上海市四中2024-2025學年數(shù)學高二下期末調(diào)研試題含解析

上海市四中2024-2025學年數(shù)學高二下期末調(diào)研試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題，則（）A．是真命題，，B．是假命題，，C．是真命題，，D．是假命題，，2．已知函數(shù)，與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．3．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于同一個常數(shù)．若第一個單音的頻率為f，第三個單音的頻率為，則第十個單音的頻率為（）A． B． C． D．4．甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎.有人分別采訪了四位歌手，甲說：“乙或丙獲獎”；乙說：“甲、丙都未獲獎”；丙說：“丁獲獎”；丁說：“丙說的不對”.若四位歌手中只有一個人說的是真話，則獲獎的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．已知：，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．若，滿足條件，則的最小值為（）A． B． C． D．7．變量滿足約束條件，若的最大值為2，則實數(shù)等于（）A．—2 B．—1 C．1 D．28．設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z+1A．12 B．12i C．9．設(shè)，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．10．函數(shù)的最大值為（）A． B．1 C． D．11．以下說法錯誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．“”是“”的充分不必要條件C．若命題存在，使得，則:對任意，都有D．若且為假命題，則均為假命題12．已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則等于（）A．0 B．2 C．4 D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有甲、乙二人去看望高中數(shù)學張老師，期間他們做了一個游戲，張老師的生日是月日，張老師把告訴了甲，把告訴了乙，然后張老師列出來如下10個日期供選擇:2月5日，2月7日，2月9日，3月2日，3月7日，5月5日，5月8日，7月2日，7月6日，7月9日．看完日期后，甲說“我不知道，但你一定也不知道”，乙聽了甲的話后，說“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了”，甲接著說，“哦，現(xiàn)在我也知道了”．請問張老師的生日是_______．14．已知，且，則的最小值是______．15．如圖，兩條距離為4的直線都與軸平行，它們與拋物線和圓分別交于，和，，且拋物線的準線與圓相切，則的最大值為______.16．已知甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有2個白球、2個黑球，從這兩個箱子里分別隨機摸出1個球，則恰有一個白球的概率為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線，為上的任意點．（1）求證：點到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；（2）設(shè)點的坐標為，求的最小值.18．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值;（2）當時，證明：;（3）設(shè)函數(shù)的圖象與直線的兩個交點分別為，，的中點的橫坐標為，證明：.19．（12分）已知定圓：，動圓過點且與圓相切，記圓心的軌跡為．(1)求曲線的方程；(2)已知直線交圓于兩點.是曲線上兩點，若四邊形的對角線，求四邊形面積的最大值.20．（12分）如圖，平面，在中，，，交于點，，，，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）某班要從6名男生4名女生中選出5人擔任5門不同學科的課代表，請分別求出滿足下列條件的方法種數(shù)結(jié)果用數(shù)字作答．（1）所安排的男生人數(shù)不少于女生人數(shù)；（2）男生甲必須是課代表，但不能擔任語文課代表；（3）女生乙必須擔任數(shù)學課代表，且男生甲必須擔任課代表，但不能擔任語文課代表．22．（10分）證明下列不等式：（1）用分析法證明：；（2）已知是正實數(shù)，且.求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析：根據(jù)命題真假的判斷和含有量詞的命題的否定，即可得到結(jié)論.詳解：，恒成立是真命題，，故選C.點睛：本題考查命題真假的判斷，含有量詞的命題的否定關(guān)系的應(yīng)用.2、A【解析】

根據(jù)題意，可以將原問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析的最大最小值，可得的值域，進而分析方程在區(qū)間上有解，必有，解之可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，若函數(shù)，與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則方程在區(qū)間上有解化簡可得設(shè)，對其求導(dǎo)又由，在有唯一的極值點分析可得：當時，，為減函數(shù)，當時，，為增函數(shù)，故函數(shù)有最小值又由，比較可得，，故函數(shù)有最大值故函數(shù)在區(qū)間上的值域為若方程在區(qū)間有解，必有，則有則實數(shù)的取值范圍是故選：A本題考查在函數(shù)與方程思想下利用導(dǎo)數(shù)求最值進而表示參數(shù)取值范圍問題，屬于難題.3、B【解析】

