2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)

第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．如圖1，平底燒瓶是實(shí)驗(yàn)室中使用的一種燒瓶類玻璃器皿，主要用來(lái)盛液體物質(zhì)，它的截面圖可以近似看作是由去掉兩個(gè)弓形后與矩形組合而成的圖形，其中，若的半徑為，，，，求該平底燒瓶的高度．2．如圖1，某公園有一個(gè)圓形音樂(lè)噴泉，為了保障游客安全，管理部門打算在噴泉周圍設(shè)置一圈防護(hù)欄現(xiàn)在對(duì)噴泉進(jìn)行測(cè)量和規(guī)劃，其示意圖如圖2所示，相關(guān)信息如下：信息二：點(diǎn)O為噴泉中心，是噴泉邊緣的一條弦，米，D是弦的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交劣弧于點(diǎn)C，米．信息二：已知防護(hù)欄要距離噴泉邊緣1米，以O(shè)為圓心，R為半徑作防護(hù)欄所在圓．請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題(1)求噴泉的半徑；(2)要在防護(hù)欄上每隔1.5米安裝一盞景觀燈，大約需要安裝多少盞景觀燈？（取3.14，結(jié)果保留整數(shù)）3．某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，如圖，是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)請(qǐng)找出截面的圓心O．（尺規(guī)作圖不寫(xiě)畫(huà)法，保留作圖痕跡．）(2)若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬，水面最深的地方為，求這個(gè)圓形截面的半徑．4．“圓”是中國(guó)文化的一個(gè)重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用，例如古典園林中的門洞．如圖1，其數(shù)學(xué)模型為如圖2所示．園林中的一個(gè)圓弧形門洞的地面跨徑米，為圓上一點(diǎn)，于點(diǎn)，且米，則門洞的半徑是多少？5．圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結(jié)構(gòu)類型，它不僅力學(xué)性能好，而且構(gòu)造簡(jiǎn)單、施工方便．某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為1.2m的圓，如圖所示，若水面寬．，求水的最大深度（精確到0.1，）．6．如圖，是一個(gè)半圓形橋洞的截面示意圖，圓心為O，直徑是河底截線，弦是水位線，于點(diǎn)．

(1)當(dāng)測(cè)得水面寬時(shí)，求此時(shí)水位的高度；(2)當(dāng)水位的高度比（1）上升1m時(shí)，有一艘寬為10m，船艙頂部高出水面2m的貨船要經(jīng)過(guò)橋洞（船艙截面為矩形），請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷該貨船能否順利通過(guò)橋洞？7．日晷是我國(guó)古代使用的一種計(jì)時(shí)儀器，某日晷底座的正面與晷面在同一平面上．如圖，表示日晷的晷面圓周，日晷底座的底邊在水平線l上，為等邊三角形，，與分別交于P，Q兩點(diǎn)．點(diǎn)C，D是上兩點(diǎn)，，過(guò)O作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)M．已知，，．(1)求的半徑；(2)求圖中陰影部分的面積．8．如圖，某公路上有一隧道，頂部是圓弧形拱頂，圓心為O，隧道的水平寬為，離地面的高度，拱頂最高處C離地面的高度為．若在拱頂?shù)腗，N處安裝照明燈，且M，N離地面的高度相等，都為．(1)求圓弧形拱頂?shù)陌霃降拈L(zhǎng)度；(2)求的長(zhǎng)度．9．某地欲搭建一橋，橋的底部?jī)啥碎g的距離，稱跨度，橋面最高點(diǎn)到的距離稱拱高，當(dāng)L和h確定時(shí)，有兩種設(shè)計(jì)方案可供選擇：①拋物線型；②圓弧型．已知這座橋的跨度米，拱高米．(1)如果設(shè)計(jì)成拋物線型，如圖1，以所在直線為x軸，的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系，求橋拱的函數(shù)解析式；(2)如果設(shè)計(jì)成圓弧型，如圖2，求該圓弧所在圓的半徑；(3)有一艘寬為12米的貨船，船艙頂部為方形，并高出水面米，在兩種方案下，此貨船能否順利通過(guò)該橋？并說(shuō)明理由．10．如圖1，圓形拱門是中國(guó)古典園林建筑元素之一，圓形拱門有著圓滿、完美的美好寓意、(1)在圖2中作出拱門中圓弧的圓心（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．(2)已知拱門高（優(yōu)弧中點(diǎn)到的距離），，，求拱門的圓弧半徑．11．