北京市大學(xué)線性代數(shù)（行列式與矩陣）期末考試真題解析

北京市大學(xué)線性代數(shù)（行列式與矩陣）期末考試真題解析一、行列式計(jì)算題要求：計(jì)算下列行列式的值。1.計(jì)算3階行列式$$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$$2.計(jì)算4階行列式$$\begin{vmatrix}2&3&4&5\\6&7&8&9\\10&11&12&13\\14&15&16&17\end{vmatrix}$$3.計(jì)算5階行列式$$\begin{vmatrix}1&2&3&4&5\\6&7&8&9&10\\11&12&13&14&15\\16&17&18&19&20\\21&22&23&24&25\end{vmatrix}$$二、矩陣運(yùn)算題要求：計(jì)算下列矩陣的逆矩陣。1.計(jì)算矩陣$$A=\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}$$的逆矩陣。2.計(jì)算矩陣$$B=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$$的逆矩陣。3.計(jì)算矩陣$$C=\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&9&10\end{bmatrix}$$的逆矩陣。三、矩陣的秩與等價(jià)要求：判斷下列矩陣的秩。1.判斷矩陣$$\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$$的秩。2.判斷矩陣$$\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{bmatrix}$$的秩。3.判斷矩陣$$\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\6&7&8&9&10\\11&12&13&14&15\\16&17&18&19&20\\21&22&23&24&25\end{bmatrix}$$的秩。四、線性方程組的解法要求：解下列線性方程組。1.解線性方程組$$\begin{cases}x+2y+3z=1\\2x+4y+6z=2\\3x+6y+9z=3\end{cases}$$2.解線性方程組$$\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+4y-2z=2\\3x+6y-3z=3\end{cases}$$3.解線性方程組$$\begin{cases}x+2y+3z=1\\2x+4y+6z=2\\3x+6y+9z=3\end{cases}$$四、矩陣的特征值與特征向量要求：求下列矩陣的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。1.求矩陣$$D=\begin{bmatrix}4&1\\1&3\end{bmatrix}$$的特征值和特征向量。2.求矩陣$$E=\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}$$的特征值和特征向量。3.求矩陣$$F=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$$的特征值和特征向量。五、矩陣的秩與滿秩要求：判斷下列矩陣的秩，并說明是否滿秩。1.判斷矩陣$$G=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$$的秩，并說明是否滿秩。2.判斷矩陣$$H=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{bmatrix}$$的秩，并說明是否滿秩。3.判斷矩陣$$I=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&4&6&8\\3&6&9&12\\4&8&12&16\end{bmatrix}$$的秩，并說明是否滿秩。六、矩陣的相似對(duì)角化要求：判斷下列矩陣是否可以對(duì)角化，若可以，求出相似對(duì)角矩陣。1.判斷矩陣$$J=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$$是否可以對(duì)角化，若可以，求出相似對(duì)角矩陣。2.判斷矩陣$$K=\begin{bmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{bmatrix}$$是否可以對(duì)角化，若可以，求出相似對(duì)角矩陣。3.判斷矩陣$$L=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$$是否可以對(duì)角化，若可以，求出相似對(duì)角矩陣。本次試卷答案如下：一、行列式計(jì)算題1.解析：利用行列式的展開定理，按第一行展開，得到：$$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=1\cdot(5\cdot9-6\cdot8)-2\cdot(4\cdot9-6\cdot7)+3\cdot(4\cdot8-5\cdot7)=1\cdot(45-48)-2\cdot(36-42)+3\cdot(32-35)=-3+12-9=0$$2.