2025年春人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè) 16.1.1 二次根式的概念

第十六章二次根式16．1二次根式第1課時(shí)二次根式的概念01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1二次根式的定義1．下列式子不是二次根式的是(B)A.eq\r(5) B.eq\r(3－π)C.eq\r(0.5) D.eq\r(\f(1,3))2．下列各式中，一定是二次根式的是(C)A.eq\r(－7) B.eq\r(3,m)C.eq\r(1＋x2) D.eq\r(2x)3．已知eq\r(a)是二次根式，則a的值可以是(C)A．－2 B．－1C．2 D．－54．若eq\r(－3x)是二次根式，則x的值可以為答案不唯一，如：－1(寫(xiě)出一個(gè)即可)．知識(shí)點(diǎn)2二次根式有意義的條件5．x取下列各數(shù)中的哪個(gè)數(shù)時(shí)，二次根式eq\r(x－3)有意義(D)A．－2 B．0C．2 D．46．(2017·廣安)要使二次根式eq\r(2x－4)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是(B)A．x＞2 B．x≥2C．x＜2 D．x＝27．當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？(1)eq\r(－x)；解：由－x≥0，得x≤0.(2)eq\r(2x＋6)；解：由2x＋6≥0，得x≥－3.(3)eq\r(x2)；解：由x2≥0，得x為全體實(shí)數(shù)．(4)eq\f(1,\r(4－3x))；解：由4－3x>0，得x<eq\f(4,3).(5)eq\f(\r(x－4),x－3).解：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4≥0，,x－3≠0))得x≥4.知識(shí)點(diǎn)3二次根式的實(shí)際應(yīng)用8．已知一個(gè)表面積為12dm2的正方體，則這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為(B)A．1dm B.eq\r(2)dmC.eq\r(6)dm D．3dm9．若一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為10cm2，它的長(zhǎng)與寬的比為5∶1，則它的長(zhǎng)為5eq\r(2)cm，寬為eq\r(2)cm.02中檔題10．下列各式中：①eq\r(\f(1,2))；②eq\r(2x)；③eq\r(x3)；④eq\r(－5).其中，二次根式的個(gè)數(shù)有(A)A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)11．(2017·濟(jì)寧)若eq\r(2x－1)＋eq\r(1－2x)＋1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x滿(mǎn)足的條件是(C)A．x≥eq\f(1,2) B．x≤eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2) D．x≠eq\f(1,2)12．使式子eq\f(1,\r(x＋3))＋eq\r(4－3x)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的整數(shù)x有(C)A．5個(gè) B．3個(gè)C．4個(gè) D．2個(gè)13．如果式子eq\r(a)＋eq\f(1,\r(ab))有意義，那么在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A(a，b)的位置在(A)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限14．使式子eq\r(－（x－5）2)有意義的未知數(shù)x的值有1個(gè)．15．若整數(shù)x滿(mǎn)足|x|≤3，則使eq\r(7－x)為整數(shù)的x的值是3或－2．16．要使二次根式eq\r(2－3x)有意義，則x的最大值是eq\f(2,3)．17．當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？(1)eq\r(\f(3,2x－1))；解：x>eq\f(1,2).(2)eq\f(2,1－\r(x))；解：x≥0且x≠1.(3)eq\r(1－|x|)；解：－1≤x≤1.(4)eq\r(x－3)＋eq\r(4－x).解：3≤x≤4.03綜合題18．已知a，b分別為等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)，且a，b滿(mǎn)足b＝4＋eq\r(3a－6)＋3eq\r(2－a)，求此三角形的周長(zhǎng)．解：∵3a－6≥0，2－a≥0，∴a＝2，b＝4.當(dāng)邊長(zhǎng)為4，2，2時(shí)，不符合實(shí)際情況，舍去；當(dāng)邊長(zhǎng)為4，4，2時(shí)，符合實(shí)際情況，4×2＋2＝10.∴此三角形的周長(zhǎng)為10.

