浙江省嘉興三中2025屆高二下數(shù)學期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

浙江省嘉興三中2025屆高二下數(shù)學期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中，，是的中點，若，則（）.A． B． C． D．2．下列命題中，真命題是（）A． B．C．的充要條件是 D．是的充分條件3．數(shù)列，滿足，，，則數(shù)列的前項和為（）．A． B． C． D．4．有位同學按照身高由低到高站成一列，現(xiàn)在需要在該隊列中插入另外位同學，但是不能改變原來的位同學的順序，則所有排列的種數(shù)為（）A． B． C． D．5．已知隨機變量，的分布列如下表所示，則（）123123A．， B．，C．， D．，6．如圖是某陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的體積為（）A． B．C． D．7．下列命題中：①“x>y”是“x②已知隨機變量X服從正態(tài)分布N3，??③線性回歸直線方程y=bx+④命題“?x∈R，x2+x+1>0其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函數(shù)f（x）＝（mx﹣1）ex﹣x2，若不等式f（x）＜0的解集中恰有兩個不同的正整數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍（）A． B．C． D．9．已知，，的實部與虛部相等，則（）A．2 B． C．2 D．10．已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．11．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是A．3 B．4 C． D．12．正方體中，若外接圓半徑為，則該正方體外接球的表面積為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有甲、乙、丙三項不同任務，甲需由人承擔，乙、丙各需由人承擔，從人中選派人承擔這三項任務，不同的選法共有__________種．（用數(shù)字作答）14．已知復數(shù)，，若為純虛數(shù)，則_____.15．已知向量，，且在上的投影為3，則與夾角為__________．16．已知實數(shù)x，y滿足條件，則z=x+3y的最小值是_______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知18．（12分）已知函數(shù)的最大值為4.（1）求實數(shù)的值；（2）若，求的最小值.19．（12分）（學年上海市楊浦區(qū)高三數(shù)學一模）如圖所示，用總長為定值的籬笆圍成長方形的場地，以墻為一邊，并用平行于一邊的籬笆隔開.（1）設場地面積為，垂直于墻的邊長為，試用解析式將表示成的函數(shù)，并確定這個函數(shù)的定義域；（2）怎樣圍才能使得場地的面積最大？最大面積是多少？20．（12分）“蛟龍?zhí)枴睆暮５字袔Щ啬撤N生物，甲乙兩個生物小組分別獨立開展對該生物離開恒溫箱的成活情況進行研究，每次試驗一個生物，甲組能使生物成活的概率為，乙組能使生物成活的概率為，假定試驗后生物成活，則稱該次試驗成功，如果生物不成活，則稱該次試驗是失敗的．(1)甲小組做了三次試驗，求至少兩次試驗成功的概率；(2)若甲乙兩小組各進行2次試驗，求兩個小組試驗成功至少3次的概率．21．（12分）大型綜藝節(jié)目,《最強大腦》中，有一個游戲叫做盲擰魔方，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方，盲擰在外人看來很神奇，其實原理是十分簡單的，要學會盲擰也是很容易的根據(jù)調(diào)查顯示，是否喜歡盲擰魔方與性別有關為了驗證這個結(jié)論，某興趣小組隨機抽取了50名魔方愛好者進行調(diào)查，得到的情況如表所示，并邀請其中20名男生參加盲擰三階魔方比賽，其完成情況如表所示．（Ⅰ）將表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為是否喜歡盲擰與性別有關？（Ⅱ）現(xiàn)從表中成功完成時間在和這兩組內(nèi)的6名男生中任意抽取2人對他們的盲擰情況進行視頻記錄，求2人成功完成時間恰好在同一組內(nèi)的概率．附參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．22．（10分）被嘉定著名學者錢大昕贊譽為“國朝算學第一”的清朝數(shù)學家梅文鼎曾創(chuàng)造出一類“方燈體”，“燈者立方去其八角也”，如圖所示，在棱長為的正方體中，點為棱上的四等分點.（1）求該方燈體的體積；（2）求直線和的所成角；（3）求直線和平面的所成角．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