根據(jù)題意，設(shè)單音的頻率組成等比數(shù)列{an}，設(shè)其公比為q，由等比數(shù)列的通項公式可得q的值，進而計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)單音的頻率組成等比數(shù)列{an}，設(shè)其公比為q，（q＞0）則有a1＝f，a3，則q2，解可得q，第十個單音的頻率a10＝a1q9＝（）9ff，故選：B．本題考查等比數(shù)列的通項公式，關(guān)鍵是求出該等比數(shù)列的公比，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解析】分析：因為四位歌手中只有一個人說的是真話，假設(shè)某一個人說的是真話，如果與條件不符，說明假設(shè)不成立，如果與條件相符，說明假設(shè)成立.詳解：若乙是獲獎的歌手，則甲、乙、丁都說的真話，不符合題意；若丙是獲獎的歌手，則甲、丁都說的真話，不符合題意；若丁是獲獎的歌手，則乙、丙都說的真話，不符合題意；若甲是獲獎的歌手，則甲、乙、丙都說的假話，丁說的真話，符合題意；故選A.點睛：本題考查合情推理，屬基礎(chǔ)題.5、A【解析】

若恒成立,則的最小值大于,利用均值定理及“1”的代換求得的最小值,進而求解即可.【詳解】由題,因為,,,所以,當且僅當,即,時等號成立,因為恒成立,則,即,解得,故選:A本題考查均值不等式中“1”的代換的應(yīng)用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立問題.6、A【解析】作出約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域（陰影部分），由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，平移直線y=2x﹣z，由圖象可知當直線y=2x﹣z，經(jīng)過點A時，直線y=2x﹣z的截距最大，此時z最小．由解得A（0，2）．此時z的最大值為z=2×0﹣2=﹣2，故選A．點睛：利用線性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標系內(nèi)作出可行域．(2)考慮目標函數(shù)的幾何意義，將目標函數(shù)進行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）．(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解．(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標函數(shù)即可求出最大值或最小值．7、C【解析】

將目標函數(shù)變形為，當取最大值，則直線縱截距最小，故當時，不滿足題意；當時，畫出可行域，如圖所示，其中．顯然不是最優(yōu)解，故只能是最優(yōu)解，代入目標函數(shù)得，解得，故選C．考點：線性規(guī)劃．8、A【解析】由z=1+i，得z+1z=1+i+9、A【解析】

先根據(jù)來分段，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，比較出的大小關(guān)系.【詳解】由于，而，故，所以選A.本小題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查比較大小的方法，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

由題意求得導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最大值，得到答案.【詳解】由題意，可得，當時，，則函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，則函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值為，故選A.本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題，其中解答中求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

根據(jù)逆否命題定義、命題否定的定義分別判斷出正確；解方程得到解集和的包含關(guān)系，結(jié)合充要條件的判定可知正確；根據(jù)復(fù)合命題的真假性可知錯誤，由此可得結(jié)果.【詳解】選項：根據(jù)逆否命題的定義可知：原命題的逆否命題為“若，則”，可知正確；選項：由，解得，因此“”是“”的充分不必要，可知正確；選項：根據(jù)命題的否定可知對任意，都有，可知正確；選項：由且為假命題，則至少有一個為假命題，因此不正確.本題正確選項：本題考查了簡易邏輯的判定方法、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

因為，所以是奇函數(shù)，則由奇函數(shù)的性質(zhì)，又因為，，即，，故，即，應(yīng)選答案C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3月2日【解析】

甲說“我不知道，但你一定也不知道”，可排除五個日期，乙聽了甲的話后，說“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了”，再排除2個日期，由此能求出結(jié)果.【詳解】甲只知道生日的月份，而給出的每個月都有兩個以上的日期，所以甲說“我不知道”，根據(jù)甲說“我不知道，但你一定也不知道”，而5月、7月中8日6日是唯一的，所以5月、7月不正確，乙聽了甲的話后，說“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了”，而剩余的5個日期中乙能確定生日，說明一定不是7日，甲接著說，“哦，現(xiàn)在我也知道了”，可排除2月5日2月9日，現(xiàn)在可以得知張老師生日為3月2日.本題考查推理能力，考查進行簡單的合情推理，考查學生分析解決問題的能力，正確解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能夠根據(jù)敘述合理運用排除法進行求解.14、1【解析】

直接將代數(shù)式4x+y與相乘，利用基本不等式可求出的最小值．【詳解】由基本不等式可得，當且僅當，等號成立，因此的最小值為1，故答案為：1．在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.15、【解析】