第2課時(shí)二次根式的性質(zhì)01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1eq\r(a)≥0(a≥0)1．(2017·荊門(mén))已知實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足|n－2|＋eq\r(m＋1)＝0，則m＋2n的值為3．2．當(dāng)x＝2__017時(shí)，式子2018－eq\r(x－2017)有最大值，且最大值為2__018．知識(shí)點(diǎn)2(eq\r(a))2＝a(a≥0)3．把下列非負(fù)數(shù)寫(xiě)成一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方的形式：(1)5＝(eq\r(5))2;__(2)3.4＝(eq\r(3.4))2；(3)eq\f(1,6)＝(eq\r(\f(1,6)))2;__(4)x＝(eq\r(x))2(x≥0)．4．計(jì)算：(eq\r(2018))2＝2__018．5．計(jì)算：(1)(eq\r(0.8))2；解：原式＝0.8.(2)(－eq\r(\f(3,4)))2；解：原式＝eq\f(3,4).(3)(5eq\r(2))2；解：原式＝25×2＝50.(4)(－2eq\r(6))2.解：原式＝4×6＝24.知識(shí)點(diǎn)3eq\r(a2)＝a(a≥0)6．計(jì)算eq\r(（－5）2)的結(jié)果是(B)A．－5 B．5C．－25 D．257．已知二次根式eq\r(x2)的值為3，那么x的值是(D)A．3 B．9C．－3 D．3或－38．當(dāng)a≥0時(shí)，化簡(jiǎn)：eq\r(9a2)＝3a．9．計(jì)算：(1)eq\r(49)；解：原式＝7.(2)eq\r(（－5）2)；解：原式＝5.(3)eq\r(（－\f(1,3)）2)；解：原式＝eq\f(1,3).(4)eq\r(6－2).解：原式＝eq\f(1,6).知識(shí)點(diǎn)4代數(shù)式10．下列式子不是代數(shù)式的是(C)A．3x B.eq\f(3,x)C．x>3 D．x－311．下列式子中屬于代數(shù)式的有(A)①0；②x；③x＋2；④2x；⑤x＝2；⑥x>2；⑦eq\r(x2＋1)；⑧x≠2.A．5個(gè) B．6個(gè)C．7個(gè) D．8個(gè)02中檔題12．下列運(yùn)算正確的是(A)A．－eq\r(（－6）2)＝－6 B．(－eq\r(3))2＝9C.eq\r(（－16）2)＝±16 D．－(－eq\r(5))2＝－2513．若a＜1，化簡(jiǎn)eq\r(（a－1）2)－1的結(jié)果是(D)A．a(chǎn)－2 B．2－aC．a(chǎn) D．－a14．(2017·棗莊)實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a|＋eq\r(（a－b）2)的結(jié)果是(A)A．－2a＋b B．2a－bC．－b D．b15．已知實(shí)數(shù)x，y，m滿(mǎn)足eq\r(x＋2)＋|3x＋y＋m|＝0，且y為負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是(A)A．m＞6 B．m＜6C．m＞－6 D．m＜－616．化簡(jiǎn)：eq\r(（2－\r(5)）2)＝eq\r(5)－2．17．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x2－5＝(x＋eq\r(5))(x－eq\r(5))．18．若等式eq\r(（x－2）2)＝(eq\r(x－2))2成立，則x的取值范圍是x≥2．19．若eq\r(a2)＝3，eq\r(b)＝2，且ab＜0，則a－b＝－7．20．計(jì)算：(1)－2eq\r(（－\f(1,8)）2)；解：原式＝－2×eq\f(1,8)＝－eq\f(1,4).(2)eq\r(4×10－4)；解：原式＝2×10－2.(3)(2eq\r(3))2－(4eq\r(2))2；解：原式＝12－32＝－20.(4)eq\r(（2\f(1,3)）2)＋eq\r(（－2\f(1,3)）2).解：原式＝2eq\f(1,3)＋2eq\f(1,3)＝4eq\f(2,3).21．比較2eq\r(11)與3eq\r(5)的大?。猓骸?2eq\r(11))2＝22×(eq\r(11))2＝44，(3eq\r(5))2＝32×(eq\r(5))2＝45，又∵44＜45，且2eq\r(11)＞0，3eq\r(5)＞0，∴2eq\r(11)＜3eq\r(5).22．先化簡(jiǎn)a＋eq\r(1＋2a＋a2)，然后分別求出當(dāng)a＝－2和a＝3時(shí)，原代數(shù)式的值．解：a＋eq\r(1＋2a＋a2)＝a＋eq\r(（a＋1）2)＝a＋|a＋1|，當(dāng)a＝－2時(shí)，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1；當(dāng)a＝3時(shí)，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7.03綜合題23．有如下一串二次根式：①eq\r(52－42)；②eq\r(172－82)；③eq\r(372－122)；④eq\r(652－162)…(1)求①，②，③，④的值；(2)仿照①，②，③，④，寫(xiě)出第⑤個(gè)二次根式；(3)仿照①，②，③，④，⑤，寫(xiě)出第個(gè)二次根式，并化簡(jiǎn)．解：(1)①原式＝eq\r(9)＝3.②原式＝eq\r(225)＝15.③原式＝eq\r(1225)＝35.④原式＝eq\r(3969)＝63.(2)第⑤個(gè)二次根式為eq\r(1012－202)＝99.(3)第個(gè)二次根式為eq\r(（4n2＋1）2－（4n）2).化簡(jiǎn)：eq\r(（4n2＋1）2－（4n）2)＝eq\r(（4n2－4n＋1）（4n2＋4n＋1）)＝eq\r(（2n－1）2（2n＋1）2)＝(2n－1)(2n＋1)．

