四川省成都市經(jīng)開區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試試題含解析

四川省成都市經(jīng)開區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)S兩顆均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于（）A． B． C． D．2．若,則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．3．設(shè)集合，集合，則（）A． B． C． D．4．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積為，則的值為（）A． B． C． D．5．若，則“成等比數(shù)列”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，都有恒成立，且，則使成立的實(shí)數(shù)的集合為（）A． B．C． D．7．已知i為虛數(shù)單位，z，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．﹣2i B．2i C．2 D．﹣28．若函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，則等于（）A．-1 B．0 C．1 D．10．已知函數(shù)存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．11．把4個(gè)蘋果分給兩個(gè)人，每人至少一個(gè)，不同分法種數(shù)有()A．6 B．12 C．14 D．1612．若a=72-12，b=27A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<b<a D．c<a<b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．對(duì)于任意的實(shí)數(shù),記為中的最小值.設(shè)函數(shù)，，函數(shù),若在恰有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.14．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則取得最小值的值為________．15．參數(shù)方程（為參數(shù)，且）化為普通方程是_________；16．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，若為其右支上一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，R，矩陣的兩個(gè)特征向量，．（1）求矩陣的逆矩陣；（2）若，求．18．（12分）設(shè).（1）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值.19．（12分）為了研究玉米品種對(duì)產(chǎn)量的，某農(nóng)科院對(duì)一塊試驗(yàn)田種植的一批玉米共10000株的生長(zhǎng)情況進(jìn)行研究，現(xiàn)采用分層抽樣方法抽取50株作為樣本，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：高莖矮莖總計(jì)圓粒111930皺粒13720總計(jì)242650（1）現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該樣本所含的圓粒玉米中取出6株玉米，再從這6株玉米中隨機(jī)選出2株，求這2株之中既有高莖玉米又有矮莖玉米的概率；（2）根據(jù)玉米生長(zhǎng)情況作出統(tǒng)計(jì)，是否有95%的把握認(rèn)為玉米的圓粒與玉米的高莖有關(guān)？附：0.050.013.8416.63520．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)若射線與曲線交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，射線與曲線交于兩點(diǎn)，求的面積.21．（12分）如圖，在中，D是邊BC上一點(diǎn)，，，．（1）求DC的長(zhǎng)；（2）若，求的面積．22．（10分）如圖所示，三棱錐中，平面，，，為上一點(diǎn)，，，分別為，的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求平面與平面所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

試題分析：擲兩顆均勻的骰子，共有36種基本事件，點(diǎn)數(shù)之和為5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）這四種，因此所求概率為，選B．考點(diǎn)：概率問題2、C【解析】

先用作為分段點(diǎn)，找到小于和大于的數(shù).然后利用次方的方法比較大小.【詳解】易得，而，故，所以本小題選C.本小題主要考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式比較大小，考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】分析：解不等式，得到和，由集合的交集運(yùn)算可得到解。詳解：解絕對(duì)值不等式，得；由對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，得根據(jù)集合的運(yùn)算得所以選C點(diǎn)睛：本題考查了解絕對(duì)值不等式，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，集合的基本運(yùn)算，是基礎(chǔ)題。4、A【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可．【詳解】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖：是一個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱的組合體，底面都是的等腰直角三角形，高為，所以體積為：，解得．故選A．本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題．5、B【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的性質(zhì)，即可判定得到結(jié)論．詳解：由題意得，例如，此時(shí)構(gòu)成等比數(shù)列，而不成立，反之當(dāng)時(shí)，若，則，所以構(gòu)成等比數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，構(gòu)成等比數(shù)列是構(gòu)成的等比數(shù)列的必要不充分條件，故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查了等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的性質(zhì)，其中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的定義的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力．6、B【解析】

