福建泉州市泉港區(qū)第一中學(xué)2025屆高二下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測試題含解析

福建泉州市泉港區(qū)第一中學(xué)2025屆高二下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知滿足約束條件，若的最大值為（）A．6 B． C．5 D．2．設(shè)隨機(jī)變量，若，則等于（）A． B． C． D．3．為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關(guān)系，某研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取60名高中生做問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：作文成績優(yōu)秀作文成績一般總計課外閱讀量較大221032課外閱讀量一般82028總計303060由以上數(shù)據(jù)，計算得到的觀測值，根據(jù)臨界值表，以下說法正確的是()P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.050.0100.005k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879A．在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)C．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)D．在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)4．某市組織了一次高二調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)，x∈(－∞，＋∞)，則下列命題不正確的是()A．該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分B．分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同C．分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同D．該市這次考試的數(shù)學(xué)成績標(biāo)準(zhǔn)差為105．設(shè)向量，，若向量與同向，則（）A．2 B．-2 C．±2 D．06．的展開式中只有第5項二項式系數(shù)最大，則展開式中含項的系數(shù)是（）A． B． C． D．7．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．8．已知函數(shù)在上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知方程在上有兩個不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面BCD，，，，，直線AC與底面BCD所成角的大小為A． B． C． D．12．已知點，則點軌跡方程是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè),則________.14．已知，，若向量與共線，則在方向上的投影為______.15．已知球的半徑為，為球面上兩點，若之間的球面距離是，則這兩點間的距離等于_________16．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則的值為___.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知i為虛數(shù)單位，m為實數(shù)，復(fù)數(shù).（1）m為何值時，z是純虛數(shù)？（2）若，求的取值范圍.18．（12分）在某項娛樂活動的海選過程中評分人員需對同批次的選手進(jìn)行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于60分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，不超過40分的選手將直接被淘汰，成績在內(nèi)的選手可以參加復(fù)活賽，如果通過，也可以參加第二輪比賽．（1）已知成績合格的200名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖，求a的值及估計這200名參賽選手的成績平均數(shù)；（2）根據(jù)已有的經(jīng)驗，參加復(fù)活賽的選手能夠進(jìn)入第二輪比賽的概率為，假設(shè)每名選手能否通過復(fù)活賽相互獨立，現(xiàn)有3名選手進(jìn)入復(fù)活賽，記這3名選手在復(fù)活賽中通過的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（12分）在極坐標(biāo)系中，極點為0，已知曲線與曲線交于不同的兩點.求：(1)的值；(2)過點且與直線平行的直線的極坐標(biāo)方程．20．（12分）甲乙兩個學(xué)校高三年級分別有1100人，1000人，為了了解兩個學(xué)校全體高三年級學(xué)生在該地區(qū)一?？荚嚨臄?shù)學(xué)成績情況，采用分層抽樣方法從兩個學(xué)校一共抽取了105名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，并作出了頻數(shù)分布統(tǒng)計表如下：（1）計算，的值；（2）若規(guī)定考試成績在為優(yōu)秀，請根據(jù)樣本估計乙校數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率；（3）若規(guī)定考試成績在內(nèi)為優(yōu)秀，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，若按是否優(yōu)秀來判斷，是否有的把握認(rèn)為兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異.附：，.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知傾斜角為的直線經(jīng)過點.以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）寫出曲線的普通方程;（2）若直線與曲線有兩個不同的交點，求的取值范圍.22．（10分）已知的展開式中，末三項的二項式系數(shù)的和等于121；(1)求n的值；(2)求展開式中系數(shù)最大的項；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析：首先繪制不等式組表示的平面區(qū)域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最值即可.詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點A坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.本題選擇A選項.點睛：求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當(dāng)b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.2、C【解析】由于,則由正態(tài)分布圖形可知圖形關(guān)于對稱，故，則，故選C.3、D【解析】分析：根據(jù)臨界值表，確定犯錯誤的概率詳解：因為根據(jù)臨界值表，9.643>7.879，在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)．選D.點睛：本題考查卡方含義，考查基本求解能力.4、B【解析】分析：根據(jù)密度函數(shù)的特點可得：平均成績及標(biāo)準(zhǔn)差，再結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性可得分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同，從而即可選出答案.詳解：密度函數(shù)，該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分該市這次考試的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)差為10，從圖形上看，它關(guān)于直線對稱，且50與110也關(guān)于直線對稱，故分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同.故選B.點睛：本題主要考查了正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，以及利用幾何圖形的對稱性求解.5、A【解析】

