2025屆高考數(shù)學二輪復習小題必刷卷七平面向量數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入文

PAGEPAGE1小題必刷卷(七)平面對量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入考查范圍:第24講~第27講題組一刷真題角度1復數(shù)的概念、幾何意義及運算1.[2024·全國卷Ⅰ]下列各式的運算結果為純虛數(shù)的是 ()A.i(1+i)2 B.i2(1-i)C.(1+i)2 D.i(1+i)2.[2024·全國卷Ⅰ]設(1+2i)(a+i)的實部與虛部相等,其中a為實數(shù),則a= ()A.-3 B.-2C.2 D.33.[2024·浙江卷]復數(shù)21-i(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)是 (A.1+i B.1-iC.-1+i D.-1-i4.[2024·全國卷Ⅰ]設z=1-i1+i+2i,則|z|= (A.0 B.1C.1 D.25.[2024·北京卷]在復平面內(nèi),復數(shù)11-i的共軛復數(shù)對應的點位于 (A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限6.[2024·江蘇卷]若復數(shù)z滿意i·z=1+2i,其中i是虛數(shù)單位,則z的實部為.

7.[2024·天津卷]i是虛數(shù)單位,復數(shù)6+7i1+2i=角度2平面對量的概念、平面對量基本定理及向量坐標運算8.[2015·全國卷Ⅱ]向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a= ()A.-1 B.0C.1 D.29.[2024·全國卷Ⅰ]在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點,則EB= ()A.34ABB.14ABC.34ABD.14AB10.[2024·全國卷Ⅲ]已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ),若c∥(2a+b),則λ=.

角度3平面對量的數(shù)量積及應用11.[2024·全國卷Ⅲ]已知向量BA=12,32,BC=32,12,則∠ABC= ()A.30° B.45°C.60° D.120°12.[2024·全國卷Ⅱ]已知向量a,b滿意|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)= ()A.4 B.3C.2 D.013.[2024·全國卷Ⅱ]設非零向量a,b滿意|a+b|=|a-b|,則 ()A.a⊥b B.|a|=|b|C.a∥b D.|a|>|b|14.[2024·天津卷]在如圖X7-1的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM=2MA,CN=2NA,則BC·OM的值為 ()圖X7-1A.-15 B.-9C.-6 D.015.[2024·全國卷Ⅲ]已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,則m=.

16.[2024·天津卷]在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,則λ的值為.

17.[2024·北京卷]已知點P在圓x2+y2=1上,點A的坐標為(-2,0),O為原點,則AO·AP的最大值為.

18.[2024·江蘇卷]在平面直角坐標系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點,B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若AB·CD=0,則點A的橫坐標為.

題組二刷模擬19.[2024·貴州黔東南二模]若復數(shù)z=1-i1+i,則z= (A.1 B.-1 C.i D.-i20.[2024·北京西城區(qū)4月模擬]若復數(shù)(a+i)(3+4i)的實部與虛部相等,則實數(shù)a= ()A.7 B.-7 C.1 D.-121.[2024·河南安陽二模]若復數(shù)z=1-i,z為z的共軛復數(shù),則復數(shù)izz-1的虛部為A.i B.-i C.1 D.-122.[2024·福州5月質(zhì)檢]設向量a=(m,2m+1),b=(m,1),若|a-b|2=|a|2+|b|2,則實數(shù)m= ()A.-2±3 B.-1 C.0 D.123.[2024·廣東東莞三模]已知向量a與b滿意|a|=2,|b|=2,(a-b)⊥a,則向量a與b的夾角為 ()A.5π12 B.π3 C.π4 24.[2024·安徽蚌埠三模]已知△ABC中,BE=2EC,若AB=λAE+μAC,則λ= ()A.1 B.2 C.3 D.425.[2024·四川成都七中月考]若向量AB=12,32,BC=(3,1),則△ABC的面積為 ()A.12 B.32 C.1 D26.[2024·濟南模擬]歐拉公式eix=cosx+i·sinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士聞名數(shù)學家歐拉發(fā)覺的,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集,建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系,它在復變函數(shù)論里占有特別重要的地位.特殊是當x=π時,eiπ+1=0被認為是數(shù)學上最美麗的公式,數(shù)學家們評價它是“上帝創(chuàng)建的公式”.依據(jù)歐拉公式可知,e4i表示的復數(shù)在復平面內(nèi)位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限27.[2024·鄭州三模]在△ABC中,AD⊥AB,CD=3DB,|AD|=1,則AC·AD= ()A.1 B.2C.3 D.428.[2024·石家莊一模]在△ABC中,點D在邊AB上,且BD=12DA,設CB=a,CA=b,則CD= (A.13a+23b B.23C.35a+45b D.4529.[2024·重慶巴蜀中學月考]在平行四邊形ABCD中,∠BAD=π3,AB=2,AD=1,若M,N分別是邊BC,CD的中點,則AM·AN的值是 (A.72 B.C.3 D.1530.[2024·安徽安慶二模]若|a|=1,|b|=3且|a-2b|=7,則向量a與向量b夾角的大小是.

