2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形的相似中旋轉(zhuǎn)問題》專項測試卷(附答案)

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形的相似中旋轉(zhuǎn)問題》專項測試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．（1）如圖1，在四邊形中，，點E是邊上一點，，，連接、．判斷的形狀，并說明理由；（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點C是x軸上的動點，線段繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至線段，連接、，①求B點的運動軌跡解析式②的最小值是．2．在和中，．(1)連接，點分別為的中點，連接，①如圖1，當(dāng)三點在一條直線上時，與數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是________．②如圖2，當(dāng)?shù)妊@點順時針旋轉(zhuǎn)時，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明你的結(jié)論；如果不成立，請說明理由．(2)如圖3，當(dāng)?shù)妊@點順時針旋轉(zhuǎn)時，連接，點分別為的中點，連接，若，則的最大值是__________．3．如圖1，已知是等邊三角形，點E在線段AB上，點D在直線BC上，且ED＝EC，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至，連接EF．(1)證明：AB＝DB＋AF．(2)如圖2，如果點E在線段AB的延長線上，其它條件不變，線段AB，DB，AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．4．已知∠ABC=90°，BA=BC，在同一平面內(nèi)將等腰直角△ABC繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于180°）得△ADE．(1)若AE//BD如圖（1），求旋轉(zhuǎn)角∠BAD度數(shù)；(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°時，延長ED與BC交于點F，如圖（2）．求證：AC平分∠DAF(3)點P是邊BC上動點，將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°到AG，如圖（3）示例，設(shè)AB=BC=，求CG長度最小值（用含式子表示）5．如圖，等邊△ABC與等腰三角形△EDC有公共頂點C，其中∠EDC＝120°，AB＝CE＝2，連接BE，P為BE的中點，連接PD、AD(1)為了研究線段AD與PD的數(shù)量關(guān)系，將圖1中的△EDC繞點C旋轉(zhuǎn)一個適當(dāng)?shù)慕嵌龋笴E與CA重合，如圖2，請直接寫出AD與PD的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖1，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖3，若∠ACD＝45°，求△PAD的面積．6．【問題提出】在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，王老師提出了一個數(shù)學(xué)問題：如圖1-1，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點P，PA＝5，PB＝12，PC＝13，求∠APB的度數(shù)．(1)【問題探究】針對這個問題，某學(xué)習(xí)小組進行了如下嘗試：如圖1-2，將△APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，得到等邊．請根據(jù)該小組探究的思路求出∠APB的度數(shù)；(2)【類比延伸】在等腰Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，其內(nèi)部有一點P．如圖2，連接PA，PB，PC，若∠APC＝135°，試判斷線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，連接PA，PC，以PC為直角邊作等腰Rt△PCQ，∠CPQ＝90°，連接BQ，取BQ的中點M，連接AM，PM，試判斷是否為定值，若為定值，請求出相應(yīng)的值；若不是定值，請說明理由．7．綜合與實踐：如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足，連接EF，求證：．李偉同學(xué)是這樣解決的：將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，此時AB與AD重合，再證明，可得結(jié)論．