解析：同樣利用行列式的展開定理，按第一行展開，得到：$$\begin{vmatrix}2&3&4&5\\6&7&8&9\\10&11&12&13\\14&15&16&17\end{vmatrix}=2\cdot(7\cdot13-8\cdot12)-3\cdot(6\cdot13-8\cdot11)+4\cdot(6\cdot12-7\cdot11)-5\cdot(6\cdot11-7\cdot10)=2\cdot(91-96)-3\cdot(78-88)+4\cdot(72-77)-5\cdot(66-70)=-14+24-16+10=4$$3.解析：利用行列式的展開定理，按第一行展開，得到：$$\begin{vmatrix}1&2&3&4&5\\6&7&8&9&10\\11&12&13&14&15\\16&17&18&19&20\\21&22&23&24&25\end{vmatrix}=1\cdot(7\cdot15-8\cdot14)-2\cdot(6\cdot15-8\cdot13)+3\cdot(6\cdot14-7\cdot13)-4\cdot(6\cdot13-7\cdot12)+5\cdot(6\cdot12-7\cdot11)=1\cdot(105-112)-2\cdot(90-104)+3\cdot(84-91)-4\cdot(78-84)+5\cdot(72-77)=-7+18-9+6-5=3$$二、矩陣運(yùn)算題1.解析：計(jì)算矩陣的逆矩陣，首先判斷矩陣是否可逆，即行列式是否為0。計(jì)算行列式得：$$\det(A)=2\cdot5-3\cdot4=10-12=-2$$由于行列式不為0，矩陣可逆。然后使用公式計(jì)算逆矩陣：$$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\cdot\begin{bmatrix}5&-3\\-4&2\end{bmatrix}=\frac{1}{-2}\cdot\begin{bmatrix}5&-3\\-4&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{bmatrix}$$2.解析：計(jì)算矩陣的逆矩陣，首先判斷矩陣是否可逆，即行列式是否為0。計(jì)算行列式得：$$\det(B)=1\cdot(9\cdot9-6\cdot6)-2\cdot(3\cdot9-6\cdot6)+3\cdot(3\cdot6-9\cdot6)=1\cdot(81-36)-2\cdot(27-36)+3\cdot(18-54)=45+18-90=-27$$由于行列式不為0，矩陣可逆。然后使用公式計(jì)算逆矩陣：$$B^{-1}=\frac{1}{\det(B)}\cdot\begin{bmatrix}9&-6&6\\-6&9&-6\\6&-6&9\end{bmatrix}=\frac{1}{-27}\cdot\begin{bmatrix}9&-6&6\\-6&9&-6\\6&-6&9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{2}{9}&-\frac{1}{3}\end{bmatrix}$$3.解析：計(jì)算矩陣的逆矩陣，首先判斷矩陣是否可逆，即行列式是否為0。計(jì)算行列式得：$$\det(C)=2\cdot(6\cdot10-7\cdot9)-3\cdot(5\cdot10-7\cdot8)+4\cdot(5\cdot9-6\cdot8)=2\cdot(60-63)-3\cdot(50-56)+4\cdot(45-48)=-6+18-12=0$$由于行列式為0，矩陣不可逆，因此不存在逆矩陣。三、矩陣的秩與等價(jià)1.解析：計(jì)算矩陣的秩，可以通過行簡(jiǎn)化階梯形矩陣的方法。將矩陣$$\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$$進(jìn)行行簡(jiǎn)化，得到$$\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}$$由于有兩個(gè)非零行，因此矩陣的秩為2。2.解析：計(jì)算矩陣的秩，同樣可以通過行簡(jiǎn)化階梯形矩陣的方法。將矩陣$$\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{bmatrix}$$進(jìn)行行簡(jiǎn)化，得到$$\begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&1&2&4\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$$由于有兩個(gè)非零行，因此矩陣的秩為2。3.解析：計(jì)算矩陣的秩，同樣可以通過行簡(jiǎn)化階梯形矩陣的方法。將矩陣$$\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\6&7&8&9&10\\11&12&13&14&15\\16&17&18&19&20\\21&22&23&24&25\end{bmatrix}$$進(jìn)行行簡(jiǎn)化，得到$$\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\0&1&2&4&6\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}$$由于有兩個(gè)非零行，因此矩陣的秩為2。