的圓上；向量的終點(diǎn)都在以為圓心，1為半徑的圓上；且為圓與圓的距離為1，如圖所示，兩向量的夾角最大，為.本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡和空間直角坐標(biāo)系中向量的夾角，屬于中檔題.16、【解析】

由復(fù)數(shù)乘法法則即可計(jì)算出結(jié)果【詳解】.本題考查了復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算，只需按照計(jì)算法則即可得到結(jié)果，較為簡(jiǎn)單三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解析】試題分析：（1）分析直線的斜率是否存在，若不存在不符合題意，當(dāng)存在時(shí)設(shè)直線，根據(jù)直線與圓的關(guān)系中弦心距，半徑，半弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形求解即可；（2）設(shè)直線的方程分別為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立得得同理，計(jì)算，同理因?yàn)?，可得，從而可證.試題解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上的點(diǎn).即橢圓伴隨圓得同理，計(jì)算當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)：顯然不滿足與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)直接的斜率存在時(shí)：設(shè)直線與橢圓聯(lián)立得由直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)得解得，由對(duì)稱性取直線即圓心到直線的距離為直線被橢圓的伴隨圓所截得的弦長(zhǎng)（2）設(shè)直線的方程分別為設(shè)點(diǎn)聯(lián)立得則得同理斜率同理因?yàn)樗匀c(diǎn)共線點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點(diǎn)，屬于難題．求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時(shí)，未給出直線時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用．18、Ⅰ詳見解析；Ⅱ①，②或．【解析】

Ⅰ可以通過已知證明出平面PAB，這樣就可以證明出；Ⅱ以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可以求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面PBC的法向量為、平面PCD的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求出二面角的大??；求出平面PBC的法向量，利用線面角的公式求出的值.【詳解】證明：Ⅰ在圖1中，，，為平行四邊形，，，，當(dāng)沿AD折起時(shí)，，，即，，又，平面PAB，又平面PAB，．解：Ⅱ以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由于平面ABCD則0，，0，，1，，0，，1，1，，1，，0，，設(shè)平面PBC的法向量為y，，則，取，得0，，設(shè)平面PCD的法向量b，，則，取，得1，，設(shè)二面角的大小為，可知為鈍角，則，．二面角的大小為．設(shè)AM與面PBC所成角為，0，，1，，，，平面PBC的法向量0，，直線AM與平面PBC所成的角為，，解得或．【點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直證明線線垂直，考查了利用向量數(shù)量積，求二面角的大小以及通過線面角公式求定比分點(diǎn)問題.19、（1）4；（2）.【解析】

（1）先求出，再根據(jù)，求出實(shí)數(shù)的值；（2）由已知得，再根據(jù)是純虛數(shù)求出a的值即得解.【詳解】（1）由已知得（2）由已知得是純虛數(shù)，,解得，.本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算和復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.20、(1)證明見解析；(2)；(3)存在一點(diǎn)滿足題意.【解析】

(1)設(shè),對(duì)求導(dǎo),則可求出在,處的切線方程,再聯(lián)立切線方程分析即可.

(2)根據(jù)(1)中的切線方程,代入則可得到直線的方程,再聯(lián)立拋物線求弦長(zhǎng)列式求解即可.(3)分情況,當(dāng)?shù)目v坐標(biāo)與兩種情況,求出點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式,再利用與垂直進(jìn)行求解分析是否存在即可.【詳解】(1)設(shè),對(duì)求導(dǎo)有,故在處的切線方程為,即,又,故同理在處的切線方程為,聯(lián)立切線方程有,化簡(jiǎn)得,即的縱坐標(biāo)為,因?yàn)椋?,三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列.

(2)同(1)有在處的切線方程為,因?yàn)?所以,即,又切線過,則,同理,故均滿足直線方程,即故直線,聯(lián)立,則,即,解得,故拋物線：.(3)設(shè),由題意得,則中點(diǎn),又直線斜率,故設(shè).又的中點(diǎn)在直線上,且中點(diǎn)也在直線上,代入得.又在拋物線上,則.所以或.即點(diǎn)或(1)當(dāng)時(shí),則,此時(shí)點(diǎn)滿足(2)當(dāng)時(shí),對(duì),此時(shí),則.又.,所以,不成立,對(duì),因?yàn)?此時(shí)直線平行于軸,又因?yàn)?故直線與直線不垂直,與題設(shè)矛盾,故時(shí),不存在符合題意的點(diǎn).綜上所述,僅存在一點(diǎn)滿足題意.本題考查了拋物線的雙切線問題,需要求出在拋物線上的點(diǎn)的切線方程,再根據(jù)拋物線雙切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算,同時(shí)要靈活運(yùn)用拋物線的方程,屬于難題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，然后令極值大于等于，解出不等式可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）構(gòu)造函數(shù)，問題等價(jià)于，對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合條件可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí)，令，得，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在時(shí)取得極小值，且極小值為.令，即，得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）當(dāng)時(shí)，問題等價(jià)于，記，由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，①當(dāng)時(shí)，由可知，所以成立；②當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)為恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而，命題成立.③當(dāng)時(shí)，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，記，則，當(dāng)時(shí)，，所以