(1)如圖2，在四邊形ABCD中，，，，且，，求BE的長；(2)類比（1）證明思想完成下列問題：在同一平面內(nèi)，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，，若固定不動，繞點A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），在旋轉(zhuǎn)過程中，等式始終成立，請說明理由．8．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點，點，點．以點O為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形OABC，得到矩形ODEF，點A，B，C的對應(yīng)點分別為D，E，F(xiàn)，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)如圖①，當(dāng)時，求點D的坐標(biāo)；(2)如圖②，當(dāng)點E落在OC的延長線上時，求點D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點D落在線段AC上時，求點E的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．9．如圖1，四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，點A在DG上，連接AE，CG．(1)求證：；(2)猜想：AE與CG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想；(3)在其它條件不變的前提下，如果將正方形ABCD繞著點D按逆時針旋轉(zhuǎn)任意角度（如圖2）．那么（2）中結(jié)論是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(4)如圖3，將正方形ABCD繞著點D旋轉(zhuǎn)到某一位置時恰好使得，．當(dāng)正方形DEFG的邊長為時，請直接寫出正方形ABCD的邊長．10．如圖，中，，，以點A為圓心、AC長為半徑作弧，再以點B為圓心，BC長為半徑作弧，與前弧交于點D，連接CD，交AB于點E，連接AD．(1)猜想：如圖1，寫出線段AD與CE的數(shù)量關(guān)系是______，直線CE與直線AD所夾的銳角是______；(2)探究：如圖2，將繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．(3)拓展：在（2）的條件下，若，當(dāng)直線DE經(jīng)過點A時，直接寫出線段CE的長．11．如圖，已知在與中，，，．(1)如圖1，點，分別在邊，上，連接，，點是線段的中點，連接，直接寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系___________；(2)如圖2，將圖1中的繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使的一邊恰好與的邊在同一條直線上時，點落在上，點為線段的中點，確定與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，將圖1中的繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，連接，，點為線段的中點，連接，確定與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．12．在中，點是邊上一點，連接平分，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段．(1)如圖1，在線段上時，若，求的長；(2)如圖2，若與點重合，點分別為線段上的點，點分別為的中點，點在的延長線上，且，求證：；(3)如圖3，若射線過中點，將沿翻折到同一平面內(nèi)得到，過作垂直于直線，交直線于點，當(dāng)與的乘積最大時，請直接寫出的值．13．圖1是邊長分別為和的兩個等邊三角形紙片和疊放在一起（與重合）的圖形．(1)操作：固定，將繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)20°，連結(jié)AD，BE，如圖2，則______度，并直接寫出線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系____．(2)操作：若將圖1中的，繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，使點B、C、D在同一條直線上，連結(jié)AD、BE，如圖3．①線段BE與AD之間是否仍存在（1）中的結(jié)論？若是，請證明；若不是，請直接寫出BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系；②求的度數(shù)．(3)若將圖1中的，繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角，當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r，的面積最大？