江蘇省無錫市太湖某中學2021-2022學年九年級上學期12月月考數(shù)學試卷(含詳解)

初三數(shù)學2021.12

一,選擇題

1.下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)是（）

A.）=3x-1B.y=ca2+bx+cC.s=2P2+lD.）=N+—

x

2.已知。。的半徑為5cm,若點A到圓心。的距離為4cm,則點4（）

A.在。。內B.在00上C.在。。外D.與。。的位置關系無法

確定

3.如圖，正五邊形人BCDE內接于00,則NDAE的度數(shù)是（）

B.26°C.30°D.45°

4.二次函數(shù)），=以2+以+。的部分對應值如表，則方程以2+/”+0=0的解是（

X-3-2-1012

y-12-50343

A.11=X2=-1B.xi=-1,%2=0C.xi=-1,X2=2D.xi=-1,xi=3

5.二次函數(shù)y=ax2+〃.r+c（a翔）與一次函數(shù)y=ax+c在同一坐標系中的圖象大致為（)

yt

6.如圖，圓錐的底面半徑，?為6cm,高〃為8cm,則圓錐的側面積為（)

L

A.3071cm2B.4811cm2C.60兀cm?D.807tcm2

7.如圖，直角坐標系中，以5為半徑的動圓的圓心A沿x軸移動，當（DA與直線只有一個公

14

B.(-13,0)C.(±12,0)D.

(±13,0)

8.點P（/〃，/?）在以y軸為對稱軸的二次函數(shù)y=x2+a、+4的圖象上.則〃的最大值等于（)

151517

A.—B.4C.——D.

44T

9.如圖，拋物線），=-與x軸交于A,B兩點，。是以點C（0,-3）為圓心,2為半徑的圓上的動

16

)

B.iC3DI

10.如圖，在平面直角坐標系中，的圓心在原點，半徑為下，P（〃?，〃）為。。上一點，過點A（-6,

5）,3（0,5）的拋物線尸加^.r+c（存0）同時也過點P,當代數(shù)式|』一|取得最大值時，拋物線的二次項

5一〃

}_C.；或一，D.2

4-4

11.二次函數(shù)-3的頂點坐標是

1Z如圖，等腰△ARC的頂角NRAC=SO。，以AR為直徑的半圓分別交RC,AC于點D,F.則的度

數(shù)是一度.

13.已知二次函數(shù)丁="2-4ai+c的圖象與x軸交于A（-1,0）,3兩點，則點8的

14.如圖，拋物線），=aF+c與直線＞="交于A（_2,-3）,B（3,q）兩點,則不等式

ax1-nvc+cv〃的解集是

15.如圖，在RsABC中，ZC=90°,AC=6t8C=8,且a/WC的三邊都與。O相切，則AO=

R/AuAB。中，ZD=90°,A8=8,4/)=4,在BO延長線上取

一點C,使得。C=8O,在直線4。左側有一動點P滿足N%Q=NPZ)8,連接PC,則線段CP長的最大

值為.

在平面直角坐標系工分中，等腰△ABO的頂點A在y軸上,

AB=OB,tanZAOB=2,拋物線y=?f+/?+2過點兒

(1)若點。關丁A6中點的中心對稱點。也恰好在拋物線.y=?MM〃+2上，貝1]〃=:

(2)若將△48。繞點A按逆時針方向旋轉45。，得到△A'3?！?，點8,在拋物線y=-爐+云+2上，則》=

18.如圖I是護眼學習臺燈，該臺燈的活動示意圖如圖2所示.燈柱

BC=6cm,燈臂AC繞著支點C可以旋轉，燈罩呈圓弧形(即人。和￡尸).在轉動過程中，AD(EF)總、

是與桌面8H平行.當4c_1_8〃的，AA=46cm,DMLMH,測得。M=37.5cm(點用在墻壁M上，且

MHJLBH)；當燈售AC轉到CE位置時，尸N_LM〃測得EV=13.5cm,則點石到桌面8”的距離為

cm.若此時點C,”，M在同一條直線上，成的最低點到桌面4〃的距離為35cm,則E/所在圓的

半徑為cm.

圖】圖2

19.如圖，已知A,B,C均在。。上，請用無刻度的直尺作圖.

