高考總復(fù)習(xí)核按鈕 數(shù)學(xué) 綜合教案 第二章 函數(shù)（教用）

第1頁第二章函數(shù)2.1函數(shù)的概念及其表示課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.3.通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.必備知識溫故知新【教材梳理】1.函數(shù)的概念（1）函數(shù)的概念：一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做（2）函數(shù)的三要素：定義域，對應(yīng)關(guān)系，值域.（3）兩個函數(shù)相等：如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱這兩個函數(shù)相等（或稱它們是同一個函數(shù)）.2.函數(shù)的表示法函數(shù)的常用表示方法：解析法、列表法和圖象法.3.分段函數(shù)如果一個函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對應(yīng)關(guān)系，則稱其為分段函數(shù).常用結(jié)論教材中的幾個重要函數(shù)函數(shù)定義圖象絕對值函數(shù)y=∣“雙勾”函數(shù)y=最值函數(shù)M(x)=max{f(x),g(x)},m(x以f(x)=取整函數(shù)y=[x],其中[符號函數(shù)y=sgn自主評價牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.（1）若A=R，B={x|x>0}，f（2）若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)相等.（）（3）已知f(x)=3(x（4）函數(shù)f(x)的圖象與直線x=0（5）分段函數(shù)是兩個或兩個以上函數(shù).（）【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√（5）×2．已知函數(shù)f(x+1)=2x-A.f(x)=2x+1C.f(x)=2x-3【答案】D【解】令x+1=t，則x=t-1.因為x>1，所以t>3．[2021年浙江卷]已知a∈R，函數(shù)f(x)=x2A.-3 B.0 C.1【答案】D【解】f(f(6))=f(64．[2022年北京卷]函數(shù)f(x)=1x+1-x的定義域是______________【答案】(-∞,0【解】由題意，得1-x≥0,x≠故f(x)故填(-∞,0)∪(核心考點精準(zhǔn)突破考點一函數(shù)的概念例1【多選題】設(shè)集合P={x|0≤x≤4},QA. B.C. D.【解】對于A，定義域不為P，故A錯誤.對于C，直線x=2與圖象有兩個交點，不符合函數(shù)的定義，故C易知B，D正確.故選BD.【答案】BD【點撥】①根據(jù)函數(shù)的定義，直線x=a(a是常數(shù)）與函數(shù)y=f(x變式1．下列函數(shù)為同一函數(shù)的是（）A.f(xB.f(xC.f(xD.f(x【答案】C【解】對于A，兩個函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù).對于B，f(x)的定義域為[0,+∞),g(x對于C，兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù).對于D，兩個函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù).故選C.考點二函數(shù)的定義域命題角度1具體函數(shù)的定義域例2函數(shù)f(x)=A.(0,C.(-∞,0)∪(【答案】A【解】由題意，得2-x≥0,x≠0,x>0,【點撥】函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實數(shù)x的集合，一般通過列不等式（組）求其解集.常見的限制條件有：分式的分母不等于0，對數(shù)的真數(shù)大于0，偶次根式下的被開方數(shù)大于或等于0等.變式2．（1）函數(shù)f(x)=A.(0,C.(0,（2）已知函數(shù)f(x)=ax2+A.(0,1] B.[【答案】（1）A（2）B【解析】（1）【解】由-x2+3x+4≥0,x>0,lnx≠0,解得（2）【解】由題意，知ax2+2ax+1≥0對任意的x∈R恒成立.當(dāng)a=0時，1≥0恒成立，則a=0符合題意.當(dāng)a≠命題角度2抽象函數(shù)的定義域例3已知函數(shù)y=f(x)的定義域為[-1,4]，則y=f(2x+1)x-1的定義域為__________【答案】(1,【解】由題意，得-1≤2x+1≤4,x-1【點撥】求抽象函數(shù)的定義域常用轉(zhuǎn)移法.若y=f(x)的定義域為(a,b)，則解不等式a<g(x)<b,即可得變式3．已知函數(shù)y=f(2x-1)A.(-2,5] B.(-【答案】A【解】當(dāng)-1≤x≤3,-3≤2x-1≤5，所以f(x考點三函數(shù)的解析式例4（1）已知f(x)是一次函數(shù),且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，則f(x)=__（2）已知f(x+1)=3x+x，則f(x)的解析式為_________________________（3）設(shè)函數(shù)f(x)=2f(A.1 B.-1 C.10 D.【點撥】函數(shù)解析式的求法如下.①待定系數(shù)法.已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)等），可用待定系數(shù)法.②換元法.已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.③配湊法.由已知條件f(g(x))=F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x【答案】（1）2x（2）f(x（3）B【解析】（1）【解】因為f(x)是一次函數(shù)，所以可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0).所以3[a(（2）【解】令x+1=t,t≥1，則x=(t-1)2.所以f(（3）【解】由已知，得f(1x)=2f(x)+1，聯(lián)立f(x)=2f1變式4．（1）已知一次函數(shù)f(x)滿足f(f(x))=4x-1，則f(x)=__________________（2）已知f(x-1x)=x2+1x2，則f(x)=____（3）若函數(shù)f(x)滿足f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy，則f(x)的解析式為______【答案】（1）2x-13（2）x（3）f【解析】（1）【解】設(shè)f(x)=kx+b(k≠0)，則f(f(x))=k2x+kb+b（2）【解】f(x-1x)=x2（3）【解】由題意，令x=y=0，得f(0)=0.令y=x，考點四分段函數(shù)例5（1）已知函數(shù)f(x)=-xA.-32 B.0 C.1（2）設(shè)函數(shù)f(x)=g(x),x<1,x13,x≥1,則當(dāng)g(x)=ex-1時，使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________；當(dāng)g（3）已知函數(shù)f(x)=x2-2x+2A.1 B.2 C.3 D.4【答案】（1）D（2）(-∞,8]（3）A【解析】（1）【解】f(-3)=-(-3)-1（2）【解】若g(x)=ex-1，則當(dāng)x<1時，ex-1≤2，解得x≤1+ln2.所以x<1.當(dāng)x≥1時，x13≤2，解得x≤8.所以1≤x≤8.綜上，x的取值范圍是(-∞,8].若g(x)=1,則x+1與2x不可能均小于1.當(dāng)x+1≥1且2x≥1（3）【解】當(dāng)x>0時，f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，值域為[1,+∞).當(dāng)x≤0時【點撥】①解決分段函數(shù)相關(guān)問題，關(guān)鍵是抓住“分段問題、分段解決”的核心思想，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及參數(shù)的特點分區(qū)間討論，最后將結(jié)果合并起來.②已知分段函數(shù)的值域或最值求參數(shù)范圍的問題，可先求函數(shù)在各區(qū)間的值域或最值，再結(jié)合已知條件建立不等式（組）求解.必要時，可先分析函數(shù)的性質(zhì)，再畫圖求解.③求分段函數(shù)的值域或最值，常分類討論，或者利用圖象求解.變式5．（1）已知函數(shù)f(x)=x2+2x,x≥0,-x2+2x,x<0.若f(2-a2)>（2）已知f(x)=(1-2aA.(-∞,-1] B.(-1，12) C.[-1（3）函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域為______【答案】（1）(-（2）C（3）[【解析】（1）【解】因為y=x2+2x在[0,+∞)上單調(diào)遞增，y=-x2+2x在(-∞,0)上單調(diào)遞增，且f(x)在x=0處連續(xù)，所以f(x)在R（2）【解】當(dāng)x≥1時，lnx≥0.要使函數(shù)f(x)的值域為R，如圖所示，需使1-2a>故選C.（3）【解】由題意，得y=-2x+1,x由圖象，知原函數(shù)的值域為[3,+∞).故填[課時作業(yè)知能提升【鞏固強化】1．下列圖形中可以表示以M={x|0≤x≤1}A. B.C. D.【答案】C【解】A中的值域不滿足題意，B中的定義域不滿足題意，D中不是函數(shù)的圖象，由函數(shù)的定義，可知C正確.故選C.2．函數(shù)f(x)=A.(23,+∞) B.[C.(23,1)∪(1【答案】C【解】3x-2>0,x-1≠0,3．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A.f(xB.f(xC.f(xD.f(x【答案】D【解】對于A，C,兩個函數(shù)的定義域不同,不是同一函數(shù)，故A,C錯誤.對于B，兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)，故B錯誤.