請直接寫出答案．14．如圖1，已知正方形BEFG，點C在BE的延長線上，點A在GB的延長線上，且AB＝BC，過點C作AB的平行線，過點A作BC的平行線，兩條平行線相交于點D．(1)證明：四邊形ABCD是正方形；(2)當(dāng)正方形BEFG繞點B順時針（或逆時針）旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖2，使得點G在射線DB上，連接BD和DF，點Q是線段DF的中點，連接CQ和QE，猜想線段CQ和線段QE的關(guān)系，并說明理由；(3)將正方形BEFG繞點B旋轉(zhuǎn)一周時，當(dāng)∠CGB等于45°時，直線AE交CG于點H，探究線段CH、EG、AH的長度關(guān)系．15．如圖，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，AC=BC，DE=DF．邊AB，EF的中點重合于點O，連接BF，CD．(1)如圖①，當(dāng)FE⊥AB時，易證BF=CD（不需證明）；(2)當(dāng)△DEF繞點O旋轉(zhuǎn)到如圖②位置時，猜想BF與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)當(dāng)△ABC與△DEF均為等邊三角形時，其他條件不變，如圖③，猜想BF與CD之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不需證明．參考答案1．（1）見詳解（2）①；②【分析】（1）根據(jù)已知條件證得，即可證得為等腰直角三角形；（2）①根據(jù)（1）可知，設(shè)B點坐標(biāo)為，C點坐標(biāo)為，可得，，即點B的運動軌跡解析式為：；②作點O關(guān)于直線的對稱點，連接，交直線與點，此時A、、三點共線時，值最小，求得坐標(biāo)為，根據(jù)勾股定理即可求得最小值．【詳解】（1）為等腰直角三角形，理由如下，在與中，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形；（2）①作軸于點D，如圖所示，由（1）得，，∴，，設(shè)B點坐標(biāo)為，C點坐標(biāo)為，∴，，∴，∴點B的運動軌跡解析式為：；②如圖所示，作點O關(guān)于直線y=x-1的對稱點，連接，交直線與點，此時，,即A、、三點共線時，值最小，∵直線垂直平分，∴，∴坐標(biāo)為，∴，即：的最小值為．【點睛】本題主要考查的是一次函數(shù)與全等三角形的綜合，主要是數(shù)量掌握“一線三垂直”模型以及“將軍飲馬”模型．2．(1)①；②成立，理由見解析(2)9【分析】（1）①延長交于，連接，證明，得，從而是等腰直角三角形，可得；②過作交延長線于，連接，證明，得，可得，從而，即得，可求出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，故；（2）連接并延長至，使，連接，證明，得中，，即知，故當(dāng)?shù)妊@點順時針旋轉(zhuǎn)至共線時，最大，最大值為．【詳解】（1）①延長交于，連接，如圖：∵，∴，∴，∵是中點，∴，在和中，∴，∴，∵．∴，即，而，∴是等腰直角三角形，∵，∴是等腰直角三角形，∵為中點，∴；故答案為：；②結(jié)論還成立，證明如下：過作交延長線于，連接，如圖：∵，∴，∵是中點，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴，∴，而，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴是等腰直角三角形，∵，∴是等腰直角三角形，∵是中點，∴；（2）連接并延長至，使，連接，如圖：∵是中點，，∴，∵是中點，∴，∵，∴，∴，中，，∴，即，∴，當(dāng)?shù)妊@點E順時針旋轉(zhuǎn)至共線（不能構(gòu)成）時，如圖：此時最大，最大值為，故答案為：9．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換中的全等三角形，涉及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．3．(1)證明見解析(2)AB＝BD－AF；理由見解析【分析】（1）由繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至，可得是等邊三角形，即ED＝EF，由是等邊三角形，可得∠EDB＝∠AEF，利用三角形內(nèi)角和及角度轉(zhuǎn)化可得∠EDB＝∠AEF，故可證，得到DB＝AE，BE＝AF，而AB＝AE＋BE，故AB＝DB＋AF；（2）由繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至，可得是等邊三角形，即ED＝EF，由是等邊三角形，可得∠DBE＝∠EAF，根據(jù)ED＝EC，可得∠AEF＝∠EDC，故可證，得到DB＝AE，BE＝AF，而AB＝AE－BE，故AB＝BD－AF．