數(shù)學(xué)（二）-2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺攻略（原卷版）

第二輯平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)………………………01一次函數(shù)………………………10反比例函數(shù)……………………20二次函數(shù)………………………31函數(shù)綜合………………………420101平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)考點考情分析平面上確定物體的位置的方法主要以選擇題、填空題為主，也可能在一些綜合應(yīng)用題的某一小問中出現(xiàn)。平面直角坐標(biāo)系以選擇題、填空題為主，也可能在解答題中作為一部分出現(xiàn)，如在函數(shù)與幾何圖形的綜合題中，利用平面直角坐標(biāo)系來求解相關(guān)問題。函數(shù)基礎(chǔ)知識選擇題、填空題?？疾楹瘮?shù)的基本概念、性質(zhì)、圖象等基礎(chǔ)知識；解答題則更注重函數(shù)的綜合應(yīng)用?？疾榉种担悍种翟?0-15分之間，具體分值因地區(qū)和試卷結(jié)構(gòu)而異。考查形式：選擇題、填空和解答題均有。命題趨勢：與實際問題結(jié)合更緊密；跨學(xué)科融合增強(qiáng)；注重考查數(shù)形結(jié)合思想，要求學(xué)生能將函數(shù)圖象與解析式相互轉(zhuǎn)化，通過圖象分析函數(shù)性質(zhì)，利用函數(shù)性質(zhì)解決圖象問題；可能會出現(xiàn)條件開放、結(jié)論開放或解題方法開放的題目；常與幾何圖形結(jié)合。知識點1：平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫兩條相互垂直，原點重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系．水平的數(shù)軸稱為橫軸或x軸，取向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱為縱軸或y軸，取向上為正方向；兩坐標(biāo)軸的交點稱為平面直角坐標(biāo)系的原點．知識點2：象限x軸y軸將坐標(biāo)平面分成了四個象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三個部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。知識點3：坐標(biāo)系內(nèi)點的特征（1）x軸上的點的縱坐標(biāo)為0；y軸上的點的橫坐標(biāo)為0。（2）在任意的兩點中，如果兩點的橫坐標(biāo)相同，則兩點的連線平行于縱軸（兩點的橫坐標(biāo)不為零）；如果兩點的縱坐標(biāo)相同，則兩點的連線平行于橫軸（兩點的縱坐標(biāo)不為零）。（3）點到軸及原點的距離：點到x軸的距離為|y|；點到y(tǒng)軸的距離為|x|；點到原點的距離為x的平方加y的平方的算術(shù)平方根。（4）一三象限角平分線上的點橫縱坐標(biāo)相等。（5）二四象限角平分線上的點橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。知識點4：坐標(biāo)的平移在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果把一個圖形各個點的橫坐標(biāo)都加(或減去)一個正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就把原圖形向右(左)平移a個單位長度:如果把它各個點的縱坐標(biāo)都加(或減去)一個正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就把原圖形向上(下)平移a個單位長度點的平移規(guī)律：左右平移一縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)左減右加;上下平移-橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)上加下減知識點5：函數(shù)的相關(guān)概念：變量：在一個變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量.常量：在一個變化過程中，數(shù)值始終不變的量稱為常量.函數(shù)的定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù).函數(shù)的取值范圍：使函數(shù)有意義的自變量的全體取值，叫做自變量的取值范圍.確定函數(shù)取值范圍的方法：1）函數(shù)解析式為整式時，字母取值范圍為全體實數(shù)；2）函數(shù)解析式含有分式時，分式的分母不能為零；3）函數(shù)解析式含有二次根式時，被開方數(shù)大于等于零；4）函數(shù)解析式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不能為零；5）實際問題中函數(shù)取值范圍要和實際情況相符合，使之有意義.函數(shù)值概念：如果在自變量取值范圍內(nèi)給定一個值a，函數(shù)對應(yīng)的值為b，那么b叫做當(dāng)自變量取值為a時的函數(shù)值.函數(shù)解析式：用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式.函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)與解析式之間的關(guān)系：1）將點的坐標(biāo)代入到解析式中，如解析式兩邊成立，則點在解析式上，反之，不在.2）兩個函數(shù)圖形交點的坐標(biāo)就是這兩個解析式所組成的方程組的解.知識點6：函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點解析法：兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運(yùn)算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法.列表法：把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法.圖象法：用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法.優(yōu)點缺點解析法準(zhǔn)確反映整個變化過程中自變量與函數(shù)的關(guān)系求對應(yīng)值是要經(jīng)過比較復(fù)雜的計算，而且實際問題中有的函數(shù)值不一定能用解析式表示列表法自變量和與它對應(yīng)的函數(shù)值數(shù)據(jù)一目了然所列對應(yīng)數(shù)值個數(shù)有限，不容易看出自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，有局限性圖象法形象的把自變量和函數(shù)值的關(guān)系表示出來圖象中只能得到近似的數(shù)量關(guān)系真題1（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC各頂點的坐標(biāo)分別是O0,0，A1,2，B3,3，C5,0，則四邊形A．14 B．11 C．10 D．9真題2（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，O是坐標(biāo)原點，菱形ABOC的頂點B在x軸的負(fù)半軸上，頂點C的坐標(biāo)2為3,4，則頂點A的坐標(biāo)為（

）A．-4,2 B．-3,4 C．-真題3（2024·貴州·中考真題）為培養(yǎng)青少年的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)思維，某校創(chuàng)建了“科技創(chuàng)新”社團(tuán)．小紅將“科”“技”“創(chuàng)”“新”寫在如圖所示的方格紙中，若建立平面直角坐標(biāo)系，使“創(chuàng)”“新”的坐標(biāo)分別為-2,0，0,0，則“技”所在的象限為（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限真題4（2024·江蘇徐州·中考真題）小明的速度與時間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列情境與之較為相符的是（

