湖南省永州市寧遠(yuǎn)縣一中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

湖南省永州市寧遠(yuǎn)縣一中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．雙曲線x2A．23 B．2 C．3 D．2．已知點(diǎn)，則向量在方向上的投影為（）A． B． C． D．3．已知命題,那么命題為A． B．C． D．4．甲、乙同時(shí)參加某次法語考試，甲、乙考試達(dá)到優(yōu)秀的概率分別為0.6，0.7，兩人考試相互獨(dú)立，則甲、乙兩人都未達(dá)到優(yōu)秀的概率為（）A．0.42 B．0.12 C．0.18 D．0.285．展開式中不含項(xiàng)的系數(shù)的和為A． B． C． D．26．函數(shù)的部分圖像大致為（）A． B．C． D．7．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．8．若焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的焦距為，則等于（）A． B． C． D．9．若實(shí)數(shù)a,b滿足a+b<0，則()A．a(chǎn),b都小于0B．a(chǎn),b都大于0C．a(chǎn),b中至少有一個(gè)大于0D．a(chǎn),b中至少有一個(gè)小于010．設(shè)奇函數(shù)的最小正周期為，則（）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞增11．如圖，一環(huán)形花壇分成四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（）A．96 B．84 C．60 D．4812．某同學(xué)將收集到的六組數(shù)據(jù)制作成散點(diǎn)圖如圖所示，并得到其回歸直線的方程為l1:y=0.68x+a，計(jì)算其相關(guān)系數(shù)為r1，相關(guān)指數(shù)為R12.經(jīng)過分析確定點(diǎn)F為“離群點(diǎn)”，把它去掉后，再利用剩下的5組數(shù)據(jù)計(jì)算得到回歸直線的方程為l2A．r1>0,C．a(chǎn)=0.12 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．．14．設(shè)集合，選擇的兩個(gè)非空子集和，要使中最小的數(shù)大于中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有________種.15．若一個(gè)直六棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)直六棱柱的體積為．16．在直角坐標(biāo)系中，若直線（為參數(shù)）過橢圓（為參數(shù)）的左頂點(diǎn)，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）(本小題滿分12分)某校為了解高一期末數(shù)學(xué)考試的情況，從高一的所有學(xué)生數(shù)學(xué)試卷中隨機(jī)抽取份試卷進(jìn)行成績(jī)分析，得到數(shù)學(xué)成績(jī)頻率分布直方圖（如圖所示），其中成績(jī)?cè)冢膶W(xué)生人數(shù)為1．頻率/組距頻率/組距0.0120.0160.018分8060507090100x0.024（Ⅰ）求直方圖中的值；（Ⅱ）試估計(jì)所抽取的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)；（Ⅲ）試根據(jù)樣本估計(jì)“該校高一學(xué)生期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)”的概率．18．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線的交點(diǎn)為，求的值.19．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若函數(shù)在處取得極值，且對(duì)任意,恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求證：．20．（12分）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）試比較與的大小，并說明理由；（3）設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，證明.21．（12分）2019年6月湖北潛江將舉辦第六屆“中國(guó)湖北（潛江）龍蝦節(jié)”，為了解不同年齡的人對(duì)“中國(guó)湖北（潛江）龍蝦節(jié)”的關(guān)注程度，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在20—70歲之間的100人進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)“年輕人”與“中老年人”的人數(shù)之比為。關(guān)注不關(guān)注合計(jì)年輕人30中老年人合計(jì)5050100（1）根據(jù)已知條件完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否有99﹪的把握認(rèn)為關(guān)注“中國(guó)湖北（潛江）龍蝦節(jié)”是否和年齡有關(guān)？（2）現(xiàn)已經(jīng)用分層抽樣的辦法從中老年人中選取了6人進(jìn)行問卷調(diào)查，若再?gòu)倪@6人中選取3人進(jìn)行面對(duì)面詢問，記選取的3人中關(guān)注“中國(guó)湖北（潛江）龍蝦節(jié)”的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。附：參考公式其中。臨界值表：0.050.0100.0013.8416.63510.82822．（10分）阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，對(duì)幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過卓越貢獻(xiàn).為調(diào)查中學(xué)生對(duì)這一偉大科學(xué)家的了解程度，某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了某市的100名高中生，請(qǐng)他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項(xiàng)的稱為“比較了解”，少于三項(xiàng)的稱為“不太了解”.他們的調(diào)查結(jié)果如下：0項(xiàng)1項(xiàng)2項(xiàng)3項(xiàng)4項(xiàng)5項(xiàng)5項(xiàng)以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321（1）完成如下列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為，了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)？比較了解不太了解合計(jì)理科生文科生合計(jì)（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.（i）求抽取的文科生和理科生的人數(shù)；（ii）從10人的樣本中隨機(jī)抽取3人，用表示這3人中文科生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】試題分析：雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，所以距離為b=23考點(diǎn)：雙曲線與漸近線．2、A【解析】

