2025年中國女子數(shù)學(xué)奧林匹克（CGMO）模擬試卷：組合數(shù)學(xué)與數(shù)論競賽熱點(diǎn)分析

2025年中國女子數(shù)學(xué)奧林匹克（CGMO）模擬試卷：組合數(shù)學(xué)與數(shù)論競賽熱點(diǎn)分析一、填空題（每空2分，共10分）1.在一個(gè)正方形的對角線AC上取一點(diǎn)D，使得AD=3，CD=4。設(shè)E是AC上的一個(gè)點(diǎn)，且AE=6，那么BE的長度為________。2.在集合{1,2,3,...,10}中，選擇兩個(gè)不同的數(shù)，使得它們的和能被3整除。這樣的選擇方式共有________種。3.一個(gè)正四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都與其他三個(gè)頂點(diǎn)相連，且相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的線段長度相等。該正四面體的表面積為________。4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,1)。則點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)為________。5.一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)分別是1,4,7，且從第四項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是前三項(xiàng)的和。這個(gè)數(shù)列的第四項(xiàng)是________。二、選擇題（每題3分，共15分）1.下列數(shù)中，哪個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)？A.17B.18C.19D.202.在一個(gè)等差數(shù)列中，第一項(xiàng)是3，公差是2。那么這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)是：A.15B.17C.19D.213.一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別是2,6,18，那么這個(gè)數(shù)列的公比是：A.2B.3C.6D.94.在一個(gè)正三角形ABC中，AB=AC=BC=6，那么三角形ABC的面積是：A.18B.27C.36D.455.下列命題中，正確的是：A.對于任意兩個(gè)正整數(shù)a和b，如果a能被b整除，那么b也能被a整除。B.對于任意兩個(gè)正整數(shù)a和b，如果a能被b整除，那么a和b的公約數(shù)只有一個(gè)。C.對于任意兩個(gè)正整數(shù)a和b，如果a能被b整除，那么a和b的公倍數(shù)只有一個(gè)。D.對于任意兩個(gè)正整數(shù)a和b，如果a能被b整除，那么a和b的最大公約數(shù)是1。三、解答題（每題10分，共30分）1.在等差數(shù)列{an}中，第一項(xiàng)是2，公差是3。求該數(shù)列的前10項(xiàng)的和。2.一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別是4,12,36，求該數(shù)列的公比。3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,1)。求點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)。四、應(yīng)用題（每題10分，共10分）1.有一個(gè)長方形，其長是寬的兩倍。已知長方形的周長是48厘米，求這個(gè)長方形的面積。五、證明題（每題10分，共10分）2.證明：對于任意正整數(shù)n，n^3+n是3的倍數(shù)。六、計(jì)算題（每題10分，共10分）3.計(jì)算下列表達(dá)式的值：(a)(3x-2y)^2(b)(x+2y)^3其中，x=4，y=5。本次試卷答案如下：一、填空題1.5解析：根據(jù)勾股定理，三角形ADE中，DE=√(AD^2+AE^2)=√(3^2+6^2)=√45=3√5。因?yàn)锳BCD是正方形，所以BE=DE=3√5。2.6解析：在集合{1,2,3,...,10}中，能被3整除的數(shù)有3,6,9，共3個(gè)。對于每個(gè)能被3整除的數(shù)，都可以與除它本身外的任意一個(gè)數(shù)配對，所以共有3*(10-1)=27種選擇方式。3.36√3解析：正四面體的每個(gè)面都是等邊三角形，所以每個(gè)面的面積是(√3/4)*a^2，其中a是邊長。正四面體的表面積是4*(√3/4)*a^2=√3*a^2。因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)都與其他三個(gè)頂點(diǎn)相連，所以a是正方體的邊長，即a=√(3^2+4^2+4^2)=√(9+16+16)=√41。所以表面積是√3*(√41)^2=36√3。4.(1,2)解析：點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)可以通過交換A點(diǎn)的x和y坐標(biāo)得到，即B'的坐標(biāo)為(3,2)。5.12解析：數(shù)列的前三項(xiàng)是1,4,7，從第四項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是前三項(xiàng)的和。所以第四項(xiàng)是1+4+7=12。二、選擇題1.C解析：19是質(zhì)數(shù)，因?yàn)樗荒鼙?和它本身整除。2.B解析：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1+(n-1)d，其中a1是第一項(xiàng)，d是公差。所以第10項(xiàng)是3+(10-1)*2=3+18=21。3.A解析：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1*r^(n-1)，其中a1是第一項(xiàng)，r是公比。所以公比r=6/4=1.5。4.B解析：正三角形的面積公式是(√3/4)*a^2，其中a是邊長。所以面積是(√3/4)*6^2=27√3。5.D解析：對于任意兩個(gè)正整數(shù)a和b，如果a能被b整除，那么a和b的最大公約數(shù)是b。三、解答題1.解答：等差數(shù)列的前10項(xiàng)和是S10=(n/2)*(a1+an)，其中n是項(xiàng)數(shù)，a1是第一項(xiàng)，an是第n項(xiàng)。所以S10=(10/2)*(2+(2+(10-1)*3))=5*(2+29)=5*31=155。2.解答：等比數(shù)列的公比r=(a2/a1)=(12/4)=3。3.解答：點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)是(3,2)。四、應(yīng)用題1.解答：設(shè)長方形的寬為w，則長為2w。周長是2w+2(2w)=48，解得w=8。所以面積是w*2w=8*16=128平方厘米。五、證明題2.解答：對于任意正整數(shù)n，n^3+n=n(n^2+1)。因?yàn)閚^2+1總是正數(shù)，所以n(n^2+1)總是正整數(shù)乘以正整數(shù)，因此是正整數(shù)。所以n^3+n是3的倍數(shù)。六、計(jì)算題3.解