）A．小明坐在門口，然后跑去看鄰居家的小狗，隨后坐著逗小狗玩B．小明攀巖至高處，然后順著桿子滑下來，隨后躺在沙地上休息C．小明跑去接電話，然后坐下來電話聊天，隨后步行至另一個房間D．小明步行去朋友家，敲門發(fā)現(xiàn)朋友不在家，隨后步行回家真題5（2024·江蘇南通·中考真題）甲、乙兩人沿相同路線由A地到B地勻速前進(jìn)，兩地之間的路程為20km．兩人前進(jìn)路程s（單位：km）與甲的前進(jìn)時間t（單位：h）之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示．根據(jù)圖象信息，下列說法正確的是（

A．甲比乙晚出發(fā)1h B．乙全程共用2hC．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5真題6（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，一個圓柱體水槽底部疊放兩個底面半徑不等的實心圓柱體，向水槽勻速注水．下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時間t的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B． C． D．真題7（2024·江蘇宿遷·中考真題）點Px2+1,-3真題8（2024·四川·中考真題）如圖，在一個平面區(qū)域內(nèi)，一臺雷達(dá)探測器測得在點A，B，C處有目標(biāo)出現(xiàn)．按某種規(guī)則，點A，B的位置可以分別表示為1,90°,(2,240°)，則點預(yù)測1（2025·浙江杭州·一模）如圖為冰壺比賽場地示意圖，由以P為圓心、半徑分別為a，2a，3a，4a的同心圓組成．三只冰壺A,B,C的位置如圖所示，∠APB=120°，CP的延長線平分∠APB，冰壺A．3a,120° B．4a,200° C．預(yù)測2（2025·遼寧鞍山·一模）在化學(xué)課上用PH值表示溶液酸堿性的強(qiáng)弱程度，當(dāng)PH>7時溶液呈堿性，當(dāng)PH<7時溶液呈酸性．若將鹽酸溶液加水稀釋，那么在下列圖象中，能大致反映鹽酸溶液的PH值與所加水的體積V之間對應(yīng)關(guān)系的是（A．

B．

C．

D．

預(yù)測3（2025·河南周口·一模）在物理實驗課上，同學(xué)們利用如圖1所示的裝置做了關(guān)于冰熔化的實驗，他們將實驗數(shù)據(jù)記錄后，繪制了如圖2所示的圖象，則下列說法正確的是（）A．實驗開始時，冰塊的溫度為0℃B．加熱8?C．冰塊熔化后，繼續(xù)加熱3?minD．冰塊熔化過程持續(xù)了8預(yù)測4（2025·山東泰安·一模）點Aa-2,a+3A．a(chǎn)<2 B．C．a(chǎn)<-3 D．預(yù)測5（2025·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠C=45°，邊BC在x軸上，頂點A，B的坐標(biāo)分別為0,3和-4,0，F(xiàn)為OB的中點，將平行四邊形BDEF沿x軸向右平移．當(dāng)點D落在AC上時，點A．1,2 B．4,32 C．2,2 D預(yù)測6（2024·山西太原·一模）2025年第九屆亞洲冬季運(yùn)動會將在哈爾濱舉行．如圖是本屆亞冬會的會徽“超越”，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，若A,C兩點的坐標(biāo)分別為2,1,0,2預(yù)測7（2025·河南周口·一模）如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4cm，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿折線A→B→C運(yùn)動，同時點Q從點B出發(fā)，以12cm/s的速度沿線段BC運(yùn)動．當(dāng)點P到達(dá)點C時，P，Q

(1)直接寫出y1關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x(2)在圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y1的圖象，并寫出函數(shù)y(3)結(jié)合函數(shù)y2=2x(x>0)押題1在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P-3,a2+1A．一 B．二 C．三 D．四押題2如圖，若小紅的坐標(biāo)為2,1，小亮的坐標(biāo)為1,-1，則小華的坐標(biāo)為（

）A．-2,1 B．-1,-1 C．-1,2押題3下列各圖象中，y是x的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．押題4將盛有部分水的小圓柱形水杯放入事先沒有水的大圓柱形水杯中，拿去接水時，讓水先進(jìn)入大圓柱形水杯，如圖所示，則小水杯水面的高度hcm與注水時間tmin的函數(shù)圖象大致為圖中的（A． B．C． D．押題5在平面直角坐標(biāo)系中，點P1,2到x軸的距離為押題6如圖1，在△ABC中，AB=AC．動點P從△ABC的頂點A出發(fā)，以2?cm/s的速度沿A→B→C→A勻速運(yùn)動回到點A．圖2是點P押題7函數(shù)y=-2x+3的自變量押題8科學(xué)興趣小組利用不同材料制作了A，B兩種太陽能電池板，記錄了在一定條件下，當(dāng)光照強(qiáng)度為x（單位：klx）時，A電池板的輸出電壓y1（單位：V）和B電池板的輸出電壓y1（單位：x0102030405060708090100y0m3.05.46.0y05.0通過分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，可以用函數(shù)刻畫y1與x，y2與(1)①y1可以看作是關(guān)于x的正比例函數(shù)，則m的值為______②當(dāng)光照強(qiáng)度越大時，太陽能電池板的輸出電壓越高．請選出y2中不符合這條規(guī)律的數(shù)據(jù)，在表格中劃“×”(2)結(jié)合（1）的研究結(jié)果，在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出y1，y(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題：①當(dāng)光照強(qiáng)度為55klx時，B電池板的輸出電壓與A電池板的輸出電壓之差約為______V②如果想使兩塊電池板的輸出電壓之和不低于6.5V，則光照強(qiáng)度應(yīng)至少達(dá)到______klx0202一次函數(shù)考點考情分析一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象選擇題?？疾閷σ淮魏瘮?shù)基本性質(zhì)的理解；填空題可能涉及求函數(shù)解析式、與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)等；解答題則注重綜合應(yīng)用，常與方程、不等式、幾何圖形結(jié)合。一次函數(shù)與方程（組）﹑不等式選擇題可能考查一次函數(shù)與方程組、不等式關(guān)系的基本概念；填空題常涉及根據(jù)給定條件求一次函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而解決相關(guān)方程組或不等式問題；解答題則注重綜合應(yīng)用。用一次函數(shù)解決實際問題主要以解答題為主，也可能在選擇題或填空題中出現(xiàn)相關(guān)的簡單應(yīng)用問題。解答題通常會結(jié)合實際情境，要求學(xué)生完整地寫出解題過程，包括建立函數(shù)模型、分析函數(shù)性質(zhì)和得出結(jié)論等?？疾榉种担涸谥锌贾兴挤种狄话惚３衷?%-10%左右，具體分值因地區(qū)和試卷結(jié)構(gòu)而異?？疾樾问剑侯}型靈活多樣，選擇題可能會考查一次函數(shù)的基本性質(zhì)、圖象特征等基礎(chǔ)知識點；填空題常涉及求函數(shù)解析式、與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)等；解答題則以實際應(yīng)用和綜合應(yīng)用為主。命題趨勢：注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，如建模思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等；跨學(xué)科融合與創(chuàng)新：可能會出現(xiàn)與物理、地理等學(xué)科知識相結(jié)合的題目。