（1）如圖1,若點。是AC的中點，試畫出NB的平分線;

（1）如果二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點，求機的取值范圍;

（2）如圖，二次函數(shù)的圖像過點A（3,（））,與），軸交于點直線與這個二次函數(shù)圖像的對稱軸交于

點P,求點P的坐標.

21.如圖，四邊形ABCD是。0的內接四邊形，AD=BD，AC為直徑，DE1BC,垂足為E.

（1）求證：CD平分/ACE；

(2)若AC=9,CE=3,求CD的長.

A

在平面直角坐標系x0y中，拋物線y=爐+以經過點A（2,0）.直

線），=彳1-2與x軸交于點8,與），軸交于點C.

（I）求這條拋物線表達式和頂點的坐標;

（2）將拋物線＞=/+/*向右平移,使平移后的拋物線經過點於求平移后拋物線的表達式;

（3）將拋物線y=f+法向下平移,使平移后的拋物線交y軸于點，交線段BC于點P、Q,（點尸在點。

右側），平移后拋物線的頂點為M,如果QP〃x軸，求NMC尸的正弦值.

在心△ABC中，ZC=90°,/BAC的角平分線AO交AC

邊干。.以A3上某一點。為圓心作。0,使。。經過點A和點Q.

（1）判斷直線BC與。。的位置關系，并說明理由;

(2)若人。=3,N8=30°.

①求。。的半徑;

②設。。與AB邊的另?個交點為E,求線段B。、BE與劣弧OE所圍成的陰影部分的圖形面積.（結果保

AB是。0的直徑，點C、D是。0上的點，且OD〃BC,AC分別

與BD、0D相交于點E、F.

（1）求證：點D為4c的中點；

（2）若CB=6,AB=10,求DF的長；

（3）若。0的半徑為5,ZDOA=80°,點P是線段AB上任意一點，試求出PC+PD的最小佳.

__X——今§25.“武漢加油!中國加油!”疫情牽動萬人心，每個人都在為抗擊疫情而努力.某廠

改造了10條口罩生產線，每條生產線每天可生產口罩500個.如果每增加一條生產線，每條生產線就會比

原來少生產20個口罩.設增加x條生產線后，每條生產線每天可生產口罩）'個.

（1）直接寫出）'與x之間的函數(shù)關系式；

（2）若每天共生產口罩6000個，在投入人力物力盡可能少的情況卜，應該增加幾條生產線？

（3）設該廠每天可以生產的口罩物個，請求出w與工的函數(shù)關系式，并求出增加多少條生產線時，每天生

產的口罩數(shù)量最多，最多為多少個？

26.如圖，在平面直角坐標系中，點A8是一次函數(shù)圖象上兩點，它們的橫坐標分別為〃，。+3,

其中。＞0,過點A8分別作y軸的平行線，交拋物線y=d-4x+8于點C,D

（1）若=8。，求。的值；

（2）點￡是拋物線上一點，求AA跖面積的最小值.

27.已知，足球球門高2.44米，寬7.32米（如圖1）在射門訓練中,

一球員接傳球后射門，擊球點A距離地面0.4米，即A8=0.4米，球的運動路線是拋物線的一部分，當球

的水平移動距離BC為6米時，球恰好到達最高點。，即8=4.4米.以直線8c為x軸，以直線AB為），

軸建立平面直角坐標系（如圖2）.

圖1圖2圖3

線的表達式；

（2）若足球恰好擊中球門橫梁，求該足球運動的水平距離；

（3）若要使球直接落在球門內，則該球員應后退機米后接球射門，擊球點為A'（如圖3）,請直接寫出機

的取值范圍.

28.如圖小拋物線_y="2_2a?-〃（?<（））與x軸的一個交點為B（-1,0）,與），軸的正半軸交于點C,

頂點為D.

<1）求頂點〃的坐標（用含〃的代數(shù)式表示）：

（2）若以A。為直徑的圓經過點C.

①求拋物線的解析式；

②如圖〃，點￡是），軸負半軸上的一點，連接將繞平面內某一點旋轉180。，得到△PMN（點

P、M、N分別和點0、B、￡對應），并且點"、N都在拋物線上，作軸于點“，若線段MBBF=

1：2,求點M、N的坐標；

③如圖c,點Q在拋物線的對稱軸上，以Q為圓心的圓過八、4兩點，并且和直線C/J相切，求點Q的坐

圖a圖5圖c

初三數(shù)學2021.12

一.選擇題

1.下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（）

A.y=3x-lB.y=cix2+bx+cC.3=2產-2什ID.尸小+—

X

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：A、）=3x-l是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，不符合題意；

Bxy=ax2+bx+c,當a=0時，不是二次函數(shù)，不符合題意；

C、s=2產-2什1是二次函數(shù)，符合題意；

D、>^4-,中L不是整式，故產N+,不是二次函數(shù)，不符合題意.