作出圖象，設出未知量，在中，由正弦定理可得，進而可得，在中，還可得，建立等式后可得，再由勾股定理可得，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，設，，，，在中，由正弦定理可得，代入數(shù)據(jù)解得，故，而在中，，故可得，化簡可得，解之可得，再由勾股定理可得，聯(lián)立可得，故在中，，故選：D．本題考查正弦定理的應用，涉及三角函數(shù)的誘導公式以及勾股定理的應用，屬于中檔題．2、D【解析】A：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知恒成立，所以A錯誤．

B：當時，，所以B錯誤．

C：若時，滿足，但不成立，所以C錯誤．D：則，由充分必要條件的定義，，是的充分條件，則D正確．

故選D．3、D【解析】

由題意是數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列的等比數(shù)列，分別求出它們的通項，再利用等比數(shù)列前項和公式即可求得.【詳解】因為，，所以數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列的等比數(shù)列，因此，，數(shù)列的前項和為：.故選：.本題主要考查的是數(shù)列的基本知識，等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列的求和公式的應用，是中檔題.4、C【解析】

將問題轉(zhuǎn)化為將這個同學中新插入的個同學重新排序，再利用排列數(shù)的定義可得出答案．【詳解】問題等價于將這個同學中新插入的個同學重新排序，因此，所有排列的種數(shù)為，故選C.本題考查排列問題，解題的關鍵就是將問題進行等價轉(zhuǎn)化，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學思想的應用，屬于中等題．5、C【解析】

由題意分別求出Eξ，Dξ，Eη，Dη，由此能得到Eξ＜Eη，Dξ＞Dη．【詳解】由題意得：Eξ，Dξ．Eη，Dη＝（）2（2）2（3）2，∴Eξ＜Eη，Dξ=Dη．故選：C．本題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望、方差的求法，考查運算求解能力，是中檔題．6、C【解析】

幾何體上部分為圓柱，下部分為圓錐，代入體積公式計算即可.【詳解】解：幾何體上部分為圓柱，下部分為圓錐，

其中圓柱的底面半徑為1，高為2，圓錐的底面半徑為1，高為1，所以幾何體的體積.

故選：C.本題考查了常見幾何體的三視圖與體積的計算，屬于基礎題.7、B【解析】

①充要條件即等價條件，不等價則不充要；②根據(jù)正態(tài)分布的特征，且μ=3，得到P(X≤0)=P(X≥6)=1-P(X≤6)，判斷其正確；③根據(jù)回歸直線的特征，得出其正確；④寫出命題p的否定?p，判定其錯誤；最后得出結(jié)果.【詳解】對于①，由x>y≥0，可以推出x2>y2，充分性成立，x2對于②，根據(jù)題意得P(X≤0)=P(X≥6)=1-P(X≤6)=1-0.72=0.28，所以②正確；對于③，根據(jù)回歸直線一定會過樣本中心點，所以③正確；對于④，命題“?x∈R，x2所以正確命題有兩個，故選B.該題考查的是有關判斷命題的正誤的問題，涉及到的知識點有充要條件，正態(tài)分布，含有一個量詞的命題的否定，回歸直線方程的特征，屬于簡單題目.8、C【解析】

令，化簡得，構(gòu)造函數(shù)，畫出兩個函數(shù)圖像，結(jié)合兩個函數(shù)圖像以及不等式解的情況列不等式組，解不等式組求得的的取值范圍.【詳解】有兩個正整數(shù)解即有兩個不同的正整數(shù)解，令，，故函數(shù)在區(qū)間和上遞減，在上遞增，畫出圖像如下圖所示，要使恰有兩個不同的正整數(shù)解等價于解得故，選C.本小題主要考查不等式解集問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.9、C【解析】

利用待定系數(shù)法設復數(shù)z，再運用復數(shù)的相等求得b.【詳解】設（），則即.故選C.本題考查用待定系數(shù)法，借助復數(shù)相等建立等量關系，是基礎題.10、D【解析】

可以得出，從而得出c＜a，同樣的方法得出a＜b，從而得出a，b，c的大小關系．【詳解】,,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到a>c,,又因為，，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到a<b,∴c＜a，且a＜b；∴c＜a＜b．故選D．考查對數(shù)的運算性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．比較兩數(shù)的大小常見方法有：做差和0比較，做商和1比較，或者構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性得到結(jié)果.11、B【解析】

