2025年中考數(shù)學總復習《全等三角形的判定與性質(zhì)》專項測試卷(附答案)

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學總復習《全等三角形的判定與性質(zhì)》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖在平行四邊形中，，過點C作交于點E，連接．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，過點E作交于點F，連接，若，求證：；(3)如圖3，在直線上有一動點P，連接，過點A向下方作，且，過點Q作交于點H，連接，若，，直接寫出的最小值．2．如圖，是的中線，是線段上一點（不與點重合）．交于點，，連接．(1)如圖1，當點與重合時，求證：；(2)如圖2，當點不與重合時，求證：四邊形是平行四邊形；(3)如圖3，延長交于點，若，若，證明：．3．如圖1，點P是對角線上的一點（），且使得，連接并延長，交于點E．(1)若，求的值．(2)如圖2，將沿方向平移到，求證：．(3)如圖3，連接，取的中點M，連接交于點F，若，求的值．4．在正方形中，E是邊上一點（點E不與點B，C重合），，垂足為點E，與正方形的外角的平分線交于點F．(1)如圖1，若點E是的中點，猜想與的數(shù)量關系是________．證明此猜想時，可取的中點P，連接．根據(jù)此圖形易證．則判斷的依據(jù)是______(2)點E在邊上運動．①如圖2，（1）中的猜想是否仍然成立？請說明理由．②如圖3，連接，若正方形的邊長為4，求周長的取值范圍5．如圖，將矩形沿對角線翻折，點落在點處，交于點，點在上，連接，且．(1)如圖1，是______三角形；(2)若，求的值；(3)如圖2，在（2）的條件下，點在上，且不與，兩點重合，連接并延長到點，使得，連接，，將沿翻折，點的對應點恰好落在的延長線上．當時，求的長．6．如圖，四邊形是正方形，點在上，點在上，且，和交于點．(1)求證：；(2)如圖，與交于點，與交于點，與交于點，求證：；(3)如圖，在（）的條件下，連接，過點作交于點，交于點，若，，求的長．7．利用矩形的折疊開展數(shù)學活動，探究體會圖形在軸對稱變換過程中的變化，及其蘊含的數(shù)學思想和方法．已知，矩形紙片的邊，E為邊上的動點（E不與B，C重合），將矩形紙片沿著對折，點B落在點F處．(1)如圖1，若點F恰好落在矩形的對角線交點處，求的長．(2)如圖2，若的延長線恰好經(jīng)過點D，，求的長．(3)如圖3，若，連接，，當是等腰三角形時，求的長．（直接寫出結果）8．如圖1，在中，，，為邊的一點，為邊上一點，連接，交于點且，平分交于點．(1)求證：；(2)如圖2，延長交于，連接交于點，過點作交的延長線于點，求證：；(3)在（2）問的條件下，當時，若，求的長．9．正方形的邊長為，是邊上一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．(1)如圖1，當點為中點時，連接，求的長；(2)如圖2，當點為線段上任意一點時，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，分別連接，依題意補全圖形，猜想與的數(shù)量關系，并證明你的結論．(3)在（2）的條件下，當點在線段上運動，線段的最小值為__________．10．如圖（1），點是等邊三角形內(nèi)的任意一點，過點向三邊作垂線，垂足分別為，，．試探究與周長的關系．記，的周長．(1)從特殊情形入手：①若點在的重心，如圖（2），此時與的關系為_________；②若點在的一條高上，如圖（3），此時（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．(2)若點不在的高上，如圖（4），研究發(fā)現(xiàn)可以轉(zhuǎn)化為上述特殊情形進行解決．請寫出解決過程．11．已知在四邊形中，，，(1)如圖1，，E、F分別是邊、上的點，線段、、之間的關系是______；(2)如圖2，，E、F分別是邊、上的點，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關系，并證明；(3)如圖3，，E、F分別是邊、延長線上的點，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關系，并證明．12．如圖，在正方形中，，點為正方形的對角線上一動點．(1)如圖①，過點作交邊于點．當點在邊上時，求證：；(2)如圖②，在（1）的條件下，過點作，垂足為點，在點的運動過程中，的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出這個不變的值；若變化，試說明理由．(3)如圖③，若點是射線上的一個動點，連接，，且始終滿足，設，求的最小值．13．在正方形和正方形中，為上一動點（不與重合），在延長線上，(1)如圖1，判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．(2)如圖2連接交于點，連接，判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．(3)如圖3連接交于點，連接，若點在運動的過程中，當平分時，過點做于點，直接寫出與的數(shù)量關系．14．在平面直角坐標系中，為軸正半軸上一點，為軸正半軸上一點，以為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形．(1)如圖1，當時，求點的坐標；(2)如圖2，當時，連接，過點作于，過點作軸于，交于點，連接，請判斷四邊形的形狀，并說明理由；(3)如圖3，當時，點、分別為四邊形的邊、延長線上的兩點．連接、、．若，點的縱坐標為，求點的橫坐標（用含、的代數(shù)式表示）．15．如圖1，在矩形中，垂直對角線于點E，交于點F，M是的中點，連接并延長，交于點N，于點H，連接．(1)求證：．