2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)專題提升訓(xùn)練-切線的判定及計(jì)算

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)專題提升訓(xùn)練切線的判定及計(jì)算1．如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，且，求陰影部分的面積．2．如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點(diǎn)D為弧中點(diǎn)，連接，平分交于E．(1)求證：；(2)若過(guò)C點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，已知，求劣弧、線段、圍成的陰影部分的面積；3．如圖，在中，，O為上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，為半徑的交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)D．已知．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．4．如圖，中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D分別作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)分別交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)M．(1)求證：是的切線；(2)若，求，的長(zhǎng)．5．如圖，點(diǎn)是的邊上的點(diǎn)，，點(diǎn)是上的點(diǎn)，與邊，分別相交于點(diǎn)，，點(diǎn)在邊上且.(1)求證：為的切線；(2)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng).6．如圖，在中，是的直徑，弦于，點(diǎn)為弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，切點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)在（2）的條件下，若，，求的長(zhǎng)．7．如圖，是的直徑，是的切線，以為鄰邊作，邊交于點(diǎn)E，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的值．8．如圖，是的直徑，點(diǎn)C，E在上，過(guò)點(diǎn)E作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，且．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．9．如圖，內(nèi)接于，是的直徑，是上的一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，給出如下信息：①平分；②；③是的切線．(1)在信息①②③中選擇其中兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，并加以證明．你選擇的條件是______，結(jié)論是______．(2)在（1）中，當(dāng)?shù)陌霃綖?，時(shí)，求的長(zhǎng)．10．已知：如圖，菱形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，為的外接圓，過(guò)點(diǎn)作，垂足是點(diǎn)，且的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線．(2)若，，求的長(zhǎng)．11．如圖，內(nèi)接于以為直徑的中，且點(diǎn)E是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)D，的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．(1)試判斷的形狀，并給予證明；(2)若，求的長(zhǎng)．12．如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作的切線交于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如果，，那么的長(zhǎng)為．13．如圖，已知是的外接圓，是的直徑，直線與相切于點(diǎn)，交弦于點(diǎn)，交優(yōu)弧于點(diǎn)，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．14．如圖1，為的直徑，為延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，為的切線，切點(diǎn)為，，垂足為，在上，連接，．

