2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-三角形、梯形的中位線綜合訓(xùn)練

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)三角形、梯形的中位線綜合訓(xùn)練1．如圖，在中，，點(diǎn)，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，，，與的交點(diǎn)為點(diǎn)．(1)判斷與有什么數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)當(dāng)，，求的長(zhǎng)．2．如圖1，已知正方形中，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，M、N分別為、的中點(diǎn)，連接交于O，交于H點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：；(3)過(guò)A作于P點(diǎn)，連接，則的值．3．如圖1，將矩形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形．[方法]若點(diǎn)P、Q分別為、的中點(diǎn)，猜想線段與線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；[探究]如圖2，將矩形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．連接、，點(diǎn)H為中點(diǎn)，線段與線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；[應(yīng)用]如圖3，在矩形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，連接，點(diǎn)H為中點(diǎn)．若，，求面積的最大值．4．如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．三個(gè)頂點(diǎn)中，是格點(diǎn)，是網(wǎng)格線上一點(diǎn)．是邊的中點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫(huà)圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)的輔助畫(huà)線不得超過(guò)三條．(1)在圖（1）中，依次完成下列三個(gè)畫(huà)圖任務(wù)：①將邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，畫(huà)線段；②連接，畫(huà)線段，使，且；③畫(huà)邊上的高；(2)在圖（2）中，是邊的中點(diǎn)．當(dāng)是格點(diǎn)時(shí)，在邊上取點(diǎn)，使．畫(huà)所有符合條件的點(diǎn)．5．如圖，在中，，是邊的中線，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，過(guò)點(diǎn)作交于，連接(1)求證：四邊形是等腰梯形；(2)求證．6．綜合與實(shí)踐如圖1，和都是等腰直角三角形（），，連接，取的中點(diǎn)F，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D，E分別在邊上時(shí)，線段和的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．(2)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2中的情況給予證明；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)D落在直線上時(shí)，若直線與直線相交于點(diǎn)P，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．7．如圖，在中，D為中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若平分，求的長(zhǎng)．8．已知如圖，的外切等腰梯形的中位線，求梯形的腰長(zhǎng)．（梯形中位線是指連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線，梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半）．9．如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇，花壇上底長(zhǎng)，下底長(zhǎng)，上下底相距在兩腰中點(diǎn)連線處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等．甬道的面積是梯形面積的六分之一．甬道的寬應(yīng)是多少米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）？（可利用梯形的中位線求解．梯形的中位線是連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段，其長(zhǎng)度等于兩底和的一半）10．如圖，梯形中，，，，，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），將沿著進(jìn)行翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)．

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)落在梯形的中位線上時(shí)，求的長(zhǎng)．(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，設(shè)，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域．(3)如圖，連接，線段與射線交于點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．11．如圖，在四邊形中，，．

(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，連接，過(guò)E作交邊于點(diǎn)F，連接．①求證：；②若，，，求與的值．12．如圖，在等腰梯形中，，，，中位線交于G，交于H．