，，向量在方向上的投影為，故選A．3、C【解析】

全稱命題的否定是特稱命題,要前改量詞，后面否定結(jié)論,故選C.4、B【解析】

由兩人考試相互獨(dú)立和達(dá)到優(yōu)秀的概率可得?！驹斀狻克蟾怕蕿?故選B.本題考查相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題。5、B【解析】試題分析：由二項(xiàng)式定理知，展開式中最后一項(xiàng)含，其系數(shù)為1，令=1得，此二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為=1，故不含項(xiàng)的系數(shù)和為1-1=0，故選B.考點(diǎn)：二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和；二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)6、B【解析】

結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，特值及選項(xiàng)進(jìn)行排除.【詳解】當(dāng)時(shí)，，可以排除A,C選項(xiàng)；由于是奇函數(shù)，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以B對(duì)，D錯(cuò).故選：B.本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別，由解析式選擇函數(shù)圖象時(shí)，要注意特值法的使用，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).7、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可化簡(jiǎn)求解.【詳解】函數(shù)則，所以，故選：A.本題考查了分段函數(shù)的求值，指數(shù)冪與對(duì)數(shù)式的運(yùn)算應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】分析：根據(jù)題意，由焦點(diǎn)的位置可得，又由焦距為，即，再由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，即可求得.詳解：根據(jù)題意，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，即，又由焦距為，即，則有，解得.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，先求出a的范圍.9、D【解析】假設(shè)a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,則a+b≥0,這與a+b<0相矛盾,因此假設(shè)錯(cuò)誤,即a,b中至少有一個(gè)小于0.10、B【解析】分析：利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，根號(hào)函數(shù)的周期和奇偶性即可得到結(jié)論．詳解：，

∵函數(shù)的周期是，，

∵）是奇函數(shù)，

即∴當(dāng)時(shí)，即則在單調(diào)遞減，

故選：B．點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．11、B【解析】解：分三類：種兩種花有種種法；種三種花有2種種法；種四種花有種種法．共有2++=1．故選B12、B【解析】

