2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓中相似三角形綜合》專項(xiàng)測試卷(附答案)

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓中相似三角形綜合》專項(xiàng)測試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，在中，，是的角平分線，以O(shè)為圓心，為半徑作圓O．(1)求證：是圓O的切線；(2)已知交圓O于點(diǎn)E，延長交于點(diǎn)D，，求的值．2．如圖，以為直徑作，弦，連接并延長交圓于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，求的長．3．如圖，為的直徑，點(diǎn)C在圓外，，，點(diǎn)D在的延長線上，連接、，分別交于點(diǎn)E、F．若，．(1)求證：為的切線；(2)連接并延長，交于點(diǎn)M，求的長．4．如圖，在中，，點(diǎn)在上，以為圓心，長為半徑的圓與相切于點(diǎn)，與，分別相交于點(diǎn)，．(1)求證：平分；(2)若，，求的半徑及的長．5．如圖，點(diǎn)A，，是半徑為6的上三個(gè)點(diǎn)，的平分線交圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)．延長交的延長線于．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并證明；(2)若，求的值．6．如圖，以線段上一點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，交于點(diǎn)，點(diǎn)是異于點(diǎn)，的上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)若，求的半徑；(3)若，如圖，以為圓心，為半徑畫弧交射線于點(diǎn)（與不重合），為的中點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否在一個(gè)圓上？如果在，請求出這個(gè)圓的半徑；如果不在，請說明理由．7．如圖，在中，點(diǎn)O在上，以O(shè)為圓心，長為半徑作圓，恰好與相切于點(diǎn)D，且．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的半徑．8．如圖1，圓內(nèi)接四邊形，為直徑，點(diǎn)E在弧上，且滿足，連結(jié)并延長交的延長線于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)G．(1)若，請用含的代數(shù)式表示．(2)如圖2，連結(jié)，若．求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)，，，求的面積．9．圖1，內(nèi)接于圓O，是圓O的直徑，D為圓O上一點(diǎn)，連接、，E為上一點(diǎn)，且．(1)直接寫出與的位置關(guān)系為：_______；(2)如圖2，連接，在的延長線上取一點(diǎn)F，使，，求證：；(3)在（2）的條件下，如圖3，延長交于H，，，求的面積．10．如圖1，平行四邊形的對角線交于點(diǎn)P，E為的中點(diǎn)，過E點(diǎn)的圓O與相切于點(diǎn)P，圓O與直線分別交于點(diǎn)F，G．(1)求證：；(2)如果如圖2．求圓O的直徑．11．如圖，、是圓O的兩條直徑，且，點(diǎn)E是上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），連接并延長交的延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)P在上，且，連接，分別交，于點(diǎn)M，N，連接．(1)求證：是圓O的切線；(2)設(shè)圓O的半徑為4，在點(diǎn)E的移動過程中，判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．12．如圖，已知為的直徑，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，垂直于過點(diǎn)的直線，交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，平分．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．13．如圖，過圓外一點(diǎn)P作圓O的切線交圓與A，在圓上一點(diǎn)B（不與A重合），，點(diǎn)D在優(yōu)弧上運(yùn)動，連接與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C．(1)證明：是圓O的切線；(2)若點(diǎn)D是優(yōu)弧的中點(diǎn)，且，求；(3)在（2）的基礎(chǔ)上，，，求y關(guān)于x的解析式．字14．如圖，在中，O為上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，長為半徑作圓，與相切于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)D，且．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的長．15．如圖，是圓內(nèi)接三角形，點(diǎn)O是邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，交過點(diǎn)C的切線于點(diǎn)D，．(1)求證：是此圓的直徑；(2)若點(diǎn)O是邊的中點(diǎn)，，，求此圓的半徑長．參考答案1．(1)見解析(2)【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，然后證明即可；（2）連接，先求證，然后可知，所以，進(jìn)而得出的值．