解析：考察均值不等式，整理得即，又，12、C【解析】

設正方體的棱長為，則是邊長為的正三角形，求得其外接圓的半徑，求得的值，進而求得球的半徑，即可求解球的表面積，得到答案．【詳解】如圖所示，設正方體的棱長為，則是邊長為的正三角形，設其外接圓的半徑為，則，即，由，得，所以正方體的外接球的半徑為，所以正方體的外接球的表面積為，故選C．本題主要考查了求得表面積與體積的計算問題，同時考查了組合體及球的性質(zhì)的應用，其中解答中根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用球的性質(zhì)，求得球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60【解析】分析：先從5人中選4人（組合），再給4個人分派3項任務，甲需2人，乙、丙各需由人。詳解：先從5人中選4人（組合），再給4個人分派3項任務，甲需2人，乙、丙各需由人（乙、丙派的人不一樣故要排列）。共有60種。點睛：分配問題，先分組（組合）后分派（排列）。14、【解析】

化簡，令其實部為0，可得結(jié)果.【詳解】因為，且為純虛數(shù)，所以，即.本題主要考查復數(shù)的除法運算以及復數(shù)為純虛數(shù)的等價條件.15、【解析】

根據(jù)投影公式，求得，進而得到，再由夾角公式得解．【詳解】解：因為，，，由公式在上的投影為得，，求解得，所以，即由向量夾角公式，因為則與夾角．故答案為：．本題考查平面向量的數(shù)量積及投影公式的運用，考查向量夾角的求法，考查邏輯推理能力及運算求解能力，屬于基礎題．16、-5【解析】作可行域,則直線z=x+3y過點A(1,-2)取最小值-5點睛：線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數(shù)所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

把z1、z2代入關系式，化簡即可【詳解】，復數(shù)的運算，難點是乘除法法則，設，則，.18、（1）；（2）.【解析】【試題分析】(1)利用絕對值不等式,消去,可求得實數(shù)的值.(2)由(1)得.利用配湊法,結(jié)合基本不等式可求得最小值.【試題解析】（1）由，當且僅當且當時取等號，此時取最大值，即；（2）由（1）及可知，∴，則，（當且僅當，即時，取“=”）∴的最小值為4.19、（1），；（2）時，.【解析】（1）設平行于墻的邊長為，則籬笆總長，即，∴場地面積，.（2），，∴當且僅當時，.綜上，當場地垂直于墻的邊長為時，最大面積為.20、（1）；（2）【解析】

（1）“三次試驗中至少兩次試驗成功”是指三次試驗中，有2次試驗成功或3次試驗全部成功，先計算出2次與3次成功的概率，相加即可得到所要求的概率．（2）分成功3次，4次兩種情況求其概率相加即可【詳解】(1)設“甲小組做了三次實驗，至少兩次試驗成功”為事件A，則其概率為.(2)設“甲乙兩小組試驗成功3次”為事件B，則，設“甲乙兩小組試驗成功4次”為事件C，則，故兩個小組試驗成功至少3次的概率為.本題考查概率的求法，考查n次獨立重復試驗某事件恰好發(fā)生k次的概率、相互獨立事件的概率乘法公式，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．21、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）根據(jù)總?cè)藬?shù)和表格中的數(shù)據(jù)可以完成，計算卡方觀測值，結(jié)合卡方觀測值所在區(qū)間判定；（Ⅱ）根據(jù)古典概型的求解方法求解.【詳解】解：Ⅰ依題意，補充完整的表1如下：喜歡盲擰不喜歡盲擰總計男23730女91120總計321850由表中數(shù)據(jù)計算的觀測值為所以能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為是否喜歡盲擰與性別有關．(Ⅱ)從成功完成時間在和這兩組內(nèi)的6名男生中任意抽取2人，基本事件總數(shù)為種，這2人恰好在同一組內(nèi)的基本事件為種，故所求的概率為．本題主要考查獨立性檢驗和古典概率的求解，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析，數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).22、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）計算出八個角（即八個三棱錐）的體積之和，然后利用正方體的體積減去這八個角的體積之和即可得出方燈體的體積；（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系