先設(shè)直線的方程為，再利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系將用表示，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可得解.【詳解】解：由拋物線的準線與圓相切得或7，又，∴.設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，則.設(shè)，，令，得；令，得.即函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故，從而的最大值為，故答案為：.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，重點考查了運算能力，屬中檔題.16、【解析】

通過分析恰有一個白球分為兩類：“甲中一白球乙中一黑球”，“甲中一黑球乙中一白球”，于是分別計算概率相加即得答案.【詳解】恰有一個白球分為兩類：甲中一白球乙中一黑球，甲中一黑球乙中一白球．甲中一白球乙中一黑球概率為：，甲中一黑球乙中一白球概率為：，故所求概率為.本題主要考查乘法原理和加法原理的相關(guān)計算，難度不大，意在考查學生的分析能力，計算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析．（2）的最小值為【解析】

試題分析：（1）求出雙曲線的漸近線方程，設(shè)點利用點到直線的距離公式，即可得到結(jié)論，寫出距離的乘積，再利用點在雙曲線上得出定值；（2）用點點距公式表示出|PA|，利用配方法，求得函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論．（1）設(shè)點，由題意知雙曲線的兩條漸近線方程分別為和，則點到兩條漸近線的距離分別為和，則，得證；（2）設(shè)點，則當時，有最小值.18、（1）取得極大值，沒有極小值（2）見解析（3）見解析【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)極值的定義，即可求解函數(shù)的極值；（2）由，整理得整理得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．（3）不妨設(shè)，由（1）和由（2），得，利用單調(diào)性，即可作出證明．【詳解】（1）由題意，函數(shù)，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，取得極大值，沒有極小值;（2）由得整理得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，從而有．（3）證明：不妨設(shè)，由（1）知，則，由（2）知，由在上單調(diào)遞減，所以，即，則，所以.本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．19、(1);(2).【解析】分析：（1）根據(jù)動圓與定圓相內(nèi)切，結(jié)合橢圓的定義，即可求得動圓圓心的軌跡方程；（2）由題可知，，因圓心坐標在直線上，則直徑，將問題轉(zhuǎn)化為求的最大值.根據(jù)題意設(shè)直線方程為，設(shè),與橢圓方程聯(lián)立，整理得關(guān)于的一元二次方程，由韋達定理及，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，由此可以求出四邊形面積的最大值.詳解：解：（1）依題意得：，圓的半徑，點在圓內(nèi)，圓內(nèi)切于圓，，點的軌跡為橢圓，設(shè)其方程為則，，，軌跡的方程為：.（2）點在直線上，即直線經(jīng)過圓的圓心，，故設(shè)直線方程為，設(shè),聯(lián)立消得，，且，，四邊形的面積，（當且僅當時取等號），即四邊形面積的最大值為.點睛：本題考查曲線的軌跡方程求法和直線與圓錐曲線位置關(guān)系，考查對角線互相垂直的四邊形面積的最大值求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.解決直線與圓錐曲線綜合問題基本步驟為：（1）設(shè)，即設(shè)交點坐標和直線方程，注意考慮直線斜率是否存在;（2）聯(lián)，即聯(lián)立直線方程與圓錐曲線，消元;（3）判，即直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可以通過判別式加以判斷;（4）韋，即韋達定理，確定兩根與系數(shù)的關(guān)系.（5）代，即根據(jù)已知條件，將所求問題轉(zhuǎn)換到與兩點坐標和直線方程相關(guān)的問題，進而求解問題.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】

過D作平行線DH，則可得兩兩垂直，以它們?yōu)樽鴺溯S建立空間直角坐標，求出長，寫出的坐標．求出相應(yīng)向量，（1）由，證得垂直；（2）求出平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值等于向量和夾角余弦值的絕對值．由向量的數(shù)量積運算易求．【詳解】（1）過D作平行線DH，以D為原點，DB為x軸，DC為y軸，為軸，建立空間坐標系，如圖，在中，，，，，交于點，，；,，，；（2）由（1）可知，，，設(shè)平面BEF的法向量為，所以，，取，，設(shè)直線與平面所成角為，所以=.本題考查證明空間兩直線垂直，考查求直線與平面所成的角，解題方法是建立空間直角坐標系，由向量法證明線線垂直，求線面角，這種方法主要考查學生的運算求解能力，思維量很少，解