對于D，f(x)與g(t)的定義域與對應(yīng)關(guān)系都相同，是同一函數(shù)，故D4．【多選題】已知函數(shù)f(x)=A.f(x)的定義域為R B.C.f(f(-1))=【答案】BD【解】對于A，易知f(x)的定義域為(-∞,-1]∪(-1對于B，當(dāng)x≤-1時，x+2≤1；當(dāng)-1<x<2時，0≤對于C，f(f(-1))=f對于D，當(dāng)x≤-1時，由f(x)=3，得x+2=3，解得x=1（舍去）；當(dāng)-1<x<2時，由f(x)=3，得x2=5．已知函數(shù)f(x)的對應(yīng)關(guān)系如下表,則fx1234567f(7458134A.1 B.3 C.4 D.7【答案】C【解】f(f(1))=6．【多選題】已知函數(shù)f(x)的定義域和值域均為[-A.函數(shù)f(x-2)的定義域為[-C.函數(shù)f(x-2)的值域為[-【答案】ABC【解】對于函數(shù)f(x-2)，由-3≤x-2≤3，解得-對于函數(shù)f(3x)x-1，由-3≤3x≤3,x-1函數(shù)f(x-2)和f(2x)的值域都為[-3,3]，7．已知函數(shù)f(x)=2x+1-8,x≤1,4log12(x+1),【答案】-7【解】當(dāng)x≤1時，f(x所以f(m)=4log12所以f(故填-78．已知函數(shù)f(x)滿足f(cosx)=cos2x-1，則f(x)的解析式為_____________________【答案】f(【解】f(cos所以f(故填f(x9．求函數(shù)f(（1）f(x)是二次函數(shù),且滿足f（2）f(x)【解】（1）設(shè)所求的二次函數(shù)為f(因為f(0)=c又f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x（2）因為2f(所以2f(①×2-②，得故f(【綜合運用】10．如圖所示，AB是半圓O的直徑，點P從點O出發(fā)，沿OA→弧AB→BO的路徑勻速運動一周.設(shè)點P到點O的距離為s，運動時間為t，則下列圖象能大致刻畫s與tA. B.C. D.【答案】C【解】當(dāng)點P在OA段運動時，s隨t的增大而勻速增大.當(dāng)點P在弧AB上運動時，s=OP=12AB，為定值.當(dāng)點P在BO上運動時，s隨t的增大而勻速減小11．若函數(shù)f(x)=12x,A.[14,+∞) B.[14,12] C.[【答案】B【解】當(dāng)x<1時，f(x)=(12)x∈(12,+∞).當(dāng)x≥1時，f(x)=a+(112．【多選題】已知函數(shù)f(x+A.f(B.f(x)C.fD.?x∈(【答案】BCD【解】因為x+4x∈(-∞,-4]∪[4,+∞)，且f(x+4x)=(x+4x)2-8，所以因為f(-x)=x2-8=f(x)，ff(-3+log20.25?x∈(0,+∞)，6<0.5x+6<7.因為f(x)在[413．已知函數(shù)f(x)=2x,x≥0,x3+1,x<0,若f(a)<f(6-a2【答案】(-3【解】由題意，知f(x)在R因為f(a)<f(6-a2)，14．已知函數(shù)f(x)=-x+（1）在同一直角坐標(biāo)系中，分別畫出y=f(x)（2）對任意x∈R，用m(x)表示f(x)，g(【解】（1）y=f(x)和y=g圖1（2）聯(lián)立y=-x+1,y=(x-結(jié)合圖1，得當(dāng)x<0時，m(當(dāng)0≤x<1時，當(dāng)x≥1時，m(所以m(函數(shù)y=m(x)的圖2【拓廣探索】15．【多選題】已知函數(shù)f(x)=-4A.f(xB.fC.當(dāng)x∈[4,8D.f(x)【答案】AC【解】當(dāng)1≤x≤2當(dāng)2≤x≤4當(dāng)4≤x≤8以此類推，可知f(x)的值域為[0,+∞)，f(24)=2f(12當(dāng)x∈[4,8]時，f(x)當(dāng)x∈[10,16]時，x因為f(x)在[54,2]上不單調(diào)，所以f(x)在[10,16專題突破2函數(shù)的值域求函數(shù)值域的常用方法如下.1.直接法.對于簡單函數(shù)的值域問題，可通過基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)直接求解.2.分離常數(shù)法.該法主要針對形如y=ax3.配方法.該法主要針對形如y=ax24.基本不等式法.該法主要針對形如y=ax5.單調(diào)性法.確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域.6.換元法.該法主要針對形如y=ax+bcx+d或y=ax+b±cx+d(a,b,c,d7.數(shù)形結(jié)合法.將數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題，結(jié)合圖形的性質(zhì)求最值.8.判別式法.該法主要針對形如y=a2x9.導(dǎo)數(shù)法.此法在后面的章節(jié)學(xué)習(xí).核心考點精準(zhǔn)突破考點一求已知函數(shù)的值域例1求下列函數(shù)的值域：（1）y=（2）y=（3）y=（4）y=【解】（1）y=因為7x-2所以函數(shù)的值域為{y（2）令t=1-x(t≥因為t≥0,所以所以函數(shù)的值域為（-∞，178（3）因為x2+x+由y=2x當(dāng)y-2=0，即y=2當(dāng)y-2≠0，即y≠2時，因為關(guān)于x的方程(y-2所以函數(shù)的值域為[1（4）（方法一）由y=1-sinx2所以1+y2sin(x-φ所以|1-2y1所以函數(shù)的值域為[0,4（方法二）y=1-sinx2-cosx表示單位圓上的點如圖，設(shè)過點M的直線方程為y-1=k(x-2)，即y所以函數(shù)的值域為[0，4【點撥】求函數(shù)的值域常需觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，利用分離常數(shù)法、配方法、基本不等式法、單調(diào)性法、換元法等方法求解，有時也會根據(jù)幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合法求解.變式1．求下列函數(shù)的值域：（1）y=（2）y=（3）y=（4）y=【解】（1）設(shè)t=-x2-6x-5,則t≥0.解得-5≤x（2）設(shè)x=cost(0≤t≤π),則因為0≤t≤π,所以sin(π+φ又sin(π+φ)=-sinφ=-25,（3）y當(dāng)x<-4時，y>10；當(dāng)x當(dāng)-4≤x≤故函數(shù)的值域為[5（4）y=x因為x>12,故y=2x2-x+12x-考點二已知函數(shù)的值域求參數(shù)的取值范圍例2已知函數(shù)f(x)=x+1,x≤a(-∞,0] B.[0,【答案】B【解】當(dāng)x≤a時，當(dāng)x>a時，若f(x)的值域為R，則a+1≥2a.函數(shù)y=x+1和g(x【點撥】已知分段函數(shù)的值域或最值，求參數(shù)的取值范圍，常通過分類討論，求函數(shù)在各區(qū)間上的取值范圍，再列不等式（組）求解.必要的時候，也可結(jié)合圖象分析.變式2．已知函數(shù)y=x2-2x+2,x≥0,x+ax+3a,x<0的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍為_________【答案】(-∞,0【解】當(dāng)x≥0時，當(dāng)a=0且x<0因為(-∞,0)∪[1當(dāng)a>0且x<0由“雙勾”函數(shù)的單調(diào)性，可知f(x)在(-∞,-a)上單調(diào)遞增，在(-a此時f(若要滿足f(x)的值域為R，則需3a-當(dāng)a<0且x<0時，f(又當(dāng)x→0時，f(x)→+∞，且當(dāng)x→-∞時，f(x)→-∞，綜上，a的取值范圍是(-∞,0故填(-∞,0)∪[課時作業(yè)知能提升1．當(dāng)x∈[0,2)∪(A.(-∞,0)C.(-∞,0)∪[【答案】C【解】令2-x=t，則f(t)=2t.因為x∈[0,2)∪(2,+∞)，所以t∈(-∞,0)∪(0,2].當(dāng)t∈(-∞,02．min{a,b}表示a，b中的最小者，設(shè)f(x)=min{x+A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解】令x+3>9-x，解得x>3；令x+3≤9-x，解得x≤3.所以f(x)=x+3,x≤3,3．已知函數(shù)f(x)=xxA.0 B.2 C.22【答案】C【解】由x-2>0,得x>2.f(x)=xx-2=(x-2)4．函數(shù)f(x)=A.[0,2] B.[-【答案】D【解】由題意，知f(x)的定義域為[-2，2].設(shè)x=2sint,t∈[-5．若函數(shù)f(x)=x2+2xA.(-∞,2] B.[0,【答案】A【解】f(①當(dāng)a-1≤0，即a≤1時，f(x②當(dāng)a>1時，f(x)=(x+1)+a-若a-1-1≤0,即1<a≤2,則f若a-1-1>0，即a>2,則f(x)在[0,綜上，a≤2.故選A6．【多選題】下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A.y=xC.y=2【答案】BD【解】對于A，當(dāng)x=1時，y=0，所以2不是y=x-1x的最小值.或由y=x-1x對于B，函數(shù)的定義域為R.令x2+1=t(t≥1)，得x2=t2-1，所以y=t2對于C，因為2x>0，所以2x+2>2.所以y對于D，y=(sinx-1)2+2,當(dāng)sinx=1時，7．已知函數(shù)f(x)=x2-2x+2,x≥0,ax+3a,x<0的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍為__________【答案】[13,【解】當(dāng)x≥0時，f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥8．已知函數(shù)f(x)滿足f(1（1）求f(x)（2）求函數(shù)y=g【解】（1）令1-x2=m，得x因為g(所以g(-由①②，解得g(（2）y=設(shè)t=1-所以y=-因為t≥0，所以故所求函數(shù)的值域為(-∞,322.2函數(shù)的基本性質(zhì)第1課時函數(shù)的單調(diào)性與最值課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義.必備知識溫故知新【教材梳理】1.