高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識點

高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識點

數(shù)學(xué)數(shù)列知識點1

等差數(shù)列

1.等差數(shù)列通項公式

an=al+(n-l)d

n=l時al=Sl

n>2時an=Sn-Sn-l

an=kn+b(k,b為常數(shù))推導(dǎo)過程:an=dn+al-d令d=k,al-d=b則得

至Uan=kn+b

2.等差中項

由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以堪稱最簡單的等差數(shù)列。這時,A

叫做a與b的等差中項(arithmeticmean)。

有關(guān)系：A=(a+b)+2

3.前n項和

倒序相加法推導(dǎo)前n項和公式：

Sn=al+a2+a3+??…+an

=al+(al+d)+(al+2d)+……+[al+(n-l)d]①

Sn=an+an-l+an-2+……+al

=an+(an-d)+(an-2d)+……+[an-(n-l)d[②

由①+②得2Sn=(al+an)+(al+an)+……+(al+an)(n個)=n(al+an)

.■.Sn=n(al+an)-?2

等差數(shù)列的前n項和等于首末兩項的和與項數(shù)乘積的一半:

Sn=n(al+an)+2=nal+n(n-l)d+2

Sn=dn2+2+n(al-d+2)

亦可得

al=2sn4-n-an=[sn-n(n-l)d4-2]4-n

an=2sn-=-n-al

有趣的是S2n-l=(2n-l)an,S2n+l=(2n+l)an+l

4.等差數(shù)列性質(zhì)

一、任意兩項am,an的關(guān)系為：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差數(shù)列廣義的通項公式。

二、從等差數(shù)列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：

al+an=a2+an-l=a3+an-2=...=ak+an-k+l,keN--

三、若m,n,p,qeN--,且m+n=p+q,貝侑am+an=ap+aq

四、對任意的k￡N一,有

Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,...,Snk-S(n-l)k…成等差數(shù)列。

數(shù)學(xué)數(shù)列知識點2

等比數(shù)列

L等比中項

如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做

a與b的等比中項。

有關(guān)系：

注：兩個非零同號的實數(shù)的等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)，所以

G2=ab是a,G,b三數(shù)成等比數(shù)列的必要不充分條件。

2.等比數(shù)列通項公式

an=al--q'(n-1)(其中首項是al,公比是q)

an=Sn-S(n-l)(n>2)

前n項和

當(dāng)qwl時，等比數(shù)列的前n項和的公式為

Sn=al(l-q,n)/(l-q)=(al-al-q/n)/(l-q)(q/l)

當(dāng)q=l時，等比數(shù)列的前n項和的公式為

Sn=nal

3.等比數(shù)列前n項和與通項的關(guān)系

an=al=sl(n=l)

an=sn-s(n-l)(n>2)

4.等比數(shù)列性質(zhì)

(1)若m、n、p、q￡N—,且m+n=p+q,貝(Janran=ap-aq;

(2)在等比數(shù)列中，依次每k項之和仍成等比數(shù)列。

(3)從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：

alan=a2an-l=a3an-2=...=akan-k+l,ke{l,2,...,n}

(4)等比中項：q、r、p成等比數(shù)列,則aq-ap=ar2,ar則為叩，aq等

比中項。

igTcn=ala2...an,貝!!有n2n-l=(an)2n-l,Tr2n+l=(an+l)2n+l

另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底指數(shù)幕后構(gòu)成一個等差數(shù)

列;反之,以任一個正數(shù)C為底,用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造幕Can,

則是等比數(shù)列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是"同

構(gòu)”的。

(5)等比數(shù)列前n項之和Sn=al(l-q,n)/(l-q)

(6)任意兩項am,an的關(guān)系為an=amq,(n-m)

(7)在等比數(shù)列中，首項al與公比q都不為零。

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數(shù)列的相關(guān)概念

1.數(shù)列概念

①數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。其特殊性主要表現(xiàn)在其定義域和值域上。數(shù)列

可以看作一個定義域為正整數(shù)集N—或其有限子集｛1,2,3，…，n｝的函數(shù),

其中的｛1,2,3,…，n｝不能省略。

②用函數(shù)的觀點認(rèn)識數(shù)列是重要的思想方法，一般情況下函數(shù)有三種表示

方法