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)作于，∵平分，∴，即點(diǎn)在圓上，∴是的切線；（2）解：連接，如圖，∵是的直徑，，，，，，，設(shè)，圓的半徑為r，則，在中，，解得：或（舍），則，，，，設(shè)，根據(jù)（1）可得，∴，則，在中，，解得（舍去）或，，，．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是證明．本題涉及勾股定理，全等三角形，圓周角定理，相似三角形，解方程，圓的切線判定知識，內(nèi)容比較綜合，需要學(xué)生構(gòu)造輔助線才能解決問題，對學(xué)生綜合能力要求較高．2．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)垂徑定理得出，證明，得出，求出，根據(jù)勾股定理求出即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖所示：∵為的直徑，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，垂徑定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．3．(1)見解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理逆定理，圓周角，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．（1）證明，求得，利用勾股定理的逆定理，得到，即可證明結(jié)論；（2）利用三角形內(nèi)角和定理，得到，利用直徑得出，進(jìn)而推出，則M為的中點(diǎn)，即可求解．【詳解】（1）證明：在與中，∵，，∴．∴．∵，，∴．∴．∵在中，，，，∴，．∴，即為直角三角形，且．∴為的切線．（2）解：∵，，∴．又∵為的直徑，∴．∴，∵，∴，∴．∴．∴．∴M為的中點(diǎn)．∴．4．(1)證明見解析(2)；【分析】（1）連接，利用圓的切線的性質(zhì)定理，平行線的判定與性質(zhì)得到，利用同圓的半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；（2）利用勾股定理求得，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得圓的半徑，連接，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得，則結(jié)論可求．【詳解】（1）解：連接．是的切線，．，，．．，，，平分．（2）解：∵，∴，設(shè)的半徑為r，則，，∵，∴，∴，∴，∴．∴的半徑為．∴．連接，如圖，∵為的直徑，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，連接經(jīng)過切點(diǎn)的半徑和直徑所對的圓周角是解決此類問題常添加的輔助線．5．(1)相切，見解析(2)【分析】（1）先利用等邊對等角和角平分線的定義進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化求出，進(jìn)一步得到，即可求證．（2）先利用勾股定理求出，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)求出和，最后利用正切的定義求解．【詳解】（1）解：直線與相切．證明：如圖，連接．，，平分，，，，，．∵是的半徑，是的切線．（2）解：∵在中，，∴，，∴，，，，，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系——切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，求角的正切函數(shù)，角平分線的定義，平行線的判定與性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是能作出輔助線構(gòu)造相似三角形．6．(1)證明見解析(2)(3)點(diǎn)在一個(gè)圓上，這個(gè)圓的半徑為【分析】（）連接，可得，即得，由得到，進(jìn)而得到，即可求證；（）由，可得，進(jìn)而得到，連接，可得，得到，再根據(jù)勾股定理得到，進(jìn)而即可求解；（）連接，由垂徑定理的推論可得，即得，由得，進(jìn)而可得，得到，進(jìn)而得到，即可得到點(diǎn)在一個(gè)圓上；由，可得，，得到，再根據(jù)三角形面積可得，得到，由三線合一得到，即可得，，，，由得到，可得，得到，最后由勾股定理得到，由可知為點(diǎn)所在圓的直徑，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵為的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴∴，∴的半徑為；（3）解：點(diǎn)在一個(gè)圓上，理由如下：連接，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴點(diǎn)四點(diǎn)共圓，即點(diǎn)在一個(gè)圓上；∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵,∴為點(diǎn)所在圓的直徑，∴這個(gè)圓的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直接三角形的性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．(1)見解析(2)3【分析】本題考查了切線的性質(zhì)和判定定理、解直角三角形、相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到，，由推出，進(jìn)而得出，，再利用切線的判定定理即可證明；（2）在中利用余弦的定義求出的長，利用勾股定理求出的長，通過證明得到，設(shè)的半徑為r，代入數(shù)據(jù)解出r的值即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，與相切，，，，，，，，，，半徑于點(diǎn)C，為的切線．