1.4　角平分線 課件 數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)下冊(cè)

4角平分線第1課時(shí)角平分線角平分線的性質(zhì)(1)角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離

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(2)幾何語言:如圖所示,因?yàn)镺P是∠MON的平分線,G為OP上任意一點(diǎn),GE⊥OM,GF⊥ON,所以

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相等GE=GF

[例1]如圖所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于點(diǎn)E,且E是AB的中點(diǎn),DE=3,求BC的長(zhǎng).解:∵∠C=90°,∴DC⊥AC.∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∴DC=DE=3,∠DAB=∠CAD.∵E是AB的中點(diǎn),∴DB=AD.∴∠DAB=∠B.∴∠CAD=∠DAB=∠B.∵∠CAD+∠EAD+∠B=90°,∴∠CAD=∠EAD=∠B=30°.∴在Rt△BED中,BD=2DE=6,∴BC=BD+CD=6+3=9.新知應(yīng)用1.如圖所示,AD是∠BAC的平分線,點(diǎn)P在AD上,PE⊥AC于點(diǎn)E,若PE=9,則點(diǎn)P到AB的距離是()A.18B.12C.6D.9D2.(2023海淀期中)如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分線,CD=2,若△ABD的面積為5,求AB的長(zhǎng).角平分線的判定(1)在一個(gè)角的內(nèi)部,到角的兩邊距離

的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.

(2)幾何語言:如圖所示,因?yàn)镚E⊥OM,GF⊥ON,GE=GF,所以

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相等OP是∠MON的平分線[例2]如圖所示,P是∠MON內(nèi)的一點(diǎn),PA⊥OM于點(diǎn)A,PB⊥ON于點(diǎn)B,連接AB,∠PAB=∠PBA,求證:OP平分∠MON.證明:∵∠PAB=∠PBA,∴PA=PB.∵PA⊥OM于點(diǎn)A,PB⊥ON于點(diǎn)B,∴點(diǎn)P在∠MON的平分線上.∴OP平分∠MON.新知應(yīng)用1.在正方形網(wǎng)格中,∠AOB的位置如圖所示,到∠AOB兩邊距離相等的點(diǎn)是()A.點(diǎn)M B.點(diǎn)N C.點(diǎn)P D.點(diǎn)QA2.如圖所示,點(diǎn)A,B在射線OM上,點(diǎn)C,D在射線ON上,已知AB=CD,S△ABP=S△CDP,求證:點(diǎn)P在∠MON的平分線上.1.(2023達(dá)州通川區(qū)第八中學(xué)月考)如圖所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,AE=AC,下列結(jié)論中不一定正確的是()A.DC=DE

B.∠AED=90°C.∠ADE=∠ADC

D.DB=DCD2.如圖所示,射線OC是∠AOB的平分線,D是射線OC上一點(diǎn),DP⊥OA于點(diǎn)P,DP=4,若點(diǎn)Q是射線OB上一點(diǎn),OQ=3,則△ODQ的面積是()A.3 B.4 C.5 D.6D3.如圖所示,OC平分∠AOB,點(diǎn)P是射線OC上一點(diǎn),PM⊥OB于點(diǎn)M,點(diǎn)N是射線OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若PM=4,則PN的長(zhǎng)不可能是()A.3 B.4 C.5 D.6A4.如圖所示,P是OC上一點(diǎn),PD⊥OA于點(diǎn)D,PE⊥OB于點(diǎn)E,F,G分別是OA,OB上的點(diǎn),且PF=PG,DF=EG.(1)求證:OC是∠AOB的平分線;(1)證明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDF=90°,∠PEG=90°.在Rt△PFD和Rt△PGE中,∵PF=PG,DF=EG,∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL).∴PD=PE.又∵P是OC上一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB,∴OC是∠AOB的平分線.(2)若PF∥OB,且PF=4,∠AOB=30°,求PE的長(zhǎng).第2課時(shí)三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線三角形三條角平分線(1)三角形的三條角平分線相交于

,并且這一點(diǎn)到三條邊的距離

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(2)符號(hào)表示:如圖所示,在△ABC中,AM,BN,CP分別是三個(gè)內(nèi)角的平分線,且相交于點(diǎn)O,則點(diǎn)O到三邊的距離相等,即OD=

=

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一點(diǎn)相等OEOF[例1]如圖所示,現(xiàn)有一塊三角形的空地,邊AC=20m,BC=30m,AB=40m,現(xiàn)要把它分成面積為2∶3∶4的三部分,分別種植不同的花草,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案,并簡(jiǎn)單說明理由.新知應(yīng)用1.(2023臨西期末)如圖所示,在△ABC中,∠BAC=60°,角平分線BE,CD相交于點(diǎn)P,若AP=4,AC=6,則S△APC的值為()A.4

B.6

C.12

D.24B2.如圖所示,O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且O到△ABC三邊AB,BC,CA的距離OF=OD=OE,若∠BAC=66°,則∠BOC的度數(shù)為()A.120° B.130° C.123° D.125°C與角平分線有關(guān)的尺規(guī)作圖[例2]尺規(guī)作圖:如圖所示,在兩條公路OA和OB之間,要建一個(gè)加油站P,使加油站P到兩村莊M,N的距離相等,且到兩條公路的距離相等.保留作圖痕跡,不寫作圖步驟.解:如圖所示,作∠AOB的平分線,再作線段MN的垂直平分線,兩線的交點(diǎn)即為所求.新知應(yīng)用1.如圖所示,某旅游景區(qū)內(nèi)有一塊三角形綠地ABC,現(xiàn)要在道路AB邊上建一個(gè)休息點(diǎn)M,使它到AC和BC兩邊的距離相等,在圖中確定休息點(diǎn)M的位置.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的作圖如下,正確的是()C甲的作圖

乙的作圖丙的作圖

丁的作圖A.甲 B.乙 C.丙 D.丁2.如圖所示,某個(gè)居民小區(qū)C附近有三條兩兩相交的道路MN,OA,OB,擬在MN上建造一個(gè)大型超市,使得它到OA,OB的距離相等,請(qǐng)確定該超市的位置P.尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法.解:如圖所示,點(diǎn)P即為該超市的位置.1.如圖所示,直線a,b,c表示三條互相交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有()A.1處 B.2處C.3處 D.4處D2.(2023寧鄉(xiāng)期末)如圖所示,在△ABC中,AB=10,AC=8,O為△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn),若△ABO的面積為15,則△ACO的面積為

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3.如圖所示,在△ABC中,通過