遼寧省大連市大連王府高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一學(xué)段考試數(shù)學(xué)試題（解析）

大連王府高級中學(xué)2024-2025學(xué)年下學(xué)期第一學(xué)段考試高二數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，結(jié)合題意繼而即可求解.【詳解】由為等差數(shù)列得，解得，所以.故選：A.2.用最小二乘法得到一組數(shù)據(jù)（i=1，2，3，4，5）的線性回歸方程為，若，則等于（）A.11 B.13C.53 D.65【答案】D【解析】【分析】代入回歸方程，根據(jù)求和公式，即可求解.詳解】.故選：D3.數(shù)列滿足，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)遞推公式逐一代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：C.4.在某次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，在甲、乙兩人先后進(jìn)行抽獎(jiǎng)，還有50張獎(jiǎng)券，其中共有5張寫有“中獎(jiǎng)”字樣，假設(shè)抽完的獎(jiǎng)券不放回，甲抽完之后乙再抽，（1）甲中獎(jiǎng)而且乙也中獎(jiǎng)的概率；（2）甲沒中獎(jiǎng)而且乙中獎(jiǎng)的概率，（1）和（2）的值分別等于（）A.； B.； C.； D.；【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，即可求解.【詳解】由有50張獎(jiǎng)券，共有5張寫有“中獎(jiǎng)”字樣，假設(shè)抽完的獎(jiǎng)券不放回，甲抽完后乙再抽，設(shè)事件“甲中獎(jiǎng)而且乙也中獎(jiǎng)”，則；設(shè)事件“甲沒中獎(jiǎng)而且乙中獎(jiǎng)”，則.故選：C.5.已知函數(shù)令得數(shù)列，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，得數(shù)列，根據(jù)數(shù)列為遞增數(shù)列，聯(lián)立方程組，即可求得答案.【詳解】令得數(shù)列且數(shù)列為遞增數(shù)列，得解得.即：故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)遞增數(shù)列求參數(shù)范圍問題，解題關(guān)鍵是掌握遞增數(shù)列的定義，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.6.已知?jiǎng)e為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，設(shè)點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，利用三點(diǎn)共線得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得可得答案.【詳解】，不妨設(shè)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，所以，故選：D.7.已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為（）A.5 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得，利用基本不等式求得正確答案.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布的知識得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.故選：D8.設(shè)數(shù)列滿足，，，若表示大于的最小整數(shù)，如，，記，則數(shù)列的前2025項(xiàng)之和為（）A.4052 B.4051 C.4050 D.4049【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由遞推關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式與累加法可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合的定義，即可得到結(jié)果．【詳解】由，得，所以數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列，首項(xiàng)為，，則，，又，當(dāng)時(shí)，，故，所以數(shù)列的前2025項(xiàng)之和為.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得2分，選錯(cuò)得0分.9.下列結(jié)論正確是（）A.若回歸方程，則變量與負(fù)相關(guān)B.在分類變量，的列聯(lián)表中，越小，與有關(guān)的可能性越大C.若關(guān)于的回歸方程為，則直線至少經(jīng)過一個(gè)樣本點(diǎn)D.以擬合一組數(shù)據(jù)，設(shè)，得關(guān)于的回歸直線方程為，則.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)可判斷A，C；根據(jù)分類變量，的列聯(lián)表的性質(zhì)可判斷B；由非線性回歸方程與線性回歸方程的轉(zhuǎn)化關(guān)系求解即可得的值.【詳解】對于A，若回歸方程為，由于，則變量與負(fù)相關(guān)，故A正確；對于B，在分類變量，的列聯(lián)表中，越小，說明兩個(gè)變量有關(guān)系的關(guān)系越弱，越大，說明兩個(gè)變量有關(guān)的關(guān)系越強(qiáng)，故B不正確；對于C，若關(guān)于的回歸方程為，則直，故C不正確；對于D，以擬合一組數(shù)據(jù)，設(shè)，則，若關(guān)于的回歸直線方程為，則，所以，則，故D正確.故選：AD.10.公差為d等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，，下列說法正確的有（）A. B. C.中最大 D.【答案】AD【解析】【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)結(jié)合給定條件可得，，再逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】由，得，又，得，，所以，，數(shù)列是遞減數(shù)列，其前6項(xiàng)為正，從第7項(xiàng)起均為負(fù)數(shù)，等差數(shù)列，公差，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；前6項(xiàng)和最大，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，，有，則，D選項(xiàng)正確.