知識點1：一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象特征正比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）必過點（0,0）、（1，k）.一次函數(shù)y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）必過點（0，b）、（-bk，0增減性k＞0k＜0從左向右看圖象呈上升趨勢，y隨x的增大而增大從左向右看圖象呈下降趨勢，y隨x的增大減小圖像b＞0b＝0b＜0b＞0b＝0b＜0經(jīng)過象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四與y軸交點位置b＞0，交點在y軸正半軸上；b=0，交點在原點；b＜0，交點在y軸負(fù)半軸上圖像關(guān)系一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象平移得到：當(dāng)b>0時，向上平移b個單位長度；當(dāng)b<0時，向下平移|b|個單位長度平移口訣：左加有減，上加下減高分技巧：若兩直線平行，則；若兩直線垂直，則知識點2：用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式確定一次函數(shù)解析式的方法：1）依據(jù)題意中等量關(guān)系直接列出解析式；2）待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟：1）設(shè)出函數(shù)的一般形式y(tǒng)=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；2）根據(jù)已知條件(自變量與函數(shù)的對應(yīng)值)代入表達(dá)式得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；3）解方程或方程組求出k，b的值；4）將所求得的k，b的值代入到函數(shù)的一般形式中，從而得到一次函數(shù)解析式.知識點3：一次函數(shù)與方程（組）﹑一元一次不等式（一）一次函數(shù)與一元一次方程思路：由于任何一個一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0(a、b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時，求自變量的值.從“數(shù)”上看：方程ax+b=0（a≠0）的解?函數(shù)y=ax+b（a≠0）中，y=0時對應(yīng)的x的值從“形”上看：方程ax+b=0(a≠0）的解?函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).（二）一次函數(shù)與二元一次方程組思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常數(shù)，且m≠0，n≠0）都能寫成y=ax+b（a、b為常數(shù)，且a≠0）的形式.因此，一個二元一次方程對應(yīng)一個一次函數(shù)，又因為一個一次函數(shù)對應(yīng)一條直線，所以一個二元一次方程也對應(yīng)一條直線，進(jìn)一步可知，一個二元一次方程組對應(yīng)兩個一次函數(shù)，因而也對應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看：解二元一次方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時，兩個函數(shù)的值相等，以及這兩個函數(shù)值是何值；從“形”的角度看：解二元一次方程組相當(dāng)于確定兩條直線的交點坐標(biāo)，一般地，如果一個二元一次方程組有唯一解，那么這個解就是方程組對應(yīng)的兩條直線的交點坐標(biāo).（三）一次函數(shù)與一元一次不等式思路：關(guān)于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直線y=kx+b和x軸的交點為分界點，x軸上(下)方的圖象所對應(yīng)的x的取值范圍.從函數(shù)的角度看：解一元一次不等式就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自變量的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看：就是確定直線y=ax+b（a≠0）在x軸上（或下）方部分的橫坐標(biāo)滿足的條件.高分技巧：1.求直線與另一直線的交點，就是在求兩條直線對應(yīng)解析式聯(lián)立所得方程（組）的交點；2、由函數(shù)圖象直接寫出不等式解集的方法歸納：①根據(jù)圖象找出交點橫坐標(biāo)，②不等式中不等號開口朝向的一方，圖象在上方，對應(yīng)交點的左邊或右邊符合，則x取對應(yīng)一邊的范圍。真題1（2024·山西·中考真題）已知點Ax1,y1,Bx2,yA．y1>y2 B．y1<真題2（2024·湖南長沙·中考真題）對于一次函數(shù)y=2x-A．它的圖象與y軸交于點0,-1 B．y隨x的增大而減小C．當(dāng)x>12時，真題3（2024·青海·中考真題）如圖，一次函數(shù)y=2x-3的圖象與x軸相交于點A，則點A關(guān)于A．-32,0 B．32,0 C真題4（2024·廣東·中考真題）已知不等式kx+b<0的解集是x<2，則一次函數(shù)A．B．C． D．真題5（2024·吉林長春·中考真題）區(qū)間測速是指在某一路段前后設(shè)置兩個監(jiān)控點，根據(jù)車輛通過兩個監(jiān)控點的時間來計算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經(jīng)過一段長度為20千米的區(qū)間測速路段，從該路段起點開始，他先勻速行駛112小時，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時間忽略不計），當(dāng)他到達(dá)該路段終點時，測速裝置測得該輛汽車在整個路段行駛的平均速度為100千米/時．汽車在區(qū)間測速路段行駛的路程y（千米）與在此路段行駛的時間x(1)a的值為________；(2)當(dāng)112≤x≤(3)通過計算說明在此區(qū)間測速路段內(nèi)，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時）真題6（2024·廣東廣州·中考真題）一個人的腳印信息往往對應(yīng)著這個人某些方面的基本特征．某數(shù)學(xué)興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長數(shù)據(jù)，通過對數(shù)據(jù)的整理和分析，發(fā)現(xiàn)身高y和腳長x之間近似存在一個函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：腳長x…232425262728…身高y…156163170177184191…(1)在圖1中描出表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(x(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從y=ax+b((3)如圖2，某場所發(fā)現(xiàn)了一個人的腳印，腳長約為25.8cm，請根據(jù)（2預(yù)測1（2025·湖南長沙·一模）若一次函數(shù)y=kx+A．k>0,b>0 B．k>0,b<0預(yù)測2（23-24八年級下·全國·期末）直線y=-2x+2向下平移1A．y=-2x+3 B．y=-2x+1預(yù)測3（2024·河北石家莊·一模）某個一次函數(shù)的圖象與直線y=12x+3平行，與x軸，y軸的交點分別為A，B，并且過點-2,-4，則在線段AB上（包括點AA．3個 B．4個 C．5個 D．6個預(yù)測4（2025·廣西貴港·一模）小林在學(xué)習(xí)了摩擦力的相關(guān)知識后，在斜面上拉動木塊進(jìn)行實驗．如圖用彈簧測力計拉著重為12N的木塊分別沿傾斜程度不同的斜面向上做勻速直線運(yùn)動．經(jīng)測算，在彈性范圍內(nèi)，彈簧測力計的讀數(shù)F（N）是裝置高度h（m）的一次函數(shù)．當(dāng)h=0m時，F(xiàn)為2N；當(dāng)h=0.2m時，F(xiàn)為4NA．45m B．34m C．