【詳解】（1）證明：∵繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至，∴CE＝CF，∠ECF＝60°，∠EBC＝∠CAF＝60°，∴是等邊三角形，∴EF＝EC，又∵ED＝EC，∴ED＝EF，∵是等邊三角形，∴∠BAC＝∠CBA＝60°，∴∠EAF＝∠BAC＋∠CAF＝120°，∠DBE=180°－60°＝120°，∴∠EAF＝∠DBE，∵∠AEF＝180°－∠FEC－∠BEC＝120°－∠BEC，∠BCE＝180°－∠ABC－∠BEC，∴∠AEF＝∠BCE，∵ED＝EC，∴∠BCE＝∠EDB，∴∠EDB＝∠AEF，在和中，，∴，∴DB＝AE，BE＝AF，∵AB＝AE＋BE，∴AB＝DB＋AF；（2）AB＝DB－AF，理由如下：∵繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，∴∠ECF＝60°，EC＝CF，∴是等邊三角形，∴EF＝EC，又∵ED＝EC，∴ED＝EF，∵是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠CBE＝∠CAF＝120°，∵∠BAC＝60°，∴∠EAF＝∠CAF－∠BAC＝60°，∴∠DBE＝∠EAF；∵ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC，∵∠FEC＝∠AEF＋∠AEC＝60°＝∠ABC＝∠AEC＋∠ECD，∴∠AEF＝∠ECD，∴∠AEF＝∠EDC，在和中，，∴，∴AF＝BE，AE＝BD，∵AB＝AE－BE，∴AB＝BD－AF．【點睛】本題考查等邊三角形中的旋轉(zhuǎn)變換，涉及全等三角形的性質(zhì)及判定，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找到并證明三角形全等．4．(1)(2)證明過程見詳解(3)【分析】（1）由AE//BD，推出，得為等腰直角三角形，即可得到答案．（2）由旋轉(zhuǎn)60°可推出，再證△ABF△ADF，再推角，即可證出．（3）將AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到AH，再證，可知G在GM上動，由點到直線垂線段最短可知，CG最小值為CF長．【詳解】（1）解：∵∠ABC=90°，BA=BC∴由旋轉(zhuǎn)可知AB=AD，又∵AE//BD∴∴為等腰直角三角形∴（2）證：由旋轉(zhuǎn)可知又∵∴∵∴在Rt△ABF和Rt△ADF中∴△ABF△ADF（HL）∴∴∴=∴AC平分∠DAF（3）解：如圖，將AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到AH，連接GH過C作GH垂線，垂足為F由旋轉(zhuǎn)，易證∴∴過A作HG延長線垂線，垂足為M可得三角形AMH為等腰直角三角形∵AB=a∴AH=AC=∴AM=a∴AK=，∴∴CG長度最小值為．【點睛】本題考查了圖像旋轉(zhuǎn)與三角形全等綜合，還考查了瓜豆原理．瓜豆原理總結(jié)：兩動點、兩定值．兩定值：主動點與定點距離和從動點與定點距離比值為定值；主動點與從動點分別和定點組成的線段夾角為定值．滿足兩定值時，兩動點軌跡相同．5．(1)AD＝2PD(2)成立，證明見解析(3)【分析】（1）利用直角三角形30度角的性質(zhì)即可解決問題．（2）結(jié)論成立．如圖1中，延長ED到F，使得DF＝DE，連接BF，CF．利用三角形的中位線定理證明BF＝2PD，再證明AD＝BF即可解決問題．（3）如圖1中，延長BF交AD于G，由（2）得到∠FBC＝∠DAC，首先證明∠ADP＝60°，解直角三角形求出即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖2中，∵DC＝DA，∠CDA＝120°，∴∠PCA＝30°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠CAP＝60°，∴∠CPA＝90°，由題意：在Rt△APD中，∠APD＝90°，∠PAD＝30°，∴AD＝2PD．（2）結(jié)論成立．理由：如圖1中，延長ED到F，使得DF＝DE，連接BF，CF．∵BP＝EP，DE＝DF，∴BF＝2PD，BFPD，∵∠EDC＝120°，∴∠FDC＝60°，∵DF＝DE＝DC，∴△DFC是等邊三角形，∵CB＝CA，∠BCA＝∠DCF＝60°，∴∠BCF＝∠ACD，∵CF＝CD，∴△BCF≌△ACD（SAS），∴BF＝AD，∴AD＝2PD．（3）如圖1中，延長BF交AD于G，由（2）得到∠FBC＝∠DAC，∴∠AGB＝∠ACB＝60°，∵DPBG，∴∠ADP＝∠AGB＝60°，如圖3中，作DM⊥AC于M，PN⊥AD于N．設(shè)DN＝a，則PD＝2a，AD＝2PD＝4a，PN＝a，可得PN＝AD，在等腰△CDE中，∵CE＝2，∠CDE＝120°，過點作，則，∴∴CD＝DE＝2，∵∠ACD＝45°，∴CM＝DM＝2．AM＝，在Rt△ADM中，．在Rt△PAD中，．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．6．