函數(shù)的單調(diào)性（1）增函數(shù)與減函數(shù).名稱增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I?當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的（2）函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=f2.函數(shù)的最大（小）值名稱最大值最小值前提一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)條件①?x∈D，都有f(x①?x∈D，都有f(x結(jié)論稱M是函數(shù)y=f稱M是函數(shù)y=f幾何意義y=fy=f常用結(jié)論判斷函數(shù)單調(diào)性的主要方法（結(jié)論）（1）定義的等價形式.設(shè)x1,x2∈(a,b)，且x1≠x2，記Δx=x1-x2,Δy=f（2）性質(zhì)法.①當(dāng)常數(shù)c>0時，y=c?f(x)與y=f(x)②若c為常數(shù)，則函數(shù)y=f(x③當(dāng)y=f(x)恒為正或恒為負(fù)時，④若f(x)與g(⑤若f(x)>0且g(x)>0，f(x)與g(x)⑥奇（偶）函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同（相反）.（3）同增異減法.對于復(fù)合函數(shù)f(g(x))，如果y=f(u)和u=g(x)的單調(diào)性相同，那么（4）導(dǎo)數(shù)法.（5）圖象法.自主評價牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.（1）若定義在R上的函數(shù)f(x)，有f(-1)<f(3（2）函數(shù)y=1x的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0（3）所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.（）（4）若一個函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個子區(qū)間上都單調(diào)遞增，則這個函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.（）（5）閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間的端點處取得.（）【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×（5）√2．若函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞增，且f(2mA.(-∞,-1) B.(-1,+∞)【答案】C【解】因為f(x)在R上單調(diào)遞增，f(2m-3)>f(-m)，所以2m-33．函數(shù)f(x)=A.[1,2] B.[-【答案】A【解】當(dāng)x>2時，f當(dāng)x≤2時，f(綜上，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[1,4．已知x∈[1,8]，則函數(shù)f(x)=x+9x的最大值與最小值的和為____【答案】16【解】由“雙勾”函數(shù)的性質(zhì)，知f(x)在[1,3]上單調(diào)遞減，在又f(1)=10，f(8)=8+核心考點精準(zhǔn)突破考點一確定函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間例1（1）已知函數(shù)f(x)=loga(-x2-2x+3A.(-∞,-1] B.[-1,+∞)（2）函數(shù)f(x)=A.(-∞，14] B.(-∞,-1] C.[32（3）求函數(shù)f(x【點撥】①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域.②函數(shù)單調(diào)性的判斷方法及相關(guān)結(jié)論見本節(jié)常用結(jié)論.【答案】（1）C（2）C【解析】（1）【解】令g(x)=-x2-2x+3.由題意，知g(x)>0，可得-3<x<1，故f(x)的定義域為{x|-3<x<1}.由f(0（2）【解】由題意，得2x2-x-3≥0，解得x≤-1或x≥32.由二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)（3）【解】先作出函數(shù)y=x2-4x+3的圖象，再將圖象在x由圖,知f(x)在(-∞,1]和[2,3]故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[變式1．（1）[2023年北京卷]下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（A.f(xC.f(x（2）求函數(shù)f(x【答案】（1）C【解析】（1）【解】在(0,+∞)上，顯然A，B單調(diào)遞減，C單調(diào)遞增.對于D，因為f(12)=3|12-1|=312=3，（2）【解】f(其圖象如圖所示.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1]和[0例2設(shè)函數(shù)f(x)=x2【證明】設(shè)x1，x2∈[0,+∞)=x=(x因為0≤x1所以(x所以f(x1所以函數(shù)f(x)在區(qū)間【點撥】證明函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法.①定義法.基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷.函數(shù)單調(diào)性定義的等價形式見本節(jié)常用結(jié)論.②導(dǎo)數(shù)法.變式2．【多選題】下列函數(shù)中，滿足“?x1,x2∈(2,+∞)，且A.f(xC.f(x【答案】AB【解】由題意，知f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞減.A,B顯然滿足，C在(-2,+∞)上單調(diào)遞增，不滿足，D在(1,+∞)考點二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題角度1比較函數(shù)值的大小例3已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=2對稱，且對任意x1，x2∈(2,+∞)，都有[A.a<c<b B.a【答案】B【解】由題意，知f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞減，又|-1-2|=3,|π-2|=π-2,|e-2|=e-2，且3【點撥】①比較函數(shù)值的大小，先將自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，通過比較自變量的大小來比較其函數(shù)值大小.單調(diào)函數(shù)自變量的大小關(guān)系和函數(shù)值的大小關(guān)系可正逆互推，即若f(x)是增（減）函數(shù)，則f(x變式3．（1）已知函數(shù)f(x)=3x-13xA.f(a)>f(b（2）設(shè)a∈R，已知函數(shù)y=f(x)是定義在[-4,A.[-4,1) B.(【答案】（1）A（2）C【解析】（1）【解】（方法一）f(x)=1-23x+1是增函數(shù)，則f(a)>f(b).（方法二）f(a)-f(b)=3a-（2）【解】因為函數(shù)y=f(x)是定義在[-4,4]上的減函數(shù)，且f(a命題角度2求參數(shù)的取值范圍例4（1）已知函數(shù)f(x)=ax+1x+1在(-1,+∞)上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是_____（2）[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷]已知函數(shù)f(x)=-x2-A.(-∞,0] B.[-1,【點撥】利用單調(diào)性求參數(shù)應(yīng)注意的問題如下.①依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較.②需注意若函數(shù)在區(qū)間[a,b]【答案】（1）(-∞,（2）B【解析】（1）【解】f(x)=ax+1x+1=ax+a-a+1x（2）【解】因為f(x)在R上單調(diào)遞增，且當(dāng)x≥0時，f(x)=ex+ln(x變式4．（1）（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)f(x)=2x(xA.(-∞,-2] B.[-2,（2）已知函數(shù)f(x)=x2-2x+2A.1 B.2 C.3 D.4【答案】（1）D（2）C【解析】（1）【解】因為函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增，f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，所以y=x(x-（2）【解】因為y=x+2在R上單調(diào)遞增，y=x2-2x+2在[1,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)考點三函數(shù)的最值例5函數(shù)f(x)=(13)x-log2(x+2)在區(qū)間【答案】3【解】因為y=(13)x和y=-log2(x+2)都在[-1,1]上單調(diào)遞減【點撥】利用單調(diào)性求最值，應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)性質(zhì)求解.變式5．已知函數(shù)f(x)=log13x,x>1,-x2+2x,x≤1,則f(f(3))=___【答案】-3；【解】由于f(所以f(3)=log133=-1，則f(f(3))=f(-1)=-3.當(dāng)x>1綜上，可知f(x)的最大值為1.課時作業(yè)知能提升【鞏固強化】1．下列函數(shù)在[1,4]上最大值為3的是A.y=1x+2 B.【答案】A【解】對于A，y=1x+2在[1,4]上單調(diào)遞減對于B，y=3x-2在[1,4]上單調(diào)遞增，對于C，y=x2在[1,4]上單調(diào)遞增，所以對于D，y=3x在[1,4]上單調(diào)遞增，所以ymax=32．