16.2二次根式的乘除第1課時(shí)二次根式的乘法01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)1．計(jì)算eq\r(2)×eq\r(3)的結(jié)果是(B)A.eq\r(5) B.eq\r(6)C．2eq\r(3) D．3eq\r(2)2．下列各等式成立的是(D)A．4eq\r(5)×2eq\r(5)＝8eq\r(5) B．5eq\r(3)×4eq\r(2)＝20eq\r(5)C．4eq\r(3)×3eq\r(2)＝7eq\r(5) D．5eq\r(3)×4eq\r(2)＝20eq\r(6)3．下列二次根式中，與eq\r(2)的積為無(wú)理數(shù)的是(B)A.eq\r(\f(1,2)) B.eq\r(12)C.eq\r(18) D.eq\r(32)4．計(jì)算：eq\r(8)×eq\r(\f(1,2))＝2．5．計(jì)算：2eq\r(6)×(－3eq\r(6))＝－36．6．一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為a＝2eq\r(3)cm，b＝3eq\r(6)cm，那么這個(gè)直角三角形的面積為9eq\r(2)cm2.7．計(jì)算下列各題：(1)eq\r(3)×eq\r(5)；(2)eq\r(125)×eq\r(\f(1,5))；解：原式＝eq\r(15).解：原式＝eq\r(25)＝5.(3)(－3eq\r(2))×2eq\r(7)；(4)3eq\r(xy)·eq\r(\f(1,y)).解：原式＝－6eq\r(2×7)解：原式＝3eq\r(x).＝－6eq\r(14).知識(shí)點(diǎn)2eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)8．下列各式正確的是(D)A.eq\r(（－4）×（－9）)＝eq\r(－4)×eq\r(－9)B.eq\r(16＋\f(9,4))＝eq\r(16)×eq\r(\f(9,4))C.eq\r(4\f(4,9))＝eq\r(4)×eq\r(\f(4,9))D.eq\r(4×9)＝eq\r(4)×eq\r(9)9．(2017·益陽(yáng))下列各式化簡(jiǎn)后的結(jié)果是3eq\r(2)的結(jié)果是(C)A.eq\r(6) B.eq\r(12)C.eq\r(18) D.eq\r(36)10．化簡(jiǎn)eq\r(（－2）2×8×3)的結(jié)果是(D)A．2eq\r(24) B．－2eq\r(24)C．－4eq\r(6) D．4eq\r(6)11．化簡(jiǎn)：(1)eq\r(100×36)＝60；(2)eq\r(2y3)＝y(tǒng)eq\r(2y)．12．化簡(jiǎn)：(1)eq\r(4×225)；解：原式＝eq\r(4)×eq\r(225)＝2×15＝30.(2)eq\r(300)；解：原式＝10eq\r(3).(3)eq\r(16y)；解：原式＝4eq\r(y).(4)eq\r(9x2y5z).解：原式＝3xy2eq\r(yz).13．計(jì)算：(1)3eq\r(6)×2eq\r(12)；解：原式＝6eq\r(62×2)＝36eq\r(2).(2)eq\r(\f(1,5)ab2)·eq\r(\f(10a,b)).解：原式＝eq\r(2a2b)＝aeq\r(2b).02中檔題14.eq\r(50)·eq\r(a)的值是一個(gè)整數(shù)，則正整數(shù)a的最小值是(B)A．1 B．2 C．3 D．515．已知m＝(－eq\f(\r(3),3))×(－2eq\r(21))，則有(A)A．5＜m＜6 B．4＜m＜5C．－5＜m＜－4 D．－6＜m＜－516．若點(diǎn)P(a，b)在第三象限內(nèi)，化簡(jiǎn)eq\r(a2b2)的結(jié)果是ab．17．計(jì)算：(1)eq\r(75)×eq\r(20)×eq\r(12)；解：原式＝eq\r(25×3×4×5×3×4)＝60eq\r(5).(2)eq\r(（－14）×（－112）)；解：原式＝eq\r(14×112)＝eq\r(2×72×42)＝eq\r(2)×eq\r(72)×eq\r(42)＝28eq\r(2).(3)－eq\r(32×45×2)；解：原式＝－3×16×2eq\r(2)＝－96eq\r(2).(4)eq\r(200a5b4c3)(a＞0，c＞0)．解：原式＝eq\r(2×102·（a2）2·a·（b2）2·c2·c)＝10a2b2ceq\r(2ac).18．交通警察通常根據(jù)剎車(chē)后車(chē)輪滑過(guò)的距離估計(jì)車(chē)輛行駛的速度，所用的經(jīng)驗(yàn)公式是v＝16eq\r(df)，其中v表示車(chē)速(單位：km/h)，d表示剎車(chē)后車(chē)輪滑過(guò)的距離(單位：m)，f表示摩擦因數(shù)，在某次交通事故調(diào)查中，測(cè)得d＝20m，f＝1.2，肇事汽車(chē)的車(chē)速大約是多少？(結(jié)果精確到0.01km/h)解：當(dāng)d＝20m，f＝1.2時(shí)，v＝16eq\r(df)＝16×eq\r(20×1.2)＝16eq\r(24)＝32eq\r(6)≈78.38.答：肇事汽車(chē)的車(chē)速大約是78.38km/h.19．一個(gè)底面為30cm×30cm的長(zhǎng)方體玻璃容器中裝滿(mǎn)水，現(xiàn)將一部分水倒入一個(gè)底面為正方形、高為10cm的長(zhǎng)方體鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿(mǎn)水時(shí)，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長(zhǎng)是多少厘米？解：設(shè)鐵桶的底面邊長(zhǎng)為xcm，則x2×10＝30×30×20，x2＝30×30×2，x＝eq\r(30×30×2)＝30eq\r(2).答：鐵桶的底面邊長(zhǎng)是30eq\r(2)cm.03綜合題20.(教材P16“閱讀與思考”變式)閱讀：古希臘的幾何家海倫，在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測(cè)量問(wèn)題而聞名，在他的著作《度量》一書(shū)中，給出了一個(gè)公式：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c.記：p＝eq\f(a＋b＋c,2)，則三角形的面積S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)，此公式稱(chēng)為“海倫公式”．思考運(yùn)用：已知李大爺有一塊三角形的菜地，如圖，測(cè)得AB＝7m，AC＝5m，BC＝8m，你能求出李大爺這塊菜地的面積嗎？試試看.解：∵AB＝7m，AC＝5m，BC＝8m，∴p＝eq\f(a＋b＋c,2)＝eq\f(7＋5＋8,2)＝10.∴S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)＝eq\r(10×（10－7）×（10－5）×（10－8）)＝eq\r(10×3×5×2)＝10eq\r(3).∴李大爺這塊菜地的面積為10eq\r(3)m2.