由與平行，利用向量平行的公式求得x,驗證與同向即可得解【詳解】由與平行得，所以，又因為同向平行，所以.故選A本題考查向量共線（平行）的概念，考查計算求解的能力，屬基礎(chǔ)題．6、C【解析】

根據(jù)只有第5項系數(shù)最大計算出，再計算展開式中含項的系數(shù)【詳解】只有第5項系數(shù)最大,展開式中含項的系數(shù),系數(shù)為故答案選C本題考查了二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力.7、A【解析】由已知得，由，則，又，所以.故選A.8、D【解析】

求得導(dǎo)數(shù)，根據(jù)在上單調(diào)，得出或在上恒成立，分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解?！驹斀狻坑深}意，函數(shù)，則，因為，在上單調(diào)，所以①當(dāng)在上恒成立時，在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，則在上恒成立，令，，則在為增函數(shù)，∴．②當(dāng)在上恒成立時，在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，則在上恒成立，同①可得，綜上，可得或．故選：D．本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值問題，用到了分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍，恒成立問題的處理及轉(zhuǎn)化與化歸思想是本題的靈魂，著重考查了推理與運算能力，屬于偏難題．9、A【解析】

兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的根，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題，設(shè)出函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間，分類討論，求出符合題意的范圍即可．【詳解】解：函數(shù)的圖象與直線有兩個交點可轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個零點，導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，不可能有兩個零點；當(dāng)時，令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以.所以的最小值，則m的取值范圍是.故選：本題考查函數(shù)零點問題，利用方程思想轉(zhuǎn)化與導(dǎo)數(shù)求解是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔偏難題．10、C【解析】

由于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，則方程在上有兩個不等的實數(shù)根等價于函數(shù)在上有兩個不同的零點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在的值域即可解決問題?！驹斀狻坑捎诤愠闪?，構(gòu)造函數(shù)，則方程在上有兩個不等的實數(shù)根等價于函數(shù)在上有兩個不同的零點，則，（1）當(dāng)時，則在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，根據(jù)零點定理可得只有唯一零點，不滿足題意；（2）當(dāng)時，令，解得：，令，解得：或，故的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為，①當(dāng)，即時，則在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，根據(jù)零點定理可得只有唯一零點，不滿足題意；②當(dāng)，即時，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，，，故要使函數(shù)在上有兩個不同的零點，則，解得：；綜上所述：方程在上有兩個不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為：故答案選C本題考查方程根的個數(shù)問題，可轉(zhuǎn)為函數(shù)的零點問題，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及最值即可解決問題，有一定的綜合性，屬于中檔題。11、A【解析】

取BD中點,可證，為直線AC與底面BCD所成角?！驹斀狻咳D中點，由，，又側(cè)面底面BCD，所以。所以為直線AC與底面BCD所成角。,所以。選A.本題考查線面角，用幾何法求線面角要一作、二證、三求，要有線面垂直才有線面角。12、A【解析】由雙曲線的定義可知：點位于以為焦點的雙曲線的左支上，且，故其軌跡方程為，應(yīng)選答案A。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

因為,分別令和,即可求得答案.【詳解】令.原式化為.令,得,.故答案為:.本題主要考查了多項式展開式系數(shù)和,解題關(guān)鍵是掌握求多項式系數(shù)和的解題方法,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.14、【解析】