下列函數(shù)中，值域為R且在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（A.y=-x3 B.y=【答案】D【解】對于A，y=-x3在(0,+∞)上單調(diào)遞減，對于B，C，值域并不是R，故B,C錯誤.對于D，y=lg|x|在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且值域為R，故D正確3．已知函數(shù)f(x)=x2+2(aA.(-∞,-3] B.[-3,+∞)【答案】A【解】f(x)圖象的對稱軸為x=-2(a-1)2=1-a.因為f(4．已知函數(shù)f(x)=log2x,A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[【答案】D【解】由題意，知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.若f(a+1)-f5．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[A.f(3C.f(-2【答案】B【解】因為f(-2)=f(2)，f(x)在[6．【多選題】下列命題正確的是（）A.若?x1，x2∈R，xB.若?x1，x2∈R，xC.若?x∈R，fD.若?x∈R，f(x【答案】AB【解】對于A，由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+對于B，設(shè)x2>x1，由f(x1)-f(x2)x1-x2>-1,得f(x1)-f(對于C，令f(x)=[x]，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，滿足f(x+1對于D，令f(x)=g(x)=x，則f(x)，g(故選AB.7．函數(shù)f(x)=ln(x2-x-6)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____【答案】(3【解】由x2-x-6>0,解得x>3或x<-2，則f(x)的定義域為(-∞,-2)∪(3,+∞).令t=x2-8．若函數(shù)f(x)=-x+6,x≤2,3+logax,x>2(a>0，且a≠1)的值域是[【答案】(1【解】當(dāng)x≤2時，-x+6≥4.要使f(x)的值域為[4,+∞)，只需y=3+logax(x9．已知函數(shù)f(（1）求f(（2）探究f(x【解】（1）f(（2）f(x)的定義域為R.任取x1，x2因為y=2x在R上單調(diào)遞增，所以0<又2x1+1>0，2x2+1>0，所以【綜合運用】10．函數(shù)f(x)=2|x-A.[1,+∞) B.(1,+∞)【答案】B【解】函數(shù)f(x)在(-∞,a)上單調(diào)遞減，在(a,+∞)上單調(diào)遞增.因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[11．設(shè)函數(shù)f(x)=ln(-x2+4xA.(0,1) B.[【答案】D【解】由-x2+4x>0，得0<令g(x)=-x2+4x,x∈(0,4)，則又y=lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(0,2]上單調(diào)遞增12．已知函數(shù)f(x)是定義域為R的減函數(shù)，且f(4-xA.(-4,C.(-5,【答案】D【解】因為f(所以f(4-因為f(所以f(因為f(x)是定義域為R所以x2+3x>5-x另解：易知f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱.由幾何意義或直接構(gòu)造f13．已知函數(shù)f(x)=(1-3a)x+a+1,x<2,2ax,x≥2在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為________【答案】(13，【解】由題意，知1-3a<0,0<a<1,2(114．已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)（1）判斷并證明f(x（2）求不等式f(1【解】（1）證明：設(shè)x1,，且x1<x2，則由f(x+y)=又f(x1)>0，所以f(x2)>（2）由f(2)=2，得所以f(1+4a由f(x)的單調(diào)性，得1所以不等式的解集為(-∞,54【拓廣探索】15．【多選題】如果偶函數(shù)f(x)滿足?x1,x2∈(0,+∞)，若x1≠x2,則A.f(xC.f(x【答案】ACD【解】由題意，得x1[f(所以f(x)在(對于A，易知f(x)為偶函數(shù)，且在(0,+∞)上單調(diào)遞減，對于B，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，對于C，易知f(x)為偶函數(shù).當(dāng)x>0時，f(x)=1-2x,所以f對于D,f(x)的定義域為R，且滿足f(-x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).當(dāng)x>0時，f(x)=e-x-ex.因為第2課時函數(shù)的奇偶性與周期性課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義.2.結(jié)合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義.必備知識溫故知新【教材梳理】1.函數(shù)的奇偶性名稱偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果?且f(-x)=f且f(-x)=-f圖象特點關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點對稱2.函數(shù)的周期性一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x+T∈D，且f(x3.函數(shù)奇偶性的重要性質(zhì)（1）具有奇偶性函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，即“定義域關(guān)于原點對稱”是“一個函數(shù)具有奇偶性”的必要不充分條件.（2）f(x)為（3）若奇函數(shù)f(x)在x=（4）若f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，則它的圖象一定在x（5）若f(x)為奇函數(shù)，且在[a,b]上單調(diào)遞增（減），則f(x)在[-b,-a（6）奇、偶函數(shù)的“運算”（在共同定義域上）:奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇.（7）常用的兩個等價關(guān)系.①f(x+a)為偶函數(shù)?f(-x②f(x+a)為奇函數(shù)?f(-x常用結(jié)論1.若T是f(x)的周期，則nT(2.若函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期為T，則函數(shù)f3.以下等式中的任意一個，都可推得2a為f(x)的周期(a>0):①自主評價牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.（1）若定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(-1)=f(（2）偶函數(shù)的圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點.（）（3）不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù).（）（4）若函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x+a)=-f（5）偶函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增，則f(x【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√（5）√2．下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是（）A.f(xC.f(x【答案】D【解】易知A是奇函數(shù)，B是偶函數(shù)，C是奇函數(shù).對于D，f(1)=1+tan1,f(-1)=1-tan1.f(1)≠f3．已知對于任意實數(shù)x，函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=A.-12 B.12【答案】C【解】由題意,知4是f(x)的一個周期.所以f(20264．[2023年全國甲卷]若f(x)=(x-1)2+ax+sin(x+π2【答案】2【解】f(因為y=x2+1,y=cosx都是偶函數(shù)，所以y=(a-核心考點精準(zhǔn)突破考點一函數(shù)的奇偶性命題角度1函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f(（2）f(（3）f（4）f(【解】（1）由1-x1f(x)的定義域為(-所以f(x)（2）由9-x2≥所以f(x)的定義域為{-3又f(3)+所以f(所以f(x)（3）（方法一）（定義法）當(dāng)x>0時，f(x)=-當(dāng)x<0時，f(x-x所以f(x)（方法二）（圖象法）作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示.由圖象關(guān)于原點對稱的特征知函數(shù)f（4）由1-x1+x>0，得-1<x<1，即f(x)=ln1-x【點撥】判斷函數(shù)f(x①定義法.②圖象法.③還可用本節(jié)【教材梳理】中的“運算”確定奇偶性（在共同定義域上）.④對于分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段驗證，但驗證過程往往比較繁瑣，且容易判斷錯誤，通常用圖象法來判斷.⑤對于含有x的對數(shù)式或指數(shù)式的函數(shù)f(x)，常用“變式1．（1）【多選題】下列命題正確的是（）A.奇函數(shù)的圖象一定過坐標(biāo)原點B.函數(shù)f(C.函數(shù)f(D.