XXX

故選：C.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的定義，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的定義.二次函數(shù)定義：一般地，

把形如y=+c（°、氏，是常數(shù)，且。。。）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中。稱為二次項系數(shù)，b為

一次項系數(shù)，c為常數(shù)項.x為自變量，y為因變量.

2.已知。。的半徑為5cm,若點A到圓心。的距離為4cm,則點A（）

A.在。。內B.在0。上C.在。。外D.與。。的位置關系無法

確定

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)點到圓心的距離與圓的半徑大小的比較，確定點A與。。的位置關系.

【詳解】解：的半徑為5cm,點A到圓心。的距離為4cm,4<5,

???點A在。。內，

故選A.

【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關系，解題的關鍵在于能夠熟知：一點到圓心的距離如果等于半

徑，則這點在圓上；如果一點到圓心的距離小于半徑，則這點在圓內：如果一點到圓心的距離大于半徑，

則這點在圓外.

B

3.如圖，正五邊形A8CZ）石內接于。。，則NDAE的度數(shù)是（

A.36°B.26°C.30。

【答案】A

【解析】

【分析】連接OD,OE,求出/DOE=72°,再根據(jù)圓周角定理即可求出NZME的值.

【詳解】解：如圖所示,連接OD,OE,

???ABCDE是正五邊形,

/.ZZME=7ZDOE=36°,

故選：A.

【點睛】本題考查正多邊形和圓、圓周角定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識.

4.二次函數(shù)y=or2+br+c的部分對應值如表，則方程+阮+c=。的解是（）

X-3-2-1012

y-12-50343

A.xi=X2=-1B.x\=-1,%2=0C.x\=-1,X2=2D.X\=-1,照=3

【答案】D

【解析】

【分析】先由對稱性判斷出對稱軸是x=L再根據(jù)對稱性和一根是尸一1，判斷出另一根是尸3,從而得

解.

【詳解】???拋物線產aP+z^+c與x軸交于（-10）,對稱軸是：直線x=l,

:.拋物線與工軸的另一交點是（3,0）,

:.一元二次方程口必+法+。=0的兩根是.白=-1,也=3.

故選D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像性質及與一元二次方程的關系，熟練掌握二次函數(shù)圖像性質及與一元二次

方程的關系是解決本題的關鍵.

5.二次函數(shù)y=ax2+Z?"c（。#0）與一次函數(shù)y=ax+c在同一坐標系中的圖象大致為（）

【答案】D

【解析】

【分析】觀察兩圖象，分別確定小。的取值范圍，即可求解.

【詳解】解：A、拋物線圖象，開口向下，即a＜0,而一次函數(shù)圖象自左向右呈上升趨勢，則。＞（）,

相矛盾，故本選項錯誤，不符合題?。?/p>

B、拋物線圖象與＞軸交于負半軸，BPc＜0,而一次函數(shù)圖象與）’軸交于正半軸，c＞0,相矛盾，故

本選項錯誤，不符合題意：

。、拋物線圖象，開口向上，即。＞0,而一次函數(shù)圖象自左向右呈下降趨勢，即avo,相矛盾，故本

選項錯誤，不符合題意；

。、拋物線圖象，開口向下，即。＜（）,一次函數(shù)圖象自左向右呈下降趨勢，即。＜0，兩圖象與y軸交

于同一點，即C相同，故本選項正確，符合題意；

故選:D.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)〉=依2+法+?。工（））

。決定拋物線的開口方向，。決定拋物線與）’軸的交點位置是解題的關鍵.

6.如圖，圓錐的底面半徑，,為6cin,高力為8cm,則圓錐的側面積為（)

A.30兀cm?B.487rcm2C.607tcm2D.80ncm2

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用勾股定理求出圓錐的母線長，再通過圓錐側面積公式可以求得結果.