,由向量與共線，得，解得，則在方向上的投影為，故答案為.15、【解析】

根據(jù)球面距離計算出的大小，根據(jù)的大小即可計算出之間的距離.【詳解】因為，，所以為等邊三角形，所以.故答案為：.本題考查根據(jù)球面距離計算球面上兩點間的距離，難度較易.計算球面上兩點間的距離，可通過求解兩點與球心的夾角，根據(jù)角度直接寫出或者利用余弦定理計算出兩點間的距離.16、【解析】

求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令即可求出的值.【詳解】因為令則所以本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，及導(dǎo)函數(shù)求值，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，再由實部為0且虛部不為0求解m的值；（2）由復(fù)數(shù)的幾何意義，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案【詳解】（1）．當(dāng)時，即時，z是純虛數(shù)；（1）可設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，則由，得，即點在直線上，又，點的軌跡為直線與圓相交的弦，則表示線段上的點到的距離，由圖象可知，當(dāng)時，距離最小，即點到直線的距離，則由得或，，的取值范圍是.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，點到直線的距離公式，兩點間的距離公式，屬于中檔題．18、（1），82；（2）見解析【解析】

（1）由頻率分布直方圖面積和為1，可求得．取每個矩形的中點與概率乘積和求得平均數(shù)．（2）由二項分布求得分布列與數(shù)學(xué)期望．【詳解】1由題意：，估計這200名選手的成績平均數(shù)為．2由題意知，XB(3,1/3)，X可能取值為0，1，2，3，，所以X的分布列為

：

X的數(shù)學(xué)期望為

．本題主要考查隨機(jī)變量的分布列和期望，考查獨立性檢驗，意在考查離散型隨機(jī)變量的分布列期望和獨立性檢驗等基礎(chǔ)知識的掌握能力，考查學(xué)生基本的運算推理能力.19、（1）；（2）.【解析】

試題分析：（1）把曲線C1和曲線C2的方程化為直角坐標(biāo)方程，它們分別表示一個圓和一條直線．利用點到直線的距離公式求得圓心到直線的距離為d的值，再利用弦長公式求得弦長|AB|的值．

（2）用待定系數(shù)法求得直線l的方程，再根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式求得l的極坐標(biāo)方程試題解析：（1）∵，∴，又∵，可得,∴，圓心(0,0)到直線的距離為∴．（2）∵曲線的斜率為1，∴過點且與曲線平行的直線的直角坐標(biāo)方程為，∴直線的極坐標(biāo)為，即．20、（1），；（2）；（3）有95﹪的把握認(rèn)為兩個學(xué)校數(shù)學(xué)成績有差異【解析】

（1）由分層抽樣的知識及題中所給數(shù)據(jù)分別計算出甲校與乙校抽取的人數(shù)，可得，的值；（2）計算樣本的優(yōu)秀率，可得乙校的優(yōu)秀率；（3）補(bǔ)全列聯(lián)表，計算出的值，對照臨界表可得答案.【詳解】解：（1）由題意知，甲校抽取人，則，乙校抽取人，則.（2）由題意知，乙校優(yōu)秀率為.（3）填表如下表（1）.甲校乙?？傆媰?yōu)秀102030非優(yōu)秀453075總計5550105根據(jù)題意，由題中數(shù)據(jù)得，有95﹪的把握認(rèn)為兩個學(xué)校數(shù)學(xué)成績有差異.本題主要考查了分層抽樣及頻率分布直方圖的相關(guān)知識、獨立性檢驗及其應(yīng)用，屬于中檔題，注意運算準(zhǔn)確.21、(1).(2).【解析】分析：(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的公式可得曲線的普通方程為.(2)聯(lián)立直線的參數(shù)方程與C的二次方程可得.結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義有.利用三角函數(shù)的性質(zhì)可知的取值范圍是.詳解：(1)由得.將，代入上式中,得曲線的普通方程為.(2)將的參數(shù)方程(為參數(shù))代入的方程,整理得.因為直線與曲線有兩個不同的交點，所以,化簡得.又,所以，且.設(shè)方程的兩根為,則，，所以,所以.由，