2026版《優(yōu)化設(shè)計(jì)大一輪》高考數(shù)學(xué)（優(yōu)化設(shè)計(jì)新高考版）第4節(jié)隨機(jī)事件的概率與古典概型

第4節(jié)隨機(jī)事件的概率與古典概型高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破目錄索引0102課標(biāo)解讀1.結(jié)合具體實(shí)例,理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義,理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.2.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義,能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.3.理解古典概型,能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率.4.理解概率的性質(zhì),掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.5.會(huì)用頻率估計(jì)概率.強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分知識(shí)梳理1.樣本點(diǎn)和樣本空間(1)定義:我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的

稱為樣本點(diǎn),全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的

.(2)表示:一般地,我們用Ω表示樣本空間,用ω表示樣本點(diǎn).如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1,ω2,…,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}為有限樣本空間.基本結(jié)果樣本空間2.事件的分類

確定事件必然事件Ω作為自身的子集,包含了所有的樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生,所以Ω總會(huì)發(fā)生,我們稱Ω為必然事件不可能事件空集?不包含任何樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生,我們稱?為不可能事件隨機(jī)事件我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件基本事件把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件[教材知識(shí)深化]3.事件的關(guān)系與運(yùn)算

事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生A∪B或A+B交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B=?A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B=?,A∪B=Ω[教材知識(shí)深化]定義多個(gè)事件的和事件以及積事件.例如,對(duì)于三個(gè)事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C中至少一個(gè)發(fā)生,A∩B∩C(或ABC)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C同時(shí)發(fā)生.

頻率fn(A)P(A)(2)概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1:對(duì)任意的事件A,都有P(A)

;

性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=

,P(?)=

;

性質(zhì)3:如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=

;

性質(zhì)4:如果事件A與事件B互為對(duì)立事件,那么P(B)=

,P(A)=

;

性質(zhì)5:如果A?B,那么

,由該性質(zhì)可得,對(duì)于任意事件A,因?yàn)??A?Ω,所以0≤P(A)≤1;

性質(zhì)6:設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,有P(A∪B)=

.≥010P(A)+P(B)1-P(A)1-P(B)P(A)≤P(B)P(A)+P(B)-P(A∩B)微思考概率與頻率有什么區(qū)別?提示

(1)概率是一個(gè)確定的數(shù),是客觀存在的,與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān),它度量該事件發(fā)生的可能性;(2)頻率本身是隨機(jī)的,在試驗(yàn)前不能確定,做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)得到的事件的頻率不一定相同;(3)頻率是概率的近似值,在實(shí)際問(wèn)題中,僅當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí),頻率可近似地看作概率.5.古典概型(1)具有以下兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn),其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,簡(jiǎn)稱古典概型.①有限性:樣本空間的樣本點(diǎn)只有

;

②等可能性:每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性

.判斷一個(gè)試驗(yàn)是否是古典概型的關(guān)鍵點(diǎn)(2)古典概型的概率公式一般地,設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn),事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn),則定義事件A的概率P(A)=

.其中,n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).有限個(gè)相等

自主診斷一、基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)對(duì)立事件一定互斥,但互斥事件不一定對(duì)立.(

)(2)“在適宜條件下,種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型,其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.(

)(3)擲一枚硬幣兩次,出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”,這三個(gè)結(jié)果是等可能事件.(

)(4)從市場(chǎng)上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500±5g的袋裝食鹽中任取一袋測(cè)其重量,屬于古典概型.(

)√×××2.(人教A版必修第二冊(cè)10.1.3節(jié)例8改編)先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子2次,觀察向上的點(diǎn)數(shù),則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是

.

二、連線高考4.(2018·全國(guó)Ⅲ,文5)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為(

)A.0.3 B.0.4

C.0.6

D.0.7B解析

“只用現(xiàn)金支付”,“既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付”,“不用現(xiàn)金支付”這3個(gè)事件彼此互斥,且并事件為必然事件.設(shè)事件A=“不用現(xiàn)金支付”,則P(A)=1-0.45-0.15=0.4.

D

研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一隨機(jī)事件間關(guān)系的判斷例1(1)(2024·湖南岳陽(yáng)模擬)從1,2,3,4,5中任取2個(gè)數(shù),設(shè)事件A=“2個(gè)數(shù)都為偶數(shù)”,B=“2個(gè)數(shù)都為奇數(shù)”,C=“至少1個(gè)數(shù)為奇數(shù)”,D=“至多1個(gè)數(shù)為奇數(shù)”,則下列結(jié)論正確的是(

)A.A與B是互斥事件B.A與C是互斥但不對(duì)立事件C.B與D是互斥但不對(duì)立事件D.C與D是對(duì)立事件A解析

根據(jù)題意,樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},A={(2,4)},B={(1,3),(1,5),(3,5)},C={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},D={(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,5)},因?yàn)锳∩B=?,所以A與B是互斥事件,所以A正確;因?yàn)锳∩C=?,A∪C=Ω,所以A與C是互斥且對(duì)立事件,所以B錯(cuò)誤;因?yàn)锽∩D=?,B∪D=Ω,所以B與D是互斥且對(duì)立事件,所以C錯(cuò)誤;因?yàn)镃∩D={(1,2),(1,4),(3,2),(2,5),(3,4),(4,5)},所以C與D不是對(duì)立事件,所以D錯(cuò)誤.(2)(多選題)對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚炮彈,設(shè)A={兩次都擊中飛機(jī)},B={兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)},C={恰有一彈擊中飛機(jī)},D={至少有一彈擊中飛機(jī)},下列關(guān)系正確的有(

)A.A?D

B.B∩D=?C.A∪B=B∪D D.A∪C=DABD解析

用(x1,x2)表示試驗(yàn)的射擊情況,其中x1表示第1次射擊的情況,x2表示第2次射擊的情況,1表示擊中,0表示沒(méi)擊中,則樣本空間Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.由題意得,A={(1,1)},B={(0,0)},C={(0,1),(1,0)},D={(0,1),(1,0),(1,1)}.則A?D,A∪C=D,且B∩D=?.即A,B,D正確;又B∪D=Ω,A∪B={(0,0),(1,1)}≠Ω,∴A∪B≠B∪D.故C錯(cuò)誤.考點(diǎn)二隨機(jī)事件的頻率與概率例2

如圖,A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:所用時(shí)間/分鐘10~2020~3030~4040~5050~60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率;(2)分別求通過(guò)路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率;(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站,為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站,試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明,他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.

所用時(shí)間/分鐘10~2020~3030~4040~5050~60L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1(3)設(shè)事件A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí),在40分鐘內(nèi)趕到火車站;B1,B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí),在50分鐘內(nèi)趕到火車站.結(jié)合(2)中表格知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0+0.1+0.4=0.5.∵P(A1)>P(A2),∴甲應(yīng)選擇L1.同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0+0.1+0.4+0.4=0.9.∵P(B1)<P(B2),∴乙應(yīng)選擇L2.考點(diǎn)三互斥事件與對(duì)立事件的概率例3

某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中,購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券,多購(gòu)多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)單位,設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè),一等獎(jiǎng)10個(gè),二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率;(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1]經(jīng)統(tǒng)計(jì),在服務(wù)場(chǎng)所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下:

排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少?(2)至少3人排隊(duì)等候的概率是多少?解

記“0人排隊(duì)等候”為事件A,“1人排隊(duì)等候”為事件B,“2人排隊(duì)等候”為事件C,“3人排隊(duì)等候”為事件D,“4人排隊(duì)等候”為事件E,“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F,則事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G,則G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法一)記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H,則H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.