【詳解】VA=8,r=6,

可設圓錐母線長為/,

由勾股定理，/=麻左=10,

圓錐側面展開圖的面積為：Sw=yX2X67TX10=6071,

所以圓錐的側面積為6071cm2.

故選：C.

【點睛】本題主要考查圓錐側面積的計算公式，解題關鍵是利用底面半徑及高求出母線長即可.

7.如圖，直角坐標系中，以5為半徑的動圓的圓心八沿x軸移動，當。A與直線/：），二得不只有一個公

B.(-13,0)C.(±12,0)D.

(±13,0)

【答案】D

【解析】

【分析［當（DA與直線/：y二之尤只有一個公共點時，則此時?A與直線/：），=且工相切，（需考慮左右

兩側相切的情況）；設切點為3,此時8點同時在。A與直線/：），二上工上，故可以表示出4點坐標，過3

點作笈C//CM,則此時△AOBs/XOBC，利用相似三角形的性質算出0A長度，最終得出結論.

【詳解】如下圖所示，連接A3,過8點作8C7/O4,

在中，神二?仁+心及+佇j=—\x\

\(12)1211

又?:。A半徑為5,

AB-5,

???BC//OA，

???/XAOBsAOBC，

OAABOB

則tll一=—=——,

BOOCBC

OA_5

???軻初，

???0A=\3,

???左右兩側都有相切的可能,

???4點坐標為(±13,()),

故選：D.

[AM1本題考查的是直線與圓的位置關系，熟知相似三角形的判定與性質是解答此題的關鍵.

15

8.點P(m,〃)在以y軸為對稱軸的二次函數(shù)y=x2+ax+4的圖象上.則m-n的最大值等于()A.一

4

1517

B.4C.——D.--

44

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，可以得到”的值以及機和〃的關系，然后將〃八〃作差，利用二次函數(shù)的性質，即可

求出機-〃的最大值.

【詳解】解：.??點P(小，〃)在以y軸為對稱軸的二次函數(shù))，=/+公+4的圖象上,

；i=w2+4,

/.ni-n=m-(/?2+4)=-m2+m-4=-(w?-^-)2--,

-4

:.當m=；時，〃?-〃取得最大值，此時m-n=--,

24

故選:C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，屬于?？碱}型，正確理解題意、熟練掌握二次函數(shù)的性質是

解題的關鍵.

9.如圖，拋物線)，=-」-9+1與x軸交于A,B兩點,。是以點C(0,-3)為圓心，2為半徑的圓上的動

16

75

B.-C.3D.

22

【解析】【分析】連接AD,令)，=0,則一3/+1=0,得OE是△4B。的中位線，當A、C、。三點共

16

線，且點C在A。之間時，4。最大，即可求解..

【詳解】解：連接A。，如圖，

令y=0,則--Lf+1=0,解得芭=4,%=-4,則人(-4,0),B(4,0),

16

二。是線段48的中點,

??"是線段”的中點,

???0七為4A3。的中位線，

:.OE=-AD,

2

設圓的半徑為，，則，=2,

當A、C、。三點共線，且點C在AO之間時，A。最大，此時0E最大,

OE=^D=^（AC+r）=^^32+42+2）=^（5+2）=1,

???線段OE的最大值是Z.

2

【點睛】本題主要考查的是拋物線與x軸的交點以及

三角形中位線的性質，解題的關鍵是根據(jù)圓的基本性質，確定力。的最大值.

10.如圖，在平面直角坐標系中，。。的圓心在原點，半徑為P（〃?，〃）為。。上一點，過點A（?6,

H1

5）,B（0,5）的拋物線），="爐+尿+0?（存0）同時也過點P,當代數(shù)式|——I取得最大值時，拋物線的二次項

5-77

系數(shù)。的值為（

1C.g或-！

A.——BD.2

4-I

【答案】C

【解析】

【分析】過點尸作加“軸于點心則小網(wǎng)二券

BAH5TpM=|tan/，當代

數(shù)式1”-1取得最大值時，則NP8W取得最大值

5-〃

此時，心與。。相切，切點為尸，連接OP,根據(jù)題意，求得FM,OM,即可求得點尸的坐標，進而根據(jù)

