山東省青島萊西市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期學(xué)業(yè)水平階段性檢測（三）數(shù)學(xué)試題（解析）

高一學(xué)業(yè)水平階段性檢測（三）數(shù)學(xué)試題本試卷共19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，請將答題卡上交.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式，直接計算，即可得出結(jié)果．【詳解】．故選：B．2.四邊形為矩形，對角線長為若則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的模長、運算律以及向量的數(shù)量積的定義求出，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，所以.故選：C.3.已知直線，平面，若平面平面，且，則下列命題正確的是（）A若，則B.若，則C.若，則D.若，則直線必垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間中直線與直線以及平面之間的位置關(guān)系，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)即可逐一求解.【詳解】對于A，若，則與也可能平行或者，故A錯誤，對于B，若，當(dāng)至少有一條直線與垂直時才有，否則還有可能存在平行或異面及相交但不垂直的情況，B錯誤，對于C，若，且，才會有，否則還有可能存在平行或相交但不垂直的情況，故C錯誤，對于D，當(dāng)直線，且，此時，故滿足條件的直線有無數(shù)條，故D正確，故選：D4.已知，O為坐標(biāo)原點，則下列說法正確的是（）A. B.A，O，C三點共線C.A，B，C三點共線 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算判斷AD，根據(jù)共線向量得三點共線判斷BC．【詳解】由題意，所以，A錯誤；因為，，所以，所以三點共線，B正確；又，而，所以不共線，從而三點不共線，C錯；，D錯誤，故選：B．5.已知角是的內(nèi)角，向量且與共線，則可以判斷的形狀為（）A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等邊三角形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運算，可得，根據(jù)角A、B的范圍，即可得，即可得答案.【詳解】因為與共線，所以，所以因為，所以，所以，即，所以為等腰三角形，故選：A6.如圖，圓錐的底面直徑，母線長，點在母線長上，且，有一只螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點到點，則這只螞蟻爬行的最短距離是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由題意得，底面圓的直徑為，故底面周長等于，設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為，根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得，解得，所以，則，過作，因為為的三等分點，，所以,，所以，所以，所以，因為，所以，在直角中，利用勾股定理得：，則，故選B．考點：圓錐的側(cè)面展開圖．7.如圖所示，為測量山高選擇A和另一座山的山頂為測量觀測點，從A點測得點的仰角點的仰角以及從點測得，若山高米，則山高等于（）A.米 B.米C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】在中，可求得AC，根據(jù)正弦定理，在中，可求得AM，在中，即可求得答案.【詳解】因為在中，，，所以，在中，，由正弦定理得：，即，所以，在中，，所以（米）故選：A8.設(shè)，則大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式、輔助角公式化簡三個數(shù)，通過三角函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．【詳解】解：，，因，所以故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知平面向量，且，則（）A. B.或C.與夾角的大小為 D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合求模公式，可得m值，即可判斷A、B的正誤，結(jié)合求夾角公式，可判斷C的正誤，結(jié)合求模公式，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】由題意得：，因為，所以，解得，故A正確，B錯誤；所以，所以，因為，所以，即與夾角的大小為，故C正確；，所以，，所以，故D錯誤故選：AC10.在中，角的對邊分別是，．則下列說法正確的是（）A.為銳角三角形 B.面積為或C.長度為 D.外接圓的面積為【答案】BD【解析】【分析】利用余弦定理求出，從而求出邊，再利用面積公式及正弦定理求出外接圓的半徑，即可得解；【詳解】解：由，所以，因為，所以，又，所以，解得或，故C錯誤；當(dāng)時，，所以為鈍角，故A錯誤；當(dāng)時，；當(dāng)時，，故B正確；，所以，所以外接圓的面積，故D正確；故選：BD11.如圖，正方體的棱長為4，F(xiàn)是的中點，點P為正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法正確的是（）A.四棱錐的體積為定值B.當(dāng)時，點P的軌跡長度為C.當(dāng)直線AP與平面所成的角為時，則點P的軌跡長度為D.若直線平面，則點P的軌跡長度為【答案】ACD【解析】【分析】求出四棱錐的體積即判A斷；求出的長度，分析點的軌跡，計算其長度判斷BC；利用面面平行的性質(zhì)得出點的軌跡，并計算出軌跡長度判斷D.【詳解】對于A，點到側(cè)面的距離即為，，，四棱錐的體積為定值，A正確；對于B，由平面，平面，得，則，點的軌跡是以點為圓心，為半徑的四分之一圓，其軌跡長度為，B錯誤；對于C，由與平面所成的角為，則為等腰直角三角形，，則點的軌跡是以點為圓心，為半徑為半徑的四分之一圓，其軌跡長度為，C正確；對于D，取的中點，連接，由為的中點，得，由平面，平面，得平面，由且，得四邊形為平行四邊形，則，而，則，由平面，平面，得平面，由，平面，得平面平面，當(dāng)點在線段上運動時，平面，則平面，因此點的軌跡為線段，其長度為，D正確.