抽象函數(shù)解不等式考慮用函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，可得為偶函數(shù)，且在在上為增函數(shù)，將不等式化為，即可求解.【詳解】令，易知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，所以，即，所以，解之得.故選:B.本題考查抽象函數(shù)不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)換，解題的關(guān)鍵構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)通常從已知條件不等式或所求不等式結(jié)構(gòu)特征入手，屬于中檔題.7、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得，即可得到復(fù)數(shù)的虛部，得到答案.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故選C.本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)題意可知有解,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分析即可.【詳解】由題,若函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間,則有解.當(dāng)時(shí)顯然有解.當(dāng)時(shí),,解得.因?yàn)樗膫€(gè)選項(xiàng)中僅.故選：D本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題,需要判斷出導(dǎo)數(shù)大于0有解,利用二次函數(shù)的判別式進(jìn)行求解.屬于中檔題.9、B【解析】

先求，再求.【詳解】由已知，得：所以故選：B本題考查了分段函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，根據(jù)存在零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合得到不等式，解得即可．【詳解】函數(shù)存在零點(diǎn)，等價(jià)于方程有解，即有解，令，則，方程等價(jià)于與有交點(diǎn)，函數(shù)恒過定點(diǎn)（0,0），當(dāng)時(shí)，與圖象恒有交點(diǎn)，排除A，B，C選項(xiàng)；又當(dāng)時(shí)，恰好滿足時(shí)，，此時(shí)與圖象恒有交點(diǎn)，符合題意；故選：D.本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，此類問題通常將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，求參數(shù)的范圍，屬于較難題.11、C【解析】

給兩個(gè)人命名為甲、乙，根據(jù)甲分的蘋果數(shù)進(jìn)行分類即可求出．【詳解】按照分給甲的蘋果數(shù)，有種分法，故選C．本題主要考查分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．12、D【解析】

利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算比較得解.【詳解】因?yàn)?7-1故選：D本題主要考查指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】分析：函數(shù)可以看做由函數(shù)向上或向下平移得到，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出和圖象即可分析出來詳解：如圖，設(shè)，所以函數(shù)可以看做由函數(shù)向上或向下平移得到其中在上當(dāng)有最小值所以要使得,若在恰有一個(gè)零點(diǎn),滿足或所以或點(diǎn)睛：函數(shù)問題是高考中的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，函數(shù)零點(diǎn)問題在選擇題或者填空題中往往要數(shù)形結(jié)合分析比較容易，要能夠根據(jù)函數(shù)變化熟練畫出常見函數(shù)圖象，對(duì)于不常見簡(jiǎn)單函數(shù)圖象要能夠利用導(dǎo)數(shù)分析出其圖象，數(shù)形結(jié)合分析.14、2【解析】

求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，求出的表達(dá)式，然后利用基本不等式求出的最小值并求出等號(hào)成立時(shí)的值，于此可得出答案．【詳解】設(shè)等等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，，所以，，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，但，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)或時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，因此，當(dāng)時(shí)，取最小值，故答案為．本題考查等差數(shù)列的求和公式，考查基本不等式與雙勾函數(shù)求最值，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件，在等號(hào)不成立時(shí)，則應(yīng)考查雙勾函數(shù)的單調(diào)性求解，考查分析能力與計(jì)算能力，屬于中等題．15、【解析】

利用消去參數(shù)可得普通方程?！驹斀狻坑深}意，即，又，∴所求普通方程為。故答案為：。本題考查參數(shù)方程化為普通方程，應(yīng)用消元法可得，但要注意變量的取值范圍，否則會(huì)出錯(cuò)。16、【解析】

