機器人學導論 課件 第二章-2.4節(jié)-速度雅可比

第2章機器人運動學2.4節(jié)速度雅可比第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）103機器人技術(shù)基礎22.4.1剛體的線速度和角速度2.4.2操作臂連桿的運動速度2.4.3速度雅可比2.4.4奇異性本節(jié)目錄時變位置的符號表示——線速度32025/6/1若{B}中有一時變矢量BQ（t）設有兩坐標系{A}、{B}{A}{B}Q則，其在{B}中的速度表達為：其在{A}中的速度表達為：

（速度是自由矢量）剛體的線速度42025/6/1{B}原點在{A}中的向量為APBORG；{B}相對于{A}僅有平移運動；{B}中有一向量BQ，相對于{B}原點的線速度為BVQ；求Q相對于{A}的線速度AVQ已知兩剛體，各自的固聯(lián)坐標系為{A}和{B}AVQ由兩個速度向量合成得到：AVQ注意：為求解AVQ，所有矢量都必須轉(zhuǎn)換到{A}坐標系中表達AVQ是相對于{A}的速度，需要用到速度矢量合成計算質(zhì)點相對參考坐標系的運動坐標系之間的相對平動時變位置的符號表示——角速度52025/6/1點的相對運動只有線速度、而沒有角速度剛體之間的相對運動既有線速度、又有角速度角速度一定指兩個剛體坐標系之間的相對轉(zhuǎn)動速度角速度表示符號Ω注意：AΩB為一向量，其方向表示{B}相對于{A}旋轉(zhuǎn)的瞬時旋轉(zhuǎn)軸，其大小為旋轉(zhuǎn)速率（回顧等效軸角姿態(tài)表示）；角速度也可以在不同坐標系描述，如：C(AΩB)為{B}相對于{A}的角速度在{C}中的描述；ωC=UΩC表示{C}相對于參考坐標系{U}的角速度設有兩個剛體坐標系{A}、{B}，原點重合，僅有相對轉(zhuǎn)動，則它們之間的角速度為：剛體的角速度62025/6/1{A}、{B}原點重合；{B}相對于{A}僅有旋轉(zhuǎn)運動，旋轉(zhuǎn)角速度為AΩB；{B}中有一向量BQ，相對于{B}原點的線速度為BVQ；求Q相對于{A}的線速度AVQ已知兩剛體，各自的固聯(lián)坐標系為{A}和{B}首先假設Q在{B}中固定不動，即：但是，由于{B}相對于{A}的旋轉(zhuǎn)AΩB，AVQ顯然不等于零72025/6/1從{A}觀察Q的變化情況，如右圖AQ(t)AQ(t+Δt)AQ(t)繞AΩB右圖軸轉(zhuǎn)動，下一時刻到達AQ(t+Δt)顯然，AQ(t)和AQ(t+Δt)是以坐標系原點為頂點、AΩB為軸線的圓錐上的兩條母線AQ的微分增量Δ一定垂直于AQ和AΩB，且其大小為：其中：θ為AQ與AΩB的夾角于是，AVQ的大小為：方向遵循右手定則，垂直于AQ和AΩB實際上，AVQ垂直等于AQ、AΩB的叉乘：剛體的角速度82025/6/1如果考慮Q的相對于{B}的變化，即：則：于是，若：則：利用旋轉(zhuǎn)變換，把已知變量變換到{A}坐標系，得：質(zhì)點相對參考坐標系的運動坐標系之間的相對轉(zhuǎn)動回顧叉乘計算方法：剛體的角速度角速度矢量的意義92025/6/1假設通過等效軸-角變換獲得該矩陣剛體{B}相對于{A}的姿態(tài)矩陣為R

K為旋轉(zhuǎn)矢量

假設經(jīng)過小時間間隔Δt，轉(zhuǎn)軸不變，而轉(zhuǎn)角為Δθ則可定義角速度矢量可以把角速度矢量簡單理解為剛體{B}繞瞬時轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的時，轉(zhuǎn)角對時間的導數(shù)與單位轉(zhuǎn)軸矢量的乘積102025/6/1

對右圖所示的{i+1}坐標系，有：角速度矢量的意義線速度與角速度的綜合112025/6/1綜合{A}和{B}純平動和純轉(zhuǎn)動：得：AVBORF≠0BVQ≠0AΩB≠0如果兩剛體{A}和{B}之間既有平動，也有轉(zhuǎn)動，且{B}中向量Q相對于{B}有運動，即：