故選：AD.11.已知等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.若，，則C.是公差為的等差數(shù)列 D.若，，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用等差數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和逐一分析計(jì)算各個(gè)選項(xiàng)判斷作答.【詳解】等差數(shù)列的公差為d，則其通項(xiàng)，，，對于A，，A正確；對于B，因，，則，，B正確；對于C，，則，有，因此，是公差為的等差數(shù)列，C不正確；對于D，因，，則，兩式相減得：，所以，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列中，前n項(xiàng)和，求的通項(xiàng)公式為______.【答案】【解析】【分析】利用求解通項(xiàng)公式.【詳解】①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然不滿足，綜上，.故答案為：13.已知函數(shù)，若對于正數(shù)，直線與函數(shù)的圖像恰好有個(gè)不同的交點(diǎn)，則_______．【答案】【解析】【分析】由題意首先確定函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系得到的表達(dá)式，最后裂項(xiàng)求和即可求得的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，表示以為圓心，為半徑的圓在軸（含軸）的上半部分，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)周期為4，如圖作出函數(shù)的圖象，因?yàn)榕c函數(shù)恰有個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖象知，直線與第個(gè)半圓相切，第個(gè)半圓的圓心為，半徑為，故直線的斜率，所以，所以．故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解14.袋中裝有大小相同的黑球和白球共9個(gè)，從中任取2個(gè)都是白球的概率為．現(xiàn)甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1個(gè)球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球時(shí)終止．用X表示取球終止時(shí)取球的總次數(shù)．則數(shù)學(xué)期望_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得袋中原有白球的個(gè)數(shù)為6，即可得到的可能取值為1，2，3，4，分別求得其對應(yīng)概率，然后結(jié)合期望的計(jì)算公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；【詳解】設(shè)袋中原有個(gè)白球，則從9個(gè)球中任取2個(gè)球都是白球的概率為，由題意知，即，化簡得．解得或（舍去），故袋中原有白球的個(gè)數(shù)為6.由題意的可能取值為1，2，3，4.，，，.所以取球次數(shù)的概率分布列為：1234所求數(shù)學(xué)期望為.故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文宇說明、證明過程或演算步驟.15.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求和的等差中項(xiàng).（3）求.【答案】（1）（2）（3）195【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出公差及首項(xiàng)即可.（2）利用等差中項(xiàng)的意義求解.（3）利用等差數(shù)列性質(zhì)求解.【小問1詳解】在等差數(shù)列中，，則公差，由，得，因此，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問2詳解】由（1）得和的等差中項(xiàng)為.【小問3詳解】由（1）得.16.2020年寒假期間，某高中決定深入調(diào)查本校學(xué)生寒假期間在家學(xué)習(xí)情況，并將依據(jù)調(diào)查結(jié)果對相應(yīng)學(xué)生提出針對性學(xué)習(xí)建議．現(xiàn)從本校高一、高二、高三三個(gè)年級中分別隨機(jī)選取30，45，75人，然后再從這些學(xué)生中抽取10人，進(jìn)行學(xué)情調(diào)查．（1）若采用分層抽樣抽取10人，分別求高一、高二、高三應(yīng)抽取的人數(shù)．（2）若被抽取的10人中，有6人每天學(xué)時(shí)超過7小時(shí)，有4人每天學(xué)時(shí)不足4小時(shí)，現(xiàn)從這10人中，再隨機(jī)抽取4人做進(jìn)一步調(diào)查．（i）記事件A為“被抽取的4人中至多有1人學(xué)時(shí)不足4小時(shí)”，求事件A發(fā)生的概率；（ii）用ξ表示被抽取的4人中學(xué)時(shí)不足4小時(shí)的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）高一、高二、高三應(yīng)抽取的人數(shù)分別為2人，3人，5人；（2）（i）；（ii）見解析，【解析】【分析】（1）總數(shù)為30+45+75=150，從這些學(xué)生中抽取10人，根據(jù)分層抽樣法求出高一、高二、高三應(yīng)抽取的人數(shù)即可；（2）（i）記事件A為“被抽取的4人中至多有1人學(xué)時(shí)不足4小時(shí)”，記事件B為“被抽取的4人中恰有1人學(xué)時(shí)不足4小時(shí)”，記事件C為“被抽取的4人中恰有0人學(xué)時(shí)不足4小時(shí)”，則由P(A)＝P(B∪C)＝P(B)+P(C)，求出概率即可；（ii）隨機(jī)變量ξ表示被抽取的4人中學(xué)時(shí)不足4小時(shí)的人數(shù)，則ξ＝0，1，2，3，4，求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望即可．