河南省許昌市示范初中2025屆數學高二下期末統(tǒng)考試題含解析

河南省許昌市示范初中2025屆數學高二下期末統(tǒng)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若=（4，2，3）是直線l的方向向量，=（-1，3，0）是平面α的法向量，則直線l與平面α的位置關系是A．垂直 B．平行C．直線l在平面α內 D．相交但不垂直2．黃金螺旋線又名鸚鵡螺曲線，是自然界最美的鬼斧神工。就是在一個黃金矩形（寬除以長約等于0.6的矩形）先以寬為邊長做一個正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的寬為邊長做一個正方形，以此循環(huán)做下去，最后在所形成的每個正方形里面畫出1/4圓，把圓弧線順序連接，得到的這條弧線就是“黃金螺旋曲線了。著名的“蒙娜麗莎”便是符合這個比例，現把每一段黃金螺旋線與其每段所在的正方形所圍成的扇形面積設為，每扇形的半徑設為滿足，若將的每一項按照上圖方法放進格子里，每一小格子的邊長為1，記前項所占的對應正方形格子的面積之和為，則下列結論錯誤的是（）A． B．C． D．3．如圖，在正方形中，點E，F分別為邊，的中點，將、分別沿、所在的直線進行翻折，在翻折的過程中，下列說法錯誤是（）A．存在某個位置，使得直線與直線所成的角為B．存在某個位置，使得直線與直線所成的角為C．A、C兩點都不可能重合D．存在某個位置，使得直線垂直于直線4．在一次抗洪搶險中，準備用射擊的方法引爆漂流的汽油桶?，F有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射擊相互獨立，且命中概率都是。則打光子彈的概率是（）A． B． C． D．5．把18個人平均分成兩組，每組任意指定正副組長各1人，則甲被指定為正組長的概率為（）A． B． C． D．6．某校教學大樓共有5層，每層均有2個樓梯，則由一樓至五樓的不同走法共有()A．24種B．52種C．10種D．7種7．已知關于的方程為（其中），則此方程實根的個數為（）A．2 B．2或3 C．3 D．3或48．為了得到的圖象，只需將函數的圖象（）A．向右平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向左平移個單位9．兩個線性相關變量x與y的統(tǒng)計數據如表：x99.51010.511y1110865其回歸直線方程是，則相對應于點（11，5）的殘差為（）A．0.1 B．0.2 C．﹣0.1 D．﹣0.210．已知,,,則實數的大小關系是()A． B． C． D．11．已知函數是(－∞，＋∞)上的減函數，則a的取值范圍是A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]12．已知函數，若，均在［1，4］內，且，，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“”是“”的_______條件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一個）14．已知在平面內，點關于軸的對稱點的坐標為.根據類比推理，在空間中，點關于軸的對稱點的坐標為__________．15．_____16．展開二項式，其常數項為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著智能手機的普及，各類手機娛樂軟件也如雨后春筍般涌現.如表中統(tǒng)計的是某手機娛樂軟件自2018年8月初推出后至2019年4月底的月新注冊用戶數，記月份代碼為（如對應于2018年8月份，對應于2018年9月份，…，對應于2019年4月份），月新注冊用戶數為（單位：百萬人）（1）請依據上表的統(tǒng)計數據，判斷月新注冊用戶與月份線性相關性的強弱；（2）求出月新注冊用戶關于月份的線性回歸方程，并預測2019年5月份的新注冊用戶總數.參考數據：，，.回歸直線的斜率和截距公式：，.相關系數（當時，認為兩相關變量相關性很強.）注意：兩問的計算結果均保留兩位小數18．（12分）已知函數（，e為自然對數的底數）.（1）若，求的最大值；（2）若在R上單調遞減，①求a的取值范圍；②當時，證明：.19．（12分）已知函數在處取得極小值1．（1）求的解析式；（2）求在上的最值．20．（12分）已知二次函數的圖像經過點，且滿足，(1)求的解析式；(2)已知，求函數在的最大值和最小值；函數的圖像上是否存在這樣的點，其橫坐標是正整數，縱坐標是一個完全平方數？如果存在，求出這樣的點的坐標；如果不存在，請說明理由21．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為(為參數)．在極坐標系(與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸)中，圓的極坐標方程為．（1）求直線的普通方程和圓的直角坐標方程；（2）設圓與直線交于，兩點，若點的坐標為，求．22．（10分）設的內角的對邊分別為且.(1)求角(2)若求角及的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

判斷直線的方向向量與平面的法向量的關系，從而得直線與平面的位置關系．【詳解】顯然與不平行，因此直線與平面不垂直，又，即與不垂直，從而直線與平面不平行，故直線與平面相交但不垂直．故選D．本題考查用向量法判斷直線與平面的位置關系，方法是由直線的方向向量與平面的法向量的關系判斷，利用向量的共線定理和數量積運算判斷直線的方向向量與平面的法向量是否平行和垂直，然后可得出直線與平面的位置關系．2、D【解析】