（2）解：由（1）知，在中，，，，，，，，設(shè)的半徑為r，則有，解得：，的半徑為3．8．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）由圓周角定理可得，，再由三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得解；（2）連接，利用證明即可得證；（3）由圓周角定理可得，證明，得出，由（2）可得：，推出，再證明，求出，由勾股定理可得，求出，，從而得出，，再由三角形面積公式計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵為直徑，∴，∴；（2）證明：如圖，連接，∵，∴，∵為直徑，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，由（2）可得：,∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．9．(1)(2)見詳解(3)【分析】（1）由是的直徑，得，由，推導(dǎo)出，而，則，所以；（2）由，，推導(dǎo)出，因?yàn)?，所以，而，，可根?jù)“”證明，得，因?yàn)椋?，則；（3）作于點(diǎn)，由，得，再證明，得，所以，因?yàn)椋?，所以，設(shè)，則，，由，得，則，所以，，由勾股定理得，求得符合題意的值為1，則，，，求得，由，求得，則．【詳解】（1）解：，理由：如圖1，是的直徑，，，，，，，；（2）證明：如圖2，，，，，，在和中，，，，，，，，；（3）解：如圖3，作于點(diǎn)，則，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，解得，（不合題意，舍去），，，，，，，，，，的面積是．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．10．(1)見解析(2)【分析】（1）作直徑，連接，由平行四邊形的性質(zhì)和點(diǎn)E是的中點(diǎn)得，得到，再證明，，可證得．（2）證平行四邊形是菱形，則它的對角線互相垂直平分；根據(jù)勾股定理可求出菱形的邊長．由于E是中點(diǎn)，可得，根據(jù)，可得P、O、C三點(diǎn)共線，為的直徑，根據(jù)，，可得，得到，得到，即得⊙O的直徑為．【詳解】（1）證明：連接并延長交于點(diǎn)H，連接，則．∴．∵四邊形是平行四邊形，∴．又∵E為的中點(diǎn)，∴．∴．∴．∵切于P，∴．∴．∵，∴．∴．（2）解：∵平行四邊形中，，∴平行四邊形為菱形．∴，．∴．∴．∵切于P，∴．∵，∴P、O、C三點(diǎn)共線．∴為的直徑．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴⊙O的直徑為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓與四邊形綜合．熟練掌握圓切線性質(zhì)，平行四邊形性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，三角形中位線判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，直角三角形你斜邊上中線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．11．(1)證明見詳解；(2)是定值，理由見詳解【分析】(1)連接，由直徑所對圓周角是直角可得，則，由，可知，根據(jù)，可得，即可得到證明；(2)連接，根據(jù)題意可得，進(jìn)而可知，，由圓周角定理可知，得，可證，得，則，結(jié)合勾股定理可得，即可求得為定值；【詳解】（1）證明：連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴，∴是的切線；（2）解：是定值，理由見詳解，連接，∵，、是圓O的兩條直徑，∴，∴，，∵，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是定值．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理，切線的判定定理，勾股定理，含的直角三角形以及相似三角形的性質(zhì)等知識，證明是解答本題的關(guān)鍵．12．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由等邊對等角得出，由角平分線的定義得出，推出，從而得出，由平行線的性質(zhì)得出，即可得證；（2）連接交于，證明四邊形為矩形，得出，，，證明，得出，從而得出，，求出的長，再由勾股定理計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：如圖，連接交于，，∵為的直徑，∴，∵，，∴四邊形為矩形，∴，，，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．13．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）連接，由切線的定義可得．證明，推出，即可證明是圓O的切線；（2）先證垂直平分，經(jīng)過圓心，通過證明得出，通過證明得出，設(shè)，，利用勾股定理解可得，進(jìn)而解出，最后根據(jù)可得答案；（3）由得出，由得出，進(jìn)而可得，即，推出，再證，推出，結(jié)合，可得．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵為圓O的切線，∴，∴．在和中，，∴，∴，∴，∵為圓O的半徑，∴是圓O的切線；（2）解：∵D是優(yōu)弧的中點(diǎn)，∴，∵，∴是的垂直平分線，且經(jīng)過圓心，∴，∴，∵，∴，∴，即，如圖，連接，∵是圓O的切線∴，∵經(jīng)過圓心，即為直徑，∴，∴，∵，∴，即，∴，又∵，∴，∴，即，設(shè)，，∴，，∵，