預(yù)測5（24-25八年級下·福建廈門·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一束光經(jīng)過A-6,2照射在平面鏡(x軸)上的點B-2,0處，其反射光線BC交y軸于點C0,1，再被平面鏡y軸反射得光線CD（根據(jù)物理知識預(yù)測6（2025·吉林·一模）【問題背景】古法造紙術(shù)是中國古代四大發(fā)明之一，其核心工藝含有兩個環(huán)節(jié)，一是蒸煮脫膠，二是自然干燥．【實驗操作】某文化遺產(chǎn)保護(hù)小組在研究古法造紙工藝時，記錄關(guān)鍵環(huán)節(jié)數(shù)據(jù)，旨在通過數(shù)學(xué)建模揭示溫度與時間、濕度與時間的內(nèi)在聯(lián)系．環(huán)節(jié)一：蒸煮脫膠將樹皮等原料在溶液中蒸煮，記錄蒸煮過程中溫度T℃與時間t時間t01234溫度T2030405060環(huán)節(jié)二：自然干燥紙張成型后需自然干燥，記錄干燥過程中濕度H%與時間t時間t02468濕度H8070605040【分析數(shù)據(jù)】如圖1，根據(jù)表中T與t的數(shù)值，在平面直角坐標(biāo)系中描出了各點．如圖2，根據(jù)表中H與t的數(shù)值，在平面直角坐標(biāo)系中描出了各點．【建立模型】觀察上述各點的分布規(guī)律，從y=kx+bk≠0和y=kxk≠0【問題解決】古法造紙術(shù)的核心工藝要求：①蒸煮脫膠溫度需在45℃以上（包含45℃）至少持續(xù)②自然干燥環(huán)節(jié)必須在蒸煮脫膠環(huán)節(jié)完成后開始，蒸煮脫膠和自然干燥總時間為13h．③自然干燥后的紙張濕度需低于45%根據(jù)核心工藝要求，求蒸煮脫膠環(huán)節(jié)的最短時間，并驗證自然干燥環(huán)節(jié)是否滿足濕度要求．預(yù)測7（24-25八年級上·廣東茂名·階段練習(xí)）兩個透明的圓柱容器和一根裝有節(jié)流閥（控制水的流速）的軟管，制作了類似“漏刻”的簡易計時裝置（如圖2）．在甲容器里加滿水，此時水面高度為30cm．若由于裝置的原因，甲容器內(nèi)的水無法全部流出，當(dāng)水面高度剛好是1cm時，停止流水，此時停止計時．上午8：00開始放水后，甲容器的水面高度y(cm)和流水時間x(min)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：記錄時間8：008：108：258：308：40流水時間x(min)010253040水面高度y(cm)3028252422(1)綜合實踐小組在平面直角坐標(biāo)系中描出了以表中各組對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，并用光滑的曲線（包括直線）把描出的點連接起來（如圖3），發(fā)現(xiàn)可以用一次函數(shù)近似地刻畫甲容器的水面高度y(cm)與流水時間x(min)的關(guān)系，根據(jù)以上信息，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．(2)當(dāng)時間正好是9：(3)剛好停止流水時是幾時幾分？預(yù)測8（23-24八年級下·陜西西安·期末）在測浮力的實驗中，將一長方體石塊由玻璃器皿的上方，向下緩慢移動浸入水里的過程中，彈簧測力計的示數(shù)F拉力(N(1)求AB所在直線的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)石塊下降的高度為8cm，求此刻彈簧測力計的示數(shù)F預(yù)測9（2025·北京通州·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，對于平面內(nèi)點P和y軸上點Q，給出如下定義：將點P繞著點Q旋轉(zhuǎn)90°得到的對應(yīng)點P'恰好在⊙O上，稱點P為⊙O(1)已知點Q的坐標(biāo)為0,1．①如圖1，在點P12,1,P21,1,P3②如圖2，若直線y=-x+b上存在點P，使點P為⊙O的“(2)如圖3，點Q0,t,M-1,2,N2,2．若線段MN上存在點P，使點P押題1在一次函數(shù)y=4-7x中，k的值是（A．-4 B．4 C．-7 D押題2一次函數(shù)y=kx+b的x與x．．．-2-012．．．y．．．-7-159．．．A．y的值隨x值的增大而減小 B．該函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限C．不等式kx+b>1的解集為x>0 D．關(guān)于x押題3某吊繩最大承受拉力對應(yīng)的重物質(zhì)量不超過8噸．當(dāng)沒有吊起任何重物時，吊繩的自然長度是5米，通過實驗測定，每吊起1噸重物，吊繩會伸長0.3米．在吊繩的彈性限度內(nèi)，吊起重物后吊繩的長度y（單位：米）與所吊重物的質(zhì)量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系式為（

）A．y=0.3x+5（0≤C．y=0.3x-5（押題4圖中兩直線l1，l2的交點坐標(biāo)可以看作下列方程組的解的是（A．x-y=12x-y=1 B押題6已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點A1,A．k<0 B．k>0 C．b<0押題7已知直線y=m-1x+押題8科學(xué)家通過實驗發(fā)現(xiàn)，聲音在空氣中的傳播速度隨溫度的變化而變化，且滿足某種函數(shù)關(guān)系．某興趣小組為探究空氣的溫度x（單位：℃）與聲音在空氣中傳播的速度y（單位：米秒）之間的關(guān)系，在標(biāo)準(zhǔn)實驗室里進(jìn)行了多次實驗．下表為實驗時記錄的一些數(shù)據(jù)．溫度x…05101520…聲音在空氣中傳播的速度y/（米/秒）…331334337340343…(1)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，描出表中數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點．(2)根據(jù)描點，發(fā)現(xiàn)這些點大致位于同一個函數(shù)的圖象上，則這個函數(shù)的類型最有可能是______（填“一次函數(shù)”或“二次函數(shù)”），求出該函數(shù)的解析式．(3)某地春季的室外溫度是25℃，小明在看到閃電2押題9綜合與探索【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，過點A作AD⊥l交于點D，過點B作BE⊥l交于點E【遷移應(yīng)用】如圖2，在直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=2x+4分別與y軸，x軸交于點(1)直接寫出OA=______，OB=___(2)將直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得直線AE，求出直線AE解析式：小明的解題思路是：在第二象限構(gòu)造等腰直角△ABE，使得∠BAE=90°，AB=AE，根據(jù)K型全等和坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出點E的坐標(biāo)為______；通過A，E(3)如圖3，將直線l1繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到l2，求0303反比例函數(shù)考點考情分析反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)選擇題常考查反比例函數(shù)的基本性質(zhì)、圖象特征、k的幾何意義等基礎(chǔ)知識點；填空題可能涉及求函數(shù)解析式、根據(jù)性質(zhì)比較大小、利用k的幾何意義求面積等；解答題多與一次函數(shù)結(jié)合，考查交點坐標(biāo)、函數(shù)解析式的確定，以及根據(jù)函數(shù)圖象解不等式等，還可能與幾何圖形綜合，利用反比例函數(shù)解決幾何圖形中的計算問題。用反比例函數(shù)解決實際問題多以解答題形式出現(xiàn)，要求學(xué)生完整地寫出建立模型、求解和作答的過程。考查分值：8-12分左右，具體分值因地區(qū)和試卷結(jié)構(gòu)而異?？疾樾问剑哼x擇題、填空題會側(cè)重考查反比例函數(shù)的基本概念、性質(zhì)、k的幾何意義等基礎(chǔ)知識；解答題則以函數(shù)綜合應(yīng)用和實際問題為主。命題趨勢：注重考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想；跨學(xué)科融合與創(chuàng)新：與物理、化學(xué)等學(xué)科的融合會更加緊密，體現(xiàn)學(xué)科間的綜合性。