函數(shù)f(（2）[2021年全國乙卷]設(shè)函數(shù)f(x)=A.f(x-1)-1【答案】（1）BC（2）B【解析】（1）【解】對于A，只有當(dāng)奇函數(shù)在x=0處有定義時，奇函數(shù)的圖象才過原點，故A錯誤.對于B，因為f(x)的定義域為R,且f(-x)=(-x)sin(-x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故B正確.對于C，因為f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，且f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(（2）【解】由題意，得f(x)=1-x1+x=-1+21+x.f(x-1命題角度2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例2（1）[2023年全國乙卷]已知f(x)=xeA.-2 B.-1（2）已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R，且當(dāng)x≥0時，f(x)=log2(x+3)+a，則f(-3)=______，當(dāng)x<0時，f(x)=_____【點撥】①利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值，關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)值.②已知奇偶性求參數(shù)的值，關(guān)鍵在于借助奇偶性得到關(guān)于自變量和參數(shù)的恒等式，利用自變量的任意性構(gòu)建方程，求參數(shù)的值．③利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題．【答案】（1）D（2）-1；【解析】（1）【解】因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)-f(-x)=xexeax-1-(-x)e-xe-ax（2）【解】由題意，知f(0)=log23+a=0.解得a=-log23.所以f(x)=log2(x變式2．（1）已知函數(shù)f(x)=xln(A.0 B.14 C.1（2）已知函數(shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)+g(x)=x2-x+1，則g【答案】（1）C（2）-【解析】（1）【解】因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，即-xln(1+1-x-b)=xln(1+1x-b).整理（2）【解】因為f(x)+g(x)=x2-x+1①，所以f(-x)+g(-x)=x2+x+命題角度3抽象函數(shù)的奇偶性例3已知定義域為R的函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x，y都有f(x+yA.f(x)是奇函數(shù)C.f(x)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)【答案】B【解】由f(0)≠0，得令x=0，得再令y=0，得因為f(0)≠0，所以f(0)=1.所以f(y)+f(-y)=2f(y).化簡,得【點撥】求解抽象函數(shù)的奇偶性，一般需要對抽象函數(shù)作不同的特值代換，并進(jìn)行邏輯推理.變式3．[2023年新課標(biāo)Ⅰ卷節(jié)選]已知不恒為0的函數(shù)f(x)的定義域為R，fA.f(x)是奇函數(shù)C.f(x)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)【答案】B【解】令x=y=1，得f令x=y=-1，得f令y=-1，得又f(x)的定義域為R，且不恒為0，所以f(x)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故B考點二函數(shù)的周期性例4設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x（1）求證：f(（2）當(dāng)x∈[2，4]（3）計算f(0【解】（1）證明：因為f(x+2)=-f(x)，所以（2）當(dāng)x∈[-2,0由已知得f(-又f(x)是奇函數(shù)，所以f又當(dāng)x∈[2,4]又f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(x)=f（3）f(0)=0,f(2)=0,f(1)=【點撥】①判斷函數(shù)f(x)的周期性，關(guān)鍵在于利用周期性的定義，證明存在等式f(x+T)=f(x).變式4．已知函數(shù)f(x)對于任意實數(shù)x滿足條件f(x+2A.-12 B.12【答案】C【解】因為f(x+2)=-1f(x)，所以f(x+4)=f(x+考點三函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用例5（1）已知定義域為R的奇函數(shù)f(x)為減函數(shù)，且f(1A.(-2,C.(0,（2）設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,則使f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范圍是__________【答案】（1）A（2）(13,【解析】（1）【解】由題意，知f(1-a)<-f(1-a2)=f(a2-1)（2）【解】由題意，知f(x)是偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增.所以f(x)>f(2x-1)等價于f(|x|)>f(|2x-1【點撥】單調(diào)性和奇偶性是函數(shù)的兩條重要基本性質(zhì).單調(diào)性與奇偶性之間有著密切的聯(lián)系：①奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，且f(-x)=-變式5．（1）設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(1)=1，當(dāng)xA.{x|x<C.{x|（2）已知f(x)=a-23x+A.(1,+∞) B.(-∞,1)【答案】（1）A（2）A【解析】（1）【解】當(dāng)x≥0時，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增，且函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù)，f(1)=1.由f(（2）【解】因為函數(shù)f(x)=a-23x+1為奇函數(shù)，所以f(0)=a-22=0.解得a課時作業(yè)知能提升【鞏固強化】1．若f(x)是定義域為RA.f(xC.f(x【答案】D【解】由題意，得f(x)+f(-x)=0，f(0)=當(dāng)x≠0時，f(x)f(-x)=-2．已知函數(shù)f(x)=ax2+A.-13 B.13 C.【答案】B【解】因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x).所以b=0.又3．設(shè)a,b∈R，則“m=1”是“A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解】f(x)的定義域為R，所以f(x)是奇函數(shù)等價于f(x)+f(-x)=sin4．函數(shù)f(x)=x2A. B.C. D.【答案】D【解】f(x)的定義域為{x|x≠±1}，且f(-x又f(2)=43-9=-5．【多選題】下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）A.f(xC.f(x【答案】ACD【解】對于A，定義域為R，f(-x)=xsinx對于B，定義域為(0,+∞)，f(x對于C，定義域為R，f(-x)=(-x)?e對于D，定義域為R，f(-x)=-xln(x2+1+6．【多選題】設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R，且A.f(x)gC.f(x)|g【答案】ACD【解】易知A，B，C，D中的函數(shù)的定義域都為R.因為f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)對于A，因為f(-x)g(-x)=-f(x)對于B，因為|f(-x)|g(-x)=|-f(x對于C，因為f(-x)|g(-x)|=-f(x)|對于D，因為|f(-x)g(-x)|=|-f(x故選ACD.7．已知函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x+2)=13.若f(1)=2，則f(99【答案】132【解】由題意，知f(x)≠0用(x+2)代替x故f(x)若f(1)=2，則f(8．已知函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)單調(diào)遞減，若f(2a)>f(1-a)，則a的取值范圍是___________【答案】(-1,1【解】結(jié)合題意,要滿足f(2a)>f(1-a),則|2a|<|1-9．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，f(x+（1）求證：f(x（2）計算f(0【解】（1）證明：因為f(x+所以f(x)是以（2）由題意，知f(0)=0,f(又f(x)所以f(【綜合運用】10．[2020年新課標(biāo)Ⅰ卷Ⅱ卷]若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，且f(2A.[-1,C.[-1,【答案】D【解】因為定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，且f(2)=0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，且f(-2)=0，f(x<0x>0,0解得-1≤x≤0或1≤x≤3.所以滿足xf(x11．已知函數(shù)f(x)=e-|x|-A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解】因為f(-x)=e-|-x|-a[(-x)2+1]=e-|x|-a(x2+1)=f(x)，且f(x)的定義域為R，所以f(x12．