不共線三點求拋物線解析式即可求得。的值

【詳解】解：如圖，過點戶作軸于點/，則尸加=同，

?.?"BO+/POB=90。在Rt^OPB中，sinZPBO=—=^~

OB5

???40PM+4PoB=90。ZOPM=ZPBORt/\OMP中，sinNOPM=—=型=且

OPy/5

：.0M=\：,PM=do產-OM'=2「"-2,1)過點4-6,5),仇0,5)的拋物線)，=辦2+b(^0)同

時也過點P,

則

4a-2b+c=\

,c=5解得〃

2

36a-6/?+c=5

同理可得片（2』）

過點4-6,5）,B（0,5）的拋物線產加+法+c（存0）同時也過點P,

則

4a+2b+c=\

,c=5解得。=一，

4

36。-6Z?+c=5

綜上所述〃=,或4=一！

24

故選C

【點睛】本題考查了切線的性質，求拋物線解析式，解直角三知形，根據(jù)代數(shù)式求得最大值時找到點P的

坐標是解題的關鍵，注意過圓外一點可作2條圓的切線.

二.填空題1L二次函數(shù)-3的頂點坐標是.

【答案】（0,-3）

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式已經是頂點式直接解答即可.

【詳解】解：???二次函數(shù)解析式為），二3/一3,

???二次函數(shù)的頂點坐標為（0,-3）,

故答案為：（0,-3）.

【點睛】本題考杳了二次函數(shù)的性質，要熟悉頂點式的意義，棄明確：了=412+左的頂點坐標為（（），

k）.

12.如圖，等腰AABC的頂角NBAC=50。，以AB為直徑的半圓分別交BC,AC于點D,E.則的度

【答案】50

【解析】

【分析】連接AD,由AB為直徑可得出AD_LBC,由AB=AC利用等腰三角形的三線合一即可得出/BAD

=ZCAD=yZBAC=25°,再根據(jù)圓周角定理即可得出弧DE的度數(shù).

【詳解】連接AD,如圖所示.

〈AB為直徑，

AADIBC.

VAB=AC,

/.ZBAD=ZCAD=ZBAC=25°.

???弧DE的度數(shù)=2NEAD=50。.

A

N

故答案為50./：\

BJZ~izc

【點睛】此題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質.此題濰度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌

握數(shù)形結合思想的應用.

13.已知二次函數(shù)尸”-皿葉。的圖象與x軸交于4（-1,0）,B兩點、,則點3的坐標為.

【答案】（5,0）

【解析】

【分析】先求出拋物線的對稱軸，然后再根據(jù)拋物線的對稱性得出點〃的坐標

【詳解】解：:拋物線尸五-4ax+c的對稱軸為：x=--=2,

2a

又1,二次函數(shù)尸av2-4or+c的圖象與x軸交于A（-1,0）,B兩點,

二點B的坐標為（5,0）.

故答案為：（5,0）.

【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答.

14.如圖，拋物線y=aF+c與直線＞="交于A（-2,-3）,B（3,q）兩點,則不等式

ax2—mx+c<n的解集是

【答案】-2<xv3

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)與?次函數(shù)的圖象的交點，利用圖象解題即可

【詳解】???拋物線），=a?+c與直線>>=如+〃交于A（—2,—3）,8（3國）兩點,

當一2Vx<3時，拋物線），=ax2+c在直線T=〃認+〃的下方,

即心2一〃1V+C<〃的解集為一2Vx<3故答案為：—2<x<3

【點睛】本題考查二次函數(shù)與不等式（組），二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點等知識，是重要考點，難度較

易，掌握相關知識是解題關鍵.

15.如圖，在即△ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,且△ABC的三邊都與。0相切，則40=

【答案】2石

【解析】

【分析】連接O。、OE、OF,根據(jù)勾股定理求出AB,根據(jù)三角形的面積公式求出?！辏?根據(jù)切線長定理

求出A。，根據(jù)勾股定理計算即可.

【詳解】解：設。。與8c的三邊的切點分別為。、E、F,連接O。、OE、OF,

0F1AI3,OD=OE=OF,

???gxACx8C=；xACxOO+gxgO￡+；xA8xO”，gp1x6x8=yx(6+8+10)xOD,

解得，OD=2,

設AQ=.r,則CD=6-x,

根據(jù)切線長定理得，AF=AI)=xfCE=6-x,則BE=8-(6-x)=2+x,

：?BF=BE=2+x,

則戶2+尸10,

解得，尸4,

在咫△A。/)中，40=,心+仍=2石，

故答案為：2石.【點睛】本題考杳的是三角形的內切圓與內心，掌握切線長定理、勾股定理是解題的關

鍵.

