2025年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）模擬試卷-代數(shù)幾何數(shù)論綜合創(chuàng)新題集

2025年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）模擬試卷——代數(shù)幾何數(shù)論綜合創(chuàng)新題集一、代數(shù)1.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$，且$a_1+a_2+a_3=9$，$a_4+a_5+a_6=21$。求該等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。2.設(shè)$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，且$f(x)$在區(qū)間$[1,2]$上存在唯一零點(diǎn)。求證：存在$\alpha\in(1,2)$，使得$f'(\alpha)=0$。二、幾何1.在$\triangleABC$中，$AB=5$，$AC=7$，$BC=8$。若$D$為$BC$邊上的中點(diǎn)，求$\angleADC$的度數(shù)。2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(2,3)$，點(diǎn)$B(4,5)$，點(diǎn)$C(x,y)$。若$\triangleABC$的面積為$6$，求點(diǎn)$C$的坐標(biāo)。三、數(shù)論1.已知正整數(shù)$n$滿足$n^2-3n+2=2017$，求$n$的值。2.設(shè)$p$是質(zhì)數(shù)，且$p\equiv3\pmod{4}$。若$p$能整除$a^2+2b^2$，則$a$和$b$必須滿足的條件是：四、組合數(shù)學(xué)1.從集合$\{1,2,3,\ldots,10\}$中任取$5$個(gè)不同的數(shù)，求這$5$個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列的概率。2.設(shè)$n$為正整數(shù)，$f(n)=n^2-n$，求$f(f(f(f(f(2015))))$的值。五、概率論1.一個(gè)袋子里有$5$個(gè)紅球和$3$個(gè)藍(lán)球，隨機(jī)從袋子中取出$2$個(gè)球，求取出的兩個(gè)球顏色相同的概率。2.一批產(chǎn)品中有$10$件正品和$2$件次品，從中隨機(jī)抽取$3$件，求抽到的$3$件產(chǎn)品都是正品的概率。六、離散數(shù)學(xué)1.設(shè)$G$是一個(gè)無(wú)向圖，頂點(diǎn)集合為$V=\{v_1,v_2,\ldots,v_5\}$，邊集合為$E=\{(v_1,v_2),(v_2,v_3),(v_3,v_4),(v_4,v_5),(v_5,v_1)\}$。求$G$的度序列。2.設(shè)$R$是集合$A=\{1,2,3,4,5\}$上的一個(gè)二元關(guān)系，$R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,1)\}$。判斷$R$是否滿足以下性質(zhì)：-自反性-反對(duì)稱(chēng)性-傳遞性本次試卷答案如下：一、代數(shù)1.解析：設(shè)等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$。根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，我們有$a_2=a_1+d$，$a_3=a_1+2d$。由題意得$a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=9$，解得$a_1=2-d$。同理，$a_4=a_1+3d$，$a_5=a_1+4d$，$a_6=a_1+5d$，則$a_4+a_5+a_6=3(a_1+3d)=21$，代入$a_1$的表達(dá)式得$3(2-d+3d)=21$，解得$d=2$。因此$a_1=2-d=0$，所以通項(xiàng)公式為$a_n=2n-2$。2.解析：根據(jù)羅爾定理，如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[1,2]$上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間$(1,2)$上可導(dǎo)，并且$f(1)=f(2)=0$，則存在$\alpha\in(1,2)$使得$f'(\alpha)=0$。由于$f(x)$是連續(xù)的，且$f(1)=1^3-3\cdot1^2+4\cdot1-6=0$，$f(2)=2^3-3\cdot2^2+4\cdot2-6=0$，滿足羅爾定理的條件。因此，存在$\alpha\in(1,2)$使得$f'(\alpha)=0$。二、幾何1.解析：由余弦定理，我們有$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdotAB\cdotBC\cdot\cos\angleABC$。代入已知值得$7^2=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cdot\cos\angleABC$，解得$\cos\angleABC=\frac{1}{2}$。因此$\angleABC=60^\circ$。由于$D$是$BC$的中點(diǎn)，$\triangleABD$和$\triangleACD$是等腰三角形，所以$\angleABD=\angleACD=60^\circ$。因此$\angleADC=180^\circ-\angleABD-\angleABC=60^\circ$。2.解析：根據(jù)三角形面積公式，我們有$\frac{1}{2}\cdotAB\cdotBC\cdot\sin\angleABC=6$。代入已知值得$\frac{1}{2}\cdot2\cdot3\cdot\sin\angleABC=6$，解得$\sin\angleABC=2$。由于$\sin\angleABC$的取值范圍是$[-1,1]$，不存在這樣的角度。因此題目可能有誤或者條件不足。三、數(shù)論1.解析：將方程$n^2-3n+2=2017$轉(zhuǎn)化為$n^2-3n-2015=0$。這是一個(gè)二次方程，使用求根公式解得$n=\frac{3\pm\sqrt{3^2+4\cdot2015}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{20173}}{2}$。由于$20173$是奇數(shù)，所以$\sqrt{20173}$是無(wú)理數(shù)，因此$n$不是整數(shù)。2.解析：由于$p\equiv3\pmod{4}$，則$p$不能整除$4$。因此$a^2+2b^2$不能是$4$的倍數(shù)。又因?yàn)?p$是質(zhì)數(shù)，所以$a^2+2b^2$只能是$1$或$3$。如果$a^2+2b^2=1$，則$a$和$b$都必須是$1$或$-1$。如果$a^2+2b^2=3$，則$a$和$b$中至少有一個(gè)是$1$或$-1$。四、組合數(shù)學(xué)1.解析：等差數(shù)列有$n(n-1)/2$個(gè)不同的等差數(shù)列。從$10$個(gè)數(shù)中任取$5$個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列的概率為$n(n-1)/2\cdot5/10^5$，其中$n=10$。計(jì)算得概率為$0.0002$。2.解析：遞歸地應(yīng)用函數(shù)$f$，我們有$f(f(f(f(f(2015)))))=f(f(f(f(2014))))=f(f(f(2013)))=f(f(2012))=f(2011)=2011^2-2011=2011(2011-1)=2011\cdot2010$。五、概率論1.解析：取兩個(gè)紅球的概率是$C_5^2/C_8^2=\frac{10}{28}$，取兩個(gè)藍(lán)球的概率是$C_3^2/C_8^2=\frac{3}{28}$。因此取出的兩個(gè)球顏色相同的概率是$\frac{10}{28}+\frac{3}{28}=\frac{13}{28}$。2.解析：取三個(gè)正品的概率是$C_{10}^3/C_{12}^3=\frac{120}{220}=\frac{6}{11}$。六、離散數(shù)學(xué)1.解析：度序列是每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)構(gòu)成的序列。在圖$G$中，$v_1$和$v_5$的度數(shù)是