(2)若，求的值．(3)如圖2，若F是的中點，，求的長．參考答案1．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）由題意可得為等腰直角三角形，即可得出，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，從而可得，即，設，則，，再由勾股定理計算即可得解；（2）由題意可得為等腰直角三角形，即可得出，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，從而可得，即，作交的延長線于，則，證明，得出，，證明，得出，，結合，求出，從而可得，由直角三角形的性質(zhì)可得，即可得證；（3）由題意可得為等腰直角三角形，推出，，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，，，推出，即，由勾股定理可得，，求出，以為直角邊作等腰直角，連接，令交于，交于，交于，則，，證明，求出，作直線，令直線交于，則點在直線上運動，，為值，則為等腰直角三角形，四邊形為矩形，得出，，，，作點關于直線的對稱點，取，連接交直線于，連接，則四邊形為平行四邊形，得出，由軸對稱的性質(zhì)可得，，，即可推出，由兩點之間，線段最短可得，當、、在同一直線上時，的值最小，為，作交的延長線于，則四邊形為矩形，求出，，由勾股定理可得，即的最小值為，即可得解．【詳解】（1）解：∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，即，∵，∴設，則，∴，由勾股定理可得：，∴，解得：或（不符合題意，舍去），∴；（2）證明：∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，，，∴，即，如圖，作交的延長線于，則，∵，∴，∴，即，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，，∴為等腰直角三角形，∴，，∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，，∴，即，∵，∴，∴，∴，如圖，以為直角邊作等腰直角，連接，令交于，交于，交于，則，，∵，且，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，作直線，令直線交于，則點在直線上運動，，為值，∴為等腰直角三角形，四邊形為矩形，∴，，，∴，∵，∴，作點關于直線的對稱點，取，連接交直線于，連接，則四邊形為平行四邊形，∴，由軸對稱的性質(zhì)可得，，，∴，由兩點之間，線段最短可得，當、、在同一直線上時，的值最小，為，作交的延長線于，∴，∴四邊形為矩形，∴，，∵，∴，∴，即的最小值為，∴的最小值為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關鍵．2．(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查了三角形的中位線，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關鍵．（1）先判斷出，進而判斷出，即可得出結論；（2）過點M作交于G，先判斷出四邊形是平行四邊形，借助（1）的結論即可得出結論；（3）取線段的中點I，連接，先判斷出，，根據(jù)，得出，即可得證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵是的中線，且D與M重合，∴，∴，∴，（2）解：如圖2，過點M作交于G，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，由（1）同理可證：，∴，∴，又，∴四邊形是平行四邊形；（3）解：如圖3，取線段的中點I，連接，

∵，∴是的中位線，∴，，∵∴∵∴∴3．(1)(2)見詳解(3)【分析】（1）由可得，再證，則可得，即，進而可得．（2）由可得，根據(jù)平移的性質(zhì)可得，，進而可得，，再根據(jù)證明，即可得．（3）取的中點G，連接，則可得是的中位線，則．根據(jù)平行線分線段成比例定理可得．延長至Q點，使，連接，，則可得四邊形是平行四邊形，則，．再結合可得，，從而可得，由此可得，進一步可得．【詳解】（1）解：∵，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，，∴，，又，，．（2）證明：，，∵將沿方向平移到，，，，，，，，．（3）解：如圖，取的中點G，連接．設，則．∵，，，．∵M點是的中點，G點是的中點，∴是的中位線，，∴．延長至Q點，使，連接，，又，∴四邊形是平行四邊形，，．又∵四邊形是平行四邊形，，，，，，又，，，，，又，，．，，，．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強，熟練掌握以上知識，正確的作出輔助線是解題的關鍵．4．(1)，(2)①成立，理由見解析②周長c的取值范圍是【分析】（1）取的中點P，連接．先證，再證，，然后由證，即可得出結論；（2）①在上取一點P，使，連接，證，即可得出結論；②過D作交于點H，連接，證是等腰直角三角形，則點H與D關于對稱，得，當A、F、H三點共線時，即最短，此時，再由勾股定理得，此時；當與相等時，即A、D、F三點共線，此時，則；即可得出結論．【詳解】（1）解：（1）如圖1，取的中點P，連接．則，∵點E是的中點，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：，；（2）解：①成立，理由如下：如圖2，在上取一點P，使，連接，則，由（1）得：，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；②如圖3，過D作交于點H，連接，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴點H與D關于對稱，∴，∴，當A、F、H三點共線時，即最短，此時，，在中，由勾股定理得：，此時；當與相等時，即A、D、F三點共線，此時，則；∴的周長c的取值范圍是．