16.如圖，RfaABD中,ZD=90\AB=8,BD=4,在8。延長線上取一點C,使得OC=BZ),在直線

4。左側有一動點。滿足N%O=//V)B,連接PC,則線段C尸長的最大值為.

【答案】2近+26##2肉2近

【解析】

【分析】如圖，取4。的中點0,連接OP、OC,然后求出0P、。。的長，最后根據(jù)三角形的三邊關系即

可解答.

【詳解】解：如圖，取A。的中點。，連接OP、0C

?:N必D=NPDB,NPDB+NADP=90°,

???/必。+//\。尸=90°,即N4PO=90°,

*：A0=0D,

：,PO=OA=AD,

???A"=\lAB2-Bl>=VS2-42=4G

???。尸:25

?：BD=CD=4,0D=273,

2

???OC=y/OD2+DC2=J(2⑹+4?=2a

,:PCWOP+OC,

:.PCW2?+26，

???PC的最大值為2萬+?

故填：2幣+2

【點睛】本題主要考查了直角三角形斜邊中線的性質、勾股定理等知識點，解題的關鍵在于.正確添加常用

輔助線，進而求得OP、0C的長.

17.如圖，在平面直角坐標系式。)中，等腰△ABO的頂點A在)，軸上，AB=OB,tanZAOB=2,拋物線y

=-x2+bx+2過點A.

(1)若點。關于48中點的中心對稱點O'也恰好在拋物線)，=72+以+2上，則/?=；

(2)若將AABO繞點A按逆時針方向旋轉45。,得到△A'8'O',點8'在拋物線曠=?/+同+2上,則》=

【解析】

【分析】(1)如圖1,過點4作軸于C,根據(jù)40可求得點A的坐標，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得

8c=2,即點8的坐標(2,1),然后將點8的坐標代入拋物線的解析式求出〃的值即可；

(2)如圖2,過點B作B77_LAB于”，過H作GM_Ly軸于G,過點夕作￡M_LGM于M,可證是

等腰直角三角形，得AH二二叵,再證△AGH會△〃M8{A4S),根據(jù)三角函數(shù)可得AG="“二巫,

22

GH=B'M=舊確定點8的坐標，最后代入拋物線的解析式求出〃的值即可.

【詳解】解：（1）如圖1,過點5作8cLi軸于C,當％=0時.，）=2,

???4（0,2）

?:AR=OB,

???OC=-OA={

2

VlanZ/10B=—=2

OC

：.BC=2

：,B（2,I）

〈AB的中點坐標為（1,-）,

2

???點。關于A8中點的中心對稱點。'的坐標為（2,3）,

???該點0'也恰好在拋物線產-/+法+2上,

-4+2Z>+2=3,解得b=—；

2

（2）如圖2,過點8作EH1A3于過〃作GM_L），軸于,過點9作

8M_LGM于M,

由（］）得：AB^AC?+BC?=后，

由旋轉的性質可得：ABLAB二書,ZBAB'=45°,

VAAHB'=90°,

是等腰直角三角形，

?2OOM

??AH=BH=----

2

,?ZAGH=ZGAH+ZAHG=ZAHG+ZMHB,=90°,

???NGAH=/MHB\

VZAGH=ZM=90°,AH=B'H,

AAAGH^AHMB'{AAS）,:?GH;B'M,HM=AG,

VtanZBAO=—=2,

AG

.\AG=HM=^-,GH=B'M=y/2?

?M2-與

???該點夕也恰好在拋物線產-/+以+2上,

2匹+2=2+也,解得解2+9&

22V,6

故答填土逑

【點睛1本題屬于二次函數(shù)的綜合運用，主:要考查了等接三角形的

性質、等腰直角三角形的性質和判定、三角函數(shù)的定義、三角形全等的性質和判定等知識點，確定點3和

夕的坐標是解答本題的關鍵.