[2023年四省聯(lián)考]【多選題】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(A.f(fC.g(f【答案】BD【解】由題意，知f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，g(x)在R上單調(diào)遞減.所以f(1)<f(2)，g若|f(1)|>|f(2)|，則f(f13．若函數(shù)f(x)=a-b2x-b(b>0)為奇函數(shù)，則a+b=_【答案】12【解】由2x-b≠故f(x)因為f(x)為奇函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點對稱.所以log2b=0，即b=1.所以f(-x)+f(x)=14．已知f(x)的定義域為R，f（1）證明：f(x（2）求f(-【解】（1）證明：f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱.令x=1，y=0，得f(令x=0，得f(0+y)+f(0（2）因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(-1)=f(1【拓廣探索】15．[2025年八省聯(lián)考改編]【多選題】已知函數(shù)f(x)=x3-2x,曲線C:y=f(x),兩條直線l1,l2均過坐標(biāo)原點O,l1和C交于M,N兩點A.f(x)有2個零點C.f(x)是增函數(shù) D.【答案】ABD【解】令f(x)=0,得x=±42,所以f(x)有2易知f(x)為奇函數(shù),故B曲線C的圖象關(guān)于原點對稱,所以點M與N,P與Q分別關(guān)于原點對稱.不妨設(shè)M,N,P,Q的位置如圖所示.易知S△所以S△MNQ=22，故D正確專題突破3函數(shù)的對稱性及其應(yīng)用1.一個函數(shù)的自對稱（1）軸對稱:函數(shù)f(x+a)是偶函數(shù)?f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)?函數(shù)y=f(x)（2）中心對稱:函數(shù)f(x+a)是奇函數(shù)?f(a+x)+f(a-x)=0或f(x)+f(2a-x)=0?函數(shù)y2.兩個函數(shù)的互對稱（1）函數(shù)y=f(x)與y=（2）函數(shù)y=f(x)與y=-（3）函數(shù)y=f(x)與3.雙重對稱（1）若函數(shù)f(x)的圖象在定義域內(nèi)有兩條對稱軸x=a,x=b(（2）若函數(shù)f(x)的圖象在定義域內(nèi)有兩個對稱中心A(a,0（3）若函數(shù)f(x)的圖象在定義域內(nèi)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心B核心考點精準(zhǔn)突破考點一軸對稱問題例1（1）【多選題】已知函數(shù)f(x)的定義域為RA.若f(2x+a)B.若f(x)的圖象關(guān)于直線C.若f(x)的圖象關(guān)于直線xD.若f(a+x)=（2）已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=f(4-x)，若y=|x-2A.-4 B.0 C.8【答案】（1）AB（2）D【解析】（1）【解】對于A，由y=f(2x+a)是偶函數(shù)，得f(-2x+a)=f(2x+a)，即f(-x+a)=f(x+a).所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，故A正確.對于B，由f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，得f(a+x)=f(a-x)，即f(a+x)-f(a-x)=0，故B（2）【解】因為f(x)=f(4-x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.又y=|x-2|的圖象關(guān)于x【點撥】函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱?f(x)=f(2a變式1．（1）設(shè)函數(shù)y=f(3x+1)A.x=0 B.x=1（2）已知定義域為R的函數(shù)f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞減，且f(x+2)為偶函數(shù)，則不等式f(x-1)>f(2x)的解集為______【答案】（1）B（2）(-【解析】（1）【解】由題意，得y=f(3x+1)的圖象關(guān)于y軸對稱.因為函數(shù)y=f(3x)的圖象可由y=f(3x+1)的（2）【解】因為f(x+2)為偶函數(shù)，所以f(-x+2)=f(x+2).所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.又f(x)的定義域為R，在(-∞,考點二中心對稱問題例2（1）【多選題】已知函數(shù)f(x)的定義域為RA.若f(2x+a)B.若f(x)的圖象關(guān)于點C.若f(x)的圖象關(guān)于點(D.若f(x+a)=-（2）已知函數(shù)f(x)=ax-1x-1A.-2 B.-1【答案】（1）AB（2）D【解析】（1）【解】對于A，由f(2x+a)是奇函數(shù)，得f(-2x+a)=-f(2x+a)，即f(-x+a)=-f(x+a).所以f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱，故A正確.對于B，由f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱，得f(a-x)-b=-f(a+x)+b，即f(a+x)+f(a-x（2）【解】由題意，知f(x)+f(2-x)=4.【點撥】函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱?f(a+x)+f變式2．（1）若函數(shù)f(x)滿足fA.f(x-1)-1（2）設(shè)函數(shù)f(x)=x3+aA.-1 B.2 C.-（3）[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷節(jié)選]已知函數(shù)f(證明：曲線y=f【答案】（1）D（2）C【解析】（1）【解】由題意，知f(x)的圖象關(guān)于點(1,-1)對稱.將f(x)的圖象向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到函數(shù)g(x)=f(x+1（2）【解】因為f(1+x)+f(1-x)=2，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,1)對稱.因為函數(shù)y=x3,y=x為奇函數(shù)，即它們的圖象關(guān)于點(0,0（3）【證明】f(x)設(shè)P(m,n)為y=f(x)的因為點P(m,n)在y=因為f(2-m)=ln2-mm+由點P的任意性，可得曲線y=f(x考點三雙重對稱問題例3【多選題】已知定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(xA.fB.4是f(C.fD.f(x)【答案】BCD【解】由f(x)=f(2-x)知，f(又f(x)為奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)=f(2f(3)=ff(2026)+f(2027)+f【點撥】雙重對稱問題，隱含周期，注意借助對稱性與周期性的相關(guān)結(jié)論解題,輔以草圖則更為直觀.變式3．【多選題】已知定義域為R的函數(shù)f(x)在(-1,0]上單調(diào)遞增，fA.fB.f(x)C.2是f(D.f【答案】AB【解】由f(1+x)=f(1-x)，知直線x=1為f因為f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且f(x)在(-1,0]上單調(diào)遞增，所以f(x)在[2,3)上單調(diào)遞減.又f(x由f(1+x)=f(1-x)，知f(2+x)=f(-x).又f(x)的圖象關(guān)于點由B，得f(2)=0，且f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線x=1對稱，從而f(x)由f(x)的最小正周期為4，得f(2025)=f(1)，f(2026)=f(2)=0，f(2027考點四兩個函數(shù)圖象的對稱問題例4已知函數(shù)y=f(x)與g(x)=ln(-x-2)-x-2的圖象關(guān)于點(-1,0)對稱，則f(x)=_____【答案】-lnx【解】設(shè)(x,y)是y=f(x)的圖象上一點，其關(guān)于點(-1,0)的對稱點為(m,故填-lnx-【點撥】①函數(shù)y=f(a+x)與y=c-f(b-x)的圖象關(guān)于點(b變式4．下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=e2x的圖象關(guān)于直線xA.y=e2x-2 B.【答案】B【解】設(shè)f(x)=e2x.若g(x)與f(x)的圖象關(guān)于直線課時作業(yè)知能提升1．若函數(shù)f(x+1)是奇函數(shù)，則函數(shù)yA.(-1,1) B.(【答案】B【解】因為函數(shù)f(x+1)是奇函數(shù)，所以f(x+將函數(shù)y=f(x+1)的圖象向右平移1個單位長度，得函數(shù)y=f(x)的所以函數(shù)y=f(x)+1的圖象關(guān)于點(12．若函數(shù)f(x)=36-x與g(xA.6 B.3 C.0 D.-【答案】B【解】由題意，知6-x+x=2a.解得3．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(1-x)=fA.1 B.0 C.2 D.-【答案】B【解】因為f(x+4)=-f由f(1-x)=f(另解：不妨設(shè)f(x)=sinπ2x,則4．已知定義域為R的函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，且f(x+1)是偶函數(shù)A.[-12，12] B.[-1,【答案】B【解】因為函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)又f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，所以f(而對任意的x∈[-1,0]，f(3m+1)≥又f(-2)=f解得-1≤m≤15．