根據定義求數列和，利用化簡求解，利用特殊值否定結論.【詳解】由題意得為以為長和寬矩形的面積，即；；又，故正確；因為，所以D錯誤,選D.本題考查數列求和以及利用遞推關系化簡，考查綜合分析求解能力，屬較難題.3、D【解析】

在A中，可找到當時，直線AF與直線CE垂直；在B中，由選項A可得線AF與直線CE所成的角可以從到，自然可取到；在C中，若A與C重合，則，推出矛盾；在D中，若AB⊥CD，可推出則，矛盾.【詳解】解：將DE平移與BF重合，如圖：在A中，若，又，則面，則，即當時，直線AF與直線CE垂直，故A正確；

在B中，由選項A可得線AF與直線CE所成的角可以從到，必然會存在某個位置，使得直線AF與直線CE所成的角為60°，故B正確；在C中，若A與C重合，則，不符合題意，則A與C恒不重合，故C正確；

在D中，，又CB⊥CD，則CD⊥面ACB，所以AC⊥CD，即，又，則，矛盾，故D不成立；

故選：D.本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，是中檔題.4、B【解析】

打光所有子彈，分中0次、中一次、中2次?！驹斀狻?次中0次：5次中一次：5次中兩次：前4次中一次，最后一次必中則打光子彈的概率是++=,選B本題需理解打光所有子彈的含義：可能引爆，也可能未引爆。5、B【解析】

把18個人平均分成2組，再從每組里任意指定正、副組長各1人，即從9人中選一個正組長，甲被選定為正組長的概率，與組里每個人被選中的概率相等．【詳解】由題意知，把18個人平均分成2組，再從每組里任意指定正、副組長各1人，即從9個人中選一個正組長，∴甲被選定為正組長的概率是．故選B．本題考查了等可能事件的概率應用問題，是基礎題目．6、A【解析】因為每層均有2個樓梯，所以每層有兩種不同的走法，由分步計數原理可知：從一樓至五樓共有24種不同走法．故選A.7、C【解析】分析：將原問題轉化為兩個函數交點個數的問題，然后利用導函數研究函數的性質即可求得最終結果.詳解：很明顯不是方程的根，據此可將方程變形為：，原問題等價于考查函數與函數的交點的個數，令，則，列表考查函數的性質如下：++-++單調遞增單調遞增單調遞減單調遞減單調遞增函數在有意義的區(qū)間內單調遞增，故的單調性與函數的單調性一致，且函數的極值繪制函數圖像如圖所示，觀察可得，與函數恒有3個交點，即題中方程實根的個數為3.本題選擇C選項.點睛：函數零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．8、D【解析】

先利用誘導公式統(tǒng)一這兩個三角函數的名稱，再利用函數的圖象變換規(guī)律，得出結論．【詳解】將函數的圖象向左平移個單位，可得的圖象，故選D．本題主要考查誘導公式的應用，函數的圖象變換規(guī)律，統(tǒng)一這兩個三角函數的名稱，是解題的關鍵，屬于基礎題．9、B【解析】

求出樣本中心，代入回歸直線的方程，求得，得出回歸直線的方程，令，解得，進而求解相應點的殘差，得到答案.【詳解】由題意，根據表中的數據，可得，把樣本中心代入回歸方程，即，解得，即回歸直線的方程為，令，解得，所以相應點的殘差為，故選B.本題主要考查了回歸直線方程的求解及應用，其中解答中正確求解回歸直線的方程，利用回歸直線的方程得出預測值是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.10、A【解析】

容易得出30.6＞1，0＜0.63＜1，log0.63＜0，從而可得出a，b，c的大小關系．【詳解】∵30.6＞30＝1，0＜0.63＜0.60=1，log0.63＜log0.61＝0；∴a＞b＞c．故選：A．本題考查指數函數和對數函數的單調性，熟記單調性是關鍵，是基礎題11、D【解析】

由為上的減函數，根據和時，均單調遞減，且，即可求解.【詳解】因為函數為上的減函數，所以當時，遞減，即，當時，遞減，即，且，解得，綜上可知實數的取值范圍是，故選D.本題主要靠考查了分段函數的單調性及其應用，其中熟練掌握分段的基本性質，列出相應的不等式關系式是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.12、D【解析】