18.如圖1是護眼學習臺燈，該臺燈的活動示意圖如圖2所示.燈柱BC=6cm,燈臂4c繞著支點C可以旋

轉，燈罩呈圓弧形(即4。和)).在轉動過程中，AD(EF)總是與桌面8〃平行.當ACLB”時，AB=

46cm,DM上MH,測得￡)〃=37.5cm(點M在墻壁M上，且當燈臂4。轉至ljCE位置時，F(xiàn)N1MH

測得FN=13.5cm,則點上到桌面8〃的距離為cm.若此時點C,P,M在同一條直線上，)的最低

點到桌面B〃的距離為35cm則EF所在圓的半徑為

【答案】①.38；②.一.

3

【解析】

【分析】（1）過點E作EPJ_3H,垂足為從延長交A3于點G,根據(jù)GE+/2QM,AC=CE=AB-BC,

在直角三角形EGC中，求得CG,證明四邊形七G8P是矩形，WWEP=CG+BC；

（2）可證四邊形AMNG是矩形，得MN-AG,證明AGR7s△"所,求得E尸的K，作EF的垂直平分線

OR,交BH于R,交）于點Q,交EF于點、K,利用垂徑定理，勾股定理解答即可.

【詳解】（1）過點石作EP_LB”,垂足為H,延長交AB于點G,

\'ACA.BH,MH±BH,:.AG〃MN,

?；DM工MH,FN上MH,:,AM〃GN,J四邊形AGNM是平行四邊形，

???四邊形AGNM是矩形，

：.AM=GN,

：.AD+DM=GE+EF+FNt

,:AD=EF,0M=37.5,FNT35

:?GE=DM-FN=24,

VXC1BA7,AB=46,BC=6,

：.AC=CE=40,

在直角三.角形EGC中，

CG="戶-EG?=弧2一242=32,

?；BG工EG,GBLBP,EPLBH,

，四邊形欣;80是矩形，

??.￡P=8G=CG+8C=32+6=38；故答案為：38.

(2)由(I)如，四邊形4WM7是矩形，AMN=AG=AB-nG=46-3S=S,

?:MN〃GC,

:.公GFCs^NFM,

.FG_CG_32

??麗一麗一石’

AFG=4F7V=4x13.5=54,

：.EF=FG-EG=54-24=30,

作EF的垂直平分線OR,交BH于R,交所于點Q,交EF于點K,設點0為圓心，根據(jù)題意，得

EK=15,

*：EP±PR,KRLPR,EKA,KR,

???四邊形EPRK是矩形，

:?EP;KR=38,

???QR=35,

：.KQ-3,

設OE=OQ=x,則OK=x-3,

在直角三角形OEK中，

0E1=OK2+EK2，

.?.X2=(X-3)2+152,

解得439.

故答案為：39.

【點睛】本題考直了三角形的相似，矩形的

判定與性質，勾股定理，垂徑定理，構造輔助線，構造出直角三角形，是解題的關鍵.

三.解答題

19.如圖，已知4,B,C均在。。上，請用無刻度的直尺作圖.

（1）如圖1，若點。是4c的中點，試畫出的平分線；

（2）若NA=40。，點。在弦上，在圖2中畫出一個含50。角的直角三角形.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

【分析】（1）連接OD并延長與圓。交于點E，連接8E即為所求；

（2）連接3。并延長交圓。于M延長AO交圓。于M,連接MM,BM,則△BMN即為所求;

【詳解】解：如圖所示，連接00并延長與圓。交于點E,連接即為所求；

是4c的中點，

：?AE=CE，

???AABE=ZCBE,即8E平分ZABC；

（2）如圖所示，連接80并延長交圓。于N,延長月。交圓。于M,連接

NM,BM,則△BMN即為所求;

?JZA=40°,

???NBNM=NA=40。，;BN是圓的直徑,

:./BMN=90°,

???/NBM=90-/BNM=50。,

/.ABMN是含50。的直角三角形.

A

N

//I【點睛】本題主要考查了垂徑定理，宜徑所對的圓周角是直角，圓周角定理等

圖2M

等；解題的關鍵在于能夠熟練掌握圓的相關知識.

20,已知二次函數(shù)），=一/+2x+m.

（1）如果二次函數(shù)的圖像與▲?軸有兩個交點，求〃?的取值范圍；

（2）如圖，二次函數(shù)的圖像過點A（3,0）,與），軸交于點8,直線A3與這個二次函數(shù)圖像的對稱軸交于

點P,求點。的坐標.