(1)150°(2)BP2=PC2+2AP2，理由見解析(3)是定值，理由見解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PB=P'C=12，AP=AP'=5，∠PAP'=60°，∠AP'C=∠APB，由勾股定理的逆定理可得∠PP'C=90°，即可求解；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP'，P'B=PC，∠APC=∠AP'B=135°，∠PAP'=90°，由勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)可求解；（3）由“SAS”可證△BMN≌△QMP，可得BN=PQ，∠MBN=∠MQP，由“SAS”可證△ABN≌△ACP，可得AN=AP，∠BAN=∠PAC，可得△APN是等腰直角三角形，即可求解．【詳解】（1）解：∵將△APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C，∴PB=P'C=12，AP=AP'=5，∠PAP'=60°，∠AP'C=∠APB，∴△PAP'是等邊三角形，∴∠AP'P=60°，AP=PP'=5，∵PC2=169，P'P2+P'C2=144+25=169，∴PC2=P'P2+P'C2，∴∠PP'C=90°，∴∠AP'C=∠APB=150°；（2）解：BP2=PC2+2AP2，理由如下：如圖，將△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP'B，連接PP'，∵將△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP'B，∴AP=AP'，P'B=PC，∠APC=∠AP'B=135°，∠PAP'=90°，∴∠AP'P=45°，P'P=AP，∴∠BP'P=90°，∴BP2=P'B2+P'P2，∴BP2=PC2+2AP2；（3）解：是定值，等于，理由是：如圖，延長PM至N，使MN=PM，連接BN，AN，設(shè)AC與BQ交于點O，∵點M是BQ的中點，∴BM=MQ，又∵MN=MP，∠BMN=∠PMQ，∴△BMN≌△QMP（SAS），∴BN=PQ，∠MBN=∠MQP，∴BN=CP，又∵△PQC是等腰直角三角形，∠CPQ=90°，∴PQ=PC，∠PQC=∠PCQ=45°，∵∠AOQ=∠BAC+∠ABO=∠OQC+∠ACQ，∴90°+∠ABO=45°+∠PQO+45°-∠ACP，∴∠ACP=∠PQO-∠ABO，又∵∠ABN=∠MBN-∠ABO，∴∠ABN=∠ACP，又∵AB=AC，∴△ABN≌△ACP（SAS），∴AN=AP，∠BAN=∠PAC，∴∠PAN=∠BAC=90°，∴△ANP是等腰直角三角形，∵PM=MN，∴AM=MP，AM⊥MP，∴AP=MP，∴=．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．(1)(2)見解析【分析】（1）過A作AG⊥BC，交BC延長線于G，由正方形的性質(zhì)得出CG＝AD＝10，再運用勾股定理和方程求出BE的長；（2）運用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和勾股定理判斷說明等式成立．【詳解】（1）如圖2，過點作，交延長線于點．四邊形中，，，∴四邊形是正方形．∴．已知，根據(jù)已知材料可得：．設(shè)，則，∴．在中，，∴，解得．∴．（2）如圖3，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°至位置，則，，，旋轉(zhuǎn)角．連接，在和中，，∴．∴．又，∴，∴．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定以及旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)等知識，根據(jù)題意作出與已知相等的角，利用三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．8．(1)(2)(3)點E的坐標(biāo)為【分析】（1）過點D作DM⊥x軸于M，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OD＝AO＝6，α＝∠MOD＝30°，由直角三角形的性質(zhì)得DM＝3，即可得出點D的坐標(biāo)；（2）過點D作DN⊥OA于N，可得△DON∽△EOF，可得對應(yīng)邊成比例即可求出DN＝3.6，ON＝4.8即可得出點D的坐標(biāo)；（3）連接AC,OE，CE作EG⊥x軸于G，可證出AC∥OE，四邊形OACE是平行四邊形，得出OA=CE=OG=6,GE=OC=8，即可得出答案．