知識點1：反比例函數(shù)的概念及其圖象﹑性質(zhì)（一）反比例函數(shù)的概念（1）定義：形如y＝eq\f(k,x)(k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，k叫做比例系數(shù)，自變量的取值范圍是非零的一切實數(shù)．（2）形式：反比例函數(shù)有以下三種基本形式：①y＝eq\f(k,x)；②y=kx-1;③xy=k.(其中k為常數(shù)，且k≠0)（二）反比例函數(shù)的圖象k的符號圖象經(jīng)過象限y隨x變化的情況k>0圖象經(jīng)過第一、三象限（x、y同號）每個象限內(nèi)，函數(shù)y的值隨x的增大而減小.k>0圖象經(jīng)過第二、四象限（x、y異號）每個象限內(nèi)，函數(shù)y的值隨x的增大而增大.（三）反比例函數(shù)的圖象特征（1）由兩條曲線組成，叫做雙曲線；（2）圖象的兩個分支都無限接近x軸和y軸，但都不會與x軸和y軸相交；（3）圖象是中心對稱圖形，原點為對稱中心；也是軸對稱圖形，2條對稱軸分別是平面直角坐標(biāo)系一、三象限和二、四象限的角平分線（四）待定系數(shù)法求解析式只需要知道雙曲線上任意一點坐標(biāo)，設(shè)函數(shù)解析式，代入求出反比例函數(shù)系數(shù)k即可.高分技巧：反比例函數(shù)值大小的比較時，首先要判斷自變量的取值是否同號，即是否在同一個象限內(nèi)，若不在則不能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行比較，可以畫出草圖，直觀地判斷.知識點2：反比例系數(shù)的幾何意義及與一次函數(shù)的綜合（一）系數(shù)k的幾何意義（1）意義：從反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|,以該點、一個垂足和原點為頂點的三角形的面積為1/2|k|.（2）常見的面積類型：高分技巧：已知相關(guān)面積，求反比例函數(shù)的表達(dá)式，注意若函數(shù)圖象在第二、四象限，則k＜0.（二）與一次函數(shù)綜合（1）確定交點坐標(biāo)：【方法一】已知一個交點坐標(biāo)為（a,b），則根據(jù)中心對稱性，可得另一個交點坐標(biāo)為（-a,-b）.【方法二】聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，利用方程思想求解.（3）在同一坐標(biāo)系中判斷函數(shù)圖象：充分利用函數(shù)圖象與各字母系數(shù)的關(guān)系，可采用假設(shè)法，分k＞0和k＜0兩種情況討論，看哪個選項符合要求即可.也可逐一選項判斷、排除.（4）比較函數(shù)值的大?。褐饕ㄟ^觀察圖象，圖象在上方的值大，圖象在下方的值小，結(jié)合交點坐標(biāo)，確定出解集的范圍.知識點3：反比例函數(shù)的實際應(yīng)用一般解題步驟：（1）題意找出自變量與因變量之間的乘積關(guān)系；（2設(shè)出函數(shù)表達(dá)式；（3）依題意求解函數(shù)表達(dá)式；（4）根據(jù)反比例函數(shù)的表達(dá)式或性質(zhì)解決相關(guān)問題.真題1（2024·黑龍江大慶·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=kx-kkA．B．C．D．真題2（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點A為反比例函數(shù)y=-1xx<0圖象上的一點，連接AO，過點O作OA的垂線與反比例y=4A．12 B．14 C．33真題3（2024·江蘇徐州·中考真題）若點A-3,a、B1,b、C2,c都在反比例函數(shù)y=-真題4（2024·山西·中考真題）機(jī)器狗是一種模擬真實犬只形態(tài)和部分行為的機(jī)器裝置，其最快移動速度vm/s是載重后總質(zhì)量m(kg)的反比例函數(shù)．已知一款機(jī)器狗載重后總質(zhì)量m=60kg時，它的最快移動速度v=6真題5（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為5,0，2,6，過點B作BC∥x軸交y軸于點C，點D為線段AB上的一點，且BD=2AD．反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過點真題6（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOCB為菱形，tan∠AOC=43，且點A落在反比例函數(shù)y=3x

真題7（2024·福建·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=kx的圖象與⊙O交于A,B兩點，且點A,真題8（2024·重慶·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=6，BC=8，點P為AB上一點，AP=x，過點P作PQ∥BC交AC于點Q．點P，Q的距離為y(1)請直接寫出y1，y2分別關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y1，y2的圖象；請分別寫出函數(shù)y1(3)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y1>y2時真題9（2024·四川涼山·中考真題）如圖，正比例函數(shù)y1=12x(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)把直線y1=12x向上平移3個單位長度與y2=預(yù)測1（2025·貴州遵義·一模）若點Ax1,-5,Bx2A．0<x1<C．x2<0<x預(yù)測2（2025·江蘇淮安·一模）如圖，已知點A與點B分別在反比例函數(shù)y=1xx>0與y=-4A．12 B．14 C．2 D預(yù)測3（2025·山西陽泉·二模）已知反比例函數(shù)y=3x，下列關(guān)于它的圖象A．圖象位于第二、四象限 B．圖象經(jīng)過點2C．圖象越來越靠近坐標(biāo)軸，最終相交 D．y隨x的增大而減小預(yù)測4（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）在如圖所示的電路圖中，當(dāng)開關(guān)閉合以后，滑動變阻器從左往右滑動的過程中，電流表的示數(shù)IA與RΩ關(guān)系用圖象可近似表示為（A． B．C． D．預(yù)測5（2025·陜西西安·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=mx(m<0)與反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的圖象相交于A、C兩點，過點A作AB⊥x軸于點B預(yù)測6（2025·北京西城·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點Mm,-1和Nn,1都在函數(shù)y=預(yù)測7（2025·山東聊城·一模）某同學(xué)學(xué)習(xí)了“函數(shù)與變量之間的關(guān)系”相關(guān)知識后，參考教材設(shè)計出了如下數(shù)據(jù)x…--123…y…--42a…(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出其對應(yīng)函數(shù)的解析式及a的值，并在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象；(2)如果點P4,?1是該函數(shù)圖象在第一象限上的一點，過點P作x軸的平行線PQ，將PQ上方的函數(shù)圖象沿著直線PQ(3)若經(jīng)過點M1,?4,?N2,?2預(yù)測8（2025·寧夏固原·二模）雙曲線y=kxk≠0(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)觀察圖象，直接寫出不等式-1(3)設(shè)直線AB與x軸交于點C，若P為x軸上一點，當(dāng)△APC的面積為3時，求點P押題1已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．①函數(shù)解析式為I=36R；②當(dāng)R=6Ω時，I=4A；③當(dāng)I≤10A時，A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④押題2如圖，△AOC的頂點A和邊AC的中點B都在反比例函數(shù)y=kx(k>0)的圖象上，若△A．