設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)|PF1|=2|PF2|，P在雙曲線右支（x≥a），利用雙曲線的第二定義，可得x關(guān)于e的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)x的范圍確定e的范圍．【詳解】∵,P在雙曲線右支(x?a)根據(jù)雙曲線的第二定義,可得，∴ex=3a∵x?a，∴ex?ea∴3a?ea，∴e?3∵e>1，∴1<e?3故答案為：.本題主要考查雙曲線的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由矩陣的特征向量求法，解方程可得，再由矩陣的逆矩陣可得所求；（2）求得，再由矩陣的多次變換，可得所求.【詳解】解：（1）設(shè)矩陣的特征向量對(duì)應(yīng)的特征值為，特征向量對(duì)應(yīng)的特征值為，則，則．（2）因，所以．本題考查矩陣的特征值和特征向量，考查矩陣的逆矩陣，以及矩陣的變換，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.18、（1），（2）的最小值為【解析】試題分析：（1）的取值范圍是；（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)的最小值為.試題解析：（1），即依題意：由此得a的取值范圍是（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)解不等式得.故實(shí)數(shù)a的最小值為.考點(diǎn)：不等式選講．19、（1）；（2）有的把握認(rèn)為玉米的圓粒與玉米的高莖有關(guān)．【解析】

（1）采用分層抽樣的方式，從樣本中取出的6株玉米隨機(jī)選出2株中包含高桿的2株，矮桿的4株，故可求這2株之中既有高桿玉米又有矮桿玉米的概率；（2）帶入公式計(jì)算值，和臨界值表對(duì)比后即可得答案．【詳解】（1）依題意，取出的6株圓粒玉米中含高莖2株，記為，；矮莖4株，記為，，，；從中隨機(jī)選取2株的情況有如下15種：，，，，，，，，，，，，，，．其中滿足題意的共有，，，，，，，，共8種，則所求概率為．（2）根據(jù)已知列聯(lián)表：高莖矮莖合計(jì)圓粒111930皺粒13720合計(jì)242650得，又，有的把握認(rèn)為玉米的圓粒與玉米的高莖有關(guān)．本題主要考查古典概型的概率和獨(dú)立性檢驗(yàn)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力．20、（1）；（2）【解析】

（1）首先根據(jù)曲線的參數(shù)方程先化為直角坐標(biāo)方程，再把直接直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程．根據(jù)即可把直線化為直角坐標(biāo)方程．（2）把射線帶入曲線和直線的極坐標(biāo)方程得出點(diǎn)的坐標(biāo)，把射線帶入曲線的極坐標(biāo)得出點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)即可求出面積．【詳解】（1）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為所以所以曲線的極坐標(biāo)方程為：又直線的極坐標(biāo)方程為所以直線的直角坐標(biāo)系方程為綜上所述：（2）由（1）知曲線的極坐標(biāo)方程為所以聯(lián)立射線與曲線及直線的極坐標(biāo)方程可得所以聯(lián)立射線與曲線的極坐標(biāo)方程可得所以所以本題主要考查了參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程直接的互化，主要掌握．屬于基礎(chǔ)題．21、（1）3（2）【解析】

（1）在中，中分別使用正弦定理，結(jié)合，，即，即得解；（2）在中，中分別使用余弦定理，結(jié)合，可解得，分別計(jì)算，又可得解.【詳解】（1）在中，由正弦定理，得．在中，由正弦定理，得．因?yàn)?，所以，所以．從而有，即．又，所以．?）在中，由余弦定理，得．在中，由余弦定理，得．由，得．因?yàn)?，所以．故有．解得．又，所以，．；．故的面積．本題考查了正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.22、(1)見解析；（2）見解析.【解析】分析：由PA=AC=AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN，我們不妨令PA=1，然后以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系．由此不難得到各點(diǎn)的坐標(biāo)（1）要證明CM⊥SN，我們可要證明即可，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，我們不難證明；（2）要求平面與平面CMN所成角的大小，我們只要利用求向量夾角的方法，求出平面與平面CMN的法向量的夾角，再由它們之間的關(guān)系，易求出平面與平面CMN所成角的大?。斀猓涸O(shè)PA＝1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)．則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，又AN＝AB，M、S分別為PB、BC的中點(diǎn)，∴N(，0,0)，M(1,0，)，S(1，，0)，(1)＝(1，－1，)，＝(－，－，0)，∴·＝(