已知函數(shù)f(x)=x+1x-1+3的圖象A.6 B.8 C.10 D.12【答案】C【解】直線y=k(x因為f(x)+f(2-x)=x+又f(x)的圖象與直線y=k(x-1)+4有兩個交點，所以6．【多選題】已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R，若fA.f(0)=0 B.C.f(x)=-f【答案】ACD【解】對于A，由題意，得f(0)=0，故對于B，由f(x)=f(2-x)，得f(x+1)=對于C，由f(x)=f(2-x),得f對于D，由C，得f(x+2)=-f(x+4)，即f(x)=f(7．寫出一個值域為[-1,1]，且滿足f(π2-x)=f(x)=-f(-x)的周期函數(shù)f(x)=__________________【答案】sin2x（答案不【解】因為f(x)=-f(-x又f(x)是值域為[-1,1因為f(π2-x)=f(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=π4對稱.所以π故填sin2x（答案不唯一）8．已知函數(shù)f(（1）若f(1)=3（2）證明：函數(shù)y=f(x)的【解】（1）由f(1)=（2）證明：因為f(所以函數(shù)y=f(x)的圖象專題突破4抽象函數(shù)解決抽象函數(shù)問題的常用方法:一是通過賦值、代換等方法，推導(dǎo)出相關(guān)量或抽象函數(shù)的性質(zhì)；二是使抽象函數(shù)具體化.常見的抽象函數(shù)及其原型如下.抽象函數(shù)原型f(f(f(f(f(或ff(f(f(f(xf(xf(xyf(xf(xf(或f2f(f(f(f(核心考點精準(zhǔn)突破考點一單變量例1【多選題】已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x-32)=-A.3是f(B.f(x)C.f(D.f【答案】AC【解】對于A，因為f(x-32)=-f(x)，所以f(x-對于B，因為f(x+34)為奇函數(shù)，所以f(-x+34)=-f(x+3對于C，由B，得f(-x+32)=-f(x).又f(x-32)=-f對于D，由C，知f(x)是偶函數(shù)，所以f(1)=f(-1)=-1.又3是f(x)的一個周期，所以f(2另解：函數(shù)f(x)=2cos(2π3x)滿足題意,逐項判斷，【點撥】①常見的抽象函數(shù)問題有求值、判斷函數(shù)的性質(zhì)、解不等式等.通常用特殊值代入求值,如令x=0,1,2,3,?,通過f(x1)-f(x2)的變換,判斷單調(diào)性;令函數(shù)式中出現(xiàn)f(x)和變式1．定義域均為R的函數(shù)f(x)，g(x)滿足A.f(x)是奇函數(shù)C.g(x)是奇函數(shù)【答案】D【解】因為f(x-1)=g(2-x)，所以f(-x+因為f(x)=g(x-1)，所以g(x)的圖象關(guān)于直線x考點二雙變量例2【多選題】[2024年九省聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(12A.f(-1C.f(x-1【答案】ABD【解】令x=12，y=0，得f(12)+f(12)×f(0)=f(12)[1+f(0)]=0.因為f(12)≠0令y=-12，得f(x-12)+f(x)f令x=1，得f(12)=-f(x+1-12)=-2(x+1)=-故選ABD.【點撥】雙變量抽象函數(shù)問題，常通過對兩個變量同時賦值，求得特殊值.再通過對一個變量賦值，推導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì).使抽象函數(shù)具體化，是解決問題的重要思路.變式2．【多選題】已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足fA.f(0C.f(x+1【答案】BCD【解】當(dāng)x=0，y=1時，f(1)=f(0)f(1)+f(1)=f(1)[f(0)+1]，所以f(0當(dāng)y=1時，f(x+1)=f(x)f(1)+f(1)+x=x.因為f(x課時作業(yè)知能提升1．已知定義域是R的函數(shù)y=f(x+A.0 B.3 C.-3【答案】C【解】因為y=f(x+1)+1由f(1+1)+1=-[f(-1+2．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，?a，b∈R，f(A.0 B.-9 C.-12【答案】D【解】令a=b=0，得f令a=1，b=-1，得f(0)=令a=b=1令a=1，b=2故選D.3．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x)的圖象關(guān)于直線A.f(-1C.f(4【答案】A【解】因為f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，所以因為f(3x+1)為奇函數(shù)，所以f(1-3x)=-f(3x+1)，即f(令F(x)=f(3x+1)，則F(x)為奇函數(shù).4．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)A.5 B.4 C.52【答案】A【解】因為f(x+1)為奇函數(shù)，所以因為f(x+2)為偶函數(shù)，所以f(x+2)=f(-x+2由f(x+1)=-f(-x+由f(x+2由f(0)+f因為當(dāng)x∈[1,2]時，f(x)=ax2+b,所以-f(2)+f(1)=-(4a+b5．[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷]已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x)>fA.f(10C.f(10【答案】B【解】由題意，知f(1)=又f(x)>f(x-1)+f(x-2)，所以f故選B.6．【多選題】已知函數(shù)f(x)的定義域為R，函數(shù)y=f(x-2)的A.fB.fC.f(x)D.f【答案】BCD【解】因為y=f(x-2)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以f(x-2)=f(-x-2)，即f(x)=f(-由C，知f(x)=-f(-x-2),所以ff(2027)=f(507f(-2)的值不確定，故A錯誤.故選7．函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=1-f(x)1+f(x)，且f(【答案】-1【解】因為f(x+4)=1-f8．已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為R，且f(x+y)+f(x-y)=2f①f(0)=0【答案】②③【解】令x=y=0，則2f(0)=2f2(當(dāng)f(0)=0時，令y=0，則f(x)+f(x當(dāng)f(0)=1時，令x=0，則f(y)+f(-y綜上，f'(x)為奇函數(shù)，故令y=x，則f(2x令t=2x,t∈R，則f(t)+f(0階段集訓(xùn)1范圍：2.1函數(shù)的概念及其表示～2.2一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．函數(shù)y=2lgA.(1,+∞)C.[1,+∞)【答案】A【解】由x>0,x因此，函數(shù)的定義域為(1,+∞).故選A2．下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x-A.y=(xC.y=x【答案】D【解】函數(shù)y=x-1A,C的定義域不為R，排除.對于B，函數(shù)y=x2-1=∣x∣-對于D，函數(shù)y=3x3-1=x-1故選D.3．已知f(x)=x+2,x<A.1 B.1或32 C.32【答案】C【解】當(dāng)x0<1時，令x0+2=3當(dāng)x0≥1時，令2x0=綜上,x0的值是32.故選C4．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（A.y=lnx B.y=3【答案】D【解】y=|x|+1是偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故D正確.其他選項5．已知函數(shù)f(1-A.f(xC.f(x【答案】A【解】設(shè)t=1-x(t≠1),則6．下列函數(shù)中，值域為[1,+∞)的是（A.y=xC.y=2x【答案】D【解】對于A，令x-1=t≥0,則x=1+t2.所以y=2t2+t對于B，當(dāng)x=1時，y=0<1對于C，當(dāng)x=2時，y=45<對于D，y=x+1,y=-1x均在[1,+∞)上單調(diào)遞增，所以y=7．設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域為R，當(dāng)x∈[0A.f(-7C.f(π)<f【答案】A【解】因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(-7)=f(7)，f(-3)=f(3).因為當(dāng)x∈[08．已知函數(shù)f(x)=(-a-5)x-2A.[-4,-1] B.[-【答案】A【解】由題意，知f(x)4+解得-4≤a≤-1二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知定義在[-5,5]上的偶函數(shù)f(x)A.f(x)僅有一個單調(diào)遞增區(qū)間C.f(x)的最大值是5 D.【答案】BC【解】因為f(x)是定義在[-5,5]由圖，知f(x)在(-5,-3),(-x0,0),(x0,3)上單調(diào)遞增f(x)max=5由圖無法確定f(x)的最小值，故D故選BC.10．已知函數(shù)f(x)=A.f(0C.f(f(log23【答案】ABD【解】對于A，f(0)=f(1對于B，f(1)=12，f(對于C，因為log23>1，所以f(log23對于D，當(dāng)x≥1時，f(x)=(12)x∈(0,12];當(dāng)0≤x<1時，1≤x+1<2，f(x)=f11．已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，fA.f(-2C.f(x【答案】ACD【解】對于A，函數(shù)f(1+x)為偶函數(shù)，則有f(1+x)=f(1-x)，對于B，因為f(1+x)與f(-x)不一定相等，所以f對于C，由f(2+x)=f(-x)=-f(x)，得f(x+對于D，由f(x)的一個周期為4，得f(2026)=f(-2+三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知函數(shù)f(x)=ax+bx-4，其中a,b為常數(shù)，若f(-2)=2，則f(2)=_【答案】-10【解】由f(-2)=-a2-2b-4=213．