(1)求的長(zhǎng)度．(2)對(duì)角線，垂足為點(diǎn)，求梯形的面積．13．如圖1，在一平面內(nèi)，線段，、是線段上兩點(diǎn)，且．點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，分別以，為邊在線段同側(cè)作等邊和等邊．(1)直接寫(xiě)出和位置關(guān)系：___________；(2)如圖2，連接，，求證：；(3)如圖3，設(shè)的中點(diǎn)為，在點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)的過(guò)程中，求點(diǎn)移動(dòng)路徑的長(zhǎng)；(4)如圖4，點(diǎn)、點(diǎn)分別是、的中點(diǎn)，求當(dāng)線段取得最小值時(shí)的面積．14．已知正方形和正方形，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，，．(1)如圖1，點(diǎn)，，在同一直線上，點(diǎn)在邊上，求的長(zhǎng)；(2)把正方形繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求的長(zhǎng)；②如圖3，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．15．已知為兩對(duì)角線的交點(diǎn)，直線過(guò)頂點(diǎn)，且繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，．(1)如圖1，若直線過(guò)點(diǎn)，求證：；(2)如圖2，若，，求的度數(shù)；(3)如圖3，若為菱形，，，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-三角形、梯形的中位線綜合訓(xùn)練》參考答案1．(1)，理由見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查勾股定理，三角形中位線定理，平行四邊形的判斷與性質(zhì)，熟知平行四邊形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形中位線定理得到，，則可證明，，進(jìn)一步可證明四邊形是平行四邊形，得到．（2）由勾股定理求出，利用平行四邊形對(duì)角線互相平分和線段中點(diǎn)的定義求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：，理由如下：，分別是，的中點(diǎn)，是的中位線，，，，，，四邊形是平行四邊形．．（2）解：在中，，，，，．由（1）得四邊形是平行四邊形，是的中點(diǎn)，，．，，在中，根據(jù)勾股定理得．2．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用證明即可；（2）延長(zhǎng)至F，且使，連接、，利用證明，得出，由為的中位線得，利用平行線的性質(zhì)即可證明；（3）過(guò)點(diǎn)B作交于Q，利用證明，推出，，即可證明是等腰直角三角形，則．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴；（2）證明：延長(zhǎng)至F，且使，連接、，如圖1所示：則，∵四邊形是正方形，∴，，，在和中，，∴，∴，∵，，∴N為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，∴，∴，即；（3）解：過(guò)點(diǎn)B作交于Q，如圖2所示：則，∵，∴，∵，∴，∵，，由角的互余關(guān)系得：，∴，在和中，，∴，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角中位線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，第3問(wèn)有一定難度，正確作輔助線，證明是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．[方法]，見(jiàn)解析；[探究]，見(jiàn)解析；［應(yīng)用］27【分析】[方法]根據(jù)矩形的性質(zhì)得點(diǎn)P是、的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是、的交點(diǎn)，且，，根據(jù)三角形中位線定理即可得出結(jié)論；[探究]延長(zhǎng)到點(diǎn)N，使，則四邊形是平行四邊形，證明，可得，即可得出；[應(yīng)用]過(guò)點(diǎn)E作于P，過(guò)點(diǎn)H作于Q，連接，由題意可得，圖形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，P、C、E在同一直線上時(shí)，最大，即的值最大，此時(shí)，，求出NE，可得的值，利用三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：[方法]．理由如下：連接，，∵矩形，P是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P是、的交點(diǎn)，∴，同理，，∴是的中位線，∴；[探究]．理由如下：延長(zhǎng)到點(diǎn)N，使，連接，，∵點(diǎn)H為中點(diǎn)，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，由旋轉(zhuǎn)得：，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴；［應(yīng)用］過(guò)點(diǎn)E作于P，過(guò)點(diǎn)H作于Q，連接，在中，，∵點(diǎn)H為中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，又∵點(diǎn)H為中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，由題意可得，圖形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，P、C、E在同一直線上時(shí)，最大，即的值最大，此時(shí)，，在中，，∴，∵，，∴，∴面積的最大值．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線等，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；③見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析；【分析】（1）①利用全等三角形的判定和性質(zhì)即可作出線段；②連接，利用矩形的性質(zhì)作出的中點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形中位線定理即可得到，且；③取與格線的交點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交格線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則就是邊上的高；（2）取的中點(diǎn)，連接，，由三角形中位線定理，可證明四邊形是平行四邊形，則；再作線段的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則；則所有符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)，如點(diǎn)和點(diǎn)．【詳解】（1）解：①線段如圖所作；②線段如圖所作；③高如圖所作；證明③：作，垂直于格線，垂足分別為，，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，且，，∴，∴，∴，∵，∴，即就是邊上的高；（2）解：點(diǎn)和點(diǎn)如圖所作．設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，∵是邊的中點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，同理，∴四邊形是平行四邊形，則；∵是邊的中點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了格點(diǎn)作圖，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)．正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．5．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用直角三角形性質(zhì)得到，結(jié)合平行線性質(zhì)進(jìn)而得到，證明，利用全等三角形性質(zhì)證明，即可解題．（2）如圖，延長(zhǎng)到，使，交于，連接，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出，，即可得出，根據(jù)中位線的性質(zhì)得出，，利用角的和差關(guān)系得出，利用證明，得出，根據(jù)線段的和差關(guān)系即可證明．【詳解】（1）證明：，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，四邊形是等腰梯形．（2）證明：如圖，延長(zhǎng)到，使，交于，連接，∵是邊的中線，，∴，∴，∵四邊形是等腰梯形，∴，，∴，∴，即，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰梯形的判定與性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，三角形中位線性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．(1)，(2)結(jié)論成立，見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊的性質(zhì)解答即可；（2）分別延長(zhǎng)至點(diǎn)G，至點(diǎn)H，使，，可得垂直平分，垂直平分，從而得到，再證明，，，然后根據(jù)三角形中位線定理可得，，從而得到，，，即可解答；（3）根據(jù)題意可得，設(shè)，然后分兩種情況討論，結(jié)合勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解∶∵，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，即；故答案為：，（2）解：如圖，分別延長(zhǎng)至點(diǎn)G，至點(diǎn)H，使，，∵，∴垂直平分，垂直平分，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴分別為的中位線，∴，，∴，，，∴，即；（3）解：由（2）得，，∵和都是等腰直角三角形，∴，設(shè)，如圖，此時(shí)，在中，，，∴，解得：（負(fù)值舍去），∴，∵，∴，∴，∴；如圖，此時(shí)，在中，，，∴，解得：（負(fù)值舍去），∴，∵，∴，∴，∴；綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題主要查了直角三角形斜邊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，熟練掌握直角三角形斜邊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．7．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，解直角三角形．（1）證明是的中位線，得，，再由得，即可得，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線定義求出，由平行四邊形的性質(zhì)得，即可得，，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)正切定義求解即可．【詳解】（1）證明：∵延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴是的中位線，，，∵延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，，，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：平分，，∵四邊形是平行四邊形，，，，，，，，∴在中，．8．【分析】本題考查了梯形的中位線、圓外切四邊形的性質(zhì)，先根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)可得，再根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)可得，由此即可得．【詳解】解：∵圓外切等腰梯形的中位線是，∴，∵等腰梯形是的外切等腰梯形，∴，∴，即梯形的腰長(zhǎng)為．9．甬道的寬約為【分析】本題涉及一元二次方程的應(yīng)用，難度中等．設(shè)甬道的寬為，則甬道面積為，由題意可列出方程，求解即可．【詳解】解：設(shè)甬道的寬為，由題意，得，整理，得，（舍去），答：甬道的寬約為．10．(1)(2)(3)或或【分析】（1）如圖中，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，證明垂直平分線段，得，得到，由，，推出，即可得解；（2）如圖中，設(shè)交于，，，證明得，可得，證明得，可得，繼而得到，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；（3）分三種情形：①如圖中，當(dāng)時(shí)；②如圖中，當(dāng)時(shí)；③如圖中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與重合．分別求解即可．【詳解】（1）解：如圖中，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，∵梯形中，，，∴，∵是梯形的中位線，∴，，，∴，即，∵將沿著進(jìn)行翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，∴，，∴，∴垂直平分，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴的長(zhǎng)為；