【詳解】（1）從本校高一、高二、高三三個(gè)年級中分別隨機(jī)選取30，45，75人，30+45+75=150，從這些學(xué)生中抽取10人，根據(jù)分層抽樣法，高一應(yīng)抽取102人，高二應(yīng)抽取10人，高三應(yīng)抽取10人，故高一、高二、高三應(yīng)抽取的人數(shù)分別為2人，3人，5人；（2）（i）記事件A為“被抽取的4人中至多有1人學(xué)時(shí)不足4小時(shí)”，記事件B為“被抽取的4人中恰有1人學(xué)時(shí)不足4小時(shí)”，記事件C為“被抽取的4人中恰有0人學(xué)時(shí)不足4小時(shí)”，則P(A)＝P(B∪C)＝P(B)+P(C)；（ii）隨機(jī)變量ξ表示被抽取的4人中學(xué)時(shí)不足4小時(shí)的人數(shù)，則ξ＝0，1，2，3，4，則，，，，，隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ01234PE(ξ)．【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣，考查了超幾何分布概率、分布列和數(shù)學(xué)期望的求解，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題．17.《中華人民共和國道路交通安全法》第47條規(guī)定：機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行橫道時(shí)，應(yīng)當(dāng)減速慢行；遇到行人正在通過人行橫道，應(yīng)當(dāng)停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”.下表是某十字路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的6個(gè)月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份123456不“禮讓斑馬線”駕駛員人數(shù)120105100859080（Ⅰ）請根據(jù)表中所給前5個(gè)月的數(shù)據(jù)，求不“禮讓斑馬線”的駕駛員人數(shù)與月份之間的回歸直線方程；（Ⅱ）若該十字路口某月不“禮讓斑馬線”駕駛員人數(shù)的實(shí)際人數(shù)與預(yù)測人數(shù)之差小于5，則稱該十字路口“禮讓斑馬線”情況達(dá)到“理想狀態(tài)”.試根據(jù)（Ⅰ）中的回歸直線方程，判斷6月份該十字路口“禮讓斑馬線”情況是否達(dá)到“理想狀態(tài)”？（Ⅲ）若從表中3、4月份分別選取4人和2人，再從所選取的6人中任意抽取2人進(jìn)行交規(guī)調(diào)查，求抽取的兩人恰好來自同一月份的概率.參考公式：，.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）依題意，，根據(jù)公式求得的值，即可得到回歸直線方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）得當(dāng)時(shí)，，即可根據(jù)題意作出判斷結(jié)論；（Ⅲ）設(shè)3月份選取的4位駕駛的編號分別為：，，，，從4月份選取的2位駕駛員的編號分別為，，列出基本事件的總體，用古典概型及概率計(jì)算公式，即可求解概率.試題解析：（Ⅰ）依題意，，，，∴關(guān)于的線性回歸方程為：.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)，.，故6月份該十字路口“禮讓斑馬線”情況達(dá)到“理想狀態(tài)”.（Ⅲ）設(shè)3月份選取的4位駕駛的編號分別為：，，，，從4月份選取的2位駕駛員的編號分別為，，從這6人中任抽兩人包含以下基本事件：，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)基本事件，其中兩個(gè)恰好來自同一月份的包含7個(gè)基本事件，∴所求概率.18.學(xué)生的安全是關(guān)乎千家萬戶的大事，對學(xué)生進(jìn)行安全教育是學(xué)校教育的一個(gè)重要方面.臨近暑假，某市教體局針對當(dāng)前的實(shí)際情況，組織各學(xué)校進(jìn)行安全教育，并進(jìn)行了安全知識和意識的測試，滿分100分，成績不低于60分為合格，否則為不合格.為了解安全教育的成效，隨機(jī)抽查了轄區(qū)內(nèi)某校180名學(xué)生的測試成績，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果制作成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）若抽查的學(xué)生中，分?jǐn)?shù)段內(nèi)的女生人數(shù)分別為，完成列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為測試成績與性別有關(guān)聯(lián)？不合格合格合計(jì)男生女生合計(jì)（2）若對抽查學(xué)生的測試成績進(jìn)行量化轉(zhuǎn)換，“合格”記5分，“不合格”記0分.按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從“合格”與“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)選取10人進(jìn)行座談，再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.10.050.0052.7063.8417.879【答案】（1）列聯(lián)表見解析，測試成績與性別無關(guān)聯(lián)（2）分布列見解析，12【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出每一組的人數(shù)，然后填寫列聯(lián)表，再利用公式求出，與臨界值表比較可得答案；（2）利用分層隨機(jī)抽樣的定義計(jì)算出從“合格”與“不合格”的學(xué)生中抽取的人數(shù)，則可得的取值為，求出相應(yīng)的概率，從而可求得的分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】由頻率分布直方圖知，得分在的人數(shù)分別為，，由題意知“不合格”的人數(shù)為72，“合格”的人數(shù)為108，故列聯(lián)表為：不合格合格合計(jì)男生424890女生306090合計(jì)72108180零假設(shè)：測試成績與性別無關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分的證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即測試成績與性別無關(guān)聯(lián).【小問2詳解】在“合格”中抽的人數(shù)為，“不合格”中抽的人數(shù)為，故的取值為，則，，故所求分布列為05101520所以.19.已知數(shù)列滿足.（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若對任意，都有成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的定義，若數(shù)列是等差數(shù)列，則，，結(jié)合，得即可解得首項(xiàng)的值；（2）由，用代得，兩式相減，得出