3 B．23 C．33 D押題3若雙曲線y=mx與直線y=nx的一個交點坐標(biāo)為(-1,2)，則關(guān)于xA．-1<x<1 B．C．-1<x<0或x>1 D押題4如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，線段AB在x軸上，點D在反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象上，線段AD與y軸的正半軸相交于點E，若DE=3AE，且△A．9 B．12 C．18 D．24押題5若點Ax1,-1,Bx2,1，Cx3,5都在反比例函數(shù)押題6在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強(qiáng)P（單位：Pa）與它的受力面積S（單位：m2）是反比例函數(shù)關(guān)系，其函數(shù)圖象如圖所示．當(dāng)S=0.2m2時，押題7閱讀材料：在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的性質(zhì)時，通過圖象直觀感受到反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．小明利用代數(shù)方法進(jìn)行了推導(dǎo)．證明：在反比例函數(shù)y=kxk則點A關(guān)于原點的對稱點B的坐標(biāo)為-a∵-a∴點B也在反比例函數(shù)y=∵點A是反比例函數(shù)y=kx∴反比例函數(shù)y=問題解決：下面我們來研究一個新函數(shù)y=(1)試運(yùn)用閱讀材料提供的方法，證明函數(shù)y=3x的圖象關(guān)于(2)已知點P(x,y1),Q(2,y(3)已知函數(shù)y=x-2的圖象在函數(shù)押題8綜合與實踐-項目式學(xué)習(xí)【項目主題】學(xué)科融合-用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界．【項目背景】學(xué)習(xí)完相似三角形的性質(zhì)后，某學(xué)?？茖W(xué)小組的同學(xué)們嘗試用數(shù)學(xué)的知識和方法來研究凸透鏡成像規(guī)律．【項目素材】素材一：凸透鏡成像中，光路圖的規(guī)律：通過凸透鏡中心的光線不發(fā)生改變；平行于主光軸的光線經(jīng)過折射后經(jīng)過焦點．素材二：設(shè)u表示物體到凸透鏡的距離，v表示像到凸透鏡的距離，f表示凸透鏡的焦距（凸透鏡中心到焦點之間的距離），小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn)了u，v和f之間在成實像時存在著關(guān)系：v【項目任務(wù)】根據(jù)項目素材解決問題：任務(wù)一：如圖，AB為物體，點O為凸透鏡MN的中心，入射光線AC∥主光軸，折射光線CA'經(jīng)過焦點D，A'B'為任務(wù)二：已知凸透鏡MN的焦距為8cm，物體AB的高度為6cm，當(dāng)物體到凸透鏡的距離為xcm（x>8）時，測量物體的成像A'B(1)請你利用所學(xué)的知識求出y與x的關(guān)系式．(2)當(dāng)x>8時，y隨x的增大而________（填“增大”或“減小”0404二次函數(shù)考點考情分析二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)選擇題?？疾槎魏瘮?shù)的基本性質(zhì)、圖象特征、系數(shù)與圖象的關(guān)系等基礎(chǔ)知識；填空題可能涉及求函數(shù)的頂點坐標(biāo)、對稱軸、最值，或根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)的值等；解答題則以綜合應(yīng)用為主。二次函數(shù)與一元二次方程選擇題?？疾槎魏瘮?shù)與一元二次方程的基本概念、性質(zhì)以及簡單的應(yīng)用，如根據(jù)函數(shù)圖象判斷方程根的情況；填空題可能涉及根據(jù)方程根的條件求函數(shù)中的參數(shù)值，或者利用函數(shù)圖象求不等式的解集等；解答題則以綜合應(yīng)用為主。用二次函數(shù)解決實際問題主要以解答題形式出現(xiàn)，也可能在選擇題或填空題中有所涉及。解答題通常會設(shè)置多個小問，逐步引導(dǎo)學(xué)生分析和解決問題，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和應(yīng)用能力。考查分值：分值在8-12分之間，具體分值因地區(qū)和試卷結(jié)構(gòu)而異?？疾樾问剑哼x擇題、填空題會考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)、圖象特征等基礎(chǔ)知識；解答題則以綜合應(yīng)用為主。命題趨勢：函數(shù)本質(zhì)考查更深入；動態(tài)問題靈活多變；跨模塊融合更廣泛；高階思維考查有梯度。知識點1:二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．知識點2：二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．（2）頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點坐標(biāo)是（h，k）．（3）交點式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)，a≠0．知識點3：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對稱軸x=–頂點（–，）a的符號a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當(dāng)x=–時，y最小值=當(dāng)x=–時，y最大值=最點拋物線有最低點拋物線有最高點增減性當(dāng)x<–時，y隨x的增大而減?。划?dāng)x>–時，y隨x的增大而增大當(dāng)x<–時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時，y隨x的增大而減小知識點4：拋物線的平移二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據(jù)頂點之間的平移求出變化后的解析式．知識點5：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．3）（1）b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點；（2）b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；（3）b2–4ac<0?方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點．知識點6：二次函數(shù)圖象與系數(shù)a、b、c的關(guān)系1、系數(shù)a、b、c的作用a的特征與作用b的特征與作用(a與b“左同右異”）c的特征與作用2、二次函數(shù)圖象題符號判斷類問題大致分為以下幾種基本情形∶①a、b、c單個字母的判斷，a由開口判斷，b由對稱軸判斷（左同右異），c由圖象與y軸交點判斷;②含有a、b兩個字母時，考慮對稱軸;③含有a、b、c三個字母，且a和b系數(shù)是平方關(guān)系，給x取值，結(jié)合圖象判斷，例如∶二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)x=1時，y=a+b+c，當(dāng)x=-1時，y=a-b+c，當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c當(dāng)x=-2時，y=4a-2b+c;另：含有a、b、c三個字母，a和b系數(shù)不是平方關(guān)系，想辦法消掉一到兩個字母再判斷∶④含有b2和4ac，考慮頂點坐標(biāo)，或考慮△.⑤其他類型，可考慮給x取特殊值，聯(lián)立方程進(jìn)行判斷;也可結(jié)合函數(shù)最值，圖象增減性進(jìn)行判斷。知識點7：二次函數(shù)與不等式1.當(dāng)拋物線與x軸相交、與直線相交時，只要有交點，就可以接著考察兩圖象的上下關(guān)系，進(jìn)而得不等式，根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集。2. 