第2課時(shí)二次根式的除法01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)1．計(jì)算：eq\r(10)÷eq\r(2)＝(A)A.eq\r(5) B．5 C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(\r(10),2)2．計(jì)算eq\r(\f(2,3))÷eq\r(\f(3,2))的結(jié)果是(B)A．1 B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2) D．以上答案都不對(duì)3．下列運(yùn)算正確的是(D)A.eq\r(50)÷eq\r(5)＝10 B.eq\r(10)÷2eq\r(5)＝2eq\r(2)C.eq\r(32＋42)＝3＋4＝7 D.eq\r(27)÷eq\r(3)＝34．計(jì)算：eq\f(\r(12),\r(3))＝2．5．計(jì)算：(1)eq\r(40)÷eq\r(5)；(2)eq\f(\r(32),\r(2))；解：原式＝eq\r(8)＝2eq\r(2).解：原式＝4.(3)eq\r(\f(4,5))÷eq\r(\f(2,15))；(4)eq\f(2\r(a3b),\r(ab))(a>0)．解：原式＝eq\r(6).解：原式＝2a.知識(shí)點(diǎn)2eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)6．下列各式成立的是(A)A.eq\r(\f(－3,－5))＝eq\r(\f(3,5))＝eq\f(\r(3),\r(5))B.eq\r(\f(－7,－6))＝eq\f(\r(－7),\r(－6))C.eq\r(\f(2,－9))＝eq\f(\r(2),\r(－9))D.eq\r(9＋\f(1,4))＝eq\r(9)＋eq\r(\f(1,4))＝3eq\f(1,2)7．實(shí)數(shù)0.5的算術(shù)平方根等于(C)A．2 B.eq\r(2) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,2)8．如果eq\r(（\f(x－1,x－2)）2)＝eq\f(x－1,x－2)，那么x的取值范圍是(D)A．1≤x≤2 B．1＜x≤2C．x≥2 D．x＞2或x≤19．化簡(jiǎn)：(1)eq\r(\f(7,100))；解：原式＝eq\f(\r(7),\r(100))＝eq\f(\r(7),10).(2)eq\r(1\f(15,49))；解：原式＝eq\r(\f(64,49))＝eq\f(\r(64),\r(49))＝eq\f(8,7).(3)eq\r(\f(25a4,9b2))(b>0)．解：原式＝eq\f(\r(25a4),\r(9b2))＝eq\f(5a2,3b).知識(shí)點(diǎn)3最簡(jiǎn)二次根式10．(2017·荊州)下列根式是最簡(jiǎn)二次根式的是(C)A.eq\r(\f(1,3)) B.eq\r(0.3) C.eq\r(3) D.eq\r(20)11．把下列二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式：(1)eq\r(2.5)；解：原式＝eq\r(\f(5,2))＝eq\f(\r(10),2).(2)eq\r(\f(8,5))；解：原式＝eq\f(2,5)eq\r(10).(3)eq\f(\r(12),2)；解：原式＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3).(4)eq\f(\r(2),3\r(40)).解：原式＝eq\f(\r(2),3\r(2)×\r(20))＝eq\f(1,3×\r(20))＝eq\f(1,3×2\r(5))＝eq\f(\r(5),30).02中檔題12．下列各式計(jì)算正確的是(C)A.eq\f(\r(48),\r(3))＝16 B.eq\r(\f(3,11))÷eq\r(3\f(2,3))＝1C.eq\f(3\r(6),6\r(3))＝eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(54a2b),\r(6a))＝9eq\r(ab)13．計(jì)算eq\r(1\f(1,3))÷eq\r(2\f(1,3))÷eq\r(1\f(2,5))的結(jié)果是(A)A.eq\f(2,7)eq\r(5) B.eq\f(2,7)C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),7)14．在①eq\r(14)；②eq\r(a2＋b2)；③eq\r(27)；④eq\r(m2＋1)中，最簡(jiǎn)二次根式有3個(gè)．15．如果一個(gè)三角形的面積為eq\r(15)，一邊長(zhǎng)為eq\r(3)，那么這邊上的高為2eq\r(5)．16．不等式2eq\r(2)x－eq\r(6)＞0的解集是x＞eq\f(\r(3),2)．17．化簡(jiǎn)或計(jì)算：(1)eq\r(\f(0.9×121,100×0.36))；解：原式＝eq\r(\f(9×121,36×10))＝eq\r(\f(32×112,62×10))＝eq\f(33,6)eq\r(\f(1,10))＝eq\f(33,6)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(11\r(10),20).(2)eq\r(12)÷eq\r(27)×(－eq\r(18))；解：原式＝－eq\r(\f(12×18,27))＝－eq\r(\f(4×3×2×9,3×9))＝－2eq\r(2).(3)eq\f(\r(27)×\r(12),\r(3))；解：原式＝eq\f(\r(3)×\r(9)×\r(12),\r(3))＝3×2eq\r(3)＝6eq\r(3).(4)eq\r(12x)÷eq\f(2,5)eq\r(y).解：原式＝(1÷eq\f(2,5))eq\r(12x÷y)＝eq\f(5,2)eq\r(\f(12xy,y2))＝eq\f(5\r(3xy),y).18．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，S△ABC＝eq\r(18)cm2，BC＝eq\r(3)cm，AB＝3eq\r(3)cm，CD⊥AB于點(diǎn)D.求AC，CD的長(zhǎng)．解：∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴AC＝eq\f(2S△ABC,BC)＝eq\f(2\r(18),\r(3))＝2eq\r(6)(cm)，CD＝eq\f(2S△ABC,AB)＝eq\f(2\r(18),3\r(3))＝eq\f(2,3)eq\r(6)(cm)．03綜合題19．閱讀下面的解題過(guò)程，根據(jù)要求回答下列問(wèn)題．化簡(jiǎn)：eq\f(a,b－a)eq\r(\f(b3－2ab2＋a2b,a))(b<a<0)．解：原式＝eq\f(a,b－a)eq\r(\f(b（b－a）2,a))①＝eq\f(a（b－a）,b－a)eq\r(\f(b,a))②＝a·eq\f(1,a)eq\r(ab)③＝eq\r(ab).④(1)上述解答過(guò)程從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫(xiě)出代號(hào)②；(2)錯(cuò)誤的原因是什么？(3)請(qǐng)你寫(xiě)出正確的解法．解：(2)∵b<a，∴b－a<0.∴(b－a)2的算術(shù)平方根為a－b.(3)原式＝eq\f(a,b－a)eq\r(\f(b（b－a）2,a))＝eq\f(a,b－a)·(a－b)eq\r(\f(b,a))＝－a·(－eq\f(1,a)eq\r(ab))＝eq\r(ab).