如圖1，裝有水的水槽放置在水平桌面上，其橫截面是以為直徑的半圓，若，為水面截線，，為桌面截線，．(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)出線段，用其長(zhǎng)度表示水面的最大高度（不要求尺規(guī)作圖，不說(shuō)理由），并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)；(2)將圖中的水倒出一部分得到圖2，發(fā)現(xiàn)水面高度下降了，求此時(shí)水面截線減少了多少．12．問(wèn)題情境：如圖(1)，筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車的工作原理：假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)．問(wèn)題設(shè)置：把筒車抽象為一個(gè)半徑為r的．如圖(2)，筒車涉水寬度，筒車涉水深度(劣弧中點(diǎn)到水面的距離)是．筒車開(kāi)始工作時(shí)，上C處的某盛水筒到水面的距離是，經(jīng)過(guò)后該盛水筒旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D處．問(wèn)題解決：(1)求該筒車半徑r的大??；(2)當(dāng)盛水筒旋轉(zhuǎn)至D處時(shí)，求它到水面的距離．13．如圖，一圓弧形橋拱的圓心為E，拱橋的水面跨度米，橋拱到水面的最大高度DF為20米．求：(1)橋拱的半徑；(2)現(xiàn)水面上漲后水面跨度為60米，求水面上漲的高度．14．如圖，在氣象站臺(tái)A的正西方向的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，該臺(tái)風(fēng)中心以每小時(shí)的速度沿北偏東的方向移動(dòng)，在距離臺(tái)風(fēng)中心內(nèi)的地方都要受到其影響．(1)臺(tái)風(fēng)中心在移動(dòng)過(guò)程中，與氣象臺(tái)A的最短距離是多少？(2)臺(tái)風(fēng)中心在移動(dòng)過(guò)程中，氣象臺(tái)將受臺(tái)風(fēng)的影響，求臺(tái)風(fēng)影響氣象臺(tái)多長(zhǎng)時(shí)間？15．如圖1，裝有水的水槽放置在水平桌面上，其橫截面是以為直徑的半圓O，，為水面截線，，為桌面截線，．(1)作于點(diǎn)C，求的長(zhǎng)；(2)將圖1中的水倒出一部分得到圖2，發(fā)現(xiàn)水面高度下降了，求此時(shí)水面截線減少了多少？參考答案1．該燒瓶的高度為．【分析】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用．連接，，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由垂徑定理得出，的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理得出，的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接，，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，平分，，，，，，的半徑為，，在和中，，由勾股定理得，，該燒瓶的高度為．2．(1)噴泉的半徑為5米(2)大約需要安裝25盞景觀燈【分析】本題考查垂徑定理，求圓的周長(zhǎng)，熟練掌握垂徑定理，是解題的關(guān)鍵：（1）連接，設(shè)噴泉的半徑為，根據(jù)垂徑定理和勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)噴泉的半徑求出防護(hù)欄的半徑，進(jìn)而求出防護(hù)欄的周長(zhǎng)，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：連接，設(shè)噴泉的半徑為，則：，∴，∵D是弦的中點(diǎn)，∴平分弦，，∴，∴，∴，∴米；答：噴泉的半徑為5米；（2）解：由題意，得：米，（盞）；答：大約需要安裝25盞景觀燈．3．(1)見(jiàn)解析；(2)這個(gè)圓形截面的半徑【分析】此題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理．（1）任取一條弦，分別作，的垂直平分線交點(diǎn)即為圓心，根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟和方法做出圖即可；（2）連接，交于點(diǎn)E，交弧于點(diǎn)D，利用垂徑定理求出，設(shè)半徑為，則，再根據(jù)勾股定理列方程計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)O即為所求，（2）解：如圖，連接，交于點(diǎn)E，交弧于點(diǎn)D，∴，由題意得，，設(shè)半徑為，則，在中，，∴，解得，∴這個(gè)圓形截面的半徑．4．門洞的半徑長(zhǎng)為米【分析】過(guò)作于，過(guò)作于，由垂徑定理得米，再證四邊形是矩形，則米，米，設(shè)該圓的半徑長(zhǎng)為米，然后由題意列出方程組，解方程組即可．