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，本題綜合性強，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．5．(1)等腰(2)(3)．【分析】此題屬于四邊形的綜合題．考查了矩形的性質(zhì)、三角形全等和相似的性質(zhì)和判定、勾股定理、折疊的性質(zhì)等知識，注意掌握折疊前后圖形的對應關系是解此題的關鍵．（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得：，由等角對等邊可得是等腰三角形；如圖1，過點作于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得：，設，，由勾股定理得，設，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，最后利用勾股定理列方程可得與的關系，從而得結論；（3）如圖2，作輔助線，構建全等三角形，證明，得，從而由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得，證明，列比例式可得結論．【詳解】（1）解：如圖1，∵四邊形是矩形，∴，∴，由折疊得：，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：如圖1，過點作于，∵四邊形是矩形，∴，∴，又∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴可設，，∴，∴，∵，∴，設，∴，∴，在中，由勾股定理得，即，解得或（舍去）∴；（3）解：如圖2，過點作，由折疊得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，，∴，由（2）知：，則，∴，∵，，∴，∴，∴．6．(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】（）由四邊形是正方形，得，，證明，則，所以，從而求證；（）由四邊形是正方形，得，，，所以，，證明即可；（）過作，，則，故，故有平分，再證明，故有，，由勾股定理可得，連接，則有點與關于對稱，，，即有，根據(jù)角度和差得，所以，則，過作于點，設，則，，最后由勾股定理求出的值即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）證明：∵四邊形是正方形，∴，，，∴，，∵，∴，又∵∴，∴，∴；（3）解：過作，，同理得：，∴，∴平分，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，連接，∵四邊形是正方形，∴點與關于對稱，，∴，∴，由（）得，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，過作于點，∴，∴，∴，設，則，，∴，∴，解得：，（舍去），∴．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握知識點的應用是解題的關鍵．7．(1)6(2)(3)或【分析】（1）連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到點是的中點，，求得；根據(jù)勾股定理得到，得到；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到的長度，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結論；（3）①當時，過點作于，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到求得，進而求解；②當時，如圖，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，求得；【詳解】（1）解：如圖，連接，將矩形紙片沿對折，點落在點處，點恰好落在矩形的對角線交點處，點是的中點，，，，；（2）解：將矩形紙片沿著對折，，，，，，，，，又，，，，；（3）解：①當時，過點F作于H，正方形沿著對折，，，，，是等邊三角形，，，又，，，，，，，，，，，；②當時，如圖，，點F在的垂直平分線上，點F在的垂直平分線上，，正方形沿著對折，，，是等邊三角形，，，，，綜上所述：的長為或．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握各知識點是解題的關鍵．8．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)證明；（2）先證明，得，再證明，即可得出結論；（3）過點F作，垂足為點Q，求出，得出，再證明，可得，設，列出方程，再求解即可．【詳解】（1）證明：，，，平分，，，在和中，，，（2）證明：，，，，，在和中，，，，，，，，，，；（3）解：設，則，，，，，，，解得，，，，，，，，，，如圖，過點F作，垂足為點Q，設，，，，，由（2）得：，，，，．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．9．(1)(2)，證明見詳解(3)線段的最小值為【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，最短線段的計算，掌握正方形的性質(zhì)是關鍵．