四、線性方程組的解法1.解析：使用高斯消元法解線性方程組。首先將方程組寫成增廣矩陣形式：$$\begin{bmatrix}1&2&3&|&1\\2&4&6&|&2\\3&6&9&|&3\end{bmatrix}$$然后進(jìn)行行操作，將第二行減去第一行的兩倍，第三行減去第一行的三倍，得到：$$\begin{bmatrix}1&2&3&|&1\\0&0&0&|&0\\0&0&0&|&0\end{bmatrix}$$由于最后一行全為0，因此方程組有無窮多解。可以取任意的自由變量，例如令$z=t$，則$y=0$，$x=t-2$，其中$t$為任意實(shí)數(shù)。2.解析：使用高斯消元法解線性方程組。首先將方程組寫成增廣矩陣形式：$$\begin{bmatrix}1&2&-1&|&1\\2&4&-2&|&2\\3&6&-3&|&3\end{bmatrix}$$然后進(jìn)行行操作，將第二行減去第一行的兩倍，第三行減去第一行的三倍，得到：$$\begin{bmatrix}1&2&-1&|&1\\0&0&0&|&0\\0&0&0&|&0\end{bmatrix}$$由于最后一行全為0，因此方程組有無窮多解?？梢匀∪我獾淖杂勺兞浚缌?z=t$，則$y=0$，$x=t-2$，其中$t$為任意實(shí)數(shù)。3.解析：使用高斯消元法解線性方程組。首先將方程組寫成增廣矩陣形式：$$\begin{bmatrix}1&2&3&|&1\\2&4&6&|&2\\3&6&9&|&3\end{bmatrix}$$然后進(jìn)行行操作，將第二行減去第一行的兩倍，第三行減去第一行的三倍，得到：$$\begin{bmatrix}1&2&3&|&1\\0&0&0&|&0\\0&0&0&|&0\end{bmatrix}$$由于最后一行全為0，因此方程組有無窮多解?？梢匀∪我獾淖杂勺兞?，例如令$z=t$，則$y=0$，$x=t-2$，其中$t$為任意實(shí)數(shù)。四、矩陣的特征值與特征向量1.解析：首先計(jì)算矩陣的特征多項(xiàng)式，即求解方程$\det(D-\lambdaI)=0$，得到：$$\det(D-\lambdaI)=\det\begin{bmatrix}4-\lambda&1\\1&3-\lambda\end{bmatrix}=(4-\lambda)(3-\lambda)-1=\lambda^2-7\lambda+11$$令特征多項(xiàng)式等于0，解得特征值$\lambda_1=\frac{7-\sqrt{5}}{2}$，$\lambda_2=\frac{7+\sqrt{5}}{2}$。然后分別求出對(duì)應(yīng)的特征向量。2.解析：首先計(jì)算矩陣的特征多項(xiàng)式，即求解方程$\det(E-\lambdaI)=0$，得到：$$\det(E-\lambdaI)=\det\begin{bmatrix}2-\lambda&0&0\\0&2-\lambda&0\\0&0&3-\lambda\end{bmatrix}=(2-\lambda)^2(3-\lambda)$$令特征多項(xiàng)式等于0，解得特征值$\lambda_1=\lambda_2=2$，$\lambda_3=3$。然后分別求出對(duì)應(yīng)的特征向量。3.解析：首先計(jì)算矩陣的特征多項(xiàng)式，即求解方程$\det(F-\lambdaI)=0$，得到：$$\det(F-\lambdaI)=\det\begin{bmatrix}1-\lambda&2&3\\4&1-\lambda&6\\7&8&1-\lambda\end{bmatrix}=(1-\lambda)^3-18(1-\lambda)+54$$令特征多項(xiàng)式等于0，解得特征值$\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1$。然后求出對(duì)應(yīng)的特征向量。五、矩陣的秩與滿秩1.解析：計(jì)算矩陣的秩，可以通過行簡(jiǎn)化階梯形矩陣的方法。將矩陣$$\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$$進(jìn)行行簡(jiǎn)化，得到$$\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}$$由于有兩個(gè)非零行，因此矩陣的秩為2。由于秩小于矩陣的階數(shù)3，矩陣不是滿秩的。2.解析：計(jì)算矩陣的秩，同樣可以通過行簡(jiǎn)化階梯形矩陣的方法。將矩陣$$\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{bmatrix}$$進(jìn)行行簡(jiǎn)化，得到$$\begin{bmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$$由于有兩個(gè)非零行，因此矩陣的秩為2。由于秩小于矩陣的階數(shù)3，矩陣不是滿秩的。3.解析：計(jì)算矩陣的秩，同樣可以通過行簡(jiǎn)化階梯形矩陣的方法。將矩陣$$\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&4&6&8\\3&6&9&12\\4&8&12&16\end{bmatrix}$$進(jìn)行行簡(jiǎn)化，得到$$\begin{bmatrix}1&2&3&4\\0