已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)=x(x+2).若f(3+m)+f(3m-7)>0，則m【答案】(1【解】當(dāng)x≥0時，f(x)又f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以f(x)由f(3+m)+f(3m-7)>0，可得14．若函數(shù)f(x)=(x+a)2-log2(2x+1)是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為_【答案】14【解】f(x)因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)=f(-x)，即(x+a2.3冪函數(shù)與指數(shù)冪、對數(shù)的運算課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.通過具體實例，結(jié)合y=x，y=1x，y=x22.通過對有理數(shù)指數(shù)冪amn(a>0，且a≠1；m,n為整數(shù)，且n>0)、實數(shù)指數(shù)冪3.理解對數(shù)的概念和運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).必備知識溫故知新【教材梳理】1.冪函數(shù)（1）定義：一般地，函數(shù)y=xα

叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α（2）常見的五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì).函數(shù)圖象性質(zhì)定義域值域奇偶性單調(diào)性公共點y=RR奇在R上單調(diào)遞增(1y=R{y偶在(-∞,0]上單調(diào)遞減；在[y=RR奇在R上單調(diào)遞增y={x{y非奇非偶在[0,+∞)y={x{y奇在(-∞,0)和(2.n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（1）n次方根：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根,其中n①當(dāng)n是奇數(shù)時，a的n次方根用符號na表示②當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，可以合并寫成±na③負(fù)數(shù)沒有偶次方根.④0的任何次方根都是0，記作n0（2）根式：式子na叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).①當(dāng)n為奇數(shù)時，nan=②當(dāng)n為偶數(shù)時，nan=|（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是amn=n②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a-mn=1amn③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.3.指數(shù)冪的運算性質(zhì)（1）aras=（2）(ar)s（3）(ab)r=4.對數(shù)（1）對數(shù)的概念：一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=（2）對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系:當(dāng)a>0,a≠1時，a?x=N?x=loga（3）對數(shù)的運算性質(zhì)：如果a>0，且a≠1，①loga(MN②logaMN③logaMn=根據(jù)性質(zhì)③又可得對數(shù)換底公式：logab=logcblogca(a常用結(jié)論1.冪函數(shù)相關(guān)的常用結(jié)論（1）一般地，在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越低；在區(qū)間(1,+∞)（2）冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi).（3）形如y=xmn或y=x-mn（m,n為互質(zhì)的正整數(shù)）類型函數(shù)的奇偶性判斷：當(dāng)m,n都為奇數(shù)時，冪函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)；當(dāng)m為奇數(shù)，2.對數(shù)相關(guān)結(jié)論（1）對數(shù)恒等式：alog（2）換底公式的推論：loga自主評價牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.（1）若冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點.（）（2）當(dāng)n<0時，冪函數(shù)y=xn（3）nan=(n（4）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪amn可以理解為mn個a相乘.（5）若MN>0，則loga(【答案】（1）√（2）×（3）×（4）×（5）×2．[2022年上海卷]下列冪函數(shù)中，定義域為R的是（）A.y=x-1 B.y【答案】C【解】對于A，有x≠0.對于B，有x>0.對于C，定義域為R.對于D，有x≥3．【多選題】下列運算法則正確的是（）A.logB.(C.logab=lnD.a【答案】CD【解】對于A，若b<0，則logab無意義，故對于B，若a<0，m=12，則am=a對于C，由換底公式，得logab=lnblna(b>對于D，當(dāng)a≠0，m，n∈N*時，am+n=a4．已知4a=2，lgx=a，則x=____【答案】10【解】由4a=2，得a=12，所以lgx=核心考點精準(zhǔn)突破考點一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1（1）若冪函數(shù)f(x)=(m2-mA.-3 B.-2（2）圖中C1，C2，C3為三個冪函數(shù)y=xαi(i=1A.12，3，-1 B.-1，3，12 C.12，-1，3（3）不等式(x-1)23>(3x+1)23的解集為____【點撥】①α的正負(fù)與冪函數(shù)圖象的關(guān)系：當(dāng)α>0時，圖象過原點和點(1,1)，在第一象限的圖象上升；當(dāng)α<0時，圖象不過原點，過點(1【答案】（1）D（2）D（3）(-【解析】（1）【解】由冪函數(shù)的定義和單調(diào)性,知m2-m-5=1,（2）【解】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可知α3>1>α2>0>α（3）【解】y=x23是偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增，故|x-1|>|3x變式1．（1）已知冪函數(shù)f(x)=x45.若0<A.f(xC.f(x（2）已知冪函數(shù)f(x)=xm-3(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0,+∞)上單調(diào)遞減，則m=____;滿足(a+1)-m3<(3-2a)-m3的實數(shù)a的取值范圍為__（3）[2021年新課標(biāo)Ⅱ卷]寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)：____________①f(x1x2)=【答案】（1）A（2）1；(-∞,-1)∪(（3）f(x)=x4(答案不唯一，【解析】（1）【解】冪函數(shù)f(x)=x45在(0,+∞)上單調(diào)遞增，大致圖象如圖所示.設(shè)點A(x1,0)，C(x2,0)，其中0<x1<x2，則AC的中點E（2）【解】因為函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，所以m-3<0.解得m<3.又m∈N*，所以m=1，2.因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以m-3為偶數(shù)，故m=1.因為函數(shù)y=x-13在(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞減，（3）【解】取f(x)=x4，則f(x1x2)=(x1x2)4=x14x24=f(x1)f(x2)，滿足①.f'(x)=4x考點二指數(shù)冪的運算例2（1）計算：①3②[(0.064③(（2）【多選題】已知a+a-A.a2+C.a12【答案】（1）【解】①原式=(a②原式={[(=[(4=5③原式=a=a（2）ABD【解析】【解】對于A，a2+a-2=(a+a-1)2-2=9-2=7，故A正確.對于B，a3+a-3=(a+a-1)(a2-1+a-2)=3×(7-【點撥】指數(shù)冪運算的一般原則如下.①首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算.②先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).③底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化成假分?jǐn)?shù).④運算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).變式2．（1）(14)-12?(4ab-1)3(0.1)-1?(（2）若2x=3,(12)y=32,則22x+y（3）若x12+x-12=4，則x32【答案】（1）8（2）6（3）52【解析】解：原式=2×432(2)【解】22x+y（3）解：由題意，知(x12+x-12考點三對數(shù)的運算例3（1）log535+2log122-log5150-（2）eln4（3）設(shè)2a=5b=m，且A.10 B.10 C.20 D.100【點撥】對數(shù)式的化簡、求值問題，要注意對數(shù)的運算性質(zhì)的逆向