廣東省高州市大井中學(xué)2011屆高三上學(xué)期期末考試（數(shù)學(xué)理）

廣東省高州市大井中學(xué)2011屆高三上學(xué)期期末考試（數(shù)學(xué)理）一、選擇題要求：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x，則f(x)的極值點(diǎn)為：A.x=-1，x=1B.x=-1，x=0C.x=0，x=1D.x=0，x=22.已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1+1，且a1=1，則數(shù)列{an+1}的通項(xiàng)公式為：A.an+1=2^n-1B.an+1=2^n+1C.an+1=2^nD.an+1=2^n-23.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為：A.0B.1C.-1D.24.設(shè)函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，則f(x)的圖像的對(duì)稱軸為：A.x=-1B.x=1C.x=2D.x=35.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=2，S5=20，則數(shù)列{an}的公差d為：A.1B.2C.3D.4二、填空題要求：將答案填入空格內(nèi)。6.函數(shù)f(x)=(x-1)^2-2x+3的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____。7.已知復(fù)數(shù)z=3+4i，則|z|^2=______。8.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1，an=an-1+2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____。三、解答題要求：解答下列各題。9.已知函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間。10.已知等差數(shù)列{an}滿足a1=1，d=2，求證：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n^2+n。四、證明題要求：證明下列各題。11.證明：若a、b是方程x^2-2ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根，則a+b=2a。12.證明：對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。五、計(jì)算題要求：計(jì)算下列各題。13.計(jì)算下列三角函數(shù)值：（1）sin45°（2）cos30°（3）tan60°14.計(jì)算下列積分：（1）∫(x^2-2x+1)dx（2）∫(1/x)dx六、應(yīng)用題要求：解答下列應(yīng)用題。15.一輛汽車(chē)從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為2m/s^2，求：（1）汽車(chē)速度達(dá)到10m/s所需的時(shí)間。（2）汽車(chē)行駛了20m時(shí)的速度。16.一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為x-1，求長(zhǎng)方形的面積S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值及對(duì)應(yīng)的x值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：首先求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。由于當(dāng)x<0或x>2時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)0<x<2時(shí)，f'(x)<0，因此x=0和x=2是f(x)的極值點(diǎn)。2.C解析：根據(jù)遞推關(guān)系an=2an-1+1，可得an+1=2an-1+1+1=2(an-1+1)，即an+1=2an，這是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)a1=1，公比q=2，因此an=2^n-1。3.C解析：復(fù)數(shù)z=x+yi，其中x是實(shí)部，y是虛部。由于|z-1|=|z+1|，則|x+yi-1|=|x+yi+1|，即√[(x-1)^2+y^2]=√[(x+1)^2+y^2]，平方后化簡(jiǎn)得x=-y。4.C解析：函數(shù)f(x)=x^2-4x+3可以寫(xiě)成f(x)=(x-2)^2-1，因此對(duì)稱軸為x=2。5.B解析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=n/2(2a1+(n-1)d)，代入a1=2和d=2得Sn=n/2(4+2(n-1))=n(n+1)，S5=20，代入得5(5+1)=20，解得d=2。二、填空題6.(2,0)解析：頂點(diǎn)坐標(biāo)是(x-h)^2+(y-k)的形式，其中h和k是頂點(diǎn)的x和y坐標(biāo)，對(duì)于函數(shù)f(x)=(x-1)^2-2x+3，可以通過(guò)配方得到f(x)=(x-1)^2-2(x-1)+1+2=(x-1)^2-2(x-1)+3，因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)。7.25解析：復(fù)數(shù)的模平方等于實(shí)部的平方加上虛部的平方，即|z|^2=(3)^2+(4)^2=9+16=25。8.an=n^2-1解析：由于an=an-1+2，可以寫(xiě)出an-an-1=2，這是一個(gè)等差數(shù)列的遞推公式。首項(xiàng)a1=1，公差d=2，所以an=1+(n-1)*2=2n-1，因此an=n^2-1。三、解答題9.解析：函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+4x-1的導(dǎo)數(shù)f'(x)=6x^2-6x+4。令f'(x)=0，解得x=1或x=2/3。在x=1和x=2/3的左右兩側(cè)取值，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定單調(diào)區(qū)間。在x<2/3時(shí)，f'(x)<0；在2/3<x<1時(shí)，f'(x)>0；在x>1時(shí)，f'(x)>0。因此f(x)在(-∞,2/3)上單調(diào)遞減，在(2/3,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞增。10.解析：要證明Sn=n^2+n，可以使用數(shù)學(xué)歸納法。首先，當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，S1=a1=1，結(jié)論成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即Sk=k^2+k。那么當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=Sk+ak+1=(k^2+k)+2k+1=(k+1)^2+(k+1)=(k+1)^2+(k+1)，結(jié)論也成立。由歸納法原理，結(jié)論對(duì)所有的正整數(shù)n成立。四、證明題11.解析：由于a和b是方程x^2-2ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根，根據(jù)韋達(dá)定理，有a+b=2a。證明完畢。12.解析：可以使用數(shù)學(xué)歸納法。首先，當(dāng)n=1時(shí)，1^2=1(1+1)(2*1+1)/6，結(jié)論成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，1^2+2^2+3^2+...+k^2=k(k+1)(2k+1)/6，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)(k+2)(2k+3)/6，結(jié)論也成立。由歸納法原理，結(jié)論對(duì)所有的正整數(shù)n成立。五、計(jì)算題13.解析：（1）sin45°=√2/2（2）cos30°=√3/2（3）tan60°=√314.解析：（1）∫(x^2-2x+1)dx=(1/3)x^3-x^2+x+C（2）∫(1/x)dx=ln|x|+C六、應(yīng)用題15.解析：（1）v=at，所以t=v/a=10m/s/2m/s^2=5s（2）使用v^2=2ax，所以v=√(2*2m/s^2*20m)=4√5m/s16.解析：長(zhǎng)方形的面積S=x(x-1)=x^2-x，求導(dǎo)得S'=2x