【詳解】（1）如圖，過點D作DM⊥OA于M由旋轉(zhuǎn)可知：OD＝OA＝6，∠DOM＝30°∴DM＝3，，∴（2）如圖，過點D作DN⊥OA于N則有：∠DNO＝∠F＝90°又∵，∴△DON∽△EOF，∴∵EF＝OD＝6，OE＝10，OF＝8，∴DN＝3.6，ON＝4.8∴（3）連接AC,OE，OB,CE作EG⊥x軸于G，如圖所示：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠AOB＝∠DOE，OD＝AO，OB=OE∵四邊形OABC是矩形∴AC=OB，∠AOB＝∠CAO，∵OD＝AO∴∠DAO＝∠ADO，∴∠DOE＝∠ADO，∴AC∥OE，∵AC=OB，OB=OE∴AC=OE∴四邊形OACE是平行四邊形∴OA=CE=OG=6,GE=OC=8∴點E的坐標(biāo)為（6，8）．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出輔助線，屬于中考壓軸題．9．(1)證明見解析(2)AE⊥CG．證明見解析(3)（2）中結(jié)論仍然成立．理由見解析(4)【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出CD=AD，∠CDG=∠ADE=90°，GD=ED，證明△CDG≌△ADE（SAS），則可得出結(jié)論；（2）延長EA交CG于H，由全等三角形的性質(zhì)證出∠GHE=90°，則可得出結(jié)論；（3）設(shè)EA與CG相交于點H，GD與AE交于點M，證明△CDG≌△ADE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠CGD=∠AED，則可得出結(jié)論；（4）連接CE，證明△CDE≌△CDG（SAS），得出CE=CG，則CG=CE=EG，證出△CEG是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠CEG=60°，延長CD交EG于點H，由等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，∴CD=AD，∠CDG=∠ADE=90°，GD=ED，∴△CDG≌△ADE（SAS），∴AE=CG；（2）解：AE⊥CG．證明：延長EA交CG于H，∵△CDG≌△ADE，∴∠CGD=∠AED，∵∠GAH=∠DAE，∴∠HGA+∠GAH=∠AED+∠DAE=90°，∴∠GHE=90°，∴AE⊥CG；（3）解：（2）中結(jié)論仍然成立．理由：如圖2，設(shè)EA與CG相交于點H，GD與AE交于點M，∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，∴CD=AD，∠CDA=∠CDG=90°，GD=ED，∴∠CDA+∠ADG=∠CDG+∠ADG，即∠CDG=∠ADE，在△CDG和△ADE中，，∴△CDG≌△ADE（SAS），∴∠CGD=∠AED，∵∠AMG=∠DME，∴∠HGM+∠GMH=∠DME+∠DEM=90°，∴∠GHE=90°，∴AE⊥CG；（4）解：連接CE，由（3）可知△ADE≌△CDG，∴CG=AE，∵EG=AE，∴CG=EG，∵四邊形DEFG是正方形，∴∠DGE=45°，∵AD∥EG，∴∠ADG=∠DGE=45°，∴∠CGD=135°，∵∠EDG=90°，∴∠CDE=360°-135°-90°=135=∠CDG，又∵CD=CD，DG=DE，∴△CDE≌△CDG（SAS），∴CE=CG，∴CG=CE=EG，∴△CEG是等邊三角形，∴∠CEG=60°，延長CD交EG于點H，∵△CDE≌△CDG，∴∠ECH=∠GCD，CG=CE，∴GH=EH，CH⊥EG，∵DE=，∴EG=2，∴DH=EH=EG=1，∴CH=EH=，∴CD=CH-DH=．即正方形ABCD的邊長為．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．(1)AD=2CE，60°(2)（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)作法可得，，從而得到垂直平分，進而得到，，可證得是等邊三角形，即可求解；（2）分別取的中點M，N，延長交于點P，設(shè)交于點Q，則，，可得，，證明，可得，從而得到，再由，可得，即可求解；（3）由（1）得：，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，，由勾股定理可得，然后分兩種情況：當(dāng)點A在的延長線上時，當(dāng)點A在的延長線上時，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)作法得：，∴垂直平分，∴，∵，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，即直線與直線所夾的銳角是故答案為：，；（2）解：仍然成立，理由如下：如圖，分別取的中點M，N，延長交于點P，設(shè)交于點Q，則，，∴，∴，由（1）得：，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（3）解：由（1）得：，∴，∴，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴，當(dāng)點A在的延長線上時，如圖，∴，∵，∴，當(dāng)點A在的延長線上時，如圖，∴，∵，∴；綜上所述，線段的長為或．