故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)在區(qū)間上的值域為________________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式，化簡可得，根據(jù)x范圍，求得的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】由輔助角公式可得：，因為，所以，由正弦型函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)，即時，，當(dāng)，即時，，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.故答案為：13.在中，已知，則________________．【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理求出，再根據(jù)向量的數(shù)量積定義即可求出．【詳解】解：，．故答案為：．14.已知，是兩個不重合的平面，給出下列條件：①，是平面內(nèi)的兩條直線，且，；②，都平行于平面；③內(nèi)不共線的三點到的距離相等；④，是兩條異面直線，，，且，．其中可判斷的是__________．（填序號）【答案】②④【解析】【分析】對于①，一個平面內(nèi)的兩條直線平行于兩一個平面不一定得到兩平面平行；對于②，由平面平行的傳遞性可知正確；對于③，內(nèi)不共線的三點到的距離相等，有可能兩平面相交，也不一定平行；對于④，兩平面內(nèi)的兩條異面直線分別平行于另一個平面，則兩平面平行.【詳解】，，，是平面內(nèi)的兩條直線，此條件沒有排除兩條直線平行的情況，故不能得出面面平行，故①不行；平行于同一個平面的兩個平面平行，故②正確；內(nèi)不共線三點到的距離相等，此三點在兩平面相交時也可以找出，故不能保證兩平面平行，故③不對；，是兩條異面直線，，，且，，能得到，故④正確.故答案為：②④.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）將函數(shù)化為形式，求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若為的內(nèi)角，恰為的最大值，求；（3）若，求．【答案】（1）；最小正周期；單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）先根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡，然后根據(jù)最小正周期的計算公式以及單調(diào)遞增區(qū)間的公式求解出結(jié)果；（2）先分析的取值范圍，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性確定出的取值；（3）根據(jù)二倍角的公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)齊次式的計算將分子分母同除轉(zhuǎn)化為和有關(guān)的形式，由此求解出結(jié)果.【詳解】解：所以的最小正周期由，得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；因為所以所以當(dāng)，即當(dāng)時，恰為的最大值；因為所以又因為所以.16.在中，分別為角的對邊，（1）求；（2）若為延長線上一點，連接，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式，化簡可得，根據(jù)二倍角的余弦公式，結(jié)合題干條件，即可得答案.（2）由（1）可得，根據(jù)余弦定理，可求得b，c的值，結(jié)合圖形中角度的關(guān)系，可得，代入面積公式，即可得答案.【詳解】解：（1）由題意，根據(jù)正弦定理，可得：，所以，即所以因為，所以，所以，即所以.（2）因為，所以，由余弦定理知，解得因為，所以，在中，因為所以所以又因為所以17.在中，為所在平面內(nèi)的兩點，，．（1）以和作一組基底表示，并求；（2）為直線上一點，設(shè)，若直線經(jīng)過的垂心，求．【答案】（1）；；（2）．【解析】【分析】（1）利用基底法，以和作為一組基底表示即可；（2）因為直線經(jīng)過的垂心，所以，即，分別表示出代入即可．【詳解】（1）由，所以為線段上靠近的三等分點．由，所以為線段的中點，，因為，所以；（2）為直線上一點，設(shè)，則，所以，，因為直線經(jīng)過的垂心，所以，即，所以，解得，所以，因為，所以．【點睛】本題關(guān)鍵之處在于第二問中“直線經(jīng)過的垂心”轉(zhuǎn)化為“”，進(jìn)而有“”．18.如圖所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，邊AD上一點滿足．現(xiàn)將沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如圖所示．（1）求證：；（2）求四棱錐的體積；（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形ABCE為菱形，從而線線垂直，得到平面．故；（2）由面面垂直得到線面垂直，求出，利用錐體體積公式進(jìn)行求解；（3）作出輔助線，證明線面垂直，得到線線垂直，即為平面與平面所成銳二面角的平面角，求出各邊長，得到，求出答案.【小問1詳解】證明：在平面圖形中，連接CE，由勾股定理得，因為且，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形ABCE為菱形，在圖中，連接AC交BE于點，則，在立體圖形中，，，又，平面，平面．又平面，；【小問2詳解】在平面圖形中，由勾股定理得，由（1）知，四邊形ABCE為菱形，結(jié)合題設(shè)易得，故，平面平面BCDE，且平面平面，平面，．平面BCDE，其中梯形的面積為，；【小問3詳解】在立體圖形中延長BE，CD，設(shè)，連接．平面，平面．又平面，平面．是平面與平面的交線，平面平面BCDE，，平面平面，平面，又平面，，，作，垂足為，連接CH，又，平面，平面OCH，又平面OCH，．即為平面與平面所成銳二面角的平面角．由勾股定理得，，故，為等邊三角形，在Rt中，，，所以，又，故，由勾股定理得，所以，又，在中，，．平面與平面所成銳二面角的余弦值．19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知．（1）若為軸上的一動點，點．①當(dāng)三點共線時，求點的坐標(biāo)；②求的最小值﹔（2）若，且與的夾角，求的取值范圍．【答案】（1）①；②5；（2）．【解析】【分析】（1）①設(shè)，根據(jù)題意，可得坐標(biāo)，根據(jù)三點共線，可得與共線，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運算，即可求得答案；②因為關(guān)于軸的對稱點為，所以當(dāng)三點共線時，取得最小值，代入兩點間距離公式，即可得答案.（2）根據(jù)題意，求得坐標(biāo)，根據(jù)題意可得恒成立，根據(jù)數(shù)量積公式，化簡整理，可得恒成立，令，利用換元法，可得，恒成立，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】解：（1）①設(shè)，則，