（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，勾股定理得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，再根據(jù)等腰直角三角形，勾股定理定理得到，由此即可求解；（2）過點作延長線于點，過點作延長線于點，則，可證，得到，同理，，再證明，即可求解；（3）在中，，當點共線時，的值最小，四邊形是正方形，是對角線，，可得是等腰直角三角形，，結合（2）的證明即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，點為中點，∴，∴，∵將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴；（2）解：，證明如下，過點作延長線于點，過點作延長線于點，則，∵將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，又，∴，∴，∴，即，同理，，∴，∴，即，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，連接，在中，，∴當點共線時，的值最小，如圖所示，∵四邊形是正方形，是對角線，∴，∴是等腰直角三角形，，由（2）可得，∴，∴，∴線段的最小值為．10．(1)①；②成立，理由見解析(2)見解析【分析】（1）①由三角形重心的性質(zhì)可得，，，由此計算即可得解；②由等邊三角形的性質(zhì)可得，，，證明得出，即可推出，從而即可得解；（2）過點作于，交于點，過點作于，過點分別作于點，于點，由（1）可得，由圖可得四邊形和四邊形是矩形，由矩形的性質(zhì)可得，，，證明，得出，從而可得，進一步得出，即可得解．【詳解】（1）解：①∵點在的重心，∴點為三角形三條中線的交點，∴，，，∴；②成立，理由如下：∵為等邊三角形，是的高，∴，，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴；（2）解：如圖，過點作于，交于點，過點作于，過點分別作于點，于點，由（1）可得，由圖可得四邊形和四邊形是矩形，∴，，，∵為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、三角形的重心的定義，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．11．(1)；(2)成立，證明見解析；(3)不成立，，證明見解析；【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作輔助線構造全等三角形是解題關鍵．（1）延長至點，使得，連接，證明，得到，，再證明，得到，即可得到結論；（2）延長至點，使得，連接，證明，得到，，同（1）理可得，，即可證明結論；（3）在上取點，使得，證明，得到，，再證明，得到，即可得到結論．【詳解】（1）解：如圖，延長至點，使得，連接，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，故答案為：；（2）解：（1）中的結論仍然成立，證明如下：如圖，延長至點，使得，連接，，，，在和中，，，，，同（1）理可得，，；（3）解：（1）中的結論不成立，，證明如下：如圖，在上取點，使得，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，．12．(1)證明見解答過程(2)點在運動過程中，的長度不變，值為(3)6【分析】（1）連接，證，得，再證，則，即可得出結論；（2）連接，如圖2．首先證得，則有，只需求出的長即可得解；（3）過點在正方形外構造作，然后取中位線得，從而可得，再構造直角三角形求出即可得出結論．【詳解】（1）證明：連接，如圖1所示：

∵四邊形是正方形，∴，，在和中，，，，，，，，，，，；（2）解：的長度不變．理由如下：連接，與相交于點，如圖2．

∵四邊形是正方形，∴，∵，即，∴，∵，即，，在和中，，∴，，∵四邊形是正方形，，，，，，(負值不合題意，已經(jīng)舍去)，∴點在運動過程中，的長度不變，值為；（3）解：如圖3所示：過點在正方形外作，使，在上取點，使，連接，

∵四邊形是正方形，，，，∴，∴，∴，如圖3所示：在上取點，使，連接、，又∵，∴，∴即：當、、三點共線時，最小，最小值為，如圖3所示：過點作，垂足為，交于，∵正方形中，，∴四邊形是矩形，∴，，，∵∴是等腰直角三角形，∵，，，在中，由勾股定理得：，∴∴的最小值為．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，本題綜合性強，熟練掌握正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵，屬于中考常考題型．13．(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)，由兩個三角形全等的判定定理即可得證；（2）過點作，交延長線于，如圖所示，由（1）中全等得到，再進一步利用兩個三角形全等的判定定理得到，即可得到，即點是線段的中點，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半及等腰直角三角形性質(zhì)即可得證；（3）由（2）可知，在中，是直角三角形斜邊上的中線，則，進而可知，過點作于，則，先證，進而證得，得，即可求解，則，在上截取，則，，得，則，得，由可得結論．【詳解】（1）解：，理由如下：在正方形中，；在正方形中，，，，，；（2）解：，理由如下：過點作，交延長線于，如圖所示：由（1）可知，，，，，，，則是等腰直角三角形，，，，，，，即點是線段的中點，在中，是直角三角形斜邊上的中線，則，在正方形中，是正方形的對角線，則是等腰直角三角形，，，即，，則；（3），理由如下：由（2）可知，在中，是直角三角形斜邊上的中線，則，∵，∴，過點作于，則，∴，∴，∴，∴，，又∵，則，∴，∴，∴，∵平分∴，則，在上截取，則，，∴，則，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形等知識點，屬于幾何綜合題，難度較大．解題的關鍵是通過相關圖形的性質(zhì)做出輔助線．14．(1)(2)四邊形是矩形，理由見解析(3)點的橫坐標為【分析】（1）過點作軸，軸，根據(jù)等量代