IB課程SL數(shù)學(xué)2025年秋季試卷：統(tǒng)計(jì)與概率應(yīng)用難題解析

IB課程SL數(shù)學(xué)2025年秋季試卷：統(tǒng)計(jì)與概率應(yīng)用難題解析一、選擇題要求：從下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇一個(gè)最符合題意的答案。1.下列哪個(gè)概率分布屬于離散型隨機(jī)變量？A.正態(tài)分布B.指數(shù)分布C.二項(xiàng)分布D.均勻分布2.在一個(gè)班級(jí)中，有30名學(xué)生，其中有18名男生和12名女生。隨機(jī)抽取一名學(xué)生，求抽到女生的概率。A.0.4B.0.6C.0.5D.13.下列哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)的離散程度的？A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.標(biāo)準(zhǔn)差4.一個(gè)袋子里有5個(gè)紅球和3個(gè)藍(lán)球，隨機(jī)取出一個(gè)球，求取出紅球的概率。A.5/8B.3/8C.2/5D.1/25.下列哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的？A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.標(biāo)準(zhǔn)差二、填空題要求：將下列各題的空格填上合適的數(shù)字或字母。6.一個(gè)班級(jí)有40名學(xué)生，其中有20名男生和20名女生。隨機(jī)抽取一名學(xué)生，抽到女生的概率是______。7.一個(gè)數(shù)據(jù)集的方差是______，那么它的標(biāo)準(zhǔn)差是______。8.下列哪個(gè)概率分布屬于連續(xù)型隨機(jī)變量？______。9.一個(gè)數(shù)據(jù)集的中位數(shù)是______，那么它的四分位數(shù)分別是______和______。10.一個(gè)班級(jí)有50名學(xué)生，其中有30名男生和20名女生。隨機(jī)抽取一名學(xué)生，求抽到男生的概率是______。三、解答題要求：解答下列各題。11.某個(gè)班級(jí)有50名學(xué)生，其中有30名男生和20名女生。隨機(jī)抽取3名學(xué)生，求以下概率：（1）抽到的3名學(xué)生都是男生；（2）抽到的3名學(xué)生中有2名男生和1名女生；（3）抽到的3名學(xué)生中至少有1名女生。12.一個(gè)數(shù)據(jù)集的頻率分布如下表所示：|數(shù)據(jù)值|頻率||-------|-----||1|3||2|5||3|7||4|8||5|6|（1）求該數(shù)據(jù)集的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；（2）求該數(shù)據(jù)集的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。四、解答題要求：解答下列各題。13.一個(gè)盒子里有5個(gè)紅球和7個(gè)藍(lán)球，隨機(jī)取出兩個(gè)球，求以下概率：（1）兩個(gè)球都是紅球；（2）兩個(gè)球都是藍(lán)球；（3）取出的兩個(gè)球顏色不同。14.下列是某班學(xué)生一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)分布表，請(qǐng)根據(jù)表格計(jì)算以下指標(biāo)：|成績(jī)區(qū)間|頻數(shù)||----------|------||0-20|3||21-40|5||41-60|10||61-80|15||81-100|7|（1）求該班學(xué)生的平均成績(jī)；（2）求該班學(xué)生的成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差；（3）求該班學(xué)生的成績(jī)方差。五、解答題要求：解答下列各題。15.一個(gè)班級(jí)有40名學(xué)生，成績(jī)分布如下：-成績(jī)?cè)?0分以上的有5人；-成績(jī)?cè)?0-89分的有10人；-成績(jī)?cè)?0-79分的有15人；-成績(jī)?cè)?0-69分的有8人；-成績(jī)?cè)?9分以下的有2人。（1）計(jì)算該班級(jí)的平均成績(jī)；（2）計(jì)算該班級(jí)成績(jī)的中位數(shù)；（3）計(jì)算該班級(jí)成績(jī)的眾數(shù)。六、解答題要求：解答下列各題。16.一個(gè)數(shù)據(jù)集的頻數(shù)分布如下：|數(shù)據(jù)值|頻數(shù)||-------|-----||10|2||15|5||20|8||25|4||30|3|（1）計(jì)算該數(shù)據(jù)集的平均值；（2）計(jì)算該數(shù)據(jù)集的方差；（3）計(jì)算該數(shù)據(jù)集的標(biāo)準(zhǔn)差。本次試卷答案如下：一、選擇題1.C解析：離散型隨機(jī)變量是指取值為有限個(gè)或可數(shù)無(wú)限個(gè)的隨機(jī)變量，二項(xiàng)分布是一種離散型概率分布，其取值為0到n（n為試驗(yàn)次數(shù)）之間的整數(shù)。2.B解析：抽到女生的概率為女生人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，即12/30=0.4。3.D解析：標(biāo)準(zhǔn)差是衡量一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量，它反映了數(shù)據(jù)分布的分散程度。4.A解析：取出紅球的概率為紅球數(shù)量除以總球數(shù)，即5/(5+3)=5/8。5.A解析：平均數(shù)是衡量一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，它反映了數(shù)據(jù)分布的中心位置。二、填空題6.0.3解析：抽到女生的概率為女生人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，即12/40=0.3。7.5，2.24解析：方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根。方差的計(jì)算公式為：方差=Σ(x-平均數(shù))2/n，其中x為數(shù)據(jù)值，n為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式為：標(biāo)準(zhǔn)差=√方差。8.指數(shù)分布解析：指數(shù)分布是一種連續(xù)型概率分布，其概率密度函數(shù)為f(x)=λe^(-λx)，其中λ為分布參數(shù)。9.3，2，4解析：中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大排列后，位于中間位置的數(shù)。四分位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大排列后，將其分為四個(gè)部分，每部分包含25%的數(shù)據(jù)。10.0.6解析：抽到男生的概率為男生人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，即30/50=0.6。三、解答題11.（1）抽到的3名學(xué)生都是男生的概率為(30/50)*(29/49)*(28/48)。（2）抽到的3名學(xué)生中有2名男生和1名女生的概率為C(30,2)*C(20,1)/C(50,3)。（3）抽到的3名學(xué)生中至少有1名女生的概率為1-(30/50)*(29/49)*(28/48)。12.（1）平均數(shù)=(1*3+2*5+3*7+4*8+5*6)/(3+5+7+8+6)=3.2。中位數(shù)=(3+4)/2=3.5。眾數(shù)=4。（2）方差=[(1-3.2)2*3+(2-3.2)2*5+(3-3.2)2*7+(4-3.2)2*8+(5-3.2)2*6]/(3+5+7+8+6)=1.96。標(biāo)準(zhǔn)差=√方差=1.4。四、解答題13.（1）兩個(gè)球都是紅球的概率為(5/12)*(4/11)。（2）兩個(gè)球都是藍(lán)球的概率為(7/12)*(6/11)。（3）取出的兩個(gè)球顏色不同的概率為1-[(5/12)*(4/11)+(7/12)*(6/11)]。14.（1）平均成績(jī)=(0*3+21*5+41*10+61*15+81*7)/(3+5+10+15+7)=55.8。（2）成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差=√[Σ(成績(jī)-平均成績(jī))2/(數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)-1)]。（3）成績(jī)方差=[Σ(成績(jī)-平均成績(jī))2/(數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)-1)]。15.（1）平均成績(jī)=(90*5+80*10+70*15+60*8+59*2)/50=72。（2）中位數(shù)=(70+70)/2=70。（3）眾數(shù)=70。16.（1）平均值=(10*2+15*5+20*8