根據(jù)相關(guān)性的正負(fù)判斷r1和r2的正負(fù)，根據(jù)兩個(gè)模型中回歸直線的擬合效果得出R12和R2【詳解】由圖可知兩變量呈現(xiàn)正相關(guān)，故r1>0,r2>0故A正確，B不正確.又回歸直線l1:y=0.68x+a必經(jīng)過樣本中心點(diǎn)(3.5,2.5)，所以a=2.5-0.68×3.5=0.12回歸直線l2:y=bx+0.68必經(jīng)過樣本中心點(diǎn)所以b=0.44，也可直接根據(jù)圖象判斷0<b<0.68（比較兩直線的傾斜程度），故D本題考查回歸分析，考查回歸直線的性質(zhì)、相關(guān)系數(shù)、相關(guān)指數(shù)的特點(diǎn)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)的理解，屬于中等題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：考點(diǎn)：定積分14、【解析】試題分析：若集合中分別有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有種；若集合中有一個(gè)元素，集合中有兩個(gè)元素，則選法種數(shù)有種；若集合中有一個(gè)元素，集合中有三個(gè)元素，則選法種數(shù)有種；若集合中有一個(gè)元素，集合中有四個(gè)元素，則選法種數(shù)有種；若集合中有兩個(gè)元素，集合中有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有種；若集合中有兩個(gè)元素，集合中有兩個(gè)元素，則選法種數(shù)有種；若集合中有兩個(gè)元素，集合中有三個(gè)元素，則選法種數(shù)有種；若集合中有三個(gè)元素，集合中有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有種；若集合中有三個(gè)元素，集合中有兩個(gè)元素，則選法種數(shù)有種；若集合中有四個(gè)元素，集合中有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有種；總計(jì)有種．故答案應(yīng)填：．考點(diǎn)：組合及組合數(shù)公式．【方法點(diǎn)睛】解法二：集合中沒有相同的元素，且都不是空集，從個(gè)元素中選出個(gè)元素，有種選法，小的給集合，大的給集合；從個(gè)元素中選出個(gè)元素，有種選法，再分成兩組，較小元素的一組給集合，較大元素的一組給集合，共有種方法；從個(gè)元素中選出個(gè)元素，有種選法，再分成兩組，較小元素的一組給集合，較大元素的一組給集合，共有種方法；從個(gè)元素中選出個(gè)元素，有種選法，再分成兩組，較小元素的一組給集合，較大元素的一組給集合，共有種方法；總計(jì)為種方法．根據(jù)題意，中最小的數(shù)大于中最大的數(shù)，則集合中沒有相同的元素，且都不是空集，按中元素?cái)?shù)目這和的情況，分種情況討論，分別計(jì)算其選法種數(shù)，進(jìn)而相加可得答案．本題考查組合數(shù)公式的運(yùn)用，注意組合與排列的不同，進(jìn)而區(qū)別運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于壓軸題．15、4【解析】試題分析：由題意，．考點(diǎn)：三視圖與體積．16、.【解析】分析：直接化參數(shù)方程為普通方程，得到直線和橢圓的普通方程，求出橢圓的左頂點(diǎn)，代入直線的方程，即可求得的值.詳解：由已知可得圓（為參數(shù)）化為普通方程，可得，故左頂點(diǎn)為，直線（為參數(shù)）化為普通方程，可得，又點(diǎn)在直線上，故，解得，故答案是.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)直線的參數(shù)方程與橢圓的參數(shù)方程的問題，在解題的過程中，需要將參數(shù)方程化為普通方程，所以就需要掌握參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化-----消參，之后要明確橢圓的左頂點(diǎn)的坐標(biāo)，以及點(diǎn)在直線上的條件，從而求得參數(shù)的值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形的面積為概率，且所有概率和為1，列出等量關(guān)系：，解得；（Ⅱ）根據(jù)組中值估計(jì)平均數(shù)：（Ⅲ）根據(jù)頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形的面積為概率，所以“該校高一學(xué)生期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)”的概率為試題解析：（Ⅰ）由題意得：，解得；（Ⅱ）所抽取的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為（Ⅲ）“該校高一學(xué)生期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)”的概率為考點(diǎn)：頻率分布直方圖18、（1）；（2）.【解析】分析：(1)直接代極坐標(biāo)公式得到曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)把直線的參數(shù)方程代入，得,再利用直線參數(shù)方程t的幾何意義解答.詳解：（1）對(duì)于曲線，兩邊同乘以可得，即,所以它的直角坐標(biāo)方程為.（2）把直線的參數(shù)方程代入，得,所以,因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以,因?yàn)?所以,所以.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，考查直線參數(shù)方程t的幾何意義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和基本運(yùn)算能力.(2)過定點(diǎn)、傾斜角為的直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定點(diǎn)上方時(shí),.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定點(diǎn)下方時(shí),.19、(1)答案見解析；(2)；(3)證明見解析.【解析】試題分析：（1）由題意可得，分類討論有：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)．（2）由題意可得，原問題等價(jià)于恒成立，討論函數(shù)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）原問題等價(jià)于，繼而證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增即可.試題解析：（1），當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)在單調(diào)遞減，∴在上沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，得，得，∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．∴當(dāng)時(shí)在上沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)極值點(diǎn)．（2）∵函數(shù)在處取得極值，∴，∴，令，，可得在上遞減，在上遞增，∴，即．（3）證明：，令，則只要證明在上單調(diào)遞增，又∵，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增．∴，即，∴在上單調(diào)遞增，即，∴當(dāng)時(shí)，有．點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．20、(1)；（2）；理由見解析；（3）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)可知方程有兩個(gè)不等正根，將問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)；利用過一點(diǎn)曲線的切線的求解方法可求出過原點(diǎn)與相切的直線的斜率，從而可得，解不等式求得結(jié)果；（2）令，求導(dǎo)后可知在上單調(diào)遞減，從而可得，化簡(jiǎn)可得；（3）易知是方程的兩根，令，可整理得到，從而將所證不等式化為，采用換元的方式可知只需證，恒成立；構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞增，可得，進(jìn)而證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得：定義域?yàn)?；在上有兩個(gè)不同極值點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)不等正根即：與在有兩個(gè)不同的交點(diǎn)設(shè)過的的切線與相切于點(diǎn)則切線斜率，解得：過的的切線的斜率為：，解得：即的取值范圍為：（2）令，則時(shí)，；時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，即：即：（3）由（1）知，是方程的兩根即：，設(shè)，則原不等式等價(jià)于：即：設(shè)，則，只需證：，設(shè)，在上單調(diào)遞增即在上恒成立所證不等式成立本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到根據(jù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍、通過構(gòu)造函數(shù)的方式比較大小、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺C不等式