先求導，利用函數的單調性，結合，確定;再利用，即，可得，，設，，確定在上遞增，在有零點，即可求實數的取值范圍．【詳解】解：，當時，恒成立，則f（x）在（0，+∞）上遞增，則f（x）不可能有兩個相等的函數值．故；由題設，則＝考慮到，即，設，，則在上恒成立，在上遞增，在有零點，則，，故實數的取值范圍是．本題考查了通過構造函數，轉化為函數存在零點，求參數取值范圍的問題，本題的難點是根據已知條件，以及，變形為，，然后構造函數轉化為函數零點問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、必要不充分【解析】

解出的解集，根據對應的集合之間的包含關系進行判斷.【詳解】，或“”是“”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分本題考查充分、必要條件充分、必要條件的三種判斷方法:(1)定義法：根據進行判斷．(2)集合法：根據成立對應的集合之間的包含關系進行判斷．(3)等價轉化法：根據一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉化為其逆否命題進行判斷．14、【解析】

在空間中，點關于軸的對稱點：軸不變，軸取相反數.【詳解】在空間中，點關于軸的對稱點：軸不變，軸取相反數.點關于軸的對稱點的坐標為故答案為：本題考查了空間的對稱問題，意在考查學生的空間想象能力.15、【解析】

根據積分運算法則求，前者利用公式求解，后者所表示的幾何意義是以為圓心，2為半徑第一象限內圓弧與坐標軸圍成的面積，求出圓的面積乘以四分之一，兩者結果做和即可得解．【詳解】解：，由表示以為圓心，2為半徑的圓面積的，∴，，∴，故答案為：．本題主要考查了定積分，定積分運算是求導的逆運算，解題的關鍵是求原函數，也可利用幾何意義進行求解，屬于基礎題．16、【解析】

利用二項展開式通項，令的指數為零，求出參數的值，再代入通項可得出二項式展開式的常數項.【詳解】二項式展開式的通項為，令，得.所以，二項式展開式的常數項為，故答案為：.本題考查二項展開式中常數項的計算，解題時要充分利用二項式展開式通項，利用的指數來求解，考查運算求解能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）月新注冊用戶與月份的線性相關性很強；（2）10.06百萬【解析】

（1）根據題目所給數據和相關系數計算公式，計算出相關系數，由此判斷出“月新注冊用戶與月份的線性相關性很強”.（2）根據回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程，并利用回歸直線方程預測出2019年5月份的新注冊用戶總數.【詳解】（1）由題意得，，，，，故.因為，所以月新注冊用戶與月份的線性相關性很強.（2）由（1），，所以回歸方程為，令，得，即2019年5月份新注冊用戶預測值為10.06百萬人.本小題主要考查相關系數的計算，考查回歸直線方程的計算，考查利用回歸直線方程進行預測，考查運算求解能力，屬于中檔題.18、（1）1；（2）①，②證明見解析.【解析】

（1）求出函數的導函數，利用導函數與函數單調性的關系當，求出單調遞增區(qū)間，當，求出函數的單調遞減區(qū)間，進而可求出最大值.（2）①求出對恒成立，化為對恒成立，記，討論值，求出的最小值即可證出；②由題意可得，即，兩邊取對數可得，下面采用分析法即可證出.【詳解】（1）時，時，，在上單調遞增時，，在上單調遞減（2）由①在R上單調遞減，對恒成立，即對恒成立，記，則對恒成立，當時，，符題當時，時，，在上單調遞減時，，在上單調遞增；當時，時，，在上單調遞減時，，在上單調遞增；綜上：②當時，在上單調遞減，，，，.要證，即證下面證明令，，則，在區(qū)間上單調遞增，，得證本題考查了導函數在研究函數單調性的應用，分析法證明不等式，考查了分類討論的思想，綜合性比較強，屬于難題.19、（1）（2）最小值為1，最大值為2．【解析】

（1）利用導數，結合在處取得極小值1，求得的值，由此求得解析式.（2）根據在區(qū)間上的單調性，結合函數的極值以及區(qū)間端點的函數值，求得在區(qū)間上的最值.【詳解】（1），由，得或．當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，符合題意，由，得；當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，在處取得極大值，不符合題意．所以．（2）由（1）知在上單調遞增，在上單調遞減，因為，所以的最小值為1，最大值為2．本小題主要考查利用導數研究函數的極值，考查利用導數研究函數的最值，屬于基礎題.20、（1）；（2）當時，，當，當，；當，；（3）.【解析】

（1）由得到函數的對稱軸，所以，再根據函數所過的點得到c=11,進而得到函數表達式；（2）根據函數表達式將絕對值去點，寫成分段形式，討論t的范圍，進而得到最值；設函數的圖像上存在點符合要求其中則，從而，變形為，根據數據43為質數，故可得到結果.【詳解】（1）因為二次函數所以二次函數的對稱軸方程為，即，所以.又因為二次函數的圖像經過點所以，解得，因此，函數的解析式為.(2)由（1）知，=，所以，當時，，當，當，當