16.3二次根式的加減第1課時(shí)二次根式的加減01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1可以合并的二次根式1．(2016·巴中)下列二次根式中，與eq\r(3)可以合并的是(B)A.eq\r(18) B.eq\r(\f(1,3))C.eq\r(24) D.eq\r(0.3)2．下列各個(gè)運(yùn)算中，能合并成一個(gè)根式的是(B)A.eq\r(12)－eq\r(2) B.eq\r(18)－eq\r(8)C.eq\r(8a2)＋eq\r(2a) D.eq\r(x2y)＋eq\r(xy2)3．若最簡(jiǎn)二次根式eq\r(2x＋1)和eq\r(4x－3)能合并，則x的值為(C)A．－eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C．2 D．54．若eq\r(m)與eq\r(18)可以合并，則m的最小正整數(shù)值是(D)A．18 B．8C．4 D．2知識(shí)點(diǎn)2二次根式的加減5．(2016·桂林)計(jì)算3eq\r(5)－2eq\r(5)的結(jié)果是(A)A.eq\r(5) B．2eq\r(5)C．3eq\r(5) D．66．下列計(jì)算正確的是(A)A.eq\r(12)－eq\r(3)＝eq\r(3) B.eq\r(2)＋eq\r(3)＝eq\r(5)C．4eq\r(3)－3eq\r(3)＝1 D．3＋2eq\r(2)＝5eq\r(2)7．計(jì)算eq\r(27)－eq\f(1,3)eq\r(18)－eq\r(48)的結(jié)果是(C)A．1 B．－1C．－eq\r(3)－eq\r(2) D.eq\r(2)－eq\r(3)8．計(jì)算eq\r(2)＋(eq\r(2)－1)的結(jié)果是(A)A．2eq\r(2)－1 B．2－eq\r(2)C．1－eq\r(2) D．2＋eq\r(2)9．長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為eq\r(8)，另一邊長(zhǎng)為eq\r(50)，則長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為14eq\r(2)．10．三角形的三邊長(zhǎng)分別為eq\r(20)cm，eq\r(40)cm，eq\r(45)cm，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是(5eq\r(5)＋2eq\r(10))cm.11．計(jì)算：(1)2eq\r(3)－eq\f(\r(3),2)；解：原式＝(2－eq\f(1,2))eq\r(3)＝eq\f(3\r(3),2).(2)eq\r(16x)＋eq\r(64x)；解：原式＝4eq\r(x)＋8eq\r(x)＝(4＋8)eq\r(x)＝12eq\r(x).(3)eq\r(125)－2eq\r(5)＋eq\r(45)；解：原式＝5eq\r(5)－2eq\r(5)＋3eq\r(5)＝6eq\r(5).(4)(2017·黃岡)eq\r(27)－6－eq\r(\f(1,3)).解：原式＝3eq\r(3)－6－eq\f(\r(3),3)＝eq\f(8\r(3),3)－eq\r(6).02中檔題12．若eq\r(x)與eq\r(2)可以合并，則x可以是(A)A．0.5 B．0.4C．0.2 D．0.113．計(jì)算|2－eq\r(5)|＋|4－eq\r(5)|的值是(B)A．－2 B．2C．2eq\r(5)－6 D．6－2eq\r(5)14．計(jì)算4eq\r(\f(1,2))＋3eq\r(\f(1,3))－eq\r(8)的結(jié)果是(B)A.eq\r(3)＋eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\r(3)－eq\r(2)習(xí)題解析15．若a，b均為有理數(shù)，且eq\r(8)＋eq\r(18)＋eq\r(\f(1,8))＝a＋beq\r(2)，則a＝0，b＝eq\f(21,4).16．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2eq\r(7)和5eq\r(5)，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為2eq\r(7)＋10eq\r(5)．17．在如圖所示的方格中，橫向、縱向及對(duì)角線(xiàn)方向上的實(shí)數(shù)相乘都得出同樣的結(jié)果，則兩個(gè)空格中的實(shí)數(shù)之和為4eq\r(2).2eq\r(3)13eq\r(6)26eq\r(3)18.計(jì)算：(1)eq\r(18)＋eq\r(12)－eq\r(8)－eq\r(27)；解：原式＝3eq\r(2)＋2eq\r(3)－2eq\r(2)－3eq\r(3)＝(3eq\r(2)－2eq\r(2))＋(2eq\r(3)－3eq\r(3))＝eq\r(2)－eq\r(3).(2)beq\r(12b3)＋b2eq\r(48b)；解：原式＝2b2eq\r(3b)＋4b2eq\r(3b)＝6b2eq\r(3b).(3)(eq\r(45)＋eq\r(27))－(eq\r(\f(4,3))＋eq\r(125))；解：原式＝3eq\r(5)＋3eq\r(3)－eq\f(2,3)eq\r(3)－5eq\r(5)＝eq\f(7,3)eq\r(3)－2eq\r(5).