(1)求證：為的切線；(2)如圖2，是線段上一點(diǎn)，若平分，與線段交于點(diǎn)．①求證：；②若，，求的長(zhǎng)．15．如圖1，為上不重合的三點(diǎn)，為的切線，．(1)求證：為的切線；(2)若為等腰三角形，，求的值；(3)如圖2，若為直徑，為線段上一點(diǎn)且，，，求的最大值．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)專題提升訓(xùn)練-圓綜合之證明切線問(wèn)題》參考答案1．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)角平分線定義，得，可得，得，得，即得；（2）連接交于，根據(jù)垂徑定理推論得，，根據(jù)，，得，，得，，根據(jù)，得，即得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，是的平分線，，，，，，，為半徑，是的切線；（2）解：如圖2，連接交于，，，是劣弧的中點(diǎn)，，，，∵，，，，，由（1）知，，，即，解得，；，，，∴，，；陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形綜合．熟練掌握角平分線有關(guān)計(jì)算，等腰三角形性質(zhì)，平行線判定和性質(zhì)，切線判定和性質(zhì)，垂徑定理推論等邊三角形判定和性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，全等三角形判定和性質(zhì)，扇形面積公式，是解題的關(guān)鍵．2．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由圓周角可推出，由角平分線的定義，可得，從而得出，再根據(jù)等角對(duì)等邊，即可證明結(jié)論；（2）連接，由（1）可知，，根據(jù)弧與圓心角的關(guān)系可得，進(jìn)而證明是等腰直角三角形，求出，再證明是等腰直角三角形，得到，最后利用陰影面積求解即可．【詳解】（1）證明：點(diǎn)D為弧中點(diǎn)，，，，，平分，，，，，；（2）解：如圖，連接，由（1）可知，，，，點(diǎn)D為弧中點(diǎn)，，，，是等腰直角三角形，，，，是的切線，切點(diǎn)為，，是等腰直角三角形，，劣弧、線段、圍成的陰影部分的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角與圓心角，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形面積公式，圓的切線的性質(zhì)等知識(shí)，掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)，推出，由，得到，即可證明；（2）分別過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為，證明，得到，求出，再證明，推出，利用勾股定理求出，，證明，推出，設(shè)，則，得到，求出，利用勾股定理建立方程即可求解．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵，∴，∵是的半徑，點(diǎn)D在上，∴是的切線；（2）解：分別過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為，∵為的直徑，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴（負(fù)值舍去），∴，∵，∴，在中，，∴，∴（負(fù)值舍去），∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，設(shè)，，∴，∴，在中，，∴，即，解得：（負(fù)值舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理．綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．(1)見(jiàn)解析(2)，【分析】本題考查了圓與三角形的綜合問(wèn)題，證明某直線是圓的切線，根據(jù)正切值求線段長(zhǎng)度：（1）連接，根據(jù)題意得到角度之間的關(guān)系，根據(jù)等邊對(duì)等角可得到，即可得到結(jié)果；（2）連接，先根據(jù)正切值以及勾股定理得到邊長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形全等以及三角形的面積可得到關(guān)系式，解得邊長(zhǎng)，即可求得結(jié)果；熟練運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：，∵于點(diǎn)F，∴，則中，∵在中，∴，∴，∴，∴，∴是的切線；（2）解：連接，如圖所示：，∵為的直徑，∴，∵，則在中，設(shè)，則，則在中，∴，即，，∵于點(diǎn)E，∴，則，∵在中，，，∴等腰三角形中三線合一，即，又∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，在中，，∴，∴，則，設(shè)，，∵，∴，即，又∵中，∴或（舍去），則，，∴，∵在和中，，，∴，∴，即，∴，∴．5．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了圓的切線，圓周角定理，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)．（1）連接，，由，可推出，根據(jù)，得到，推出，結(jié)合，即可求解；（2）根據(jù)題意可求出，設(shè)的半徑為，則，在中，，求出，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，又，，，，，，，為的切線；（2）在，，，，，設(shè)的半徑為，則，在中，，，．6．(1)證明見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）連接，根據(jù)切線性質(zhì)以及，可以推出，根據(jù)等角對(duì)等邊得到；（2），理由為：連接，根據(jù)和，可以推出，又利用同弧所對(duì)的圓周角相等得到，可以推知，從而得到；（3）連接，根據(jù)勾股定理和垂徑定理可以求解圓的半徑，再根據(jù)三角函數(shù)求出KG．【詳解】（1）證明：如圖，連接，為切線，，，，，，，；（2）解：，理由為：如圖，連接，，即，，，，，，，；（3）解：如圖，連接，，，則，，設(shè)半徑為，在中，，，，由勾股定理可得：，解得，∵∴∴即∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，圓周角定理，平行線判定，以及等腰三角形判定，熟練掌握定理以及性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，先證明，可得，再由是的切線，可得，從而可得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)H，先用勾股定理求出，再由四邊形為平行四邊形，為直徑，可得，再證明,求出，再證明，求出最后求解即可．【詳解】（1）證明：如解圖①，連接，在中，，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，∵是的切線，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)H，∴，∴在中，∵四邊形為平行四邊形，為直徑，∴，在中，又∵O為的中點(diǎn)，，∴在中，，∴，∵，∴，解得由（1）知，，8．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，根據(jù)，，得出，求出結(jié)果即可；（2）設(shè)半徑為r，即，則，根據(jù)，求出，根據(jù)，，求出，根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∴，∵為的切線，∴，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，即，∴；（2）解：在中，設(shè)半徑為r，即，則，∵，∴，∴，在中，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．9．(1)（1）①②；③（答案不唯一），證明見(jiàn)詳解；(2)．【分析】（1）根據(jù)“過(guò)半徑的外端垂直于半徑的直線是圓的切線”進(jìn)行證明；（2）設(shè)，先通過(guò)求出，再通過(guò)求出，最后再通過(guò)求．【詳解】（1）解：由①②作為條件，③作為結(jié)論證明：，，平分，，，∵，∴，，，，是圓的半徑，是的切線；（2）解：，∴，∴，設(shè)，則，解得，∵，，∴，∴，即，∴∴,∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．10．(1)見(jiàn)詳解；(2)．【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）連接，由菱形的性質(zhì)得出，由，得出，進(jìn)而得出，得出，由，，，進(jìn)而得出是的切線；（2）由為直徑，得出，結(jié)合，得出，再證明，得出，由，求出，，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，四邊形為菱形，，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：如圖2，為直徑，，，，，，，，，，，，，，，，，，．11．(1)為等腰直角三角形，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理的推論可得，然后根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)求出，即可得到是等腰直角三角形；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)求出°，可得，然后解等腰直角三角形求出，進(jìn)而求出，即可．【詳解】（1）解：為等腰直角三角形，證明如下：如圖，∵點(diǎn)E是的內(nèi)心，∴平分平分，∵，，∴，∵，∴，即，∴，∵為直徑，∴，∴為等腰直角三角形；（2）解：連接，如圖，∵為等腰直角三角形，∴，∵的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理的推論、三角形內(nèi)心的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、含30度直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，但難度不大，靈活運(yùn)用各性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．12．(1)；見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，，根據(jù)切線性質(zhì)得出，求出，根據(jù)為的直徑，得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)中位線的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，即可證明結(jié)論．（2）證明，得出，求出，根據(jù)勾股定理求出，最后求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：，理由如下：連接，，∵是的切線，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，負(fù)值舍去，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，中位線定理，平行線的性質(zhì)，熟練掌握切線性質(zhì)和勾股定理，中位線定理是解題的關(guān)鍵．13．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到，證明，推出即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意，設(shè)，則，解直角三角形得到是的中位線，即，進(jìn)而得到，利用勾股定理求出，，證明，利用相似的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵與相切，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵是的半徑，，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，，∴在中，設(shè)，則，∵，，∴是的中位線，∴，∴，在中，由勾股定理可得，，解得：，（舍），∴，，∵，，∴，∴，∴，故的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】此題考查的是圓的基本性質(zhì)、切線性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理，掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)、切線的性質(zhì)和相似三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．14．(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②【分析】（1）連接，根據(jù)垂徑定理，則垂直平分，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，則；再根據(jù)切線的性質(zhì)，，根據(jù)等邊對(duì)等角，等量代換，則，即可；（2）根據(jù)，，則，則，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，，相似三角形的判定，即可；由得，，則，推出，即，根據(jù)等角對(duì)等邊，則，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的三線合一，則，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)和是直角三角形，，求出的值，根據(jù)勾股定理，，求出，最后根據(jù)，求出，即可．【詳解】（1）證明，如下：連接，

∵為切線，∴，∵，且為直徑，∴垂直平分，∴，∴，∵，∴，∵為的切線，∴，∴，∴，∴為的切線．（2）∵，∴，∴