2024高中數(shù)學(xué)第二章點直線平面之間的位置關(guān)系2.3直線平面垂直的判定及其性質(zhì)第3課時直線與平面平面與平面垂直的性質(zhì)講義含解析新人教A版必修2

PAGEPAGE15第3課時直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)[核心必知]1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入依據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P70～P72，回答下列問題．(1)若一條直線與一個平面垂直，則可得到什么結(jié)論？若兩條直線與同一個平面垂直呢？提示：這條直線垂直于平面的隨意一條直線；這兩條直線平行．(2)教室內(nèi)的黑板所在的平面與地面所在的平面垂直，在黑板上隨意畫一條直線與地面垂直嗎？怎樣畫才能保證所畫直線與地面垂直？提示：不肯定，也可能平行，相交(不垂直)；只要保證所畫的線與兩面的交線垂直即可．2．歸納總結(jié)，核心必記(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理①文字語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行．②圖形語言：③符號語言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b.④作用：(ⅰ)線面垂直?線線平行；(ⅱ)作平行線．(2)平面和平面垂直的性質(zhì)定理①文字語言：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．②圖形語言：③符號語言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a?α,a⊥l))?a⊥β.④作用：(ⅰ)面面垂直?線面垂直；(ⅱ)作面的垂線．[問題思索](1)同一個平面的兩條垂線肯定共面嗎？提示：共面．由線面垂直的性質(zhì)定理可知該兩條直線是平行的，故能確定一個平面．(2)假如α⊥β，那么平面α內(nèi)的直線都和平面β垂直嗎？提示：假如α⊥β，那么平面α內(nèi)的直線不肯定與平面β垂直．[課前反思]通過以上預(yù)習(xí)，必需駕馭的幾個學(xué)問點．(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理是什么？怎樣應(yīng)用？；(2)平面與平面垂直的性質(zhì)定理是什么？怎樣應(yīng)用？.如圖是日常生活中常見的旗桿，這排旗桿都與地面垂直．[思索1]兩根旗桿所在直線是什么位置關(guān)系？提示：平行．[思索2]怎樣理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理？名師指津：(1)該定理考查的是在直線與平面垂直的條件下，可得出什么結(jié)論．(2)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法(只要判定這兩條直線都與同一個平面垂直)．(3)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，供應(yīng)了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)．(4)定理的推證過程采納了反證法．[思索3]直線與平面垂直有哪些性質(zhì)？名師指津：(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,b?α))?l⊥b；(2)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b;(3)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α；(4)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a⊥α))?a⊥β；(5)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥β))?α∥β.講一講1．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1.[嘗試解答]∵ADD1A1為正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1.∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.證明線線平行常有如下方法：(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點；(2)利用三線平行公理：證兩線同時平行于第三條直線；(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行；(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直；(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．練一練1．如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l.證明：因為EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因為EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由線面垂直的性質(zhì)定理，得a∥l.[思索]怎樣理解面面垂直的性質(zhì)定理？名師指津：(1)定理成立的條件有三個：①兩個平面相互垂直；②直線在其中一個平面內(nèi)；③直線與兩平面的交線垂直．(2)定理的實質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直．(3)已知面面垂直時，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直．講一講2．如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求證：BC⊥平面PAB.[嘗試解答]過點A作AE⊥PB，垂足為E，因為平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，因為BC?平面PBC，所以AE⊥BC，因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，因為PA∩AE＝A，所以BC⊥平面PAB.應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理要留意的問題應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理證明相關(guān)問題時，一般須要作協(xié)助線，即過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．練一練2．如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形．側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB.證明：(1)連接PG，由題知△PAD為正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD.∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形．∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG.∴AD⊥PB.講一講3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點，過A，D，N三點的平面交PC于M，E為AD的中點．求證：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.[思路點撥](1)證明EN∥DM；(2)由AD∥BC可證AD⊥平面PEB；(3)利用(2)可證PB⊥平面ADMN.[嘗試解答](1)∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD∥平面PBC.又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵BC∥AD，∴MN∥BC.又∵N是PB的中點，∴點M為PC的中點．∴MN∥BC且MN＝eq\f(1,2)BC，又∵E為AD的中點，∴MN∥DE，且MN＝DE.∴四邊形DENM為平行四邊形．∴EN∥DM，且DM?平面PDC.∴EN∥平面PDC.(2)∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵側(cè)面PAD是正三角形，且E為中點，∴PE⊥AD，BE∩PE＝E，∴AD⊥平面PBE.又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.(3)由(2)知AD⊥平面PBE，又PB?平面PBE，∴AD⊥PB.又∵PA＝AB，N為PB的中點，∴AN⊥PB.且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.又∵PB?平面PBC.∴平面PBC⊥平面ADMN.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化在關(guān)于垂直問題的論證中要留意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一種垂直的判定都是從某一垂直起先轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：練一練3．如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足．