(4)eq\f(3,4)(eq\r(2)－eq\r(27))－eq\f(1,2)(eq\r(3)－eq\r(2))．解：原式＝eq\f(3,4)eq\r(2)－eq\f(9,4)eq\r(3)－eq\f(1,2)eq\r(3)＋eq\f(1,2)eq\r(2)＝(eq\f(3,4)＋eq\f(1,2))eq\r(2)－(eq\f(9,4)＋eq\f(1,2))eq\r(3)＝eq\f(5,4)eq\r(2)－eq\f(11,4)eq\r(3).19．已知eq\r(3)≈1.732，求(eq\f(1,3)eq\r(27)－4eq\r(\f(1,3)))－2(eq\r(\f(3,4))－eq\r(12))的近似值(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)．解：原式＝eq\r(3)－eq\f(4,3)eq\r(3)－eq\r(3)＋4eq\r(3)＝eq\f(8,3)eq\r(3)≈eq\f(8,3)×1.732≈4.62.03綜合題20．若a，b都是正整數(shù)，且a＜b，eq\r(a)與eq\r(b)是可以合并的二次根式，是否存在a，b，使eq\r(a)＋eq\r(b)＝eq\r(75)？若存在，請(qǐng)求出a，b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：∵eq\r(a)與eq\r(b)是可以合并的二次根式，eq\r(a)＋eq\r(b)＝eq\r(75)，∴eq\r(a)＋eq\r(b)＝eq\r(75)＝5eq\r(3).∵a<b，∴當(dāng)a＝3，則b＝48；當(dāng)a＝12，則b＝27.

第2課時(shí)二次根式的混合運(yùn)算01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1二次根式的混合運(yùn)算1．化簡(jiǎn)eq\r(2)(eq\r(2)＋2)的結(jié)果是(A)A．2＋2eq\r(2) B．2＋eq\r(2)C．4 D．3eq\r(2)2．計(jì)算(eq\r(12)－eq\r(3))÷eq\r(3)的結(jié)果是(D)A．－1 B．－eq\r(3)C.eq\r(3) D．13．(2017·南京)計(jì)算：eq\r(12)＋eq\r(8)×eq\r(6)的結(jié)果是6eq\r(3)．4．(2017·青島)計(jì)算：(eq\r(24)＋eq\r(\f(1,6)))×eq\r(6)＝13．5．計(jì)算：eq\f(\r(40)＋\r(5),\r(5))＝2eq\r(2)＋1．6．計(jì)算：(1)eq\r(3)(eq\r(5)－eq\r(2))；解：原式＝eq\r(15)－eq\r(6).(2)(eq\r(24)＋eq\r(18))÷eq\r(2)；解：原式＝2eq\r(3)＋3.(3)(eq\r(2)＋3)(eq\r(2)＋2)；解：原式＝8＋5eq\r(2).(4)(eq\r(m)＋2eq\r(n))(eq\r(m)－3eq\r(n))．解：原式＝m－eq\r(mn)－6n.知識(shí)點(diǎn)2二次根式與乘法公式7．(2017·天津)計(jì)算：(4＋eq\r(7))(4－eq\r(7))的結(jié)果等于9．8．(2016·包頭)計(jì)算：6eq\r(\f(1,3))－(eq\r(3)＋1)2＝－4．9．計(jì)算：(1)(eq\r(2)－eq\r(\f(1,2)))2；解：原式＝eq\f(1,2).(2)(eq\r(2)＋eq\r(3))(eq\r(2)－eq\r(3))；解：原式＝－1.(3)(eq\r(5)＋3eq\r(2))2.解：原式＝23＋6eq\r(10).10．(2016·鹽城)計(jì)算：(3－eq\r(7))(3＋eq\r(7))＋eq\r(2)(2－eq\r(2))．解：原式＝9－7＋2eq\r(2)－2＝2eq\r(2).02中檔題11．已知a＝eq\r(5)＋2，b＝2－eq\r(5)，則a2018b2017的值為(B)A.eq\r(5)＋2 B．－eq\r(5)－2C．1 D．－112．按如圖所示的程序計(jì)算，若開(kāi)始輸入的n值為eq\r(2)，則最后輸出的結(jié)果是(C)A．14 B．16C．8＋5eq\r(2) D．14＋eq\r(2)13．計(jì)算：(1)(1－2eq\r(2))(2eq\r(2)＋1)；解：原式＝－7.(2)eq\r(12)÷(eq\f(\r(3),4)＋eq\f(2\r(3),3))；解：原式＝eq\r(12)÷(eq\f(3\r(3),12)＋eq\f(8\r(3),12))＝eq\r(12)÷eq\f(11\r(3),12)＝2eq\r(3)×eq\f(12,11\r(3))＝eq\f(24,11).(3)(4eq\r(6)－4eq\r(\f(1,2))＋3eq\r(8))÷2eq\r(2)；解：原式＝(4eq\r(6)－2eq\r(2)＋6eq\r(2))÷2eq\r(2)＝(4eq\r(6)＋4eq\r(2))÷2eq\r(2)＝2eq\r(3)＋2.(4)eq\r(24)×eq\r(\f(1,3))－4×eq\r(\f(1,8))×(1－eq\r(2))0.解：原式＝2eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)－4×eq\f(\r(2),4)×1＝2eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2).14．