【詳解】解：過(guò)作于，過(guò)作于，如圖所示：則米，，，，四邊形是矩形，米，米，設(shè)該圓的半徑長(zhǎng)為米，根據(jù)題意得，，，，，，，，，解得，，解得，即門洞的半徑長(zhǎng)為米．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，方程組的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．水的最大深度為【分析】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，根據(jù)垂徑定理可得，在中，根據(jù)勾股定理解得的值，繼而獲得答案．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，，，直徑為，，在中，根據(jù)勾股定理，可得，，水的最大深度為．6．(1)此時(shí)水位的高度為(2)該貨船能順利通過(guò)橋洞，見(jiàn)解析【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，作出合適的輔助線，牢記特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂徑定理可得，求出橋洞的半徑，然后利用勾股定理計(jì)算即可；（2）由（1）中水位高度為可知此時(shí)，延長(zhǎng)交于F，連接，則，可得，貨船居中行駛時(shí)，利用勾股定理求出，然后與橋洞的半徑比較后可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，∴此時(shí)水位的高度；（2）解：該貨船能順利通過(guò)橋洞；理由：由（1）中水位高度為可知此時(shí)，延長(zhǎng)交于F，連接，則，

∵貨船寬為，船艙頂部高出水面，∴，貨船居中行駛時(shí)，∴，∴該貨船能順利通過(guò)橋洞．7．(1)(2)【分析】本題考查垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用，與圓有關(guān)的陰影部分面積；（1）連接，先證明，再由垂徑定理得到，然后設(shè)的半徑，在中，利用勾股定理得到，列方程計(jì)算即可；（2）由，求出等邊三角形的邊長(zhǎng)，再分別求出，，最后根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】（1）解∶∵，，∴，∴，，，如圖，連接，設(shè)的半徑，∵，∴，在中，，∴，解得，即的半徑為；（2）解∶∵為等邊三角形，∴，∵，∴，，∵，∴，在中，，∴，解得（負(fù)值舍去），，，．8．(1)13m(2)10m【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用：（1）設(shè)與交于G，與交于H，根據(jù)題意和垂徑定理可得，，，利用勾股定理求半徑即可；（2）利用勾股定理求得，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)與交于G，與交于H．，，，，，，，設(shè)圓拱的半徑為r，在中，，，解得，圓弧形拱頂?shù)陌霃降拈L(zhǎng)度為；（2）解：，，在中，，，解得，，．9．(1)(2)該圓弧所在圓的半徑10米(3)①在拋物線型上時(shí)，貨船不能順利通過(guò)該橋；②在圓弧型時(shí)，貨船能順利通過(guò)該橋；見(jiàn)解析【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理，根據(jù)題意得，和，結(jié)合點(diǎn)A和點(diǎn)B設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)C即可求得a；設(shè)圓心為O，連接交于E點(diǎn)，連接，可得圓心距和半徑之間關(guān)系，利用勾股定理即可求得半徑；當(dāng)在拋物線型上時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由于，則判斷貨船不能順利通過(guò)該橋；當(dāng)在圓弧型時(shí)，設(shè)米，過(guò)點(diǎn)G作交弧于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)O作交于H點(diǎn)，連接，利用勾股定理求得，即可求得船頂距圓弧的距離，由于，則判斷貨船能順利通過(guò)該橋．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵，∴，設(shè)拋物線的解析式為，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）設(shè)圓心為O，連接交于E點(diǎn)，連接，如圖，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，解得，則該圓弧所在圓的半徑10米；（3）①在拋物線型上時(shí)，當(dāng)時(shí)，，∵，∴貨船不能順利通過(guò)該橋；②在圓弧型時(shí)，設(shè)米，過(guò)點(diǎn)G作交弧于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)O作交于H點(diǎn)，連接，如上圖，則，在中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴貨船能順利通過(guò)該橋．