(1)求證：PA⊥平面ABC；(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形．證明：(1)在平面ABC內(nèi)任取一點D，作DF⊥AC于點F，作DG⊥AB于點G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA?平面PAC，∴DF⊥PA.同理可證，DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)連接BE并延長交PC于點H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE是平面PBC的垂線，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．————————————[課堂歸納·感悟提升]————————————1．本節(jié)課的重點是理解直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)定理，能應(yīng)用直線與平面、平面與平面的性質(zhì)定理證明空間中線面垂直關(guān)系．難點是理解線線垂直、線面垂直、面面垂直的內(nèi)在聯(lián)系．2．本節(jié)課要重點駕馭的規(guī)律方法(1)利用線面垂直的性質(zhì)證明平行問題，見講1.(2)應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)證明垂直問題，見講2.(3)駕馭垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，見講3.3．本節(jié)課的易錯點是垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化中易出現(xiàn)轉(zhuǎn)化混亂錯誤，如講3.課下實力提升(十四)[學(xué)業(yè)水平達標(biāo)練]題組1直線與平面垂直的性質(zhì)1．直線n⊥平面α，n∥l，直線m?α，則l、m的位置關(guān)系是()A．相交B．異面C．平行D．垂直解析：選D由題意可知l⊥α，所以l⊥m.2．已知直線a，b，平面α，且a⊥α，下列條件中，能推出a∥b的是()A．b∥αB．b?αC．b⊥αD．b與α相交解析：選C由線面垂直的性質(zhì)定理可知，當(dāng)b⊥α，a⊥α?xí)r，a∥b.3．如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是SD，SC的中點．求證：(1)BC⊥平面SAB；(2)EF⊥SD.證明：(1)∵四棱錐S-ABCD的底面是矩形，∴AB⊥BC.∵SA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴SA⊥BC.又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.(2)∵SA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥SA.又∵CD⊥AD，SA∩AD＝A，∴CD⊥平面SAD.∵E，F(xiàn)分別是SD，SC的中點，∴EF∥CD，∴EF⊥平面SAD.又∵SD?平面SAD，∴EF⊥SD.題組2平面與平面垂直的性質(zhì)4．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一點E，作EF⊥A1B1于F，則EF與平面A1B1C1D1的關(guān)系是()A．平行B．EF?平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直解析：選D由于長方體中平面ABB1A1⊥平面ABCD，所以依據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，EF與平面A1B1C1D1相交且垂直．5．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則()A．α∥γB．α⊥γC．α與γ相交但不垂直D．以上都有可能解析：選D可能平行，也可能相交．如圖，α與δ平行，α與γ相交．6．若兩個平面相互垂直，在第一個平面內(nèi)的一條直線a垂直于其次個平面內(nèi)的一條直線b，那么()A．直線a垂直于其次個平面B．直線b垂直于第一個平面C．直線a不肯定垂直于其次個平面D．過a的平面必垂直于過b的平面解析：選C直線a與直線b均不肯定為兩面的交線．7．平面α⊥平面β，直線a∥平面α，則()A．a(chǎn)⊥βB．a(chǎn)∥βC．a(chǎn)與β相交D．以上都有可能解析：選D因為a∥α，平面α⊥平面β，所以直線a與β垂直、相交、平行都有可能．8．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關(guān)系是________．解析：因為α⊥β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.答案：平行9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求證：AD⊥平面PCD.證明：在矩形ABCD中，AD⊥CD，因為平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD?平面ABCD，所以AD⊥平面PCD.題組3線線、線面、面面垂直的綜合10．如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC⊥底面ABCD，求證：平面SCD⊥平面SBC.證明：∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD.又平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面SCD.又∵BC?平面SBC，∴平面SCD⊥平面SBC.11．如圖，α⊥β，α∩β＝l，AB?α，AB⊥l，BC?β，DE?β，BC⊥DE.求證：AC⊥DE.證明：∵α⊥β，α∩β＝l，AB?α，AB⊥l，∴AB⊥β.∵DE?β，∴AB⊥DE.∵BC⊥DE，AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC.∵AC?平面ABC，∴AC⊥DE.[實力提升綜合練]1．(2024·臨沂高一檢測)已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿意l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交，且交線平行于l解析：選D由于m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，則平面α與平面β必相交，但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，又直線l滿意l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則交線平行于l，故選D.2．在空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，則△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形解析：選A過點A作AH⊥BD于點H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，則AH⊥BC.又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC為直角三角形．故選A.3．(2024·鄭州高一檢測)已知平面α、β、γ，則下列命題中正確的是()A．α⊥β，β⊥γ，則α∥γB．α∥β，β⊥γ，則α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，則a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，則b⊥α解析：選BA中α，γ可以相交；C中如圖，a與b不肯定垂直；D中b僅垂直于α的一條直線a，不能判定b⊥α.4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不肯定成立的是()A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析：選D如圖，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l?AC⊥m，AB∥l?AB∥β.故選D.5．(2024·大同高一檢測)空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，則AD與平面BCD所成的角是________．解析：過A作AO⊥BD于O點，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.答案：45°6．(2024·合肥高一檢測)如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，沿BD將△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AC，則在四面體ABCD的四個面中，相互垂直的平面的對數(shù)為________．解析：因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.所以平面ABC⊥平面BCD，因為AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.又因為平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3對．答案：37．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中．求證：(1)B1D⊥平面A1C1B；(2)B1D與平面A1C1B的交點設(shè)為O，則點O是△A1C1B的垂心．證明：(1)連接B1D1，則A1C1⊥B1D1.又有DD1⊥A1C1，