計(jì)算：(1)(1－eq\r(5))(eq\r(5)＋1)＋(eq\r(5)－1)2；解：原式＝1－5＋5＋1－2eq\r(5)＝2－2eq\r(5).(2)(eq\r(3)＋eq\r(2)－1)(eq\r(3)－eq\r(2)＋1)．解：原式＝(eq\r(3))2－(eq\r(2)－1)2＝3－(2＋1－2eq\r(2))＝3－2－1＋2eq\r(2)＝2eq\r(2).15.已知a＝eq\r(7)＋2，b＝eq\r(7)－2，求下列代數(shù)式的值：(1)ab2＋ba2；(2)a2－2ab＋b2；(3)a2－b2.解：由題意得a＋b＝(eq\r(7)＋2)＋(eq\r(7)－2)＝2eq\r(7)，a－b＝(eq\r(7)＋2)－(eq\r(7)－2)＝4，ab＝(eq\r(7)＋2)(eq\r(7)－2)＝(eq\r(7))2－22＝7－4＝3.(1)原式＝ab(b＋a)＝3×2eq\r(7)＝6eq\r(7).(2)原式＝(a—b)2＝42＝16.(3)原式＝(a＋b)(a—b)＝2eq\r(7)×4＝8eq\r(7).03綜合題16．觀察下列運(yùn)算：①由(eq\r(2)＋1)(eq\r(2)－1)＝1，得eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1；②由(eq\r(3)＋eq\r(2))(eq\r(3)－eq\r(2))＝1，得eq\f(1,\r(3)＋\r(2))＝eq\r(3)－eq\r(2)；③由(eq\r(4)＋eq\r(3))(eq\r(4)－eq\r(3))＝1，得eq\f(1,\r(4)＋\r(3))＝eq\r(4)－eq\r(3)；…(1)通過(guò)觀察你得出什么規(guī)律？用含n的式子表示出來(lái)；(2)利用(1)中你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：(eq\f(1,\r(2)＋1)＋eq\f(1,\r(3)＋\r(2))＋eq\f(1,\r(4)＋\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(2017)＋\r(2016))＋eq\f(1,\r(2018)＋\r(2017)))×(eq\r(2018)＋1)．解：(1)eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)(n≥0)．(2)原式＝(eq\r(2)－1＋eq\r(3)－eq\r(2)＋eq\r(4)－eq\r(3)＋…＋eq\r(2017)－eq\r(2016)＋eq\r(2018)－eq\r(2017))×(eq\r(2018)＋1)＝(－1＋eq\r(2018))(eq\r(2018)＋1)＝2017.

小專(zhuān)題(一)二次根式的運(yùn)算類(lèi)型1與二次根式有關(guān)的計(jì)算1．計(jì)算：(1)6eq\r(2)×eq\f(1,3)eq\r(6)；解：原式＝(6×eq\f(1,3))eq\r(2×6)＝2eq\r(12)＝4eq\r(3).(2)(－4eq\r(5))÷5eq\r(1\f(4,5))；解：原式＝－4eq\r(5)÷(5×eq\f(3\r(5),5))＝－4eq\r(5)÷3eq\r(5)＝－eq\f(4,3).(3)eq\r(72)－eq\f(3,2)eq\r(2)＋2eq\r(18)；解：原式＝6eq\r(2)－eq\f(3,2)eq\r(2)＋6eq\r(2)＝12eq\r(2)－eq\f(3,2)eq\r(2)＝eq\f(21,2)eq\r(2).(4)(2eq\r(5)＋eq\r(3))×(2eq\r(5)－eq\r(3))．解：原式＝(2eq\r(5))2－(eq\r(3))2＝20－3＝17.2．計(jì)算：(1)3eq\r(\f(3,4))÷(－eq\f(1,2)eq\r(1\f(2,3)))；解：原式＝[3÷(－eq\f(1,2))]eq\r(\f(3,4)÷\f(5,3))＝－6eq\r(\f(9,20))＝－6eq\r(\f(9×5,20×5))＝－eq\f(9,5)eq\r(5).(2)(eq\r(6)＋eq\r(10)×eq\r(15))×eq\r(3)；解：原式＝3eq\r(2)＋5eq\r(6)×eq\r(3)＝3eq\r(2)＋15eq\r(2)＝18eq\r(2).(3)3eq\r(54)×(－eq\r(\f(8,9)))÷7eq\r(1\f(1,5))；解：原式＝3×(－1)×eq\r(54×\f(8,9))÷7eq\r(1\f(1,5))＝－3eq\r(48)÷7eq\r(\f(6,5))＝－eq\f(3,7)eq\r(48×\f(5,6))＝－eq\f(6,7)eq\r(10).(4)(eq\r(12)－4eq\r(\f(1,8)))－(3eq\r(\f(1,3))－4eq\r(0.5));解：原式＝2eq\r(3)－eq\r(2)－eq\r(3)＋2eq\r(2)＝eq\r(3)＋eq\r(2).(5)(3eq\r(2)－eq\r(6))2－(－3eq\r(2)－eq\r(6))2.解：原式＝(3eq\r(2)－eq\r(6))2－(3eq\r(2)＋eq\r(6))2＝18＋6－12eq\r(3)－(18＋6＋12eq\r(3))＝－24eq\r(3).3．計(jì)算：(1)(2018－eq\r(3))0＋|3－eq\r(12)|－eq\f(6,\r(3))；解：原式＝1＋2eq\r(3)－3－2eq\r(3)＝－2.(2)(2017·呼和浩特)|2－eq\r(5)|－eq\r(2)×(eq\r(\f(1,8))－eq\f(\r(10),2))＋eq\f(3,2).