10．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了垂徑定理，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵，（1）在拱門上找任意一點(diǎn)，分別與相連，并做垂直平分線，利用垂徑定理可確定圓心的位置；（2）先證四邊形是矩形，設(shè)，再根據(jù)勾股定理求得的值，即可得到拱門的圓弧半徑．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)即為所求，（2）解：連接，如圖所示：∵，，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是矩形，過(guò)點(diǎn)作于，交優(yōu)弧于點(diǎn)，交于，則，，，設(shè)，則，，在中，，∴，，解得，∴拱門的圓弧半徑為．11．(1)圖見(jiàn)解析，(2)【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容和正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）由題意作出圖形，由垂徑定理和勾股定理即可得出答案；（2）作出垂徑，由垂徑定理和勾股定理可得出弦長(zhǎng)，根據(jù)題意即可得出答案．【詳解】（1）解：，如圖，連接，為圓心，，，，，，在中，，，的長(zhǎng)為；（2）過(guò)作，連接，由題得，，在中，，，，水面截線減少了．12．(1)(2)【分析】本題主要考查圓的性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，與劣弧交于點(diǎn)，設(shè)半徑為，得到，根據(jù)垂徑定理可得，根據(jù)勾股定理得出答案．（2）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)題意得到，由勾股定理得到，即可得到答案．【詳解】（1）解：連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，與劣弧交于點(diǎn)，設(shè)半徑為，即，由題意得，，由根據(jù)垂徑定理可得，在中，，即，解得．（2）解：過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，筒車上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)，每秒旋轉(zhuǎn)，由于經(jīng)過(guò)后該盛水筒旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D處，，上C處的某盛水筒到水面的距離是，，，，，，，，為等腰直角三角形，，在中，，，．13．(1)橋拱的半徑為50米；(2)水面上漲的高度為10米．【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理的運(yùn)用．（1）根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解；（2）如圖2，由垂徑定理求出，由勾股定理求出，得出即可．【詳解】（1）解：如圖1，設(shè)圓的半徑是r，則由垂徑定理知，于F，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，，由勾股定理知，，則：，解得：；即橋拱的半徑為50米；（2）解：設(shè)水面上漲后水面跨度為60米，交于H，連接，如圖2所示，則米，∴（米），∵（米），∴（米）；答：水面上漲的高度為10米．14．(1)(2)5小時(shí)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）臺(tái)風(fēng)中心在一條直線上運(yùn)動(dòng)，臺(tái)風(fēng)中心在移動(dòng)過(guò)程中，與氣家臺(tái)A的最短距離即點(diǎn)A到直線的最短距離，求解即可得到答案;（2）作以A為圓心，為半徑的圓與直線相交于C，D兩點(diǎn)，那么線段就是A受臺(tái)風(fēng)的影響的路程，求出臺(tái)風(fēng)中心所在直線上與圓A的相交弦長(zhǎng)，弦長(zhǎng)除以速度即可得到臺(tái)風(fēng)影響氣象臺(tái)的時(shí)間．【詳解】（1）如圖，過(guò)A作于E，由題意知，，又∵，故，故臺(tái)風(fēng)中心在移動(dòng)過(guò)程中，與氣象臺(tái)A的最短距離是120km．（2）作以A為圓心，130km為半徑的圓與直線相交于C，D兩點(diǎn)，那么線段就是A受臺(tái)風(fēng)的影響的路程，連接，則，由勾股定理得：，由垂經(jīng)定理得：，故km，（小時(shí)）．答：臺(tái)風(fēng)影響氣象臺(tái)的時(shí)間會(huì)持續(xù)5小時(shí)