由函數(shù)圖象直接寫出不等式解集的方法歸納：①根據(jù)圖象找出交點橫坐標(biāo)，②不等式中不等號開口朝向的一方，圖象在上方，對應(yīng)交點的左邊或右邊符合，則x取對應(yīng)一邊的范圍.知識點8：二次函數(shù)的應(yīng)用1.利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值多出現(xiàn)在銷售問題中，利用二次函數(shù)解決銷售中最大利潤問題一般步驟如下：①設(shè)自變量，用含自變量的代數(shù)式表示銷售單價或銷售量及銷售收入②用含自變量的代數(shù)式表示銷售商品成本③用含自變量的關(guān)系式分別表示銷售利潤，根據(jù)銷售利潤=單件利潤×銷售量，得到函數(shù)表達(dá)式④根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求出最值及取得最值時的自變量的值2.利潤最大化問題與二次函數(shù)模型牢記兩公式：①單位利潤=售價-進(jìn)價；②總利潤=單件利潤×銷量；謹(jǐn)記兩轉(zhuǎn)化：①銷量轉(zhuǎn)化為售價的一次函數(shù)；②總利潤轉(zhuǎn)化為售價的二次函數(shù)；函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用：常利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出在自變量取值范圍內(nèi)的函數(shù)最值；真題1（2024·江蘇南通·中考真題）將拋物線y=x2+2xA．-4,-1 B．-4,2真題2（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax-ba≠0和yA．B．C． D．真題3（2024·四川·中考真題）二次函數(shù)y=ax2+bx+ca>0的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①c<0；A．①② B．①③ C．②③ D．①②③真題4（2024·廣東廣州·中考真題）函數(shù)y1=ax2+bx+c與yA．x<-1 B．-1<x<0 C．真題5（2024·天津·中考真題）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球的運(yùn)動時間t（單位：s）之間的關(guān)系式是h=30①小球從拋出到落地需要6?②小球運(yùn)動中的高度可以是30?③小球運(yùn)動2?s時的高度小于運(yùn)動其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3真題6（2024·吉林長春·中考真題）若拋物線y=x2-x+c（c真題7（2024·廣西·中考真題）如圖，壯壯同學(xué)投擲實心球，出手（點P處）的高度OP是74m，出手后實心球沿一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點時，水平距離是5m，高度是4m．若實心球落地點為M，則真題8（2024·四川資陽·中考真題）已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線y=-12x2+bx+c與x軸交于A，B(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點，連接PB,PC，過點P作PD⊥x軸于點D，交BC于點K．記△PBC，△BDK的面積分別為(3)如圖2，連接AC，點E為線段AC的中點，過點E作EF⊥AC交x軸于點F．拋物線上是否存在點Q，使∠QFE真題9（2024·湖北武漢·中考真題）16世紀(jì)中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運(yùn)行路徑形如拋物線，當(dāng)火箭運(yùn)行一定水平距離時，自動引發(fā)火箭第二級，火箭第二級沿直線運(yùn)行．某科技小組運(yùn)用信息技術(shù)模擬火箭運(yùn)行過程．如圖，以發(fā)射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別得到拋物線y=ax2+(1)若火箭第二級的引發(fā)點的高度為3.6km．①直接寫出a，b的值；②火箭在運(yùn)行過程中，有兩個位置的高度比火箭運(yùn)行的最高點低1.35km(2)直接寫出a滿足什么條件時，火箭落地點與發(fā)射點的水平距離超過15km．真題10（2024·浙江·中考真題）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點B(1,7)向上平移2個單位長度，向左平移m（m>0）個單位長度后，恰好落在y=(3)當(dāng)-2≤x≤n時，二次函數(shù)y=預(yù)測1（2025·甘肅天水·一模）某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖：以水平地面為x軸，出水點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中運(yùn)行路線是拋物線y=-x2

A．4米 B．3米 C．2米 D．1米預(yù)測2（2025·天津濱海新·一模）在中考體育訓(xùn)練期間，小宇對自己某次實心球訓(xùn)練的錄像進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)實心球出手時離地面的高度為85m，實心球飛行高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系式為①此次訓(xùn)練實心球從出手到落地時的水平距離為8m；②此次訓(xùn)練存在兩個不同的時間點，實心球離地面的高度均為2.1m；③此次訓(xùn)練實心球離地面最大高為2.25m．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．3 B．2 C．1 D．0預(yù)測3（2025·四川雅安·一模）小明從如圖所示的二次函數(shù)y=ax①abc>0；②a=32b；③其中正確信息的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個預(yù)測4（2025·廣東·一模）將二次函數(shù)y=x2-2x-預(yù)測5（2025·江蘇淮安·一模）如圖，我們規(guī)定形如y=ax2+bx+ca>0的函數(shù)叫做“元寶型函數(shù)”．如圖是“元寶型函數(shù)”函數(shù)y=x2-4x+3的圖象，根據(jù)圖象，給出以下結(jié)論：①圖象關(guān)于直線x=2對稱：②關(guān)于x的不等式x2-4x+3>0的解是預(yù)測6（2025·浙江杭州·一模）已知拋物線y=(1)若該拋物線的頂點在x軸上，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)直線y=kxk≠0與該拋物線相交于①若k=1，求a②點Cx3,y3在拋物線上，且點C不與點A，B重合，當(dāng)y預(yù)測7（2025·廣東深圳·模擬預(yù)測）【生活情境】為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對景觀帶中一個長AD=4m，寬AB=1m的長方形水池ABCD進(jìn)行加長改造（如圖①，改造后的水池ABNM仍為長方形，以下簡稱水池1），同時，再建造一個周長為12m的矩形水池EFGH【建立模型】如果設(shè)水池ABCD的邊AD加長長度DM為xmx>0，加長后水池1的總面積為y1m2，則y1關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y1=x+4x>0；設(shè)水池2的邊EF的長為x【問題解決】(1)若水池2的面積隨EF長度的增加而減小，則EF長度的取值范圍是______（可省略單位），水池2面積的最大值是_______m2(2)在圖③字母標(biāo)注的點中，表示兩個水池面積相等的點是_______，此時的xm值是_______(3)當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時，xm的取值范圍是_______(4)在1<x<4范圍內(nèi)，求兩個水池面積差的最大值和此時預(yù)測8（2025·四川成都·一模）如圖1，已知拋物線C1:y=ax2+bx+3與(1)求拋物線的解析式；(2)點P為第一象限拋物線上的一動點，作PH⊥BC于點H，當(dāng)PH最大時，求點(3)如圖2，將拋物線C1向右平移一個單位長度得到拋物線C2，點M，N都在拋物線C2上，且分別在第一象限和第三象限，連接MN，分別交x軸、y軸于點E、?