解：原式＝eq\r(5)－2－eq\f(1,2)＋eq\r(5)＋eq\f(3,2)＝2eq\r(5)－1.類(lèi)型2與二次根式有關(guān)的化簡(jiǎn)求值4．已知a＝3＋2eq\r(2)，b＝3－2eq\r(2)，求a2b－ab2的值．解：原式＝a2b－ab2＝ab(a－b)．當(dāng)a＝3＋2eq\r(2)，b＝3－2eq\r(2)時(shí)，原式＝(3＋2eq\r(2))(3－2eq\r(2))(3＋2eq\r(2)－3＋2eq\r(2))＝4eq\r(2).5．已知實(shí)數(shù)a，b，定義“★”運(yùn)算規(guī)則如下：a★b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b（a≤b），,\r(a2－b2)（a>b），))求eq\r(7)★(eq\r(2)★eq\r(3))的值．解：由題意，得eq\r(2)★eq\r(3)＝eq\r(3).∴eq\r(7)★(eq\r(2)★eq\r(3))＝eq\r(7)★eq\r(3)＝eq\r(7－3)＝2.6．已知x＝2＋eq\r(3)，求代數(shù)式(7－4eq\r(3))x2＋(2－eq\r(3))x＋eq\r(3)的值．解：當(dāng)x＝2＋eq\r(3)時(shí)，原式＝(7－4eq\r(3))×(2＋eq\r(3))2＋(2－eq\r(3))×(2＋eq\r(3))＋eq\r(3)＝(7－4eq\r(3))×(7＋4eq\r(3))＋4－3＋eq\r(3)＝49－48＋1＋eq\r(3)＝2＋eq\r(3).7．(2017·襄陽(yáng))先化簡(jiǎn)，再求值：(eq\f(1,x＋y)＋eq\f(1,x－y))÷eq\f(1,xy＋y2)，其中x＝eq\r(5)＋2，y＝eq\r(5)－2.解：原式＝eq\f(2x,（x＋y）（x－y）)·y(x＋y)＝eq\f(2xy,x－y).當(dāng)x＝eq\r(5)＋2，y＝eq\r(5)－2時(shí)，原式＝eq\f(2（\r(5)＋2）（\r(5)－2）,\r(5)＋2－\r(5)＋2)＝eq\f(1,2).8．小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3＋2eq\r(2)＝(1＋eq\r(2))2，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)a＋beq\r(2)＝(m＋neq\r(2))2(其中a，b，m，n均為正整數(shù))，則有a＋beq\r(2)＝m2＋2n2＋2eq\r(2)mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.這樣小明就找到了一種把a(bǔ)＋beq\r(2)的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時(shí)，若a＋beq\r(3)＝(m＋neq\r(3))2，用含m，n的式子分別表示a，b，得a＝m2＋3n2，b＝2mn；(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：4＋2eq\r(3)＝(1＋eq\r(3))2；(答案不唯一)(3)若a＋4eq\r(3)＝(m＋neq\r(3))2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．解：根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝m2＋3n2，,4＝2mn.))∵2mn＝4，且m，n為正整數(shù)，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.∴a＝7或13.

章末復(fù)習(xí)(一)二次根式01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1二次根式的概念及性質(zhì)1．(2016·黃岡)在函數(shù)y＝eq\f(\r(x＋4),x)中，自變量x的取值范圍是(C)A．x>0 B．x≥－4C．x≥－4且x≠0 D．x>0且x≠－42．(2016·自貢)下列根式中，不是最簡(jiǎn)二次根式的是(B)A.eq\r(10) B.eq\r(8)C.eq\r(6) D.eq\r(2)3．若xy＜0，則eq\r(x2y)化簡(jiǎn)后的結(jié)果是(D)A．xeq\r(y) B．xeq\r(－y)C．－xeq\r(－y) D．－xeq\r(y)知識(shí)點(diǎn)2二次根式的運(yùn)算4．與－eq\r(5)可以合并的二次根式的是(C)A.eq\r(10) B.eq\r(15)C.eq\r(20) D.eq\r(25)5．(2017·十堰)下列運(yùn)算正確的是(C)A.eq\r(2)＋eq\r(3)＝eq\r(5) B．2eq\r(2)×3eq\r(2)＝6eq\r(2)C.eq\r(8)÷eq\r(2)＝2 D．3eq\r(2)－eq\r(2)＝36．計(jì)算5÷eq\r(5)×eq\f(1,\r(5))所得的結(jié)果是1．7．計(jì)算：(1)(2017·湖州)2×(1－eq\r(2))＋eq\r(8)；解：原式＝2－2eq\r(2)＋2eq\r(2)＝2.(2)(4eq\r(3)＋3eq\r(6))÷2eq\r(3)；解：原式＝4eq\r(3)÷2eq\r(3