7.3.1 離散型隨機變量的均值 課件(共16張)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊人教A版

溫故知新：

一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，

???，xn，我們稱X取每一個值xi的概率為X的概率分布列(listofprobabilitydistribution)，簡稱分布列.1.離散型隨機變量的分布列根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機變量分布列具有下述兩個性質(zhì)：2.離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)7.3.1離散型隨機變量的均值7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征離散型隨機變量的分布列全面地刻畫了這個隨機變量的取值規(guī)律.但在解決有些實際問題時，直接使用分布列并不方便，例如，要比較不同班級某次考試成績，通常會比較平均成績；要比較兩名射箭運動員的射箭水平，一般會比較他們射箭的成績(平均環(huán)數(shù)或總環(huán)數(shù))以及穩(wěn)定性.因此，類似于研究一組數(shù)據(jù)的均值和方差，我們也可以研究離散型隨機變量的均值和方差，它們統(tǒng)稱為隨機變量的數(shù)字特征.問題1：甲、乙兩名射箭運動員射中目標(biāo)箭靶的環(huán)數(shù)的分布列如下表所示.環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比較他們射箭水平的高低呢?類似兩組數(shù)據(jù)的比較，首先比較擊中的平均環(huán)數(shù)，如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性.環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2假設(shè)甲射箭n次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為甲n次射箭射中的平均環(huán)數(shù)為當(dāng)n足夠大時，頻率穩(wěn)定于概率，所以穩(wěn)定于即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值(理論平均值)為9，這個平均值的大小可以反映甲運動員的射箭水平.同理，乙射中環(huán)數(shù)的平均值為從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高.2.隨機變量的均值一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示，Xx1x2???xnPp1p2???pn則稱為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望.均值是隨機變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的平均水平.例1：在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運動員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值是多少?

由題意得，X的分布列為解：即該運動員罰球1次的得分X的均值是0.8.一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么例2：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)為X，求X的均值.由題意得，X的分布列為：

解：

即點數(shù)X的均值是3.5.觀察：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點數(shù)X的均值為3.5.隨機模擬這個試驗，重復(fù)60次和重復(fù)300次各做6次，觀測出現(xiàn)的點數(shù)并計算平均數(shù).根據(jù)觀測值的平均數(shù)(樣本均值)繪制統(tǒng)計圖，分別如圖(1)和(2)所示.觀察圖形，在兩組試驗中，隨機變量的均值與樣本均值有何聯(lián)系與區(qū)別?

觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)：在這12組擲骰子試驗中，樣本均值各不相同，但它們都在擲出點數(shù)X的均值3.5附近波動，且重復(fù)擲300次的樣本均值波動幅度明顯小于重復(fù)60次的.事實上，隨機變量的均值是一個確定的數(shù)，而樣本均值具有隨機性，它圍繞隨機變量的均值波動.隨著重復(fù)試驗次數(shù)的增加，樣本均值的波動幅度一般會越來越小，因此，我們常用隨機變量的觀測值的均值去估計隨機變量的均值.

探究：如果X是一個離散型隨機變量，X加一個常數(shù)或乘一個常數(shù)后，其均值會怎樣變化?即E(X＋b)和E(aX)(其中a,b為常數(shù))分別與E(X)有怎樣的關(guān)系?設(shè)X的分布列為根據(jù)隨機變量均值的定義，類似地，可以證明一般地，下面的結(jié)論成立：解：

請看課本P66：練習(xí)1，21.已知隨機變量X的分布列為X12345P0.10.30.40.10.1(1)求E(X)；(2)求E(3X+2).解：2.拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，求得分X的均值.由題意可得，X的可能取值為0，1000，3000，6000，則X的分布列為

解：

例3：猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對時獲得相應(yīng)的公益基金如表7.3-3所示.規(guī)則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首.求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.歌曲ABC猜對的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000X的均值為例4：根據(jù)天氣預(yù)報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元.為保護設(shè)備，有以下3種方案:方案1：運走設(shè)備，搬運費為3800元；方案2：建保護圍墻，建設(shè)費為2000元，但圍墻只能防小洪水；方案3：不采取措施.

工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢?

解：

設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為X1，X2，X3.采用方案1，有采用方案2，有采用方案3，有∴從期望損失最小的角度，應(yīng)采取方案2.

值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“期望總損失”而得出的.一般地，我們可以這樣來理解“期望總損失”：如果問題中的天氣狀況多次發(fā)生，那么采用方案2將會使總損失減到最小.不過，因為洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機的，所以對于個別的一次決策，采用方案2也不一定是最好的.解：3.甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同一種零件，它們生產(chǎn)的產(chǎn)量相同，在1h內(nèi)生產(chǎn)出的次品數(shù)分別為X1，X2，其分布列分別為甲機床次品數(shù)的分布列乙機床次品數(shù)的分布列X10123P0.40.30.20.1X2012P0.30.50.2哪臺機床更好?請解釋你所得出結(jié)論的實際含義.

由此可知，1h內(nèi)甲機床平均生產(chǎn)1個次品，乙機床平均生產(chǎn)0.9個次品，所以乙機床相對更好.

請看課本P67：