押題1隨著《三體》的熱播，越來越多的人喜歡上了天文，如圖1是北京三老屯里的直立的雷達(dá)，它的橫剖面如圖2所示，CD∥MN，F(xiàn)G⊥MN，雷達(dá)的反射面DGC和拋物線類似，在不考慮厚度的情況下，反射面口徑CD=12m，最大深度EG=8m．為了更好的跟蹤信號，雷達(dá)的底座AB繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)了一定的角度，如圖3所示，當(dāng)∠ABM=45°A．1522 B．72 C．9押題2已知點Am,y1，Bm+2,y2，Cx0,A．m<-3 B．m>-3 C．m>1押題3在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y=kxA．B．C． D．押題4已知二次函數(shù)y=-x-h2+2（h為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足2≤x≤4的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值yA．0或4 B．2或6 C．0或6 D．2或4押題5二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中：①abc>0；②2a+b=0A．1個 B．2個 C．3個 D．4個押題6如圖，這是一次函數(shù)y=baA．B．C．D．押題7若拋物線y=-2x2+4x+3mA．m>-13 B．m≥13押題8已知拋物線y=x2+2x-3，經(jīng)過-2,y1和2,y2兩點，則y1押題9擲實心球是中招體育考試的選考項目，如圖①是一名女生擲實心球，實心球行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度ym與水平距離xm之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，擲出時起點處高度為53m，當(dāng)水平距離為(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)根據(jù)中招體育考試評分標(biāo)準(zhǔn)（女生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于7.80m，此項考試得分為滿分10分，該女生在此項考試(3)在擲出的實心球行進(jìn)路線的形狀和對稱軸都完全不變的情況下，提高擲出點，可提高成績．當(dāng)擲出點的高度至少達(dá)到多少時，可得滿分．押題10如圖所示，拋物線G1：y=x2-2x-3交x軸于A，B兩點，將G1在【知識技能】（1）直接寫出拋物線G2【數(shù)學(xué)理解】（2）記曲線W交y軸于點C，連接BC，點P為在BC上方且在曲線W上的一個動點，連接PC，PB，求【拓展探究】（3）設(shè)平面內(nèi)存在動直線y①討論并直接寫出動直線y=n與曲線②若動直線y=n與曲線W有四個交點，記這四個交點的橫坐標(biāo)從左往右分別為x1，x0505函數(shù)綜合真題1（2024·河北·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，且橫、縱坐標(biāo)之和大于0的點稱為“和點”．將某“和點”平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)（當(dāng)余數(shù)為0時，向右平移；當(dāng)余數(shù)為1時，向上平移；當(dāng)余數(shù)為2時，向左平移），每次平移1個單位長度．例：“和點”P2,1按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后，到達(dá)點P3若“和點”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點Q16-1,9A．6,1或7,1 B．15,-7或8,0 C．6,0或8,0 D．真題2（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=kx+bk(1)求k，b的值；(2)當(dāng)x>2時，對于x的每一個值，函數(shù)y=mxm≠0的值既大于函數(shù)y=真題3（2024·安徽·中考真題）已知拋物線y=-x2+bx（b(1)求b的值；(2)點Ax1,y1在拋物線y（ⅰ）若h=3t，且x1≥0，（ⅱ）若x1=t真題4（2024·貴州·中考真題）某超市購入一批進(jìn)價為10元/盒的糖果進(jìn)行銷售，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價不低于進(jìn)價時，日銷售量y（盒）與銷售單價x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，下表是y與x的幾組對應(yīng)值．銷售單價x/元…1214161820…銷售量y/盒…5652484440…(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式；(2)糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價值為m元的禮品，贈送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，求m的值．真題5（2024·江蘇鹽城·中考真題）請根據(jù)以下素材，完成探究任務(wù)．制定加工方案生產(chǎn)背景背景1◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風(fēng)”“雅”“正”三種樣式．◆因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風(fēng)”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”服裝1件．◆要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等.背景2每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為：①“風(fēng)”服裝：24元/件；②“正”服裝：48元/件；③“雅”服裝：當(dāng)每天加工10件時，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件獲利將減少2元．信息整理現(xiàn)安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，列表如下：服裝種類加工人數(shù)（人）每人每天加工量（件）平均每件獲利（元）風(fēng)y224雅x1正148探究任務(wù)任務(wù)1探尋變量關(guān)系求x、y之間的數(shù)量關(guān)系．任務(wù)2建立數(shù)學(xué)模型設(shè)該工廠每天的總利潤為w元，求w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)3擬定加工方案制定使每天總利潤最大的加工方案．真題6（2024·北京·中考真題）小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯），在科技活動中，小云用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和人工智能軟件設(shè)計了一個新水杯，并將其制作出來，新水杯（記為2號杯）示意圖如下，當(dāng)1號杯和2號杯中都有VmL水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度h1（單位：cm）和2號杯的水面高度h2（單位：V/mL040100200300400500h102.55.07.510.012.5h8.910.511.8(1)補(bǔ)全表格（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；(2)通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫h1與V，h2與V之間的關(guān)系(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題：①當(dāng)1號杯和2號杯中都有320mL水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約為___________cm（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；②在①的條件下，將2號杯中的一都分水倒入1號杯中，當(dāng)兩個水杯的水面高度相同時，其水面高度約為___________cm（結(jié)果保