31.[2024·常州模擬]若復數(shù)z滿意z·2i=|z|2+1(其中i是虛數(shù)單位),則|z|=.

32.[2024·廣東佛山二模]在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=1,BC=2,D為BC的中點,點E在斜邊AC上,若AE=2EC,則DE·AC=.

33.[2024·合肥三模]已知OA=(2,0),OB=(0,2),AC=tAB,t∈R.當|OC|最小時,t=.

小題必刷卷(七)1.C[解析]因為i(1+i)2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,所以選C.2.A[解析]因為(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,所以由已知,得a-2=1+2a,解得a=-3.3.B[解析]21-i=2(1+i)2=1+i,其共軛復數(shù)為1-i,4.C[解析]z=(1-i)2(1+i)(1-i)+2i=1-2i-12+2i5.D[解析]∵11-i=1+i(1-i)(1+i)=12+12i,6.2[解析]由i·z=1+2i,得z=1+2ii=2-i,則z的實部為27.4-i[解析]6+7i1+2i=(6+7i)(1-2i)8.C[解析]2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.9.A[解析]如圖,EB=AB-AE=AB-12AD=AB-12×12(AB+AC)=34AB10.12[解析]2a+b=(4,2),由c∥(2a+b)可得14=λ2,即11.A[解析]cos∠ABC=BA·BC|BA||BC|=12×32+32×12=312.B[解析]a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3,故選B.13.A[解析]將|a+b|=|a-b|兩邊平方,得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,于是有a·b=0,所以a⊥b.14.C[解析]連接MN,由BM=2MA,CN=2NA,可得MN∥BC,且BC=3MN,所以BC=3MN,所以BC·OM=3MN·OM=3(ON-OM)·OM=3(ON·OM-OM2)=3×(1×2×cos120°-12)=-6.故選C15.2[解析]∵a⊥b,∴a·b=-2×3+3m=0,解得m=2.16.311[解析]∵AB·AC=3×2×cos60°=3,AD=13AB+23AC,∴AD·AE=13AB+23AC·(λAC-AB)=λ3×3+2λ3×4-13×17.6[解析]設P(x1,y1).因為AO=(2,0),AP=(x1+2,y1),所以AO·AP=2(x1+2)=2x1+4.由題意可知-1≤x1≤1,所以2≤2x1+4≤6,故AO·AP的最大值為6.18.3[解析]因為點A為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點,所以可設A(a,2a)(a>0),則AB的中點為Ca+52,a,圓C的方程為(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0.由(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0,y=2x,得D(1,2),則AB=(5-a,-2a),CD=-a-32,2-a,又AB·CD=0,所以(5-a)·-a-32+(-2a)(2-a)19.C[解析]z=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i20.B[解析](a+i)(3+4i)=3a-4+(4a+3)i,依題意3a-4=4a+3,得a=-7.故選B.21.C[解析]因為z=1-i,所以zz=2,所以izz-1=i2-1=i,其虛部為22.B[解析]|a-b|2=(m-m)2+(2m+1-1)2=4m2,|a|2=m2+(2m+1)2=5m2+4m+1,|b|2=m2+1,因為|a-b|2=|a|2+|b|2,所以4m2=5m2+4m+1+m2+1,即m2+2m+1=0,解得m=-1.故選B.23.C[解析]設向量a與b的夾角為α,由(a-b)⊥a得(a-b)·a=0,a2-a·b=0,a2-|a||b|cosα=0,2-2×2cosα=0,所以cosα=22,所以α=π4.故選24.C[解析]AB=AE+EB=AE+23CB=AE+23(AB-AC),所以13AB=AE-23AC,所以AB=3AE-2AC,25.A[解析]因為AB=12,32,BC=(3,1),所以|AB|=1,|BC|=2,AB與BC夾角的余弦值為AB·BC|AB||BC|=32,所以∠ABC=150°,所以S△ABC=12×1×26.C[解析]由已知有e4i=cos4+i·sin4,因為π<4<3π2,所以4在第三象限,所以cos4<0,sin4<0,故e4i表示的復數(shù)在復平面內(nèi)位于第三象限,故選C27.D[解析]AC=AB+BC=AB+BD+DC=AB+4BD,又AD⊥AB,所以AC·AD=(AB+4BD)·AD=4BD·AD=4|BD||AD|cos∠ADB=4|AD|2=4.故選D.28.B[解析]因為AB=CB-CA=a-b,BD=12DA,所以AD=23AB=23a-23b,所以CD=CA+AD=b+23a-23b=29.D[解析]由題得AM·AN=(AB+BM)·(AD+DN)=AB·AD+12AB·DC+12AD·BC+14BC·DC=2×1×12+12×2×2+12×1×1+14×130.π6[解析]由|a-2b|=7得|a|2-4a·b+4|b|2=7,∴1-4a·b+4×3=7,∴a·b=32,∴cos<a,b>=321×3=3231.1[解析]設z=a+bi(a,b∈