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，做適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．11．(1)(2)，證明見解析(3)，證明見解析【分析】(1)證明，然后根據(jù)點為線段的中點即可得出結(jié)論；(2)延長交于點，連接，過點作于點，證明出四邊形為矩形，即可得出結(jié)論；(3)延長到點，使，連接，得到與的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴AD=BC，又M是BC的中點，且∠BOC=90°，∴OM=MC=BM==，故，故答案為：（2），理由如下：如下圖所示，延長交于點，連接，過點作于點，∵，，，∴，∴，，，∴，∴，∵為的中點，∴，∴四邊形是矩形．∴，∴．（3），理由如下：如圖．延長到，使，連接，∵為的中點，為的中點，∴為的中位線，∴，∵，∴，即，在和中，∴，∴，∴，【點睛】此題考查了幾何變換綜合題,涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),三角形的中位線定理,是—道多知識點探究性試題.12．(1)(2)證明過程見解析(3)【分析】（1）過點作的垂線，交于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，證出，即可求出的長度；（2）連接，并延長使得，連接、，證明，推出，，即可證明，從而證出，根據(jù)是的中位線，得到，即可證出；（3）連接、，過點作垂線，交于點，延長交于點，根據(jù)折疊的性質(zhì)證明，推出，根據(jù)，推出，得到，推出，當(dāng)與的乘積最大時，的面積最大，即的面積最大，根據(jù)是定長，推出以為底，時的面積最大，設(shè)，根據(jù)，即可求出的值，利用勾股定理分別求出、的長度，求出的長度，再求出的長度，即可利用勾股定理求出的值．【詳解】（1）解：過點作的垂線，交于點，如圖所示∵平分∴∵∴∴在中，在和中∴∴∴（2）證明：連接，并延長使得，連接、，如圖所示∵點是中點∴在和中∵∴∴，∵點與點重合，∴∴，∵平分∴∴∴∵∴在和中∵∴∴∵點是中點、點是中點∴是的中位線∴∴（3）解：連接、，過點作垂線，交于點，延長交于點，如圖所示∵將沿翻折到同一平面內(nèi)得到∴，又∵∴∴又∵∴∴∵∴，∵∴∴∴∴∵∴∴當(dāng)與的乘積最大時，的面積最大，即的面積最大∵是定長∴以為底，時的面積最大∵，∴，∴∵，∴設(shè)∵∴∵，即∴∴，∴∴∴【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、三角形面積最大、勾股定理、三角函數(shù)等知識點，本題難度比較大，正確作出輔助線，綜合運用各知識點是解答本題的關(guān)鍵．13．(1)40，BE＝AD(2)①存在，理由見詳解；②60°(3)當(dāng)α＝150°或330°時，的面積最大【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得∠BCE=20°，可得出40°，BC＝AC，∠BCE＝∠ACD＝20°，CE＝CD，可求得BE＝AD；（2）方法同（1）；（3）當(dāng)BC邊上的高最大時，△BCD的面積最大，高最大時CD的長，△BCD的面積最大，由兩種情形．【詳解】（1）∵△ABC和△CDE是等邊三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA=60°，∵旋轉(zhuǎn)20°∴∠BCE＝∠ACD＝20°，∴△CBE≌△CAD（SAS），∴BE＝AD（全等三角形的對應(yīng)邊相等），∵∠BCA－∠BCE∴60°-20°=40°故答案為：40，BE＝AD（2）如圖1，①（1）中結(jié)論仍然成立，理由如下：∵△ABC和△CDE是等邊三角形，BC＝AC，CE＝CD，∵∠BCE＝∠ACD＝120°，∴△CBE≌△CAD（SAS），∴BE＝AD；②∵△CBE≌△CAD，∴∠CBE＝∠CAD，又∠AOP＝∠BOC，∴∠APB＝∠ACB＝60°；（3）如圖2，當(dāng)D運動到D1或D2，即BC⊥D1D2S△BCD最大ab，此時旋轉(zhuǎn)角是60°+90°＝150°，或360°﹣30°＝330°，∴當(dāng)α＝150°或330°．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)等知識，解決問題的關(guān)鍵是找全等的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，題目屬于中考?？碱}型．14．(1)見解析；(2)CQ⊥QE，CQ=QE．證明見解析；(3)如圖3-1中，當(dāng)∠CGB=45°時，結(jié)論：CH+EG=AH．如圖3-2中，當(dāng)∠CGB=45°時，結(jié)論：CH=EG+AH．證明見解析．【分析】（1）根據(jù)鄰邊相等有一個角是直角的平行四邊形是正方形證明即可．（2）結(jié)論：CQ⊥QE，CQ=QE．如圖2中，延長EQ交BD于P，連接CP=CE．證明△CPE是等腰直角三角形，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：