【分析】（1）由二次函數(shù)的圖像勺工軸有兩個交點，得到△>0于是得到，〃的取值范圍；

（2）把點A（3,0）代入二次函數(shù)的解析式得到機的值，「是得到二次函數(shù)的解析式，再求出直線A8的

解析式和對稱軸方程x=l聯(lián)立成方程組，即可得到結果.

【詳解】解：（1）???二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點，

:.△=22+4〃？>0?-1：

故答案：〃?>7；

(2)???二次函數(shù)的圖像過點A(3,0),

；?0=~9+6+,

；?〃?=3,

???二次函數(shù)的解析式為：y=-x2+2x+3,

令尸0,則產3,:?B（0,3）,

0=3k+bk=—l

設宜線A/3的解析式為：y=kx\b{k^Q）,：.3=b'解得：==3

???直線AB的解析式為：y=—x+3,

???拋物線），=一/+21+3的對稱軸為：x=l,

y=-x+3x=1

解得：c

x=I［），=2

:?P(1,2).

21.如圖，四邊形ABCD是。O的內接四邊形，AD=BD^AC為直徑，DEXBC,垂足為E.

（1）求證：CD平分NACE；

（2）若AC=9,CE=3,求CD的長.

【詳解】分析：（1）根據(jù)圓內接四邊形的性質得到NDCE=NBAD,根據(jù)圓周角定理得到NDCE=NBAD,

證明即可；

（2）證明ADCEs/^ACD,根據(jù)相似三角形的性質列出比例式，計算即可.

詳解：

（1）證明：???四邊形ABCD是GO內接四邊形，.,.ZBAD+ZBCD=180°,

VZBCD+ZDCE=180°,

.\ZDCE=ZBAD,

AD=BD，

AZBAD=ZACD,

.\ZDCE=ZACD,

???CD平分/ACE；

(2)解：:AC為直徑,

???ZADC=90°,

VDE1BC,

JNDEC=90。，

/.ZDEC=ZADC,

VZDCE=ZACD,

AADCE^AACD,

.?.里衛(wèi),即工M

CDCACD9

???CD=3G.

點睛：本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理，掌握圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內時

角是解題的關鍵.

22.如圖，在平面直角坐標系X。）中，拋物線），=爐+版經過點若（2,0）.直線y=gx-2與人軸交于點

B,與），軸交于點C.

（1）求這條拋物線的表達式和頂點的坐標；

（2）將拋物線y=9+/u-向右平移，使平移后的拋物線經過點出求平移后拋物線的表達式；

（3）將拋物線向下平移，使平移后的拋物線交y軸于點4交線段BC于點P、Q,（點P在點。

右側），平移后拋物線的頂點為M,如果。尸〃x軸，求NMCP的正弦

【答案】⑴-2x,頂點C的坐標是（1,-1）；（2）），=（x-3）2-1或,，=（…）2-j.⑶手

【解析】

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，化成頂點式即可求得頂點坐標；

（2）根據(jù)圖象上點的坐標特征求得4（4,0）,然后分兩種情況討論求得即可；

（3）設向下平移后的拋物線表達式是：y=9-2計〃，得點。（0,〃），即可求得「（2,〃），代入

-2求得〃=-1,即可求得平移后的解析式為y=9-2x-1.求得頂點坐標，然后解直角三角形即可求得

結論.

【詳解】（1）由題意，拋物線丫=如+必經過點人（2,0）,

得0=4+2/?,解得b=-2,

???拋物線的表達式是y=/?2x.

'.'y—x2-2x=（x-1）2-1,

???它的頂點。的坐標是（1,-1）.

（2）???直線y=gx-2與x軸交于點

???點8的坐標是（4,0）.

①將拋物線），=/-2A?向右平移2個單位，使得點A與點5重合，

此時平移后拋物線表達式是y=（x-3）2-1.

②將拋物線），=9-2A?向右平移4個單位，使得點。與點B重合，

此時平移后的拋物線表達式是），=G-5）2-1.

（3）設向下平移后的拋物線表達式是：丁=爐?2什〃，得點。（0,〃）.

???"〃x軸，

???點。、P關于拋物線的時稱軸直線x=l對稱，

:?P（2,〃）.???點P在直線BC上,

:.n=—x2—2=-1.

2

???平移后的拋物線表達式是：y=t2-2x-1.

???新拋物線的頂點M的坐標是（1,-2）.

:?MC〃OB,

:?/MCP=/OB