AVBORG

≠0AΩB

≠0BVQ

≠0純平動純轉(zhuǎn)動質(zhì)點相對參考坐標系的運動坐標系之間的相對轉(zhuǎn)動坐標系之間的相對平動注意：此式中，線速度矢量AVBORG、BVQ和位置矢量BQ很容易獲得，而如何獲得角速度矢量卻不明確122.4.1剛體的線速度和角速度2.4.2操作臂連桿的運動速度2.4.3速度雅可比2.4.4奇異性本節(jié)目錄機器人連桿運動——迭代計算132025/6/1以坐標系{0}為參考坐標系，則各連桿{i}在坐標系{0}中的速度表示為：任一瞬時，連桿{i}的速度矢量如下圖所示線速度：υi角速度：ωi圖中線速度和角速度均定義在連桿坐標系{i}中線速度：iυi角速度：

iωi連桿{i}軸線{i}機器人連桿運動——迭代計算142025/6/1考慮右圖通過轉(zhuǎn)動關節(jié)連接的兩個連桿：在{i}坐標系中考察{i+1}桿的角速度

iωi+1

iωi+1包含兩項：連桿{i}的角速度：

把第二項轉(zhuǎn)換到{i}坐標系，兩項相加，可得：機器人連桿運動——迭代計算152025/6/1

在{i}坐標系中考察{i+1}桿坐標原點的線速度

iυi+1

兩項相加，可得：iυi+1包含兩項：連桿{i}的線速度：關節(jié)i的角速度iωi引起的線速度：轉(zhuǎn)換到{i+1}坐標系：機器人連桿運動——迭代計算162025/6/1同樣地，可以寫出{i+1}為移動關節(jié)的速度迭代公式{i+1}為轉(zhuǎn)動關節(jié)的速度迭代公式根據(jù)上述迭代公式，即可從基坐標{0}開始，根據(jù)連桿參數(shù)和相鄰連桿之間的旋轉(zhuǎn)矩陣，依次求出各連桿在自身坐標系中的速度

迭代計算——實例172025/6/1建立各連桿坐標系，如下圖求右圖平面2R機器人的末端速度：各相鄰連桿之間的齊次變換矩陣為：注意利用了旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)置從基座到末端的旋轉(zhuǎn)矩陣依次為：坐標系平移矢量和基座速度矢量：迭代計算——實例182025/6/1坐標系{1}：利用轉(zhuǎn)動關節(jié)的迭代公式，依次計算各桿在自身坐標系下的速度：已知：迭代計算——實例192025/6/1坐標系{2}：利用迭代公式，依次計算各桿在自身坐標系下的速度：已知：迭代計算——實例202025/6/1坐標系{3}：利用迭代公式，依次計算各桿在自身坐標系下的速度：已知：迭代計算——實例212025/6/1則：

迭代計算結(jié)果的矩陣表達222025/6/1觀察0υ3和0ω3的矩陣表達式把關節(jié)速度提出，并寫成矩陣相乘的形式：迭代計算結(jié)果的矩陣表達232025/6/1把線速度與角速度合并成一個列向量，得：2R平面機器人的速度雅可比矩陣上式為2R平面機器人末端的速度正運動學模型它表明關節(jié)速度與末端速度呈線性關系！242.4.1剛體的線速度和角速度2.4.2操作臂連桿的運動速度2.4.3速度雅可比2.4.4奇異性本節(jié)目錄雅可比矩陣的數(shù)學定義252025/6/1設應變量Y=[y1,y2,y3,y4,y5,y6]T、自變量X=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]T雅可比矩陣J函數(shù)關系微分關系矩陣形式標量形式機器人速度雅可比J機器人速度雅可比矩陣——微分法262025/6/1例題：求右圖所示3R平面機器人的速度雅可比矩陣建立D-H坐標系如右下圖所示機器人正運動學模型（末端{T}的位姿矩陣）末端位置向量末端姿態(tài)矩陣寫成函數(shù)形式末端位置函數(shù)末端姿態(tài)函數(shù)機器人速度雅可比矩陣——微分法272025/6/1上式對

1、

2、

3取微分，得：把上式寫成時間導數(shù)的形式：速度雅可比矩陣J上式的矩陣形式為：機器人速度雅可比矩陣——微分法282025/6/1速度雅可比矩陣J

上式的矩陣形式為：速度雅可比矩陣的意義

292025/6/1建立了機器人關節(jié)速度矢量與末端速度矢量的線性映射

左上標0表示相對于基坐標系，Θ表示關節(jié)矢量速度雅可比矩陣的意義

302025/6/1不同坐標系之間的雅可比矩陣關系例：已知坐標系{B}中的雅可比矩陣，以及坐標系{A}、{B}的旋轉(zhuǎn)矩陣312.4.1剛體的線速度和角速度2.4.2操作臂連桿的運動速度2.4.3速度雅可比2.4.4奇異性本節(jié)目錄奇異性分析

322025/6/1雅可比矩陣的逆如果雅可比矩陣可逆，則可以根據(jù)末端速度矢量，直接得出關節(jié)速度矢量在實現(xiàn)機器人直角坐標軌跡控制時，需要使用雅可比的逆雅可比矩陣一定可逆（非奇異）嗎？雅可比矩陣的可逆性在機器人的整個工作空間都一致嗎？工作空間邊界——機器人完全展開或收回工作空間內(nèi)部——兩個或兩個以上關節(jié)軸共線/平行奇異位形問題——工作空間中雅可比矩陣不可逆的位形奇異位形的幾何意義332025/6/1奇異位形實例對于如右圖所示的2R平面機器人，已知末端相對于坐標系{3}的雅可比矩陣的線速度項為：顯然，當θ=0°或180°時：則，雅可比矩陣的行列式為：當桿完全伸直或收回時，末端只能沿Y3方向移動，而不能沿X3方向移動屬于工作空間邊界奇異位形奇異性分析

342025/6/1奇異位形實例在末端相對于{0}坐標系的雅可比矩