（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)交于，設(shè)，，∴，，∵在梯形中，，，，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∵點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)重合），，，∴，∵將沿著進(jìn)行翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，∴，，∴垂直平分線段，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∵，，∴，∴，即，∴，，得：，∴，∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為；

（3）①如圖3中，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于，設(shè)，∵在梯形中，，，，，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，，∵將沿著進(jìn)行翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，∴，，，∴，，在中，，∴，∴，∴；

②如圖中，當(dāng)時(shí)，∵，，∴，∵，∴，即，∴，∴，∵，∴，設(shè)，∴，在中，，∴，解得：，∴；

③如圖中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與重合，∵垂直平分，∴，∴，，∴，即，∴，∴，∴；綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為或或．

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，梯形的中位線，垂直平分線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．11．(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②；【分析】（1）根據(jù)，，證明即可解答；（2）①取的中點(diǎn)N，連接，根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)可得，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得，故可證明；②，利用①中結(jié)論求得的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，即可得到和的長(zhǎng)，證明，可得，從而可求得的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：，，，，，四邊形為平行四邊形，（2）①證明：如圖，取的中點(diǎn)N，連接，，四邊形是梯形，是的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，是梯形的中位線，，，，；②解：四邊形為平行四邊形，，，根據(jù)①中結(jié)論可得得，，，，，，，，在與中，，，，，,．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，梯形的中位線性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確畫(huà)出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．(1)，(2)【分析】（1）先根據(jù)梯形中位線定理得到，，再由E、F分別為的中點(diǎn)，得到，則；（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于M，先證明四邊形是平行四邊形，得到，，，進(jìn)而證明，由等腰梯形的性質(zhì)得到，則，證明，得到是等腰直角三角形，則可求出，由此可得．【詳解】（1）解：∵在等腰梯形中，，，，中位線交于G，交于H，∴，，∵E、F分別為的中點(diǎn)，∴，∴；（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于M，∵，即，∴四邊形是平行四邊形，∴，，，又∵，∴，∴，∵梯形是等腰梯形，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了梯形中位線定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．(1)互相平行(2)見(jiàn)解析(3)(4)【分析】（1）由可知；（2）通過(guò)證明即可；（3）分別過(guò)作的垂線構(gòu)造直角梯形，點(diǎn)為直角梯形的中位線的一個(gè)端點(diǎn)，由該直角梯形上底與下底之和為定值，

則知點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為一條平行于的線段，分別計(jì)算運(yùn)動(dòng)開(kāi)始與結(jié)束的位置即可；（4）通過(guò)構(gòu)造有關(guān)長(zhǎng)度變化的表達(dá)式，計(jì)算最短時(shí)點(diǎn)的位置即可．【詳解】（1）與都為等邊三角形，，（同位角相等，兩直線平行），故答案為：互相平行．（2）與都為等邊三角形，，,在與中有：（SAS），（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），故命題得證．（3）如下圖所示：過(guò)點(diǎn)作垂足為，過(guò)點(diǎn)作垂足為，過(guò)點(diǎn)作垂足為，由作圖知：線段為直角梯形的中位線，，，，點(diǎn)的路徑為一條平行于的線段，當(dāng)時(shí)，，同理，，，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，同理，，，，此時(shí)，，由上兩種位置計(jì)算可得：移動(dòng)距離為，即點(diǎn)移動(dòng)距離為5，故答案為：5．（4）如下圖所示：分別過(guò)作的垂線，構(gòu)造直角梯形，由已知條件及作圖知，，設(shè)，則，，，故當(dāng)時(shí)取得最小值，即當(dāng)時(shí)最小，此時(shí)，此時(shí)的面積=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)及中位線定理，（3）（4）問(wèn)解題關(guān)鍵分別為：運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)軌跡數(shù)學(xué)思維和建立二次函數(shù)模型解決最值問(wèn)題．14．(1)(2)①；②【分析】（1）先證明，可得，再證明，從而可得答案；（2）①先判斷出，得到是的2倍，設(shè)出，表示出，，再用勾股定理計(jì)算，②先找出輔助線，